人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊1.4 空間向量的應(yīng)用完美版教學(xué)ppt課件

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人教A版數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊
1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系（2）
1.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象)2.能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平面垂直關(guān)系的判定定理.(邏輯推理)3.能用向量方法證明空間中直線、平面的垂直關(guān)系.(邏輯推理)
類似空間中直線、平面平行的向量表示，在直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系中，直線的方向向量、平面的法向量之間有什么關(guān)系？
空間中直線、平面垂直的向量表示
1.判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.(1)若兩條直線的方向向量的數(shù)量積為0,則這兩條直線一定垂直相交.(　　)(2)若一直線與平面垂直,則該直線的方向向量與平面內(nèi)的所有直線的方向向量的數(shù)量積為0.(　　)(3)兩個(gè)平面垂直,則其中一平面內(nèi)的直線的方向向量與另一平面內(nèi)的直線的方向向量垂直.(　　)
(4)若兩平面α,β的法向量分別為u1=(1,0,1),u2=(0,2,0),則平面α,β互相垂直.(　　)
答案: (1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2.設(shè)平面α的法向量為(1,2,-2),平面β的法向量(-2,-4,k),若α⊥β,則k=(　　)　A.2 B.-5 C.4 D.-2
答案:B　
解析:因?yàn)棣痢挺?所以-2-8-2k=0,解得k=-5.
例1如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是矩形,PA=AB=1,點(diǎn)F是PB的中點(diǎn),點(diǎn)E在邊BC上移動.求證:無論點(diǎn)E在邊BC上的何處,都有PE⊥AF.
思路分析只需證明直線PE與AF的方向向量互相垂直即可.
證明:(方法1)以A為原點(diǎn),以AD,AB,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AD=a,則A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,1,0),C(a,1,0),
延伸探究本例條件不變,求證:AF⊥BC.
利用向量方法證明線線垂直的方法(1)坐標(biāo)法:建立空間直角坐標(biāo)系,寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),求出兩直線方向向量的坐標(biāo),然后通過數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則證明數(shù)量積等于0,從而證明兩條直線的方向向量互相垂直;(2)基向量法:利用空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及其運(yùn)算律,結(jié)合圖形,將兩直線所在的向量用基向量表示,然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律證明兩直線所在的向量的數(shù)量積等于0,從而證明兩條直線的方向向量互相垂直.
跟蹤訓(xùn)練1在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為AC的中點(diǎn).求證:(1)BD1⊥AC;(2)BD1⊥EB1.
證明:以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長為1,則
例2在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分別為棱AB,BC,B1B的中點(diǎn).求證:D1M⊥平面EFB1.
利用空間向量證明線面垂直的方法(1)基向量法:選取基向量,用基向量表示直線所在的向量,在平面內(nèi)找出兩個(gè)不共線的向量,也用基向量表示,然后根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算律分別證明直線所在向量與兩個(gè)不共線向量的數(shù)量積均為零,從而證得結(jié)論.(2)坐標(biāo)法:建立空間直角坐標(biāo)系,求出直線方向向量的坐標(biāo)以及平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量的坐標(biāo),然后根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則證明直線的方向向量與兩個(gè)不共線向量的數(shù)量積均為零,從而證得結(jié)論.(3)法向量法:建立空間直角坐標(biāo)系,求出直線方向向量的坐標(biāo)以及平面法向量的坐標(biāo),然后說明直線方向向量與平面法向量共線,從而證得結(jié)論.
跟蹤訓(xùn)練2 如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=4, ,CD=2,PA⊥平面ABCD,PA=4. 求證:BD⊥平面PAC.
證明:因?yàn)锳P⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則B(4,0,0),P(0,0,4),
例3如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn),證明:平面AEC1⊥平面AA1C1C.
思路分析要證明兩個(gè)平面垂直,由兩個(gè)平面垂直的條件,可證明這兩個(gè)平面的法向量垂直,轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)平面的法向量n1,n2,證明n1·n2=0.
解:由題意得AB,BC,B1B兩兩垂直.以點(diǎn)B為原點(diǎn),BA,BC,BB1所在直線分別為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則A(2,0,0),A1(2,0,1),
1.利用空間向量證明面面垂直通常有兩個(gè)途徑:一是利用兩個(gè)平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直;二是直接求解兩個(gè)平面的法向量,由兩個(gè)法向量垂直,得面面垂直.2.向量法證明面面垂直的優(yōu)越性主要體現(xiàn)在不必考慮圖形的位置關(guān)系,恰當(dāng)建系或用基向量表示后,只需經(jīng)過向量運(yùn)算就可得到要證明的結(jié)果,思路方法“公式化”,降低了思維難度.
利用空間向量證明面面垂直的方法
跟蹤訓(xùn)練3 如圖,在五面體ABCDEF中,FA⊥平面ABCD,AD∥BC∥FE,AB⊥AD,M為EC的中點(diǎn),AF=AB=BC=FE= . 求證:平面AMD⊥平面CDE.
分析:因?yàn)镕A⊥平面ABCD,所以可以以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.
金題典例 如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中點(diǎn),E是B1C的中點(diǎn).
解:(1)以B為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.∵AC=2a,∠ABC=90°,
(2)存在.理由如下:假設(shè)存在點(diǎn)F,使CF⊥平面B1DF.
應(yīng)用空間向量解答探索性(存在性)問題立體幾何中的存在探究題,解決思路一般有兩個(gè):(1)根據(jù)題目的已知條件進(jìn)行綜合分析和觀察猜想,找出點(diǎn)或線的位置,并用向量表示出來,然后再加以證明,得出結(jié)論;(2)假設(shè)所求的點(diǎn)或參數(shù)存在,并用相關(guān)參數(shù)表示相關(guān)點(diǎn),根據(jù)線、面滿足的垂直、平行關(guān)系,構(gòu)建方程(組)求解,若能求出參數(shù)的值且符合該限定的范圍,則存在,否則不存在.
1.若直線l的方向向量為a=(1,-2,3),平面α的法向量為n=(-3,6,-9),則(　　)A.l?α B.l∥α C.l⊥α D.l與α相交
答案:C　
解析:∵直線l的方向向量為a=(1,-2,3),平面α的法向量為n=(-3,6,-9),
2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,CD的中點(diǎn),則(　　)A.平面AED∥平面A1FD1B.平面AED⊥平面A1FD1C.平面AED與平面A1FD1相交但不垂直D.以上都不對
答案:B　
解析:以D為原點(diǎn), 分別為x,y,z建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面AED的法向量n1與平面A1FD1的法向量n2.因?yàn)閚1·n2=0,所以n1⊥n2,故平面AED⊥平面A1FD1.
3.若直線l的方向向量是a=(1,0,-2),平面β的法向量是b=(-1,0,2),則直線l與β的位置關(guān)系是　　　　　.?
答案:l⊥β　解析:因?yàn)閍∥b,所以l⊥β.
4.如圖,在四面體ABCD中,AB⊥平面BCD,BC=CD,∠BCD=90°,∠ADB=30°,E,F分別是AC,AD的中點(diǎn),求證:平面BEF⊥平面ABC.
證明:建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,取A(0,0,a),則易得B(0,0,0),
課程結(jié)束
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