軸對稱全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 認(rèn)識軸對稱、軸對稱圖形，理解軸對稱的基本性質(zhì)及它們的簡單應(yīng)用；2. 了解垂直平分線的概念，并掌握其性質(zhì)；3. 了解等腰三角形、等邊三角形的有關(guān)概念，并掌握它們的性質(zhì)以及判定方法.【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點梳理】要點一、軸對稱1.軸對稱圖形和軸對稱　　（1）軸對稱圖形如果一個圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸.軸對稱圖形的性質(zhì)：軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線.（2）軸對稱
　　定義：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸.成軸對稱的兩個圖形的性質(zhì)：①關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形形狀相同，大小相等，是全等形；②如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，則對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線；③兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么它們的交點在對稱軸上.（3）軸對稱圖形與軸對稱的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別: 軸對稱是指兩個圖形的位置關(guān)系，軸對稱圖形是指具有特殊形狀的一個圖形；軸對稱涉及兩個圖形，而軸對稱圖形是對一個圖形來說的.聯(lián)系：如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，那么這兩個圖形關(guān)于這條軸對稱；如果把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形．2.線段的垂直平分線線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.反過來，與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.要點二、作軸對稱圖形 1.作軸對稱圖形（1）幾何圖形都可以看作由點組成，我們只要分別作出這些點關(guān)于對稱軸的對應(yīng)點，再連接這些點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形；（2）對于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要作出圖形中的一些特殊點（如線段端點）的對稱點，連接這些對稱點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形.2.用坐標(biāo)表示軸對稱點（,）關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)為（,－）；點（,）關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)為（－,）；點（,）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)為（－,－）.要點三、等腰三角形 1.等腰三角形　　（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性質(zhì)   　①等腰三角形的兩個底角相等，即“等邊對等角”；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（即“等角對等　 　　邊”）.2.等邊三角形
　　（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.（2）等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個角相等，并且每個角都等于60°.　　（3）等邊三角形的判定： ①三條邊都相等的三角形是等邊三角形； ②三個角都相等的三角形是等邊三角形； ③有一個角為 60°的等腰三角形是等邊三角形.3.直角三角形的性質(zhì)定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.【典型例題】類型一、軸對稱的性質(zhì)與應(yīng)用1、如圖，由四個小正方形組成的田字格中，△ABC的頂點都是小正方形的頂點．在田字格上畫與△ABC成軸對稱的三角形，且頂點都是小正方形的頂點，則這樣的三角形（不包含△ABC本身）共有（　　）A.1個       B.2個        C.3個        D.4個【思路點撥】分別以正方形的對角線和田字格的十字線為對稱軸，來找三角形.【答案】C；【解析】先把田字格圖標(biāo)上字母如圖，確定對稱軸找出符合條件的三角形，再計算個數(shù)．△HEC與△ABC關(guān)于CD對稱；△FDB與△ABC關(guān)于BE對稱；△GED與△ABC關(guān)于HF對稱；關(guān)于AG對稱的是它本身．所以共3個．【總結(jié)升華】本題考查了軸對稱的性質(zhì)；確定對稱軸然后找出成軸對稱的三角形是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，△ABC的內(nèi)部有一點P，且D，E，F(xiàn)是P分別以AB，BC，AC為對稱軸的對稱點．若△ABC的內(nèi)角∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°，則∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝（　  ?。?/span>A.180°      B.270°       C.360°        D.480°【答案】C；解：連接AP，BP，CP，∵D，E，F(xiàn)是P分別以AB，BC，AC為對稱軸的對稱點∴∠ADB＝∠APB，∠BEC＝∠BPC，∠CFA＝∠APC，∴∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝∠APB＋∠BPC＋∠APC＝360°． 2、已知∠MON＝40°，P為∠MON內(nèi)一定點，OM上有一點A，ON上有一點B，當(dāng)△PAB的周長取最小值時，求∠APB的度數(shù).  【思路點撥】求周長最小，利用軸對稱的性質(zhì)，找到P的對稱點來確定A、B的位置，角度的計算，可以通過三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)計算.【答案與解析】解：分別作P關(guān)于OM、ON的對稱點，，連接交OM于A，ON于B.則△PAB為符合條件的三角形.∵∠MON＝40°　 ∴∠＝140°. ∠＝∠PAB,∠＝∠PBA.∴ (∠PAB＋∠PBA)＋∠APB＝140°∴∠PAB＋∠PBA＋2∠APB＝280° ∵∠PAB＝∠＋∠, ∠PBA＝∠＋∠∴∠＋∠＋∠＝180° ∴∠APB＝100°【總結(jié)升華】將實際問題抽象或轉(zhuǎn)化為幾何模型，將周長的三條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段，這樣取得周長的最小值.舉一反三：【變式】（2015?樂陵市模擬）（1）如圖1，直線同側(cè)有兩點A、B，在直線上求一點C，使它到A、B之和最?。ūＡ糇鲌D痕跡不寫作法）（2）知識拓展：如圖2，點P在∠AOB內(nèi)部，試在OA、OB上分別找出兩點E、F，使△PEF周長最短（保留作圖痕跡不寫作法）（3）解決問題：①如圖3，在五邊形ABCDE中，在BC，DE上分別找一點M，N，使得△AMN周長最?。ūＡ糇鲌D痕跡不寫作法）②若∠BAE=125°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，∠AMN+∠ANM的度數(shù)為　   　．【答案】解：（1）作A關(guān)于直線MN的對稱點E，連接BE交直線MN于C，連接AC，BC，則此時C點符合要求．（2）作圖如下：（3）①作圖如下： ②∵∠BAE=125°，∴∠P+∠Q=180°﹣125°=55°，∵∠AMN=∠P+∠PAM=2∠P，∠ANM=∠Q+∠QAN=2∠Q，∴∠AMN+∠ANM=2（∠P+∠Q）=2×55°=110°．3、（2016春?浦東新區(qū)期末）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知在y軸與直線x=3之間有一點M（a，3），如果該點關(guān)于直線x=3的對稱點M的坐標(biāo)為（5，3），那么a的值為（　　）A．4        B．3         C．2       D．1【思路點撥】根據(jù)題意得出對稱點到直線x=3的距離為2，再利用對稱點的性質(zhì)得出答案．【答案】D；【解析】解：∵該點關(guān)于直線x=3的對稱點N的坐標(biāo)為（5，3），∴對稱點到直線x=3的距離為2，∵點M（a，3）到直線x=3的距離為2，∴a=1【總結(jié)升華】此題主要考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，根據(jù)題意得出對稱點到直線x=3的距離是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，若直線經(jīng)過第二、四象限，且平分坐標(biāo)軸的夾角，Rt△AOB與Rt△關(guān)于直線對稱，已知A（1，2），則點的坐標(biāo)為（　?。?/span>A.（－1，2）  B.（1，－2）  C.（－1，－2） D.（－2，－1）【答案】D； 提示：因為Rt△AOB與Rt△關(guān)于直線對稱，所以通過作圖可知，的坐標(biāo)是（－2，－1）．【變式2】如圖，ΔABC中，點A的坐標(biāo)為（0，1），點C的坐標(biāo)為（4，3），點B的坐標(biāo)為（3，1），如果要使ΔABD與ΔABC全等，求點D的坐標(biāo)． 【答案】解：滿足條件的點D的坐標(biāo)有3個（4，－1）；（－1，－1）；（－1，3）.類型二、等腰三角形的綜合應(yīng)用4、如圖①，△ABC中．AB=AC，P為底邊BC上一點，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分別為E、F、H．易證PE+PF=CH．證明過程如下：            如圖①，連接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴=AB?PE，=AC?PF，=AB?CH．又∵，∴AB?PE+AC?PF=AB?CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．（1）如圖②，P為BC延長線上的點時，其它條件不變，PE、PF、CH又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并加以證明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面積為49，點P在直線BC上，且P到直線AC的距離為PF，當(dāng)PF=3時，則AB邊上的高CH=______.點P到AB邊的距離PE=________.【答案】7；4或10；【解析】解：（1）如圖②，PE=PF+CH．證明如下：∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴=AB?PE，=AC?PF，=AB?CH，∵=+，∴AB?PE=AC?PF+AB?CH，又∵AB=AC，∴PE=PF+CH；（2）∵在△ACH中，∠A=30°，∴AC=2CH．∵=AB?CH，AB=AC，∴×2CH?CH=49，∴CH=7．分兩種情況：①P為底邊BC上一點，如圖①．∵PE+PF=CH，∴PE=CH-PF=7-3=4；②P為BC延長線上的點時，如圖②．∵PE=PF+CH，∴PE=3+7=10．故答案為7；4或10．【總結(jié)升華】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與三角形的面積，難度適中，運(yùn)用面積證明可使問題簡便，（2）中分情況討論是解題的關(guān)鍵．5、已知，如圖，∠1＝12°，∠2＝36°，∠3＝48°，∠4＝24°. 求的度數(shù)．【答案與解析】解：將沿AB翻折，得到，連結(jié)CE，則，∴∠1＝∠5＝12°.∴60°∵48°∴．又∵∠2＝36°，72°，∴∴BE＝BC∴為等邊三角形. ∴又垂直平分BC．∴AE平分．∴30°∴∠ADB＝30°【總結(jié)升華】直接求很難，那就想想能不能通過翻折或旋轉(zhuǎn)構(gòu)造一個與全等的三角形，從而使其換個位置，看看會不會容易求．舉一反三：【變式】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D為形內(nèi)一點，且∠DAB＝∠DBA＝10°，求∠ACD的度數(shù).【答案】　　　　　　　　　　　　　　　　　解：作D關(guān)于BC中垂線的對稱點E，連結(jié)AE，EC，DE　　　 　　∴△ABD≌△ACE　　　 　　∴AD＝AE, ∠DAB＝∠EAC＝10°　　　 　　∵∠BAC=80°，∴∠DAE＝60°，△ADE為等邊三角形∴∠AED＝60°　　　 　　∵∠DAB＝∠DBA＝10°　　　 　　∴AD＝BD＝DE＝EC　　　 　　∴∠AEC＝160°，　　　 　　∴∠DEC＝140°　　 　　　∴∠DCE＝20°　　　 　　∴∠ACD＝30°類型三、等邊三角形的綜合應(yīng)用6、（2014秋?辛集市期末）已知，在等邊三角形ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且ED=EC．（1）【特殊情況，探索結(jié)論】如圖1，當(dāng)點E為AB的中點時，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論：AE　   　DB（填“＞”、“＜”或“=”）．（2）【特例啟發(fā)，解答題目】如圖2，當(dāng)點E為AB邊上任意一點時，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論，AE　   　DB（填“＞”、“＜”或“=”）；理由如下，過點E作EF∥BC，交AC于點F．（請你完成以下解答過程）．（3）【拓展結(jié)論，設(shè)計新題】在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在直線CB的延長線上，且ED=EC，若△ABC的邊長為1，AE=2，求CD的長（請你畫出相應(yīng)圖形，并直接寫出結(jié)果）．【思路點撥】（1）由E為等邊三角形AB邊的中點，利用三線合一得到CE垂直于AB，且CE為角平分線，由ED=EC，利用等邊對等角及等腰三角形的性質(zhì)得到一對角相等，利用等角對等邊即可得證；（2）AE=DB，理由如下，過點E作EF∥BC，交AC于點F，由三角形ABC為等邊三角形，得到三角形AEF為等邊三角形，進(jìn)而得到AE=EF=AF，BE=FC，再由ED=EC，以及等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得到三角形BDE與三角形EFC全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到DB=EF，等量代換即可得證；（3）點E在AB延長線上時，如圖所示，同理可得△DBE≌△EFC，由BC+DB求出CD的長即可．【答案與解析】解：（1）當(dāng)E為AB的中點時，AE=DB；（2）AE=DB，理由如下：過點E作EF∥BC，交AC于點F，證明：∵△ABC為等邊三角形，∴△AEF為等邊三角形，∴AE=EF，BE=CF，∵ED=EC，∴∠D=∠ECD，∵∠DEB=60°﹣∠D，∠ECF=60°﹣∠ECD，∴∠DEB=∠ECF，在△DBE和△EFC中，，∴△DBE≌△EFC（SAS），∴DB=EF，則AE=DB；（3）點E在AB延長線上時，如圖所示，同理可得△DBE≌△EFC，∴DB=EF=2，BC=1，則CD=BC+DB=3． 【總結(jié)升華】此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．

相關(guān)試卷

人教版八年級上冊第十三章 軸對稱13.1 軸對稱13.1.1 軸對稱練習(xí)題：

這是一份人教版八年級上冊第十三章 軸對稱13.1 軸對稱13.1.1 軸對稱練習(xí)題，共8頁。

八年級上冊13.1.1 軸對稱習(xí)題：

這是一份八年級上冊13.1.1 軸對稱習(xí)題，共9頁。試卷主要包含了 已知A， 【答案】B；等內(nèi)容，歡迎下載使用。

初中數(shù)學(xué)人教版八年級上冊12.1 全等三角形課后測評：

這是一份初中數(shù)學(xué)人教版八年級上冊12.1 全等三角形課后測評，共12頁。

英語朗讀寶
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
  • 1.電子資料成功下載后不支持退換，如發(fā)現(xiàn)資料有內(nèi)容錯誤問題請聯(lián)系客服，如若屬實，我們會補(bǔ)償您的損失
  • 2.壓縮包下載后請先用軟件解壓，再使用對應(yīng)軟件打開；軟件版本較低時請及時更新
  • 3.資料下載成功后可在60天以內(nèi)免費(fèi)重復(fù)下載
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
初中數(shù)學(xué)人教版八年級上冊電子課本

13.1.1 軸對稱

版本： 人教版

年級： 八年級上冊

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗證碼 獲取驗證碼

手機(jī)驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

  • 0

    資料籃

  • 在線客服

    官方
    微信

    添加在線客服

    獲取1對1服務(wù)

  • 官方微信

    官方
    微信

    關(guān)注“教習(xí)網(wǎng)”公眾號

    打開微信就能找資料

  • 免費(fèi)福利

    免費(fèi)福利
返回
頂部