人教B版 (2019)1.1.1 空間向量及其運(yùn)算完整版教學(xué)ppt課件

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 人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修一《空間向量及其運(yùn)算》教學(xué)設(shè)計(jì)【教材分析】本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)》第一章《空間向量與立體幾何》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)空間向量及其運(yùn)算.平面向量是重要的數(shù)學(xué)概念，它是鏈接代數(shù)與幾何的橋梁.將平面向量拓展到空間，進(jìn)一步提升了向量的應(yīng)用.本節(jié)是在學(xué)習(xí)了簡(jiǎn)單的立體幾何與平面向量及其運(yùn)算的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，既可以對(duì)向量的知識(shí)進(jìn)一步鞏固和深化，又可以為后面解決立體幾何問(wèn)題打下基礎(chǔ)，所以學(xué)好這節(jié)內(nèi)容是尤為重要的.【學(xué)情分析】學(xué)生已具有對(duì)向量的了解認(rèn)識(shí)以及對(duì)立體圖形、立體幾何的空間想象力，所以接觸空間向量的概念并不困難，主要是理解空間向量，理解其運(yùn)算，需要多加辨析，在概念上理解透徹.【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】教學(xué)目標(biāo)：A.經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平面向空間推廣的過(guò)程，了解空間向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念；B.掌握空間向量的運(yùn)算；加減、數(shù)乘、數(shù)量積；C.能運(yùn)用向量運(yùn)算判斷向量的共線與垂直.核心素養(yǎng)：1.邏輯推理：運(yùn)用向量運(yùn)算判斷共線與垂直；2.直觀想象：向量運(yùn)算的幾何意義；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：向量的加減、數(shù)乘與數(shù)量積運(yùn)算及其運(yùn)算律.【教學(xué)重點(diǎn)】理解空間向量的概念 【教學(xué)難點(diǎn)】掌握空間向量的運(yùn)算及其應(yīng)用【教學(xué)方法】啟發(fā)教學(xué)法，講授法【教學(xué)過(guò)程】情境導(dǎo)入：章前圖展示的是一個(gè)做滑翔運(yùn)動(dòng)員的場(chǎng)景，可以想象在滑翔過(guò)程中，飛行員會(huì)受到來(lái)自不同方向大小各異的力，例如繩索的拉力，風(fēng)力，重力等，顯然這些力不在同一個(gè)平內(nèi)，聯(lián)想用平面向量解決物理問(wèn)題的方法，能否把平面向量推廣到空間向量，從而利用向量研究滑翔運(yùn)動(dòng)員呢，下面我們類(lèi)比平面向量，研究空間向量，先從空間上的概念和表示開(kāi)始.【設(shè)計(jì)意圖】創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)平面向量知識(shí)類(lèi)比學(xué)習(xí)空間向量. 新知探究1  空間向量的概念教師：思考1.　類(lèi)比平面向量的概念，讓學(xué)生給出空間向量的概念.答案：在空間，把具有大小和方向的量叫做空間向量.學(xué)生：填空知識(shí)精講：(1)在空間，把具有_____和_____的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的_____或___.空間向量用有向線段表示，有向線段的_____表示向量的模，a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，則a也可記作，其模記為__________.答案：方向；大小；長(zhǎng)度；模；長(zhǎng)度；|a|或|| (2)幾類(lèi)特殊的空間向量名稱(chēng)定義及表示零向量規(guī)定長(zhǎng)度為0的向量叫_______，記為0單位向量______的向量叫單位向量相反向量與向量a長(zhǎng)度_____而方向_____的向量，稱(chēng)為a的相反向量，記為－a相等向量方向_____且模_____的向量稱(chēng)為相等向量，_____且_____的有向線段表示同一向量或相等向量答案：零向量；模為1；相等；相反；相同；相等；同向；等長(zhǎng)【設(shè)計(jì)意圖】由回顧知識(shí)出發(fā)，提出問(wèn)題，讓學(xué)生感受到平面向量與空間向量的聯(lián)系.即空間向量是平面向量向空間的拓展，處理空間向量問(wèn)題要轉(zhuǎn)化為平面向量解決. 新知探究2  空間向量的加減運(yùn)算及運(yùn)算律教師：思考2.　下面給出了兩個(gè)空間向量a、b，怎樣作出b＋a，b－a？學(xué)生：回答問(wèn)題，思考并嘗試作圖.答案：如圖，空間中的兩個(gè)向量a，b相加時(shí)，我們可以先把向量a，b平移到同一個(gè)平面α內(nèi)，以任意點(diǎn)O為起點(diǎn)作＝a，＝b，則＝＋＝a＋b，＝－＝b－a.知識(shí)精講： (1)類(lèi)似于平面向量，可以定義空間向量的加法和減法運(yùn)算.＝＋＝a＋b;＝－＝a－b;＝＋＝＋＝a＋b(2)空間向量加法交換律 a＋b＝b＋a空間向量加法結(jié)合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生鞏固空間向量加減法及其運(yùn)算律的同時(shí)讓學(xué)生感受空間向量和立體圖形間的聯(lián)系，體現(xiàn)空間向平面的轉(zhuǎn)化思想. 新知探究3  空間向量的數(shù)乘運(yùn)算教師：思考3.　實(shí)數(shù)λ和空間向量a的乘積λa的意義是什么？向量的數(shù)乘運(yùn)算滿(mǎn)足哪些運(yùn)算律？答案：λ＞0時(shí)，λa和a方向相同；λ＜0時(shí)，λa和a方向相反；λa的長(zhǎng)度是a長(zhǎng)度的|λ|倍.空間向量的數(shù)乘運(yùn)算滿(mǎn)足分配律及結(jié)合律：①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb；②結(jié)合律：λ(μa)＝(λμ)a. 學(xué)生：填空知識(shí)精講：(1)實(shí)數(shù)與向量的積與平面向量一樣，實(shí)數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個(gè)向量，稱(chēng)為向量的數(shù)乘運(yùn)算，記作λa，其長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：①|λa|＝____.②當(dāng)λ>0時(shí)，λa與向量a方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與向量a方向        ；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0.(2)空間向量數(shù)乘運(yùn)算滿(mǎn)足以下運(yùn)算律①λ(μa)＝______；     ②λ(a＋b)＝________；   ③(λ1＋λ2)a＝_________(拓展).答案：相反；|λ||a|；(λμ)a；λa＋λb；λ1a＋λ2a 新知探究4  共線向量與共面向量教師：思考4.　回顧平面向量中關(guān)于向量共線知識(shí)，給出空間中共線向量的定義.答案：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量.學(xué)生：填空知識(shí)精講：共線向量定義表示空間向量的有向線段所在的直線的位置關(guān)系：互相___________充要條件對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，存在唯一實(shí)數(shù)λ，使_______________點(diǎn)P在直線l上的充要條件存在實(shí)數(shù)t滿(mǎn)足等式____________在直線l上取向量＝a，則＝＋t____答案：平行或重合；a＝λb；方向向量；＝＋ta；通過(guò)共線向量的定義繼續(xù)深入引出共面向量的定義.共面向量定義平行于同一個(gè)平面的向量三個(gè)向量共面的充要條件向量p與不共線向量a，b共面的充要條件是存在______的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)使__________點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使＝___________對(duì)空間任一點(diǎn)O，有＝＋__________答案：唯一；p＝xa＋yb；x＋y；x＋y 課堂練習(xí)：1.如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量.(1)′－； (2)＋＋′.解：（1）－＝－＝＋＝.（2）＋＋＝(＋)＋＝＋＝.向量、如圖所示. 典例精析：例1.已知平行四邊形ABCD從平面AC外一點(diǎn)O引向量．＝k，＝k，＝k，＝k．求證：四點(diǎn)E，F，G，H共面【分析】（1）可畫(huà)出圖形，根據(jù)便可得到，從而得出EF∥AB，同理HG∥DC，且有EF＝HG，這便可判斷四邊形EFGH為平行四邊形，從而得出四點(diǎn)E，F，G，H共面；解：（1）證明：如圖，∵；∴；EF∥AB，且EF＝|k|AB；同理HG∥DC，且HG＝|k|DC，AB＝DC；∴EF∥HG，且EF＝HG；∴四邊形EFGH為平行四邊形；∴四點(diǎn)E，F，G，H共面； 新知探究5  空間向量數(shù)量積的概念教師：思考5. 如圖所示，在空間四邊形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，類(lèi)比平面向量有關(guān)運(yùn)算，如何求向量與的數(shù)量積？并總結(jié)求兩個(gè)向量數(shù)量積的方法.解：∵＝－，∴·＝·－·＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16.歸納總結(jié)：求兩個(gè)向量的數(shù)量積需先確定這兩個(gè)向量的模和夾角，當(dāng)夾角和長(zhǎng)度不確定時(shí)，可用已知夾角和長(zhǎng)度的向量來(lái)表示該向量，再代入計(jì)算.知識(shí)精講：(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.(2)數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)乘向量與向量數(shù)量積的結(jié)合律(λa)·b＝______交換律a·b＝_____分配律a·(b＋c)＝_________答案：a·b＋a·c；λ(a·b)；b·a(3)空間向量的夾角①定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作＝a，＝b，則______叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉.②范圍：〈a，b〉∈_______.特別地：當(dāng)〈a，b〉＝___時(shí)，a⊥b.答案：∠AOB；[0，π]；兩個(gè)向量數(shù)量積的性質(zhì)①若a，b是非零向量，則a⊥b?_______②若a與b同向，則a·b＝______；若反向，則a·b＝________.特別地，a·a＝____或|a|＝③若θ為a，b的夾角，則cos θ＝_______④|a·b|≤|a|·|b|答案：；；a·b＝0；|a|·|b|；－|a|·|b|；|a|2典例精析：例2．已知平行六面體ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，（1）求AC′的長(zhǎng)；（如圖所示）（2）求與的夾角的余弦值．【分析】（1）可得＝＝，由數(shù)量積的運(yùn)算可得，開(kāi)方可得；（2）由（1）可知，又可求和，代入夾角公式可得．解：（1）可得＝＝，＝＝+2（）＝42+32+52+2（4×3×0+4×）＝85故AC′的長(zhǎng)等于＝（2）由（1）可知＝，＝故＝（）?（）＝＝＝又＝＝＝＝5故與的夾角的余弦值＝＝例3．已知：m，n是平面α內(nèi)的兩條相交直線，直線l與α的交點(diǎn)為B，且l⊥m，l⊥n．求證：l⊥α學(xué)生：嘗試計(jì)算并回答問(wèn)題.解：設(shè)直線m的方向向量為，直線n的方向向量為，直線l的方向向量為，∵m，n是平面α內(nèi)的兩條相交直線∴與是平面α內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，設(shè)平面α內(nèi)的任一向量為，由平面向量基本定理，存在唯一實(shí)數(shù)λ，μ，使＝λ+μ又∵l⊥m，l⊥n，∴＝0，＝0∴?＝＝λ+μ＝0∴∴直線l垂直于平面α內(nèi)的任意直線，由線面垂直的定義得：l⊥α 達(dá)標(biāo)檢測(cè)：1.下列命題中，假命題是(　　)A.同平面向量一樣，任意兩個(gè)空間向量都不能比較大小B.兩個(gè)相等的向量，若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同C.只有零向量的模等于0D.共線的單位向量都相等答案：D解析　容易判斷D是假命題，共線的單位向量是相等向量或相反向量.2.在下列命題中：①若a、b共線，則a、b所在的直線平行；②若a、b所在的直線是異面直線，則a、b一定不共面；③若a、b、c三向量?jī)蓛晒裁?，則a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，則空間任意一個(gè)向量p總可以唯一表示為p＝xa＋yb＋zc.其中正確命題的個(gè)數(shù)為(　　)A.0           B.1           C.2           D.3答案A解析　根據(jù)空間向量的基本概念知四個(gè)命題都不對(duì).3.向量a，b互為相反向量，已知|b|＝3，則下列結(jié)論正確的是(　　)A. a＝b    B. a＋b為實(shí)數(shù)0  C. a與b方向相同             D. |a|＝3答案D解析　向量a，b互為相反向量，則a，b模相等、方向相反.故D正確.4.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，已知下列各式：①(＋)＋1；②(1＋1)＋1；③(＋1)＋B1C1；④(1＋1)＋1.其中運(yùn)算的結(jié)果為1的有___個(gè).答案　4 解析　根據(jù)空間向量的加法運(yùn)算以及正方體的性質(zhì)逐一進(jìn)行判斷：①(＋)＋1＝＋1＝1；②(1＋1)＋1＝1＋1＝1；③(＋1)＋1＝1＋1＝1；④(1＋1)＋1＝1＋1＝1.所以4個(gè)式子的運(yùn)算結(jié)果都是1.5.設(shè)e1，e2是平面內(nèi)不共線的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三點(diǎn)共線，則k＝____.答案－8解析　＝－＝e1－4e2，＝2e1＋ke2，又A、B、D三點(diǎn)共線，由共線向量定理得＝λ，∴＝.∴k＝－8.6.已知a、b是異面直線，且a⊥b，e1、e2分別為取自直線a、b上的單位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，則實(shí)數(shù)k的值為___.答案 6解析　由a⊥b，得a·b＝0，∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，∴2k－12＝0，∴k＝6.7.BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，?ABB1A1、?BB1C1C的對(duì)角線都分別相互垂直且相等，若AB＝a，求異面直線BA1與AC所成的角.解　如圖所示.∵1＝＋1，＝＋，∴1·＝(＋1)·(＋)＝·＋·＋1·＋1·.因?yàn)?/span>AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴·＝0，1·＝0，1·＝0且·＝－a2.∴1·＝－a2. 又1·＝|1|·||cos〈1，〉，又∵〈，〉∈[0，π]，∴〈1，〉＝120°，又∵異面直線所成的角是銳角或直角，∴異面直線BA1與AC成60°角.∴cos〈1，〉＝＝－.【課堂小結(jié)】1．利用向量的線性運(yùn)算和空間向量基本定理表示向量是向量應(yīng)用的基礎(chǔ)．2．利用共線向量定理、共面向量定理可以證明一些平行、共面問(wèn)題；利用數(shù)量積運(yùn)算可以解決一些距離、夾角問(wèn)題．3．利用向量解立體幾何題的一般方法：把線段或角度轉(zhuǎn)化為向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通過(guò)向量的運(yùn)算或證明去解決問(wèn)題．其中合理選取基底是優(yōu)化運(yùn)算的關(guān)鍵．【板書(shū)設(shè)計(jì)】【教學(xué)反思】亮點(diǎn)：教學(xué)中主要突出了幾個(gè)方面：一是創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生求知欲，并以此來(lái)激發(fā)學(xué)生的探究心理.二是運(yùn)用啟發(fā)式教學(xué)方法，就是把教和學(xué)的各種方法綜合起來(lái)統(tǒng)一組織運(yùn)用于教學(xué)過(guò)程，以求獲得最佳效果.并且在整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)盡量做到注意學(xué)生的心理特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，觸發(fā)學(xué)生的思維，使教學(xué)過(guò)程真正成為學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，以思維教學(xué)代替單純的記憶教學(xué).三是注重滲透類(lèi)比法、歸納法等一般的數(shù)學(xué)思想方法.讓學(xué)生在探索學(xué)習(xí)知識(shí)的過(guò)程中，領(lǐng)會(huì)常見(jiàn)數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和創(chuàng)造性素質(zhì).2. 不足：應(yīng)該注意在探究問(wèn)題時(shí)留給學(xué)生充分的時(shí)間，使數(shù)學(xué)教學(xué)成為數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué).從而發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).3. 教學(xué)建議： 課堂上注重時(shí)間分配，根據(jù)重難點(diǎn)詳略得當(dāng)，注意引導(dǎo)學(xué)生自主思考問(wèn)題，理解概念，理解解題思路.