9.2.4 總體離散程度的估計(jì)
1.利用頻率分布直方圖估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的方法.平均數(shù)的求法:每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和.中位數(shù)的求法:根據(jù)中位數(shù)左邊和右邊矩形面積和均為0.5,列式求解.眾數(shù)的求法:最高矩形所在區(qū)間的中點(diǎn).2.平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)在數(shù)據(jù)分析中有什么作用?平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)提供了數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的信息.
1.總體離散程度的初步判斷問(wèn)題1 有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測(cè)試中各射靶10次,每次命中的環(huán)數(shù)如下:甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7如果你是教練,你如何對(duì)兩位運(yùn)動(dòng)員的射擊情況作出評(píng)價(jià)?如果這是一次選拔性考核,你應(yīng)當(dāng)如何作出選擇?
兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是7.
根據(jù)以上問(wèn)題情境中的數(shù)據(jù)作出下圖,觀察圖形你能發(fā)現(xiàn)哪位運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)更穩(wěn)定嗎?
由上圖可以發(fā)現(xiàn):甲的成績(jī)比較分散,乙的成績(jī)相對(duì)集中.即甲的成績(jī)波動(dòng)幅度比較大,而乙的成績(jī)比較穩(wěn)定.可見(jiàn),他們的射擊成績(jī)是存在差異的.
問(wèn)題2 問(wèn)題1中,甲、乙的射擊成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)相同,但二人的射擊成績(jī)穩(wěn)定性存在差異.那么,如何度量這種差異呢?可以利用極差進(jìn)行度量.根據(jù)上述數(shù)據(jù)計(jì)算得:甲命中環(huán)數(shù)的極差= 10-4=6,乙命中環(huán)數(shù)的極差=9-5=4,極差在一定程度上刻畫(huà)了數(shù)據(jù)的離散程度.由極差發(fā)現(xiàn)甲的成績(jī)波動(dòng)范圍比乙的大.
由于極差只使用了數(shù)據(jù)中最大、最小兩個(gè)值的信息,故所含的信息量很少.也就是說(shuō),極差度量出的差異誤差較大.
你能想出其他刻畫(huà)數(shù)據(jù)離散程度的辦法嗎?如果射擊的成績(jī)很穩(wěn)定,那么大多數(shù)的射擊成績(jī)離平均成績(jī)不會(huì)太遠(yuǎn);相反,如果射擊的成績(jī)波動(dòng)幅度很大,那么大多數(shù)的射擊成績(jī)離平均成績(jī)會(huì)比較遠(yuǎn).因此,可以通過(guò)這兩組射擊成績(jī)與它們的平均成績(jī)的“平均距離”來(lái)度量成績(jī)的波動(dòng)幅度.
為什么用“平均距離”刻畫(huà)離散程度?用“總距離”行嗎?例如,從一個(gè)總體中抽取兩組樣本,但兩組的樣本量不同,一個(gè)為100,另一個(gè)為1 000,如果用“總距離”,兩者之間會(huì)相差很大,但“平均距離”相差不大,所以我們用“平均距離”來(lái)刻畫(huà)離散程度.
問(wèn)題4 方差和標(biāo)準(zhǔn)差各指什么?
問(wèn)題5 標(biāo)準(zhǔn)差的范圍是什么?標(biāo)準(zhǔn)差為0的一組數(shù)據(jù)有什么特點(diǎn)?
當(dāng)需要比較兩組數(shù)據(jù)離散程度大小的時(shí)候,如果兩組數(shù)據(jù)的測(cè)量尺度相差太大,或者數(shù)據(jù)量綱不同,直接使用標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)進(jìn)行比較是不合適的.此時(shí)應(yīng)當(dāng)消除測(cè)量尺度和量綱的影響,而變異系數(shù)可以做到這一點(diǎn),它是原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差與原始數(shù)據(jù)平均數(shù)的比.變異系數(shù)沒(méi)有量綱,這樣就可以進(jìn)行客觀比較了.
問(wèn)題6 標(biāo)準(zhǔn)差和方差是怎樣刻畫(huà)數(shù)據(jù)的離散程度的?標(biāo)準(zhǔn)差和方差刻畫(huà)了數(shù)據(jù)的離散程度或波動(dòng)幅度.標(biāo)準(zhǔn)差(或方差) 越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大,越不穩(wěn)定;標(biāo)準(zhǔn)差(或方差) 越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小,越穩(wěn)定.顯然,在刻畫(huà)數(shù)據(jù)的分散程度上,方差和標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的.但在實(shí)際問(wèn)題中,一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.在實(shí)際問(wèn)題中,總體平均數(shù)和總體標(biāo)準(zhǔn)差都是未知的,就像用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)一樣,通常也用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差.在隨機(jī)抽樣中,樣本標(biāo)準(zhǔn)差依賴(lài)于樣本的選取,具有隨機(jī)性.
對(duì)于問(wèn)題1,可以根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)判斷兩名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)的離散程度,計(jì)算可得s甲=2,s乙≈1.095.由s甲>s乙可知,甲的成績(jī)離散程度大,乙的成績(jī)離散程度小.由此可以估計(jì),乙比甲的射擊成績(jī)穩(wěn)定.如果要從這兩名選手中選擇一名參加比賽,要看一下他們的平均成績(jī)?cè)谒袇①愡x手中的位置.如果兩人都排在前面,就選成績(jī)穩(wěn)定的乙選手,否則可以選甲.
3.求由樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣獲取的數(shù)據(jù)的方差

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9.2 用樣本估計(jì)總體

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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