高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修第二冊7.1 復(fù)數(shù)的概念導(dǎo)學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

16世紀，意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹在討論問題“將10分成兩部分，使兩者的乘積等于40”時，認為把答案寫成“5＋eq \r(－15)和5－eq \r(－15)”就可以滿足要求：
(5＋eq \r(－15))＋(5－eq \r(－15))＝5＋5＝10，
(5＋eq \r(－15))(5－eq \r(－15))
＝5×5－eq \r(－15)×eq \r(－15)
＝25－(－15)
＝40．
問題：eq \r(－15)能作為“數(shù)”嗎？它真的是無意義的、虛幻的嗎？
知識點1 復(fù)數(shù)的概念及其表示
1．復(fù)數(shù)的定義
我們把形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位．全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做復(fù)數(shù)集．規(guī)定i·i＝i2＝－1．
2．復(fù)數(shù)的表示
復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)．以后不作特殊說明時，復(fù)數(shù)z＝a＋bi都有a，b∈R，其中的a與b分別叫作復(fù)數(shù)z的實部與虛部．
(1)復(fù)數(shù)z＝3＋2i的虛部是2i還是2?
(2)實數(shù)5是復(fù)數(shù)嗎？其虛部是什么？
[提示] (1)虛部是2；(2)5是復(fù)數(shù)，虛部為0．
1．復(fù)數(shù)z＝2＋5i的實部等于________，虛部等于________．
2 5 [復(fù)數(shù)z＝2＋5i的實部為2，虛部為5．]
2．若復(fù)數(shù)z＝(2a－1)＋(3＋a)i(a∈R)的實部與虛部相等，則a＝________．
4 [由已知得2a－1＝3＋a，解得a＝4．]
知識點2 復(fù)數(shù)相等的充要條件
在復(fù)數(shù)集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取兩個數(shù)a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我們規(guī)定：a＋bi與c＋di相等當(dāng)且僅當(dāng)a＝c且b＝d．
3．已知x，y∈R，若x＋3i＝(y－2)i，則x＋y＝________．
5 [因為x＋3i＝(y－2)i，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y－2＝3，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝5，))所以x＋y＝5．]
知識點3 復(fù)數(shù)的分類
(1)復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(實數(shù)?b＝0?,虛數(shù)?b≠0?\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(純虛數(shù)?a＝0?,非純虛數(shù)?a≠0?))))
(2)復(fù)數(shù)集、實數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系如圖所示．
4．在下列數(shù)中，屬于虛數(shù)的是__________，屬于純虛數(shù)的是________．
0,1＋i，πi，eq \r(3)＋2i，eq \f(1,3)－eq \r(3)i，eq \f(π,3)i．1＋i，πi，eq \r(3)＋2i，eq \f(1,3)－eq \r(3)i，eq \f(π,3)i πi，eq \f(π,3)i [根據(jù)虛數(shù)的概念知：1＋i，πi，eq \r(3)＋2i，eq \f(1,3)－eq \r(3)i，eq \f(π,3)i都是虛數(shù)；由純虛數(shù)的概念知：πi，eq \f(π,3)i都是純虛數(shù)．]
5．若復(fù)數(shù)z＝(m－2)＋(m＋1)i是純虛數(shù)，則實數(shù)m＝________．
2 [由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－2＝0，,m＋1≠0，))解得m＝2．]
類型1 復(fù)數(shù)的概念
【例1】給出下列說法：①復(fù)數(shù)2＋3i的虛部是3i；②形如a＋bi(b∈R)的數(shù)一定是虛數(shù)；③若a∈R，a≠0，則(a＋3)i是純虛數(shù)；④若兩個復(fù)數(shù)能夠比較大小，則它們都是實數(shù)．其中錯誤說法的個數(shù)是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C [復(fù)數(shù)2＋3i的虛部是3，①錯；形如a＋bi(b∈R)的數(shù)不一定是虛數(shù)，②錯；只有當(dāng)a∈R，a＋3≠0時，(a＋3)i是純虛數(shù)，③錯；若兩個復(fù)數(shù)能夠比較大小，則它們都是實數(shù)，故④正確，所以有3個錯誤．]
判斷復(fù)數(shù)概念方面的命題真假的注意點
(1)正確理解復(fù)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、實部、虛部、復(fù)數(shù)相等的概念，注意它們之間的區(qū)別與聯(lián)系；
(2)注意復(fù)數(shù)集與實數(shù)集中有關(guān)概念與性質(zhì)的不同；
(3)注意通過列舉反例來說明一些命題的真假．
eq \([跟進訓(xùn)練])
1．下列說法中正確的是( )
A．復(fù)數(shù)由實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)構(gòu)成
B．若復(fù)數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)是虛數(shù)，則必有x≠0
C．在復(fù)數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，則復(fù)數(shù)z一定不是純虛數(shù)
D．若a，b∈R且a＞b，則a＋i＞b＋i
C [選項A錯，復(fù)數(shù)由實數(shù)與虛數(shù)構(gòu)成，在虛數(shù)中又分為純虛數(shù)和非純虛數(shù)；選項B錯，若復(fù)數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)是虛數(shù)，則必有y≠0，但可以x＝0；選項C正確，若復(fù)數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)是純虛數(shù)，必有x＝0，y≠0，因此只要x≠0，復(fù)數(shù)z一定不是純虛數(shù)；選項D錯，當(dāng)a，b∈R時，a＋i與b＋i都是虛數(shù)，不能比較大?。甝
類型2 復(fù)數(shù)的分類
【例2】 (對接教材P69例1)實數(shù)x分別取什么值時，復(fù)數(shù)z＝eq \f(x2－x－6,x＋3)＋(x2－2x－15)i是(1)實數(shù)？(2)虛數(shù)？(3)純虛數(shù)？
[解] (1)當(dāng)x滿足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x－15＝0，,x＋3≠0，))
即x＝5時，z是實數(shù)．
(2)當(dāng)x滿足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x－15≠0，,x＋3≠0，))即x≠－3且x≠5時，z是虛數(shù)．
(3)當(dāng)x滿足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2－x－6,x＋3)＝0，,x2－2x－15≠0，,x＋3≠0，))即x＝－2或x＝3時，z是純虛數(shù)．
利用復(fù)數(shù)的分類求參數(shù)的方法及注意事項
(1)利用復(fù)數(shù)的分類求參數(shù)時，首先應(yīng)將復(fù)數(shù)化為z＝a＋bi(a，b∈R)的形式，若不是這種形式，應(yīng)先化為這種形式，得到實部與虛部，再求解；
(2)要注意確定使實部、虛部的式子有意義的條件，再結(jié)合實部與虛部的取值求解；
(3)要特別注意復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)為純虛數(shù)的充要條件是a＝0且b≠0．
eq \([跟進訓(xùn)練])
2．已知m∈R，復(fù)數(shù)z＝lg m＋(m2－1)i，當(dāng)m為何值時，
(1)z為實數(shù)；(2)z為虛數(shù)；(3)z為純虛數(shù)．
[解] (1)當(dāng)z為實數(shù)時，m需滿足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－1＝0，,m＞0，))解得m＝1．
(2)當(dāng)z為虛數(shù)時，m需滿足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－1≠0，,m＞0，))解得m＞0，且m≠1．
(3)當(dāng)z為純虛數(shù)時，m需滿足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg m＝0，,m2－1≠0，))無解，即不存在m使z為純虛數(shù)．
類型3 復(fù)數(shù)相等的充要條件
【例3】 (1)若復(fù)數(shù)z＝(m＋1)＋(m2－9)i2能否推出3＋i>2＋i？兩個實數(shù)能比較大小，那么兩個復(fù)數(shù)能比較大小嗎？
[提示] 由3>2不能推出3＋i>2＋i，當(dāng)兩個復(fù)數(shù)都是實數(shù)時，可以比較大小，當(dāng)兩個復(fù)數(shù)不全是實數(shù)時，不能比較大?。?br>2．若復(fù)數(shù)z＝a＋bi>0，則實數(shù)a，b滿足什么條件？
[提示] 若復(fù)數(shù)z＝a＋bi>0，則實數(shù)a，b滿足a>0，且b＝0．
(1)－3 [∵z