初中數(shù)學(xué)蘇科版八年級(jí)上冊(cè)第一章 全等三角形1.3 探索三角形全等的條件公開課ppt課件

這是一份初中數(shù)學(xué)蘇科版八年級(jí)上冊(cè)第一章 全等三角形1.3 探索三角形全等的條件公開課ppt課件，共60頁(yè)。PPT課件主要包含了3練習(xí)，數(shù)學(xué)活動(dòng)等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1 . 3探索三角形全等的條件
1、 什么叫全等三角形？2、 全等三角形有什么性質(zhì)？
對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.
能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫 全等三角形.
我們知道，如果兩個(gè)三角形全等，那么它們的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等，反過來，當(dāng)兩個(gè)三角形具備多少對(duì)邊或角分別相等的條件時(shí)這兩個(gè)三角形就全等呢?
第1課時(shí) 利用兩邊夾角判定三角形全等
1.當(dāng)兩個(gè)三角形的1對(duì)邊或角相等時(shí)，它們?nèi)葐?2.當(dāng)兩個(gè)三角形的2對(duì)邊或角分別相等時(shí)，它們?nèi)葐?
當(dāng)兩個(gè)三角形的1對(duì)邊或角相等時(shí)，它們不一定全等.
當(dāng)兩個(gè)三角形的2對(duì)邊或角分別相等時(shí)，它們不一定全等.
3. 當(dāng)兩個(gè)三角形的3對(duì)邊或角分別相等時(shí)，它們?nèi)葐?
當(dāng)兩個(gè)三角形的 3 對(duì)邊分別相等時(shí)，它們一定全等； 當(dāng)兩個(gè)三角形的3 對(duì)角分別相等時(shí)，它們不一定全等.
1. 如圖，每人用一張長(zhǎng)方形紙剪一個(gè)直角三角形，怎樣剪才能使剪下的所有直角三角形都能夠重合?
剪下的所有直角三角形的兩條直角邊分別相等或斜邊和一條直角邊分別相等，則它們都能夠重合。
2. 在圖中，△ABC與△DEF、△MNP 能完全重合嗎?
△ABC與△DEF 不能完全重合，△ABC 與△MNP 能完全重合.
按下列作法，用直尺和圓規(guī)作△ABC，使 ∠A＝∠a，AB ＝a，AC＝b.
你作的三角形與其他同學(xué)作的三角形能完全重合嗎?
實(shí)踐告訴我們判定兩個(gè)三角形全等的一個(gè)基本事實(shí)：
兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”).
如圖，在△ABC和△A′B′C′中，
相等的元素：兩邊及其夾角.2. 書寫順序：邊→角→邊.3. 兩邊和其中一邊的對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形不 一定全等.
例1 已知：如圖，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC. 求證：△ABC≌△ADC.
其中一個(gè)三角形沿AC所在直線翻折后，能與另一個(gè)三角形重合.
已知：如圖，C 是AB 的中點(diǎn)，AD＝CE， 且AD∥CE. 求證：△ACD ≌△CBE.
解題秘方：先根據(jù)條件找出兩個(gè)三角形中的兩條邊及 其夾角對(duì)應(yīng)相等，再根據(jù)“SAS”判定兩 個(gè)三角形全等.
常見的隱含等角的情況： ① 公共角相等； ②對(duì)頂角相等； ③ 等角加(或減)等角，其和(或差)仍相等； ④同角或等角的余( 或補(bǔ)) 角相等； ⑤ 由角平分線的定義得出角相等； ⑥由垂直的定義得出角相等； ⑦ 由平行線得到同位角或內(nèi)錯(cuò)角相等.
1. 找出圖中的全等三角形，并說明理由：
解：①與④全等，③與⑤全等理由如下根據(jù)判定三角形全等的基本事實(shí)“SAS”判定它們?nèi)?
2. 已知：如圖，AB＝AC，點(diǎn) D、E分別在AB、AC 上， 且 AD＝AE. 求證：△ABE≌△ACD.
圖形的運(yùn)動(dòng)與“SAS”
本節(jié)中，我們知道了判定兩個(gè)三角形全等的一個(gè)基本事實(shí)——兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等(SAS). 其實(shí)，我們可以用圖形運(yùn)動(dòng)的方法來確認(rèn)它的正確性.
如圖(1)，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠B＝∠B′，BC＝B′C′.
把△ABC疊合到△A′B′C′上，使 BC與B′C′重合，∠B、∠B′落在 BC的同一側(cè).
因?yàn)?∠B＝∠B，所以BA 落在射線B′A′上。又因?yàn)?BA＝B′A′，所以點(diǎn)A 與點(diǎn)A′重合.根據(jù)“兩點(diǎn)確定一條直線”，可以知道AC與A′C′重合。于是△ABC與△A′B′C′ 重合(如圖(2))，即 △ABC≌△A′B′C′. 試仿照上面的方法，證實(shí)本節(jié)例 1中的結(jié)論.
例2 已知：如圖1－8，AB、CD 相交于點(diǎn)E，且E是AB、 CD 的中點(diǎn). 求證：△AEC≌△BED.
證明：∵E是AB、CD的中點(diǎn)(已知)， ∴ AE＝BE，CE＝DE (線段中點(diǎn)的定義).
其中一個(gè)三角形繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°后，能與另一個(gè)三角形重合.
你能證明圖中AC∥DB 嗎?
能. 證明如下：∵△AEC≌△BED(已證)，∴∠A＝∠B(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)，∴AC∥DB (內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行)(注：證明△AEC≌△BED 的過程同例 2)
例3 已知：如圖，點(diǎn)E、F在CD上，且CE＝DF，AE＝BF， AE∥BF. 求證：△AEC ≌△BFD.
證明：∵AE // BF (已知)， ∴∠AEC＝∠BFD (兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等).
能否改變圖1-9中△AEC的位置得到圖1-8？
根據(jù) 例3 中的已知條件，你還能證得其他新的結(jié)論嗎?
根據(jù)例3中的已知條件，還能證得結(jié)論： ①∠A＝∠B；②∠C＝∠D； ③ CF＝DE； ④AC＝BD；⑤AC∥BD等.
如證明 AC∥BD 過程如下：∵△AEC≌△BFD (已證)，∴ ∠C＝∠D (全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).∴AC∥BD (內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)(注：證明△AEC≌△BFD 的過程同例 3)
填空 (第 1、2 題)：1. 已知：如圖，C是AB 的中點(diǎn)，AE＝BD，∠A＝∠B. 求證：∠E＝∠D. 證明：∵C是AB 的中點(diǎn)(已知)， ∴_______＝_______ ( )
全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等
2. 已知：如圖，點(diǎn)D在AE上，BD＝CD，∠BDE＝∠CDE. 求證：AB＝AC. 證明：∵∠BDE ＋∠________＝ 180°. ∠CDE＋∠_________＝ 180° (平角的定義)， ∠BDE＝∠CDE(已知)， ∴∠______＝∠_______( ).
全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等
3. 已知：如圖，AB // CD，AB＝CD. 求證：AD // BC.
∴△ABD ≌ △CDB(SAS)，∴∠ADB＝∠CBD (全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).∴ AD∥BC (內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行).
利用兩邊夾角判定三角形全等
(1) 本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些主要內(nèi)容？(2) 我們是怎么探究出“SAS”判定方法的？用“SAS” 判定三角形全等應(yīng)注意什么問題？(3) 到現(xiàn)在為止，你學(xué)到了幾種證明兩個(gè)三角形全等的 方法？
第2課時(shí) 利用兩角一邊判定三角形全等
1. 用紙板擋住了兩個(gè)三角形的一部分，你能畫出這兩個(gè)三角形嗎?如果能，你畫的三角形與其他同學(xué)畫的三角形能完全重合嗎?
第一個(gè)不能，因?yàn)榈谝粋€(gè)圖中的三角形只確定了一個(gè)角，其他邊與角大小不確定； 第二個(gè)能，因?yàn)榈诙€(gè)三角形確定了兩角及其夾邊的大小，所以這個(gè)三角形的形狀與大小就確定了，即只需往下延長(zhǎng)左右兩邊的線段就得到第三個(gè)頂點(diǎn). 畫的二角形能完全重合.
2. 在圖1－10 中，△ABC與△PQR、△DEF 能完全重合嗎?
△ABC與△PQR不能完全重合，△ABC與△DEF 能完全重合.
按下列作法，用直尺和圓規(guī)作△ABC，使 AB＝a，∠A＝ ∠α，∠B＝∠β.
你作的三角形與其他同學(xué)作的三角形能完全重合嗎?
實(shí)踐告訴我們判定兩個(gè)三角形全等的又一個(gè)基本事實(shí)：
兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等 (可以簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”).
例4 已知：如圖1－11，在△ABC中，D是BC 的中點(diǎn)，點(diǎn) EF分別在AB、AC上，且 DE∥AC，DF∥AB. 求證：BE＝DF，DE＝CF.
分析：要證 BE＝DF，DE ＝CF，只要證△EBD≌△FDC.由于在△EBD和△FDC中，已知 BD＝DC，所以只要證∠B＝∠FDC，∠EDB＝∠C.
證明：∵DE//AC，DF// AB(已知)， ∴∠EDB＝∠C，∠B＝∠FDC (兩直線平行，同位角相等). ∵D 是 BC 的中點(diǎn)(已知)， ∴BD＝DC(線段中點(diǎn)的定義). 在△EBD 和△FDC 中，
已知：如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求證：AD＝AE.
分析：證明△ACD≌△ABE中，就可以得出 AD＝AE.
1. 找出圖中的全等三角形，并說明理由.
2. 已知：如圖，AB、CD相交于點(diǎn) O，O是AB的中點(diǎn)， AC//BD. 求證：O是CD的中點(diǎn).
證明：∵O是AB的中點(diǎn)(已知)， ∴OA＝OB(線段中點(diǎn)的定義). ∵AC∥BD (已知)， ∴∠A＝∠B (兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等).
如圖1－12，在△ABC 和△MNP 中，∠A＝∠M，∠B ＝∠N，BC＝NP. △ABC與△MNP 全等嗎?為什么?
由三角形內(nèi)角和定理可知∠C＝∠P.
根據(jù)“ASA”可以證明△ABC ≌△MNP.
由此可以得到基本事實(shí) (ASA) 的推論：
兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”).
例5 已知：如圖1－13，△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′分別是△ABC 和△A′B′C′的高. 求證：AD＝A′D′.
分析：要證 AD＝A′D′，只要證 △ABD⊥△A′B′D′. 由于在△ABD和△A′B′D′中，∠ADB －∠A′D′B′＝90°，所以只要證 AB＝A′B′，∠B＝∠B′.
證明：∵△ABC≌△A′B′C′(已知)， ∴ AB＝A′B′，∠B＝∠B′ (全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、 對(duì)應(yīng)角相等). ∵ AD、A′D′分別是△ABC和 △A′B′C′的高(已知)， ∴ ∠ADB＝∠A′D′B′＝90°.
在△ABD 和△A′B′D′中， ∠B＝∠B′(已證)， ∠ADB ＝ ∠A′D′B′(已證)， AB＝A′B′(已證)，∴△ABD ≌ △A′B′D′(AAS).∴AD＝AD (全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等).
如圖，AD是△ABC的中線，過C，B分別作AD及AD的延長(zhǎng)線的垂線CF，BE. 求證：BE＝CF.
導(dǎo)引：要證明BE＝CF，可根據(jù)中線及垂線的定義和對(duì)頂角的性質(zhì)來證明△BDE和△CDF全等．
證明：∵AD是△ABC的中線， ∴BD＝CD. ∵CF⊥AD，BE⊥AE， ∴∠CFD＝∠BED＝90°. 在△BDE和△CDF中，
在圖1－13中，如果 AD、A′D′分別是△ABC和△A′B′C′的角平分線(或中線)，那么AD與A′D′相等嗎?試證明你的結(jié)論.
1. 已知： 如圖，∠A＝∠D，∠ACB＝∠DBC. 求證：AB＝DC.
2. 已知：如圖，CB⊥AD，AE⊥DC，垂足分別為 B、E， AE、BC 相交于點(diǎn)F，且AB＝BC. 求證：△ABF≌△CBD.
證明：∵CB⊥AD，AE⊥DC(已知)， ∴∠ABF＝∠CBD ＝∠AED＝90° (垂直的定義).
1. 如圖1－14，∠A＝∠B，∠1＝∠2，EA＝EB. 你能證 明 AC＝BD 嗎?
2. 如圖1－15，點(diǎn)C、F在AD上，且AF＝DC，∠B＝∠E， ∠A＝∠D. 你能證明AB＝DE 嗎?
例6 已知：如圖1－16，點(diǎn)A、B、C、D 在一條直線上，EA ∥FB，EC∥FD，EA＝FB. 求證：AB＝CD.
分析：要證 AB＝CD，只要證 AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝BD，所以只要證 △EAC≌△FBD.
∴△EAC≌△FBD(AAS).∴ AC＝BD (全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)， 即 AB＋BC ＝CD＋BC.∴ AB＝CD (等式的性質(zhì)).
上面的推理過程可以用符號(hào)“=>”簡(jiǎn)明地表述如下：
1. 已知：如圖，AB＝AC，點(diǎn) D、E分別在AB、AC 上， ∠1 ＝∠2 . 求證：DB＝EC.
2. 已知： 如圖，∠ABC ＝∠DCB，∠1＝∠2. 求證：AB＝DC.
(1) 本節(jié)課學(xué)習(xí)了幾種判斷兩個(gè)三角形全等的方法？ 分別是什么？它們之間有什么共同點(diǎn)和區(qū)別？(2) 本節(jié)課學(xué)習(xí)的兩種方法能否用“兩角一邊相等， 則三角形全等” 來代替？
第3課時(shí) 利用三邊判定三角形全等
按下列作法，用直尺和圓規(guī)作△ABC，使 AB＝c，AC＝b，BC＝a.
實(shí)踐告訴我們判定兩個(gè)三角形全等的第三個(gè)基本事實(shí)：
三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”).
生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，如果一個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)度確定，那么這個(gè)三角形的形狀和大小就完全確定.
如圖1－17，用 3 根木條釘成的三角形框架，它的形狀和大小唯一確定. 這個(gè)事實(shí)也說明了“三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等”.
三角形的這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.
三角形的穩(wěn)定性在生活和生產(chǎn)中有著廣泛的應(yīng)用.
四邊形是否具有穩(wěn)定性?
用4根木條釘成的四邊形框架的形狀是可以改變的.
四邊形不具有穩(wěn)定性，也就是說，當(dāng)一個(gè)四邊形四邊的長(zhǎng)度確定時(shí)，這個(gè)四邊形的形狀、大小不唯一確定.
例7 已知：如圖1－18，在△ABC 中，AB＝AC. 求證：∠B＝∠C.
分析：要∠B＝∠C，只要設(shè)法使∠B、∠C分別在兩個(gè)三角形中，然后證明這兩個(gè)三角形全等.
還有不同的方法證明∠B＝∠C 嗎?
有. 證明：如圖，作∠A的平分線AE交BC于點(diǎn)E，則∠BAE＝∠CAE.
已知：如圖， 點(diǎn)F，點(diǎn)C 在AD上，AF＝CD，AB＝DE， BC＝EF．求證：AB∥DE．
證明：∵ AF＝CD(已知)，∴ AF＋FC＝CD＋FC(等式的性質(zhì))， 即AC＝DF．
1. 三對(duì)內(nèi)角分別相等的兩個(gè)三角形全等嗎?
解：三對(duì)內(nèi)角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等，因?yàn)樗鼈兊倪呴L(zhǎng)不一定對(duì)應(yīng)相等，則可能無法完全重合.
2. 已知：如圖，AB＝DC，AD＝BC. 求證：AB∥DC，AD∥BC.
證明：如圖，連接 BD.
∴△ABD ≌ △CDB(SSS).∴∠1＝∠2，∠4＝∠3 (全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).∴AB∥DC，AD∥BC (內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行).
3. 如圖，△DEF 的3個(gè)頂點(diǎn)分別在小正方形的頂點(diǎn) (格點(diǎn))上這樣的三角形叫做格點(diǎn)三角形。請(qǐng)?jiān)趫D中再畫1 個(gè)格點(diǎn)三角形ABC，使△ABC≌△DEF. 這樣的格點(diǎn)三角形你能畫幾個(gè)?
解：畫△ABC 如圖所示，這樣的格點(diǎn)三角形能畫三個(gè).
利用三邊判定三角形全等
三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(邊邊邊或SSS)；證明全等三角形書寫格式： ①準(zhǔn)備條件； ②三角形全等書寫的三步驟.3、證明是由題設(shè)(已知)出發(fā)，經(jīng)過一步步的推理， 最后推出結(jié)論正確的過程.
第4課時(shí) 利用斜邊和直角邊判定直角三角形全等
工人師傅常常利用角尺平分一個(gè)角， 如圖 1－19，在∠AOB 的兩邊OA、OB上分別任取 OC＝OD，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點(diǎn) C、D重合，這時(shí)過角尺頂點(diǎn)M的射線OM 就是∠AOB 的平分線，請(qǐng)你說明這樣畫角平分線的道理.
由OC＝OD， MC＝MD，OM＝OM，可知△OCM≌△ODM，于是∠COM＝∠DOM，即OM平分∠AOB.
從木工師傅的畫法中，你能找到用直尺和圓規(guī)作角平分線的方法嗎?
按下列作法，用直尺和圓規(guī)作∠AOB 的平分線
如圖1－20，PC＝PD，QC＝QD，PQ、CD 相交于點(diǎn) E. (1) 根據(jù)以上條件，你能發(fā)現(xiàn)哪些結(jié)論?
(1) △PCQ≌△PDQ(SSS)， △PCE≌△PDE(SAS)， △CQE≌△DQE (SAS)， ∠PEC＝ ∠PED＝90°， ∠PCD＝∠PDC， PQ平分∠CPD 等.
(2) 你能證明 PQ⊥CD 嗎?由此，你能找到用直尺和圓規(guī)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線的方法嗎?
按下列作法，用直尺和圓規(guī)經(jīng)過直線 AB 外一點(diǎn) P 作 AB 的垂線.
如果點(diǎn) P在直線AB 上，如何用直尺和圓規(guī)經(jīng)過點(diǎn) P作AB 的垂線?
作法： (1)以點(diǎn) P 為圓心,適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑作弧，使它與AB 交于點(diǎn)C，D.
1. (1)用直尺和圓規(guī)把圖①中的∠MON 四等分；
解：作法：如圖所示， ①作∠MON 的平分線OA. ②作∠MOA 的平分線OB. ③作∠NOA 的平分線OC.則 OA，OB，OC 四等分∠MON.
(2) 用直尺和圓規(guī)在圖②中過點(diǎn) B作 BC 的垂線，并指出所作圖中∠ABC的余角.
① 如圖所示，反向延長(zhǎng)射線 BC，以點(diǎn) B 為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧交直線 BC 于點(diǎn) D，E.
2. 用直尺和圓規(guī)作一個(gè)直角三角形，使它的兩條直角邊分別等于 a、b.
解：作法：如圖所示， (1) 作線段 AB＝b. (2) 延長(zhǎng)線段 BA，過點(diǎn)A作AD⊥AB. (3) 在射線AD上截取AC＝a，連接 BC. Rt△ABC 即為所求作的三角形.
兩個(gè)直角三角形，有一對(duì)內(nèi)角(直角)相等，判定兩個(gè)直角三角形全等，還需要幾個(gè)條件?可以是哪些條件?
直角三角形是特殊的三角形，可以用符號(hào)“Rt△”表示. 判定兩個(gè)直角三角形全等，有沒有特殊的方法?
這兩個(gè)直角三角形全等嗎?
按下列作法，用直尺和圓規(guī)作 Rt△ABC，使 ∠C＝90°，CB＝a，AB＝c.
你作的直角三角形與其他同學(xué)作的直角三角形能完全重合嗎?
如圖，在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′，怎樣證明 △ABC≌△A′B′C′?
把兩個(gè)直角三角形拼在一起 像本節(jié)例7那樣，可以證得 ∠B＝∠B′.
在△ABC和△A′B′C′中，由∠B＝∠B′，∠ACB＝∠A′C′B′，AB＝A′B′，可以證明△ABC≌△A′B′C′ (AAS).
于是，我們得到如下定理：
斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等(可以簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”).
如圖，在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中， AB＝A′B′， BC＝B′C′， ∴ Rt△ABC ≌ Rt△A′B′C′(HL).
例8 已知：如圖1－22，AD、BC 相交于點(diǎn)O，AD＝BC. ∠C＝∠D ＝ 90°. 求證：AO＝BO，CO＝DO.
分析：要證 AO＝BO、CO＝DO，只要證△AOC≌△BOD. 由于∠C＝∠D＝90°，∠AOC＝∠BOD，于是只要證 AC＝BD，所以就要證 △ABC ≌△BAD.
已知：如圖，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分別是點(diǎn)C、D，AD＝BC，CE⊥ AB，DF⊥ AB，垂足分別是點(diǎn)E、F. 求證：CE＝DF.
1. 如圖，方格紙中有點(diǎn) A、B、C、D、E、F，以其中的3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，畫出所有的直角三角形，并找出其中全等的直角三角形.
解：畫直角三角形如圖所示，全等的直角三角形有：△ABC≌△BDE≌△BFE≌△BFC≌△CEB≌△CEF；△ABF≌△DBF；△DCF≌△AEF.
2. 如圖，AC⊥CB，AD⊥DB，要證明△ABC≌△ABD，還需要什么條件?
解：∠CAB＝∠DAB 或∠ABC＝∠ABD 或 BC＝BD或AC＝AD. (答案不唯一)
3. 已知：如圖，AD＝BC，CA⊥AB，AC⊥CD. 求證：AD∥BC.
證明：∵CA⊥AB，AC⊥CD (已知)， ∴∠BAC＝∠DCA ＝ 90° (垂直的定義).
利用斜邊和直角邊判定直角三角形全等
判定直角三角形全等的“四種思路”：(1) 若已知條件中有一組直角邊和一組斜邊分別相等， 用“HL”判定．(2) 若有一組銳角和斜邊分別相等，用“AAS”判定．
(3) 若有一組銳角和一組直角邊分別相等， ①直角邊是銳角的對(duì)邊，用“AAS”判定； ②直角邊是銳角的鄰邊，用“ASA”判定．(4) 若有兩組直角邊分別相等，用“SAS”判定．
1. 指出圖中的全等三角形，并說明理由.
解：①與⑥，△MPN≌△KGH (SAS) ； ②與⑤，△YXZ≌△DEF (SAS)； ③與④，△ABC≌△SRT (SAS).
2. 已知：如圖，AC＝BD，∠1＝∠2. 求證：△ADB≌△BCA.
3. 如圖，工人師傅常用“卡鉗”這種工具測(cè)定工件內(nèi)槽的寬.卡鉗由兩根鋼條AA′、BB′組成，O為AA′、BB′的中點(diǎn)，只要量出A′B′的長(zhǎng)度，就可以知道工件內(nèi)槽 AB的長(zhǎng)度，你能說明這樣測(cè)量的理由嗎?
根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)變相等得到 AB＝A′B′.
4. 已知：如圖，B、D分別是AC、AE的中點(diǎn)，且AB＝AD. 求證：△ADC≌△ABE.
證明：∵B是AC的中點(diǎn)，D是AE的中點(diǎn)，∴AB＝BC，AD＝DE.∵AB＝AD，AB＝BC，AD＝DE， ∴AC＝AE.
在△ADC和△ABE中.∵ AB＝AD， ∠CAD＝∠EAB， AC＝AE，∴△ADC≌△ABE.
5. 已知：如圖，C是AE 的中點(diǎn)，AB // CD，且AB＝CD. 求證：BC // DE.
證明： ∵C是AE的中點(diǎn)， ∴AC＝CE， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠DCE，
6. 如圖，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，BE、CD相交于點(diǎn)F. (1) 如果AB＝AC，∠B＝∠C，試找出一對(duì)全等三角形，并證明；
理由如下：在△BEA和△CDA中， ∵AB＝AC，∠B＝∠C，∠A＝∠A， ∴△BEA≌△CDA (ASA)
(2) 如果 BD＝CE，∠B＝∠C，試找出一對(duì)全等三角形， 并證明.
理由如下： 在△BDF和△CEF中， ∵BD＝CE，∠B＝∠C， ∠BFD＝∠CFE， ∴ △BDF≌△CEF (AAS).
7. 如圖，要測(cè)量河兩岸相對(duì)的A、B兩點(diǎn)之間的距離，可以在與 AB垂直的河岸BF上取C、D兩點(diǎn)，且使 BC＝DC. 從點(diǎn)D出發(fā)沿與河岸BF 垂直的方向移動(dòng)到點(diǎn)E，使點(diǎn) A、C、E在一條直線上.測(cè)量 DE 的長(zhǎng)就能知道A、B 兩點(diǎn)之間的距離.為什么?
8. 已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD、CE是高. 求證：BD＝CE.
證明： ∵AB＝AC ∴∠ABC ＝∠ACB ∵BD、CE是高， ∴∠BDC ＝∠BEC ＝90°
9. 已知：如圖，在四邊形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O， AB＝DC，∠1＝∠2. 求證：AC＝DB.
10. 已知：如圖，ED⊥AB，F(xiàn)C⊥AB，垂足分別為D、C， AE // BF， 且AE＝BF. 求：AC＝BD.
11. 如圖，在四邊形 ABCD 中，AC、BD 相交于點(diǎn) O，AB//DC，AD//BC.請(qǐng)?jiān)趫D中找出全等三角形，并證明.
圖中共有4對(duì)全等三角形，它們分別是△AOB≌△COD，△BOC≌△DOA，△ABC≌△CDA，△ABD≌△CDB.
理由如下：∵AB//DC，AD∥BC.∴AB＝DC，AD＝BC.∵AB//DC，∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO.∵∠BAO＝∠DCO，AB＝DC，∠ABO＝∠CDO∴△AOB≌△COD (ASA)
∵ AD∥BC ，∴ ∠OBC＝∠ODA， ∠OAD＝∠OCB.∵ ∠OBC＝∠ODA， AD＝BC， ∠OAD＝∠OCB， ∴△BOC ＝ △DOA (ASA)
∵ ∠ABO＝∠CDO，∠OBC＝∠ODA， AD＝BC. ∴ △ABD ≌ △CDB(AAS) ∵ ∠BAO＝∠DCO， ∠OAD＝∠OCB， AB＝DC ∴△AABC ＝ △CDA (ASA)
12. 如圖，點(diǎn) C、D 在 BE 上，BC＝ED，∠1＝∠2，∠3＝∠4. 圖中有哪些全等三角形? 請(qǐng)分別加以證明.
解：∵∠3＝∠4， ∠3＝∠1＋∠B， ∠4＝∠2＋∠E. ∴ ∠B＝∠E.
∵ BC＝ED∴ △ABC≌△AED∴ AC＝AD，AB＝AE.∵ BC＋CD＝ED＋CD∴ BD＝EC∴ △ABD≌△AEC.
13.已知：如圖，點(diǎn)A、B、C、D在一條直線上，AC＝DB， AE＝DF， BE＝CF. 求證：AE//DF，BE//CF.
證明： ∵ AC＝DB， ∴ AB＋BC＝DC＋CB，即AB＝DC. 在△AEB和△DFC中， ∴AB＝DC，AE＝DF，BE＝CF，
14. 已知：如圖，AD、BF相交于點(diǎn) O，AB＝DF. 點(diǎn)E、 C在BF上，且 BE＝FC，AC＝DE. 求證：AO＝DO，BO＝FO.
證明： ∵BE＝FC ∴ BE＋CE＝FC＋CE， 即BC＝EF。
15. 如圖，已知△ABC，用直尺和圓規(guī)作 △ABC 的角平分線 CD、高AE.
如圖，CD即為要作的角平分線，AE即為要作高線.
16. 如圖，已知△ABC. (1) 用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖 ： 作△ABC的角平分線AD； 作∠CBE＝∠ADC，BE交 CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E； 作AF⊥BE，垂足為 F.
(2) 圖中EF、BF相等嗎?證明你的結(jié)論.
理由：∵ ∠ADC＝∠CBE.∴AD//EB∵ ∠ABE＝∠BAD， ∠E＝ ∠CAD∵AD平分∠BAC.
∴∠BAD＝∠CAD∴∠ABE＝∠E∴AB＝AE∴△ABE是等腰三角形∵AF⊥BE，∴AF是底邊的中線，∴EF＝BF
17. 用三角尺可以按下面的方法畫∠AOB 的平分線：在 OA、OB上分別取點(diǎn)E、F，使OE＝OF；再分別過點(diǎn)E、 F畫OA、OB 的垂線，這兩條垂線相交于點(diǎn) C； 畫射線 OC(如圖). 試說明射線OC平分∠AOB 的道理.
18. 已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是高， DE⊥ AB，DF⊥AC，垂足分別為 E、F. 求證：DE＝DF.
本章中，我們學(xué)習(xí)了判定兩個(gè)三角形全等的 3 個(gè)基本事實(shí)(SAS、ASA、SSS)、1 個(gè)推論(AAS)，以及直角三角形全等的判定定理(HL). 這5種判定方法中，兩個(gè)三角形都具備 3 對(duì)元素(邊或角)分別相等的條件.
問題1 在兩個(gè)三角形中，如果有 3 對(duì)元素分別相等，那么它們是否全等?
為了探究這個(gè)問題，我們不妨先把兩個(gè)三角形中有3對(duì)元素分別相等的可能情況分類，然后分別研究.
兩個(gè)三角形有3 對(duì)元素分別相等
三角分別相等；一邊和兩角分別相等；兩邊和一角分別相等；三邊分別相等.
根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，“三角分別相等”實(shí)質(zhì)上是“兩角分別相等”，不能由此條件判定兩個(gè)三角形全等. 三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等. 一邊和兩角分別相等的兩個(gè)三角形是否一定全等呢?
如圖1－23，在△ABC的邊 BC 上截取BC′＝AC，過點(diǎn)C′畫CA 的亞行線交 AB 于點(diǎn)A′.在△A′BC′和△ABC中，∠B＝∠B，∠BA′C′＝∠A，BC′＝AC，顯然這兩個(gè)三角形不全等。 對(duì)此，你能否做出合理的解釋?
現(xiàn)在，請(qǐng)你探究：兩邊和一角分別相等的兩個(gè)三角形是否一定全等. 問題 2 在兩個(gè)三角形中，如果有 4 對(duì)(或5 對(duì))元素分別相等，那么這兩個(gè)三角形一定全等嗎?