第2課時(shí)　正弦定理 古埃及時(shí)代，尼羅河經(jīng)常泛濫，古埃及人為了研究尼羅河水運(yùn)行的規(guī)律，準(zhǔn)備測量各種數(shù)據(jù)．當(dāng)尼羅河漲水時(shí)，古埃及人想測量某處河面的寬度(如圖)，如果古埃及人通過測量得到了AB的長度，∠BAC，∠ABC的大小，那么就可以求解出河面的寬度CD． 問題：你知道古埃及人是如何利用這些數(shù)據(jù)計(jì)算的嗎？ 知識點(diǎn)　正弦定理 1．正弦定理 2．正弦定理的變形 若R為△ABC外接圓的半徑，則 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)； (3)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c； (4)eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝2R． 如圖，在Rt△ABC中，eq \f(a,sin A)，eq \f(b,sin B)，eq \f(c,sin C)各自等于什么？ [提示]　eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝c． 1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”) (1)正弦定理不適用直角三角形． (　　) (2)在△ABC中，bsin A＝asin B總成立． (　　) (3)在一確定的三角形中，各邊與它所對角的正弦的比是一定值． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√ 2．在△ABC中，下列式子與eq \f(sin A,a)的值相等的是(　　) A．eq \f(b,c)　　　B．eq \f(sin B,sin A)　　　C．eq \f(sin C,c)　　　D．eq \f(c,sin C) C　[由正弦定理得，eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，所以eq \f(sin A,a)＝eq \f(sin C,c)．] 3．在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，則b等于(　　) A．5eq \r(2) B．10eq \r(3) C．eq \f(10\r(3),3) D．5eq \r(6) B　[由正弦定理得，b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(10×\f(\r(3),2),\f(1,2))＝10eq \r(3)．] 4．在△ABC中，若a＝3，b＝eq \r(3)，A＝eq \f(π,3)，則C＝________． eq \f(π,2)　[由正弦定理得：eq \f(3,sin \f(π,3))＝eq \f(\r(3),sin B)，所以sin B＝eq \f(1,2)． 又a>b，所以A>B，所以B＝eq \f(π,6)， 所以C＝π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋\f(π,6)))＝eq \f(π,2)．] 類型1　已知兩角一邊解三角形 【例1】　(對接教材P47例7)在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形． [解]　因?yàn)锽＝30°，C＝105°，所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°． 由正弦定理，得eq \f(a,sin 45°)＝eq \f(4,sin 30°)＝eq \f(c,sin 105°)， 解得a＝eq \f(4sin 45°,sin 30°)＝4eq \r(2)，c＝eq \f(4sin 105°,sin 30°)＝2(eq \r(6)＋eq \r(2))． 已知兩角及一邊解三角形的解題方法 (1)若所給邊是已知角的對邊，可先由正弦定理求另一邊，再由三角形的內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角，最后由正弦定理求第三邊． (2)若所給邊不是已知角的對邊，則先由三角形內(nèi)角和定理求第三個(gè)角，再由正弦定理求另外兩邊． eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 1．在△ABC中，已知A＝60°，tan B＝eq \r(2)，a＝2，則c＝________． eq \f(2?\r(3)＋\r(2)?,3)　[因?yàn)閠an B＝eq \r(2)，所以sin B＝eq \f(\r(6),3)，cos B＝eq \f(\r(3),3)．又A＝60°，所以sin C＝sin[180°－(A＋B)]＝sin(120°－B)＝sin 120°cos B－cos 120°sin B＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(6),6)．由正弦定理，得eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，即c＝eq \f(asin C,sin A)＝eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(\r(6),6))),\f(\r(3),2))＝eq \f(2?\r(3)＋\r(2)?,3)．] 類型2　已知兩邊和其中一邊的對角解三角形 【例2】　(對接教材P47例8)在△ABC中，已知a＝2，b＝eq \r(2)，A＝45°，解三角形． [解]　由正弦定理，得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(\r(2)sin 45°,2)＝eq \f(1,2)．因?yàn)閎＜a，所以B＜A，所以B＝30°(B＝150°舍去)． 于是C＝180°－45°－30°＝105°．由正弦定理，得c＝eq \f(asin C,sin A)＝eq \f(2sin 105°,sin 45°)＝eq \r(3)＋1． 已知三角形的兩邊和其中一邊的對角時(shí)解三角形的方法 (1)首先由正弦定理求出另一邊所對的角的正弦值． (2)當(dāng)已知的角為大邊所對的角時(shí)，由三角形中“大邊對大角，大角對大邊”的法則能判斷另一邊所對的角是銳角還是鈍角． (3)當(dāng)已知的角為小邊所對的角時(shí)，不能判斷另一邊所對的角為銳角，這時(shí)由正弦值可求得兩個(gè)角，要分類討論． eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 2．已知B＝30°，b＝eq \r(2)，c＝2，求A，C，a． [解]　由正弦定理得：sin C＝eq \f(c·sin B,b)＝eq \f(2sin 30°,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)， ∵c>b,0°

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