6.4　平面向量的應(yīng)用 6.4.1　平面幾何中的向量方法 6.4.2　向量在物理中的應(yīng)用舉例 物理中的共點力平衡，用兩個力F1和F2拉的效果和用一個力F拉的效果是一樣的． 　 問題：(1)F能不能稱為F1和F2的合力呢？ (2)它們之間有什么關(guān)系？ 知識點1　平面幾何中的向量方法 1．向量在平面幾何中常見的應(yīng)用 (1)證明線段平行或點共線問題，以及相似問題，常用向量共線定理：a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0(b≠0)． (2)證明線段垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形，判斷兩直線(或線段)是否垂直等，常用向量垂直的條件：a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0． (3)求夾角問題，利用夾角公式： cos〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))． (4)求線段的長度或說明線段相等，可以用向量的模： |a|＝eq \r(a2)＝eq \r(x2＋y2)或|AB|＝|Aeq \o(B,\s\up7(→))|＝eq \r(?x1－x2?2＋?y1－y2?2)． 2．向量法解決平面幾何問題的“三步曲” 1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”) (1)若eq \o(AB,\s\up7(→))∥eq \o(CD,\s\up7(→))，則直線AB與直線CD平行． (　　) (2)若△ABC是直角三角形，則必有eq \o(CA,\s\up7(→))·eq \o(CB,\s\up7(→))＝0． (　　) (3)△ABC中，若eq \o(AB,\s\up7(→))·eq \o(BC,\s\up7(→))＋eq \o(AB,\s\up7(→))2＝0，則△ABC為等邊三角形． (　　) (4)|eq \o(AB,\s\up7(→))|＝eq \r(,?xB－xA?2＋?yB－yA?2)． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知平面內(nèi)四邊形ABCD和點O，若eq \o(OA,\s\up7(→))＝a，eq \o(OB,\s\up7(→))＝b，eq \o(OC,\s\up7(→))＝c，eq \o(OD,\s\up7(→))＝d，且a＋c＝b＋d，則四邊形ABCD為(　　) A．菱形　　　　　　 B．梯形 C．矩形 D．平行四邊形 D　[由條件知eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \o(OC,\s\up7(→))＝eq \o(OB,\s\up7(→))＋eq \o(OD,\s\up7(→))，則eq \o(OA,\s\up7(→))－eq \o(OB,\s\up7(→))＝eq \o(OD,\s\up7(→))－eq \o(OC,\s\up7(→))，即eq \o(BA,\s\up7(→))＝eq \o(CD,\s\up7(→))，∴四邊形ABCD為平行四邊形．] 3．已知在△ABC中，eq \o(AB,\s\up7(→))＝a，eq \o(AC,\s\up7(→))＝b，且a·b＜0，則△ABC的形狀為(　　) A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．不能確定 A　[由條件知∠BAC為鈍角，所以△ABC為鈍角三角形．] 知識點2　向量在物理中的應(yīng)用 1．力學(xué)問題的向量處理方法 向量是既有大小又有方向的量，它們可以有共同的作用點，也可以沒有共同的作用點，但力卻是既有大小，又有方向且作用于同一作用點的量．用向量知識解決力的問題，往往是把向量平移到同一作用點上． 2．速度、位移問題的向量處理方法 速度、加速度與位移的合成和分解，實質(zhì)就是向量的加減法運算，而運動的疊加也用到向量的合成． 3．向量與功、動量 物理上力做功的實質(zhì)是力在物體前進方向上的分力與物體位移的乘積，它的實質(zhì)是向量的數(shù)量積． (1)力的做功涉及兩個向量及這兩個向量的夾角，即W＝|F||s|·cos〈F，s〉．功是一個實數(shù)，它可正，可負(fù)，也可為零． (2)動量涉及物體的質(zhì)量m，物體運動的速度v，因此動量的計算是向量的數(shù)乘運算． 4．如果一架飛機先向東飛行200 km，再向南飛行300 km，設(shè)飛機飛行的路程為s km，位移為|a| km，則(　　) A．s＞|a| B．s＜|a| C．s＝|a| D．s與|a|不能比較大小 A　[路程是數(shù)量，位移是向量，從而s＝500，由位移的合成易得|a|＜500，故s＞|a|．] 5．某物體做斜拋運動，初速度|v0|＝10 m/s，與水平方向成60°角，不計空氣阻力，則該物體在水平方向上的速度是________m/s． 5　[設(shè)該物體在豎直方向上的速度為v1，水平方向上的速度為v2，如圖所示，|v2|＝|v0|cos 60°＝10×eq \f(1,2)＝5(m/s)．] 類型1　向量在平面幾何中的應(yīng)用 【例1】　(1)如圖，已知AD，BE，CF是△ABC的三條高，且交于點O，DG⊥BE于G，DH⊥CF于H．求證：HG∥EF． (2)如圖所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，求證：AF⊥DE． 1．用向量法如何證明平面幾何中AB⊥CD? [提示]　法一：①選擇一組向量作基底；②用基底表示eq \o(AB,\s\up7(→))和eq \o(CD,\s\up7(→))；③證明eq \o(AB,\s\up7(→))·eq \o(CD,\s\up7(→))的值為0；④給出幾何結(jié)論AB⊥CD． 法二：先求eq \o(AB,\s\up7(→))，eq \o(CD,\s\up7(→))的坐標(biāo)，eq \o(AB,\s\up7(→))＝(x1，y1)，eq \o(CD,\s\up7(→))＝(x2，y2)，再計算eq \o(AB,\s\up7(→))·eq \o(CD,\s\up7(→))的值為0，從而得到幾何結(jié)論AB⊥CD． 2．用向量法如何證明平面幾何中AB∥CD? [提示]　法一：①選擇一組向量作基底；②用基底表示eq \o(AB,\s\up7(→))和eq \o(CD,\s\up7(→))；③尋找實數(shù)λ，使eq \o(AB,\s\up7(→))＝λeq \o(CD,\s\up7(→))，即eq \o(AB,\s\up7(→))∥eq \o(CD,\s\up7(→))；④給出幾何結(jié)論AB∥CD． 法二：先求eq \o(AB,\s\up7(→))，eq \o(CD,\s\up7(→))的坐標(biāo)，eq \o(AB,\s\up7(→))＝(x1，y1)，eq \o(CD,\s\up7(→))＝(x2，y2)．利用向量共線的坐標(biāo)關(guān)系x1y2－x2y1＝0得到eq \o(AB,\s\up7(→))∥eq \o(CD,\s\up7(→))，再給出幾何結(jié)論AB∥CD． 以上兩種方法，都是建立在A，B，C，D中任意三點都不共線的基礎(chǔ)上，才有eq \o(AB,\s\up7(→))∥eq \o(CD,\s\up7(→))得到AB∥CD． [證明]　(1)∵eq \o(DG,\s\up7(→))⊥Beq \o(E,\s\up7(→))，eq \o(AE,\s\up7(→))⊥eq \o(BE,\s\up7(→))，∴eq \o(CD,\s\up7(→))∥eq \o(AC,\s\up7(→))． 設(shè)eq \o(OA,\s\up7(→))＝λeq \o(OD,\s\up7(→)) (λ≠0)，則eq \o(AE,\s\up7(→))＝λeq \o(DG,\s\up7(→))．同理eq \o(AF,\s\up7(→))＝λeq \o(DH,\s\up7(→))． 于是eq \o(FE,\s\up7(→))＝eq \o(AE,\s\up7(→))－eq \o(AF,\s\up7(→))＝λ(eq \o(DG,\s\up7(→))－eq \o(DH,\s\up7(→)))＝λeq \o(HG,\s\up7(→))， ∴eq \o(HG,\s\up7(→))∥eq \o(FE,\s\up7(→))，即HG∥EF． (2)法一：設(shè)eq \o(AD,\s\up7(→))＝a，eq \o(AB,\s\up7(→))＝b，則|a|＝|b|，a·b＝0， 又eq \o(DE,\s\up7(→))＝eq \o(DA,\s\up7(→))＋eq \o(AE,\s\up7(→))＝－a＋eq \f(b,2)，eq \o(AF,\s\up7(→))＝eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(BF,\s\up7(→))＝b＋eq \f(a,2)， 所以eq \o(AF,\s\up7(→))·eq \o(DE,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(a,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(b,2)))＝－eq \f(1,2)a2－eq \f(3,4)a·b＋eq \f(b2,2)＝－eq \f(1,2)|a|2＋eq \f(1,2)|b|2＝0． 故eq \o(AF,\s\up7(→))⊥eq \o(DE,\s\up7(→))，即AF⊥DE． 法二：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為2，則A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(xiàn)(2,1)，eq \o(AF,\s\up7(→))＝(2,1)，eq \o(DE,\s\up7(→))＝(1，－2)． 因為eq \o(AF,\s\up7(→))·eq \o(DE,\s\up7(→))＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以eq \o(AF,\s\up7(→))⊥eq \o(DE,\s\up7(→))，即AF⊥DE． 用向量法解決平面幾何問題的兩種方法 (1)幾何法：選取適當(dāng)?shù)幕?基底中的向量盡量已知?；驃A角)，將題中涉及的向量用基底表示，利用向量的運算法則、運算律或性質(zhì)計算． (2)坐標(biāo)法：建立平面直角坐標(biāo)系，實現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，將幾何問題中的長度、垂直、平行等問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算． eq \o([跟進訓(xùn)練]) 1．已知非零向量eq \o(AB,\s\up7(→))與eq \o(AC,\s\up7(→))滿足eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up7(→)),|\o(AB,\s\up7(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up7(→)),|\o(AC,\s\up7(→))|)))·eq \o(BC,\s\up7(→))＝0且eq \f(\o(AB,\s\up7(→)),|\o(AB,\s\up7(→))|)·eq \f(\o(CA,\s\up7(→)),|\o(AC,\s\up7(→))|)＝eq \f(1,2)，則△ABC的形狀是(　　) A．三邊均不相等的三角形　　 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形 C　[由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up7(→)),|\o(AB,\s\up7(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up7(→)),|\o(AC,\s\up7(→))|)))·eq \o(BC,\s\up7(→))＝0，得∠A的平分線垂直于BC，所以AB＝AC，設(shè)eq \o(AB,\s\up7(→))，eq \o(CA,\s\up7(→))的夾角為θ， 而eq \f(\o(AB,\s\up7(→)),|\o(AB,\s\up7(→))|)·eq \f(\o(CA,\s\up7(→)),|\o(AC,\s\up7(→))|)＝cos θ＝eq \f(1,2)， 又θ∈[0，π]，所以θ＝eq \f(π,3)，∠BAC＝π－eq \f(π,3)＝eq \f(2,3)π，故△ABC為等腰三角形．] 類型2　向量在解析幾何中的應(yīng)用 【例2】　已知點A(1,0)，直線l：y＝2x－6，點R是直線l上的一點，若eq \o(RA,\s\up7(→))＝2eq \o(AP,\s\up7(→))，求點P的軌跡方程． [解]　設(shè)P(x，y)，R(x0，y0)， 則eq \o(RA,\s\up7(→))＝(1,0)－(x0，y0)＝(1－x0，－y0)， eq \o(AP,\s\up7(→))＝(x，y)－(1,0)＝(x－1，y)． 由eq \o(RA,\s\up7(→))＝2eq \o(AP,\s\up7(→))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－x0＝2?x－1?，,－y0＝2y.)) 又∵點R在直線l：y＝2x－6上，∴y0＝2x0－6， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－x0＝2x－2，　　　?、?6－2x0＝2y，　　　　?、?) 由①得x0＝3－2x，代入②得6－2(3－2x)＝2y，整理得y＝2x，即為點P的軌跡方程． 用向量方法解決解析幾何問題的步驟 一是把解析幾何問題中的相關(guān)量用向量表示； 二是轉(zhuǎn)化為向量模型，通過向量運算解決問題； 三是將結(jié)果還原為解析幾何問題． eq \o([跟進訓(xùn)練]) 2．已知△ABC的三個頂點A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，點D，E，F(xiàn)分別為邊BC，CA，AB的中點． (1)求直線DE的方程； (2)求AB邊上的高線CH所在直線的方程． [解]　(1)設(shè)M(x，y)是直線DE上任意一點， 則eq \o(DM,\s\up7(→))∥eq \o(DE,\s\up7(→))， 因為點D，E分別為邊BC，CA的中點， 所以點D，E的坐標(biāo)分別為D(－1,1)，E(－3，－1)， eq \o(DM,\s\up7(→))＝(x＋1，y－1)，eq \o(DE,\s\up7(→))＝(－2，－2)， 所以(－2)(x＋1)－(－2)(y－1)＝0， 即x－y＋2＝0為直線DE的方程． (2)設(shè)點N(x，y)是CH所在直線上任意一點，則eq \o(CN,\s\up7(→))⊥eq \o(AB,\s\up7(→))，所以eq \o(CN,\s\up7(→))·eq \o(AB,\s\up7(→))＝0， 又eq \o(CN,\s\up7(→))＝(x＋6，y－2)，eq \o(AB,\s\up7(→))＝(4,4)， 所以4(x＋6)＋4(y－2)＝0， 即x＋y＋4＝0為所求直線CH的方程． 類型3　平面向量在物理中的應(yīng)用 【例3】　(對接教材P40例3)(1)一物體在力F1＝(3，－4)，F(xiàn)2＝(2，－5)，F(xiàn)3＝(3,1)的共同作用下從點A(1,1)移動到點B(0,5)．在這個過程中三個力的合力所做的功等于________． (2)設(shè)作用于同一點的三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3處于平衡狀態(tài)，若|F1|＝1，|F2|＝2，且F1與F2的夾角為eq \f(2,3)π，如圖所示． ①求F3的大??； ②求F2與F3的夾角． (1)－40　[因為F1＝(3，－4)，F(xiàn)2＝(2，－5)，F(xiàn)3＝(3,1)，所以合力F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8)，eq \o(AB,\s\up7(→))＝(－1,4)， 則F·eq \o(AB,\s\up7(→))＝－1×8－8×4＝－40， 即三個力的合力所做的功為－40．] (2)[解]　①由題意|F3|＝|F1＋F2|， 因為|F1|＝1，|F2|＝2，且F1與F2的夾角為eq \f(2,3)π，所以|F3|＝|F1＋F2|＝eq \r(1＋4＋2×1×2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝eq \r(3)． ②設(shè)F2與F3的夾角為θ， 因為F3＝－(F1＋F2)， 所以F3·F2＝－F1·F2－F2·F2， 所以eq \r(3)×2×cos θ＝－1×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))－4， 所以cos θ＝－eq \f(\r(3),2)， 所以θ＝eq \f(5,6)π． 向量在物理中的應(yīng)用 (1)求力向量、速度向量常用的方法：一般是向量幾何化，借助于向量求和的平行四邊形法則求解． (2)用向量方法解決物理問題的步驟： ①把物理問題中的相關(guān)量用向量表示； ②轉(zhuǎn)化為向量問題的模型，通過向量運算使問題解決； ③結(jié)果還原為物理問題． eq \o([跟進訓(xùn)練]) 3．一條寬為eq \r(,3)km的河，水流速度為2 km/h，在河兩岸有兩個碼頭A，B，已知AB＝eq \r(,3)km，船在水中最大航速為4 km/h；問怎樣安排航行速度，可使該船從A碼頭最快到達彼岸B碼頭？用時多少？ [解]　如圖所示，設(shè)eq \o(AC,\s\up7(→))為水流速度，eq \o(AD,\s\up7(→))為航行速度，以AC和AD為鄰邊作?ACED， 當(dāng)AE與AB重合時能最快到達彼岸．根據(jù)題意知AC⊥AE， 在Rt△ADE和?ACED中， |eq \o(DE,\s\up7(→))|＝|eq \o(AC,\s\up7(→))|＝2，|eq \o(AD,\s\up7(→))|＝4，∠AED＝90°， ∴|eq \o(AE,\s\up7(→))|＝eq \r(,\o(|\o(AD,\s\up7(→))|2－|\o(DE,\s\up7(→))|2))＝2eq \r(,3)， eq \r(,3)÷2eq \r(,3)＝0.5(h)，sin ∠EAD＝eq \f(1,2)， ∴∠EAD＝30°． ∴船實際航行速度大小為4 km/h，與水流成120°角時能最快到達B碼頭，用時0.5小時． 1．過點M(2,3)，且垂直于向量u＝(2,1)的直線方程為(　　) A．2x＋y－7＝0　　　　　 B．2x＋y＋7＝0 C．x－2y＋4＝0 D．x－2y－4＝0 A　[設(shè)P(x，y)是所求直線上任一點，則eq \o(MP,\s\up7(→))⊥u．又eq \o(MP,\s\up7(→))＝(x－2，y－3)，所以2(x－2)＋(y－3)＝0，即2x＋y－7＝0．] 2．已知作用在點A的三個力f1＝(3,4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3,1)，且A(1,1)，則合力f＝f1＋f2＋f3的終點坐標(biāo)為(　　) A．(9,1)　 　B．(1,9)　 　C．(9,0)　 　D．(0,9) A　[f＝f1＋f2＋f3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)， 設(shè)終點為B(x，y)，則(x－1，y－1)＝(8,0)， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－1＝8，,y－1＝0，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝9，,y＝1，))所以終點坐標(biāo)為(9,1)．] 3．長江某地南北兩岸平行，一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸．假設(shè)游船在靜水中的航行速度v1的大小為|v1|＝10 km/h，水流的速度v2的大小為|v2|＝4 km/h．設(shè)v1和v2的夾角為θ(0°＜θ＜180°)，北岸的點A′在A的正北方向，則游船正好到達A′處時，cos θ＝(　　) A．eq \f(\r(21),5) B．－eq \f(\r(21),5) C．eq \f(2,5) D．－eq \f(2,5) D　[該船的實際速度為v，v1與南岸上游的夾角為α，如圖所示．要使得游船正好到達A′處，則|v1|cos α＝|v2|，即cos α＝eq \f(|v2|,|v1|)＝eq \f(2,5)，又θ＝π－α，所以cos θ＝cos(π－α)＝－cos α＝－eq \f(2,5)，故選D．] 4．在△ABC中，AB＝3，AC邊上的中線BD＝eq \r(5)，eq \o(AC,\s\up7(→))·eq \o(AB,\s\up7(→))＝5，則AC的長為________． 2　[因為eq \o(BD,\s\up7(→))＝eq \o(AD,\s\up7(→))－eq \o(AB,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \o(AC,\s\up7(→))－eq \o(AB,\s\up7(→))， 所以eq \o(BD2,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AC,\s\up7(→))－\o(AB,\s\up7(→))))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4)eq \o(AC,\s\up7(→))2－eq \o(AC,\s\up7(→))·eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(AB,\s\up7(→))2，即eq \f(1,4)eq \o(AC,\s\up7(→))2＝1，所以|eq \o(AC,\s\up7(→))|＝2，即AC＝2．] 5．用兩條成120°角的等長繩子懸掛一個燈具，已知燈具重量為10 N，則每根繩子的拉力大小為________N． 10　[如圖，由題意，得∠AOC＝∠COB＝60°，|eq \o(OC,\s\up7(→))|＝10， 則|eq \o(OA,\s\up7(→))|＝|eq \o(OB,\s\up7(→))|＝10，即每根繩子的拉力大小為10 N．] 回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題： (1)用向量解決平面幾何問題的步驟是什么？ (2)如何用向量解決物理中的力學(xué)、速度、位移、功等問題？ 學(xué) 習(xí) 任 務(wù)核 心 素 養(yǎng)1．掌握用向量方法解決簡單的幾何問題、力學(xué)問題等一些實際問題．(重點) 2．體會向量是處理幾何問題、物理問題的重要工具．(重點) 3．培養(yǎng)運用向量知識解決實際問題和物理問題的能力．(難點)1．通過用向量方法解決幾何問題的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)運算和直觀想象的核心素養(yǎng)． 2．通過用向量方法解決物理問題的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．

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