第6章平面向量及其應(yīng)用章末綜合提升學(xué)案含解析-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

第六章平面向量及其應(yīng)用類型1　平面向量的線性運(yùn)算 (1)本考點(diǎn)多為基礎(chǔ)題，一般出現(xiàn)在選擇題的第4～6題的位置，主要考查平面向量的線性運(yùn)算及幾何意義，平面向量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算，難度較?。疾榉治瞿芰Γ\(yùn)算求解能力．核心素養(yǎng)是直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算． (2)用幾個(gè)向量表示某個(gè)向量的技巧：①觀察各個(gè)向量的位置；②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；③運(yùn)用法則找關(guān)系；④化簡結(jié)果．【例1】　(2018·全國卷Ⅰ)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則eq \o(EB,\s\up7(→))＝(　　) A．eq \f(3,4)eq \o(AB,\s\up7(→))－eq \f(1,4)eq \o(AC,\s\up7(→))　　　　　　 B．eq \f(1,4)eq \o(AB,\s\up7(→))－eq \f(3,4)eq \o(AC,\s\up7(→)) C．eq \f(3,4)eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,4)eq \o(AC,\s\up7(→)) D．eq \f(1,4)eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \f(3,4)eq \o(AC,\s\up7(→)) A　[法一：如圖所示，eq \o(EB,\s\up7(→))＝eq \o(ED,\s\up7(→))＋eq \o(DB,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \o(AD,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \o(CB,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(AC,\s\up7(→)))＋eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up7(→))－eq \o(AC,\s\up7(→)))＝eq \f(3,4)eq \o(AB,\s\up7(→))－eq \f(1,4)eq \o(AC,\s\up7(→))，故選A．法二：eq \o(EB,\s\up7(→))＝eq \o(AB,\s\up7(→))－eq \o(AE,\s\up7(→))＝eq \o(AB,\s\up7(→))－eq \f(1,2)eq \o(AD,\s\up7(→))＝eq \o(AB,\s\up7(→))－eq \f(1,2)×eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(AC,\s\up7(→)))＝eq \f(3,4)eq \o(AB,\s\up7(→))－eq \f(1,4)eq \o(AC,\s\up7(→))，故選A．] eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 1．如圖所示，在△ABC中，eq \o(AN,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \o(NC,\s\up7(→))，P是BN上的一點(diǎn)，若eq \o(AP,\s\up7(→))＝meq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \f(2,11)eq \o(AC,\s\up7(→))，則實(shí)數(shù)m的值為________． eq \f(3,11)　[設(shè)eq \o(BP,\s\up7(→))＝λeq \o(BN,\s\up7(→))，則eq \o(BP,\s\up7(→))＝eq \o(BA,\s\up7(→))＋eq \o(AP,\s\up7(→))＝－eq \o(AB,\s\up7(→))＋meq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \f(2,11)eq \o(AC,\s\up7(→))＝(m－1)eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \f(2,11)eq \o(AC,\s\up7(→))． eq \o(BN,\s\up7(→))＝eq \o(BA,\s\up7(→))＋eq \o(AN,\s\up7(→))＝－eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,4)eq \o(AC,\s\up7(→))． ∵eq \o(BP,\s\up7(→))與eq \o(BN,\s\up7(→))共線，∴eq \f(1,4)(m－1)＋eq \f(2,11)＝0， ∴m＝eq \f(3,11)．] 類型2　平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 (1)本考點(diǎn)多為基礎(chǔ)題，一般出現(xiàn)在選擇題的第5～8題的位置，主要考查平面向量的數(shù)量積、模、夾角運(yùn)算，難度中等及以下．考查分析能力，想象能力及運(yùn)算求解能力． (2)在數(shù)量積運(yùn)算律中，有兩個(gè)形似實(shí)數(shù)的完全平方公式在解題中的應(yīng)用較為廣泛，即(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，上述兩公式以及(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，這一類似于實(shí)數(shù)平方差的公式在解題過程中可以直接應(yīng)用．【例2】　(2020·新高考全國卷Ⅰ)已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則Aeq \o(P,\s\up7(→))·Aeq \o(B,\s\up7(→))的取值范圍是(　　) A．(－2,6) B．(－6,2) C．(－2,4) D．(－4,6) A　[eq \o(AP,\s\up7(→))·eq \o(AB,\s\up7(→))＝|eq \o(AP,\s\up7(→))|·|eq \o(AB,\s\up7(→))|·cos∠PAB＝2|eq \o(AP,\s\up7(→))|·cos∠PAB，又|eq \o(AP,\s\up7(→))|·cos∠PAB表示eq \o(AP,\s\up7(→))在eq \o(AB,\s\up7(→))方向上的投影，所以結(jié)合圖形可知，當(dāng)P與C重合時(shí)投影最大，當(dāng)P與F重合時(shí)投影最?。?eq \o(AC,\s\up7(→))·eq \o(AB,\s\up7(→))＝2eq \r(3)×2×cos 30°＝6，eq \o(AF,\s\up7(→))·eq \o(AB,\s\up7(→))＝2×2×cos 120°＝－2，故當(dāng)點(diǎn)P在正六邊形ABCDEF內(nèi)部運(yùn)動時(shí)，eq \o(AP,\s\up7(→))·eq \o(AB,\s\up7(→))∈(－2,6)，故選A．] eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 2．(2020·天津高考)如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且eq \o(AD,\s\up7(→))＝λeq \o(BC,\s\up7(→))，eq \o(AD,\s\up7(→))·eq \o(AB,\s\up7(→))＝－eq \f(3,2)，則實(shí)數(shù)λ的值為________，若M，N是線段BC上的動點(diǎn)，且|eq \o(MN,\s\up7(→))|＝1，則eq \o(DM,\s\up7(→))·eq \o(DN,\s\up7(→))的最小值為________． eq \f(1,6)　eq \f(13,2)　[依題意得AD∥BC，∠BAD＝120°，由eq \o(AD,\s\up7(→))·eq \o(AB,\s\up7(→))＝|eq \o(AD,\s\up7(→))|·|eq \o(AB,\s\up7(→))|·cos∠BAD＝－eq \f(3,2)|eq \o(AD,\s\up7(→))|＝－eq \f(3,2)，得|eq \o(AD,\s\up7(→))|＝1，因此λ＝eq \f(|\o(AD,\s\up7(→))|,|\o(BC,\s\up7(→))|)＝eq \f(1,6)．取MN的中點(diǎn)E，連接DE(圖略)，則eq \o(DM,\s\up7(→))＋eq \o(DN,\s\up7(→))＝2eq \o(DE,\s\up7(→))，eq \o(DM,\s\up7(→))·eq \o(DN,\s\up7(→))＝eq \f(1,4)[(eq \o(DM,\s\up7(→))＋eq \o(DN,\s\up7(→)))2－(eq \o(DM,\s\up7(→))－eq \o(DN,\s\up7(→)))2]＝eq \o(DE,\s\up7(→))2－eq \f(1,4)eq \o(NM,\s\up7(→))2＝eq \o(DE,\s\up7(→))2－eq \f(1,4)．注意到線段MN在線段BC上運(yùn)動時(shí)，DE的最小值等于點(diǎn)D到直線BC的距離，即AB·sin B＝eq \f(3\r(3),2)，因此eq \o(DE,\s\up7(→))2－eq \f(1,4)的最小值為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,4)＝eq \f(13,2)，即eq \o(DM,\s\up7(→))·eq \o(DN,\s\up7(→))的最小值為eq \f(13,2)．] 類型3　平面向量的共線 (1)高考對平面向量的共線的考查主要是在選擇題或填空題中，難度較小，一般有兩類題型：一是已知兩個(gè)向量共線求參數(shù)的值；二是根據(jù)條件證明向量共線，再得出其他的結(jié)論． (2)平面向量共線問題常用的方法 ①向量a，b(a≠0)共線?存在唯一實(shí)數(shù)λ，使b＝λa． ②向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共線?x1y2－x2y1＝0． ③向量a與b共線?|a·b|＝|a||b|． ④向量a與b共線?存在不全為零的實(shí)數(shù)λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0．【例3】　(2018·全國卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，則λ＝________． eq \f(1,2)　[2a＋b＝(4,2)，因?yàn)閏＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以1×2＝4λ，即λ＝eq \f(1,2)．] eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 3．設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實(shí)數(shù)λ＝________． eq \f(1,2)　[∵a與b不平行，∴a＋2b≠0． ∵λa＋b與a＋2b平行， ∴λa＋b＝t(a＋2b)． ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(t＝λ，,2t＝1，))∴t＝λ＝eq \f(1,2)．] 類型4　平面向量的夾角與垂直 (1)向量的夾角與垂直問題是高考的重點(diǎn)題型，一般出現(xiàn)在選擇題或填空題中，難度中等以下，當(dāng)出現(xiàn)在解答題中時(shí)也會與其他知識結(jié)合考查，難度較?。?(2)設(shè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，兩向量夾角θ(0≤θ≤π)的余弦cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))． (3)平面向量垂直問題的常用方法 a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．【例4】　(1)(2020·全國卷Ⅲ)已知向量a，b滿足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，則cos〈a，a＋b〉＝(　　) A．－eq \f(31,35)　　　　B．－eq \f(19,35)　　　　C．eq \f(17,35)　　　　D．eq \f(19,35) (2)(2020·全國卷Ⅰ)設(shè)向量a＝(1，－1)，b＝(m＋1,2m－4)，若a⊥b，則m＝________． (1)D　(2)5　[(1)由題意，得a·(a＋b)＝a2＋a·b＝25－6＝19，|a＋b|＝eq \r(a2＋2a·b＋b2)＝eq \r(25－12＋36)＝7，所以cos〈a，a＋b〉＝eq \f(a·?a＋b?,|a||a＋b|)＝eq \f(19,5×7)＝eq \f(19,35)，故選D． (2)因?yàn)閍⊥b，所以a·b＝m＋1－(2m－4)＝0，所以m＝5．] eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 4．設(shè)a＝(2,0)，b＝(1，eq \r(,3))． (1)若(λa－b)⊥b，求λ的值； (2)若m＝λa＋μb，且|m|＝2eq \r(,3)，〈m，b〉＝eq \f(π,6)，求λ，μ的值． [解]　(1)因?yàn)閍＝(2,0)，b＝(1，eq \r(,3))，所以λa－b＝(2λ，0)－(1，eq \r(,3))＝(2λ－1，－eq \r(,3))．又(λa－b)⊥b，所以(λa－b)·b＝0，即(2λ－1，－eq \r(,3))·(1，eq \r(,3))＝0，所以2λ－1－3＝0，所以λ＝2． (2)因?yàn)閍＝(2,0)，b＝(1，eq \r(,3))，所以m＝λa＋μb＝λ(2,0)＋μ(1，eq \r(,3))＝(2λ＋μ，eq \r(,3)μ)．因?yàn)閨m|＝2eq \r(,3)，〈m，b〉＝eq \f(π,6)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(?2λ＋μ?2＋?\r(,3)μ?2＝?2\r(,3)?2，,cos\f(π,6)＝\f(?2λ＋μ，\r(,3)μ?·?1，\r(,3)?,2\r(,3)×2)，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ2＋λμ＋μ2＝3，,λ＋2μ＝3.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝1，,μ＝1，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝－1，,μ＝2，)) 所以λ＝1，μ＝1或λ＝－1，μ＝2．類型5　向量的模與距離 (1)向量的模不僅是研究向量的一個(gè)重要的量，而且是利用向量方法解決幾何問題的一個(gè)“交匯點(diǎn)”，一般在選擇題或填空題中考查，難度中等． (2)向量的模的計(jì)算方法有幾何法和坐標(biāo)法兩種，有時(shí)兩種方法均可使用．【例5】　(2020·北京高考)已知正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)P滿足eq \o(AP,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(AC,\s\up7(→)))，則|eq \o(PD,\s\up7(→))|＝________；eq \o(PB,\s\up7(→))·eq \o(PD,\s\up7(→))＝________． eq \r(5)?。?　[法一：如圖，由題意及平面向量的平行四邊形法則可知，點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，在三角形PCD中，|eq \o(PD,\s\up7(→))|＝eq \r(5)．cos∠DPB＝－cos∠DPC＝－eq \f(1,\r(5))，∴eq \o(PB,\s\up7(→))·eq \o(PD,\s\up7(→))＝|eq \o(PB,\s\up7(→))|·|eq \o(PD,\s\up7(→))|cos∠DPB＝1×eq \r(5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(5))))＝－1．法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在直線分別為x軸，y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，∴eq \o(AP,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(AC,\s\up7(→)))＝(2,1)，P(2,1)，∴eq \o(PD,\s\up7(→))＝(－2,1)，eq \o(PB,\s\up7(→))＝(0，－1)，∴|eq \o(PD,\s\up7(→))|＝eq \r(5)，eq \o(PB,\s\up7(→))·eq \o(PD,\s\up7(→))＝(0，－1)·(－2,1)＝－1． ] eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 5．(2020·全國卷Ⅰ)設(shè)a，b為單位向量，且|a＋b|＝1，則|a－b|＝________． eq \r(3)　[∵a，b為單位向量，且|a＋b|＝1，∴(a＋b)2＝1， ∴1＋1＋2a·b＝1，∴a·b＝－eq \f(1,2)，∴|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝1＋1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝3，∴|a－b|＝eq \r(3)．] 類型6　利用正、余弦定理解三角形 (1)高考對正、余弦定理的考查既有選擇、填空題，也有解答題，常以正弦定理、余弦定理的應(yīng)用為背景，融合三角形面積公式、三角恒等變換等，體現(xiàn)了高考命題的交匯性． (2)求解此類問題的關(guān)鍵是正、余弦定理及其變形的靈活應(yīng)用．【例6】　(2020·新高考全國卷Ⅰ)在①ac＝eq \r(3)，②csinA＝3，③c＝eq \r(3)b這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求c的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在△ABC，它的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且sin A＝eq \r(3)sin B，C＝eq \f(π,6)，________？ [解]　方案一：選條件①．由C＝eq \f(π,6)和余弦定理得eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(\r(3),2)．由sin A＝eq \r(3)sin B及正弦定理得a＝eq \r(3)b．于是eq \f(3b2＋b2－c2,2\r(3)b2)＝eq \f(\r(3),2)，由此可得b＝c．由①ac＝eq \r(3)，解得a＝eq \r(3)，b＝c＝1．因此，選條件①時(shí)問題中的三角形存在，此時(shí)c＝1．方案二：選條件②．由C＝eq \f(π,6)和余弦定理得eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(\r(3),2)．由sin A＝eq \r(3)sin B及正弦定理得a＝eq \r(3)b．于是eq \f(3b2＋b2－c2,2\r(3)b2)＝eq \f(\r(3),2)，由此可得b＝c，B＝C＝eq \f(π,6)，A＝eq \f(2π,3)．由②csin A＝3，所以c＝b＝2eq \r(3)，a＝6．因此，選條件②時(shí)問題中的三角形存在，此時(shí)c＝2eq \r(3)．方案三：選條件③．由C＝eq \f(π,6)和余弦定理得eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(\r(3),2)．由sin A＝eq \r(3)sin B及正弦定理得a＝eq \r(3)b．于是eq \f(3b2＋b2－c2,2\r(3)b2)＝eq \f(\r(3),2)，由此可得b＝c．由③c＝eq \r(3)b，與b＝c矛盾．因此，選條件③時(shí)問題中的三角形不存在． eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 6．(2020·全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知B＝150°． (1)若a＝eq \r(3)c，b＝2eq \r(7)，求△ABC的面積； (2)若sin A＋eq \r(3)sin C＝eq \f(\r(2),2)，求C． [解]　(1)由題設(shè)及余弦定理得28＝3c2＋c2－2×eq \r(3)c2×cos 150°．解得c＝－2(舍去)或c＝2，從而a＝2eq \r(3)．所以△ABC的面積為eq \f( 1,2)×2eq \r(3)×2×sin 150°＝eq \r(3)． (2)在△ABC中，A＝180°－B－C＝30°－C，所以sin A＋eq \r(3)sin C＝sin(30°－C)＋eq \r(3)sin C＝sin(30°＋C)．故sin(30°＋C)＝eq \f(\r(2),2)．而0°