高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)1.4 空間向量的應(yīng)用獲獎(jiǎng)教學(xué)ppt課件

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人教A版數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)
1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系（1）
1.能用向量語(yǔ)言描述直線和平面,理解直線的方向向量與平面的法向量2.能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系.3.能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平面平行關(guān)系的判定定理.4.能用向量方法證明空間中直線、平面的平行關(guān)系.
牌樓與牌坊類似,是中國(guó)傳統(tǒng)建筑之一,最早見(jiàn)于周朝。在園林、寺觀、宮苑、陵墓和街道常有建造.舊時(shí)牌樓主要有木、石、木石、磚木、琉璃幾種,多設(shè)于要道口。牌樓中有一種有柱門(mén)形構(gòu)筑物,一般較高大。如圖,牌樓的柱子與地面是垂直的,如果牌樓上部的下邊線與柱子垂直,我們就能知道下邊線與地面平行。這是為什么呢?
一、空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示1.點(diǎn)的位置向量
①式和②式都稱為空間直線的向量表示式.由此可知,空間任意直線由直線上一點(diǎn)及直線的方向向量唯一確定.
1.下列說(shuō)法中正確的是(　　)A.直線的方向向量是唯一的B.與一個(gè)平面的法向量共線的非零向量都是該平面的法向量C.直線的方向向量有兩個(gè)D.平面的法向量是唯一的
答案:B　
解析:由平面法向量的定義可知,B項(xiàng)正確.
　3.空間平面的向量表示式
4.平面的法向量如圖,直線l⊥α,取直線l的方向向量a,我們稱向量a為平面α的法向量.給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)向量a,那么過(guò)點(diǎn)A,且以向量a為法向量的平面完全確定,可以表示為集合
點(diǎn)睛：空間中,一個(gè)向量成為直線l的方向向量,必須具備以下兩個(gè)條件:①是非零向量;②向量所在的直線與l平行或重合.
2.若直線l過(guò)點(diǎn)A(-1,3,4),B(1,2,1),則直線l的一個(gè)方向向量可以是(　　)
答案:D　
A.(-1,2,-1) B.(1,2,1) C.(1,2,-1) D.(-1,2,1)
答案:A　
令x=-1,則y=2,z=-1. 即平面ABC的一個(gè)法向量為n=(-1,2,-1).
　二、空間中直線、平面平行的向量表示
知識(shí)點(diǎn)睛：1.空間平行關(guān)系的本質(zhì)是線線平行,根據(jù)共線向量定理,只需證明直線的方向向量μ1∥μ2.此外,證明線面平行也可用共面向量定理,即只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量線性表示即可.2.利用直線的方向向量證明直線與直線平行、直線與平面平行時(shí),要注意向量所在的直線與所證直線或平面無(wú)公共點(diǎn),證明平面與平面平行時(shí)也要注意兩平面沒(méi)有公共點(diǎn).
4.若兩條直線的方向向量分別是a=(2,4,-5),b=(-6,x,y),且兩條直線平行,則x=　, y=　.?
答案:-12；15
答案:平行　解析:因?yàn)閡·n=(-1,2,-3)·(4,-1,-2)=0,所以u(píng)⊥n.所以直線與平面平行,即l∥β.
5.若平面β外的一條直線l的方向向量是u=(-1,2,-3),平面β的法向量為n=(4,-1,-2),則l與β的位置關(guān)系是　　　　　.?
例1.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中點(diǎn),求平面EDB的一個(gè)法向量.
思路分析首先建立空間直角坐標(biāo)系,然后利用待定系數(shù)法按照平面法向量的求解步驟進(jìn)行求解.
解:如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.依題意可得D(0,0,0),P(0,0,1),
延伸探究：本例條件不變,能求出平面PAD與平面PCD的一個(gè)法向量嗎?它們的關(guān)系如何?
解:如同例題建系方法,易知平面PAD的一個(gè)法向量為n1=(0,1,0),平面PCD的一個(gè)法向量為n2=(1,0,0),因?yàn)閚1·n2=0,所以n1⊥n2.
利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟(1)設(shè)平面的法向量為n=(x,y,z).(2)找出(求出)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量的坐標(biāo)a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).
(4)解方程組,取其中的一個(gè)解,即得法向量.
1.如圖所示,已知四邊形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD, SA=AB=BC=1, ,試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.(1)求平面ABCD的一個(gè)法向量;(2)求平面SAB的一個(gè)法向量;(3)求平面SCD的一個(gè)法向量.
解:以點(diǎn)A為原點(diǎn),AD、AB、AS所在的直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
例2.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,點(diǎn)P,Q,R,S分別是AA1,D1C1,AB,CC1的中點(diǎn).求證:PQ∥RS.
證明: (方法1)以點(diǎn)D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.
要證明兩直線平行,可先求出兩直線的方向向量,然后證明兩直線的方向向量共線,從而證明兩直線平行.
利用空間向量證明線與線平行的方法
2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)P在線段A1D上,點(diǎn)Q在線段AC上,線段PQ與直線A1D和AC都垂直,求證:PQ∥BD1.
證明:以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,
例3.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是C1C,B1C1的中點(diǎn).求證:MN∥平面A1BD.
(方法3)以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則可求得
利用空間向量證明線面平行的方法(1)利用共面向量法:證明直線的方向向量p與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量a,b是共面向量,即滿足p=xa+yb(x,y∈R),則p,a,b共面,從而可證直線與平面平行.(2)利用共線向量法:證明直線的方向向量p與該平面內(nèi)的某一向量共線,再結(jié)合線面平行的判定定理即可證明線面平行.(3)利用法向量法:求出直線的方向向量與平面的法向量,證明方向向量與法向量垂直,從而證明直線與平面平行.
3.如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直, , AF=1,M是線段EF的中點(diǎn).求證:AM∥平面BDE.
證明:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AC∩BD=N,連接NE,
又因?yàn)镹E?平面BDE,AM?平面BDE,所以AM∥平面BDE.
例4.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為底面ABCD的中心,P是DD1的中點(diǎn),設(shè)Q是CC1上的點(diǎn),問(wèn):當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí),平面D1BQ∥平面PAO?
思路分析建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo),然后可根據(jù)面面平行的判定定理轉(zhuǎn)化為向量共線問(wèn)題或者利用兩個(gè)平面的法向量共線進(jìn)行證明.
解:如圖所示,分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,在CC1上任取一點(diǎn)Q,連接BQ,D1Q.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,
故當(dāng)Q為CC1的中點(diǎn)時(shí),平面D1BQ∥平面PAO.
利用空間向量證明面面平行的方法(1)轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行,然后借助向量共線進(jìn)行證明;(2)通過(guò)證明兩個(gè)平面的法向量平行證明.
4.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分別為棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中點(diǎn).求證:平面AMN∥平面EFBD.
證明:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(2,0,0),B(2,3,0),
金題典例 如圖,在正方體ABCD-A'B'C'D'中,求證:平面AB'D'∥平面BDC'.
解題提示:證明面面平行常用的方法有兩種,一是證明它們的法向量共線;二是轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行即可.
證明:(方法1) 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),B'(1,1,1),D'(0,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0),C'(0,1,1),
令y1=1,則x1=-1,z1=-1,可得平面AB'D'的一個(gè)法向量為n1=(-1,1,-1).設(shè)平面BDC'的法向量為n2=(x2,y2,z2).
令y2=1,則x2=-1,z2=-1,可得平面BDC'的一個(gè)法向量為n2=(-1,1,-1).所以n1=n2,所以n1∥n2, 故平面AB'D'∥平面BDC'.
即AD'∥BC',AB'∥DC',所以AD'∥平面BDC',AB'∥平面BDC'.又AD'∩AB'=A,所以平面AB'D'∥平面BDC'.
所以n1也是平面BDC'的一個(gè)法向量,所以平面AB'D'∥平面BDC'.
點(diǎn)睛：建立空間直角坐標(biāo)系的關(guān)鍵是根據(jù)幾何體的特征,盡可能找到三條兩兩互相垂直且相交于一點(diǎn)的線段,特別是有垂直關(guān)系的一些幾何體,如正方體,長(zhǎng)方體,直棱柱,有一條側(cè)棱垂直于底面的棱錐等,其中長(zhǎng)方體(或正方體)是最簡(jiǎn)單的模型.
1.若不重合的直線l1,l2的方向向量分別為a=(1,2,-2),b=(-3,-6,6),則(　　)A.l1∥l2 B.l1⊥l2C.l1,l2相交但不垂直 D.不能確定
答案:A　
2.已知線段AB的兩端點(diǎn)坐標(biāo)為A(9,-3,4),B(9,2,1),則直線AB(　　)A.與坐標(biāo)平面xOy平行 B.與坐標(biāo)平面yOz平行C.與坐標(biāo)平面xOz平行 D.與坐標(biāo)平面yOz相交
答案:B　
解析:因?yàn)锳(9,-3,4),B(9,2,1),所以 =(0,5,-3),而坐標(biāo)平面yOz的法向量為(1,0,0),顯然(0,5,-3)·(1,0,0)=0,故直線AB與坐標(biāo)平面yOz平行.
3.若平面α∥β,則下面可以是這兩個(gè)平面法向量的是(　　)A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1)B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1)C.n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1)D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2)
答案:D　
解析:因?yàn)槠矫姒痢桅?所以兩個(gè)平面的法向量應(yīng)該平行,只有D項(xiàng)符合.
答案:-8
5.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,E,F分別是BB1,DD1的中點(diǎn),求證:(1)FC1∥平面ADE;(2)平面ADE∥平面B1C1F.
證明:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),
課程結(jié)束
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