人教版八年級上冊第十三章軸對稱13.1 軸對稱13.1.1 軸對稱練習(xí)題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

軸對稱全章復(fù)習(xí)與鞏固（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 認(rèn)識軸對稱、軸對稱圖形，理解軸對稱的基本性質(zhì)及它們的簡單應(yīng)用；2. 了解垂直平分線的概念，并掌握其性質(zhì)；3. 了解等腰三角形、等邊三角形的有關(guān)概念，并掌握它們的性質(zhì)以及判定方法.【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點梳理】要點一、軸對稱 1.軸對稱圖形和軸對稱　　（1）軸對稱圖形
　　如果一個圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸.軸對稱圖形的性質(zhì)：軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線.（2）軸對稱定義：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸.成軸對稱的兩個圖形的性質(zhì)：①關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形形狀相同，大小相等，是全等形；②如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，則對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線；③兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么它們的交點在對稱軸上.（3）軸對稱圖形與軸對稱的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別: 軸對稱是指兩個圖形的位置關(guān)系，軸對稱圖形是指具有特殊形狀的一個圖形；軸對稱涉及兩個圖形，而軸對稱圖形是對一個圖形來說的.聯(lián)系：如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，那么這兩個圖形關(guān)于這條軸對稱；如果把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形．2.線段的垂直平分線線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.反過來，與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.要點二、作軸對稱圖形 1.作軸對稱圖形（1）幾何圖形都可以看作由點組成，我們只要分別作出這些點關(guān)于對稱軸的對應(yīng)點，再連接這些點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形；（2）對于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要作出圖形中的一些特殊點（如線段端點）的對稱點，連接這些對稱點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形.2.用坐標(biāo)表示軸對稱點（,）關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)為（,－）；點（,）關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)為（－,）；點（,）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)為（－,－）.要點三、等腰三角形 1.等腰三角形
　　（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性質(zhì) 　①等腰三角形的兩個底角相等，即“等邊對等角”；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（即“等角對等　　　邊”）.2.等邊三角形　?。?）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.（2）等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個角相等，并且每個角都等于60°.　　（3）等邊三角形的判定： ①三條邊都相等的三角形是等邊三角形； ②三個角都相等的三角形是等邊三角形； ③有一個角為 60°的等腰三角形是等邊三角形.3.直角三角形的性質(zhì)定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.【典型例題】類型一、軸對稱的判斷與應(yīng)用 1、如圖所示的是在一面鏡子里看到的一個算式，該算式的實際情況是怎樣的？【答案與解析】該算式的情況是：120＋85＝205【總結(jié)升華】從鏡子里看物體——左右相反舉一反三：【變式】如圖,是一只停泊在平靜水面上的小船,它的“倒影”應(yīng)是圖中的（）.【答案】B ；提示：從水中看物體——上下顛倒2、如圖，C、D、E、F是一個長方形臺球桌的4個頂點，A、B是桌面上的兩個球，怎樣擊打A球，才能使A球撞擊桌面邊緣CF后反彈能夠撞擊B球？請畫出A球經(jīng)過的路線，并寫出作法．　　　　　　　　　　　　　　【答案與解析】解：作點A關(guān)于直線CF對稱的點G，連接BG交CF于點P，則點P即為A球撞擊桌面邊緣CF的位置，A球經(jīng)過的路線如下圖.【總結(jié)升華】這道題利用了軸對稱的性質(zhì)，把AP轉(zhuǎn)化成了線段GP，通過找A點的對稱點，從而確定點P的位置.舉一反三：【變式】（2016春?深圳校級期中）如圖，∠AOB=30°，∠AOB內(nèi)有一定點P，且OP=10．在OA上有一點Q，OB上有一點R．若△PQR周長最小，則最小周長是（　?。?/span>A．10 B．15 C．20 D．30【答案】A；提示：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，，△PQF的周長等于.3、如圖，ΔABC中，點A的坐標(biāo)為（0，1），點C的坐標(biāo)為（4，3），點B的坐標(biāo)為（3，1），如果要使ΔABD與ΔABC全等，求點D的坐標(biāo)．【思路點撥】關(guān)于AB直線對稱，且與△ABC全等的△ABD有一個，此時的△ABC與△ABD繞著AB的中點旋轉(zhuǎn)180°，又可以找到兩個與△ABC全等的三角形.【答案與解析】解：滿足條件的點D的坐標(biāo)有3個（4，－1）；（－1，－1）；（－1，3）. 【總結(jié)升華】有一條邊相同的全等三角形，可以通過軸對稱和旋轉(zhuǎn)的方法找出，注意不要漏解.舉一反三：【變式】在直角坐標(biāo)系中，△ABC關(guān)于直線＝1軸對稱，已知點A坐標(biāo)是（4，4），則點B的坐標(biāo)是（　　）A.（4，－4） B.（－4，2） C.（4，－2） D.（－2，4）【答案】C；提示：點A和點B是關(guān)于直線＝1對稱的對應(yīng)點，它們到＝1的距離相等是3個單位長度，所以點B的坐標(biāo)是（4，－2）．類型二、等腰三角形的性質(zhì)與判定4、已知：一等腰三角形的兩邊長，滿足方程組，則此等腰三角形的周長為（　?。?/span>A.5 B.4 C.3 D.5或4【思路點撥】通過解方程組算出等腰三角形的兩邊長，由于沒有指定邊長是腰還是底，所以需要分類討論，最后還要注意檢驗?zāi)芊駱?gòu)成三角形.【答案】A；【解析】解：解方程組得，當(dāng)腰為1，2為底時，1＋1＝2，不能構(gòu)成三角形，當(dāng)腰為2，1為底時，能構(gòu)成三角形，周長為2＋2＋1＝5【總結(jié)升華】本題從邊的方面考查等腰三角形，涉及分類討論的思想方法．求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應(yīng)養(yǎng)成檢驗三邊長能否組成三角形的好習(xí)慣，把不符合題意的舍去．舉一反三：【變式】已知等腰三角形的一個內(nèi)角為70°，則另兩個內(nèi)角的度數(shù)是（　?。?/span>A.55°，55° B.70°，40° C.55°，55°或70°，40° D.以上都不對【答案】C；提示：當(dāng)70°為頂角時,另外兩個角是底角，它們的度數(shù)是相等的，為（180°－70°）÷2＝55°，當(dāng)70°為底角時,另外一個底角也是70°,頂角是180°－140°＝40°．5、（2015秋?淮安校級期末）如圖：（1）P是等腰三角形ABC底邊BC上的一個動點，過點P作BC的垂線，交AB于點Q，交CA的延長線于點R．請觀察AR與AQ，它們有何關(guān)系？并證明你的猜想．（2）如果點P沿著底邊BC所在的直線，按由C向B的方向運動到CB的延長線上時，（1）中所得的結(jié)論還成立嗎？請你在圖（2）中完成圖形，并給予證明．【思路點撥】（1）由已知條件，根據(jù)等腰三角形兩底角相等及三角形兩直角互余的性質(zhì)不難推出∠PRC與∠AQR的關(guān)系；（2）由已知條件，根據(jù)等腰三角形兩底角相等及三角形兩直角互余的性質(zhì)不難推出∠BQP與∠PRC的關(guān)系．【答案與解析】解：（1）AR=AQ，理由如下：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵RP⊥BC，∴∠B+∠BQP=∠C+∠PRC=90°，∴∠BQP=∠PRC．∵∠BQP=∠AQR，∴∠PRC=∠AQR，∴AR=AQ；（2）猜想仍然成立．證明如下：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C．∵∠ABC=∠PBQ，∴∠PBQ=∠C，∵RP⊥BC，∴∠PBQ+∠BQP=∠C+∠PRC=90°，∴∠BQP=∠PRC，∴AR=AQ．【總結(jié)升華】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及判定；題中有兩個類別的特殊三角形，等腰三角形是兩個底角相等，直角三角形是兩個銳角互余，還有對頂角相等的條件，為角的關(guān)系轉(zhuǎn)化提供依據(jù)．舉一反三：【變式1】（2016·常州）如圖，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD與CE相交于點O．（1）求證：OB=OC；（2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度數(shù).【答案】（1）證明：∵AB=AC．∴∠ABC＝∠ACB，∵BD、CE是高，∴∠DBC＝∠ECB，∴OB=OC（2）∵∠ABC＝50°，AB=AC，∴∠A=180°-2×50°=80°，∴∠BOC=180°-80°=100°.【變式2】如圖，∠BAC＝90°，以△ABC的邊AB、AC為直角邊向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中點，請你探究線段DE與AM之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】ED＝2AM解：連接DE，∵∠BAC＝90°，M是BC的中點∴AM＝BM＝MC＝∠EAD＝∠BAC＝90°，AE＝AB，AC＝AD∴△ABC≌△AED∴ED＝BC∴ED＝2AM類型三、等邊三角形的性質(zhì)與判定 6、如圖，設(shè)D為等邊△ABC內(nèi)一點，且AD＝BD，BP＝AB, ∠DBP＝∠DBC.求∠BPD的度數(shù).【答案與解析】解：如圖，連接CD，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，又AD＝BD，DC是公共邊，∴△BDC≌△ADC（SSS），∴∠DCB＝∠DCA＝×60°＝30°，∠DBC＝∠DAC，∵∠DBP＝∠DBC，∴∠DAC＝∠DBP，又已知BP＝AB，∴BP＝AC，∴△DBP≌△DAC（SAS），∴∠P＝∠ACD＝30°．【總結(jié)升華】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．舉一反三：【變式】（2014秋?東勝區(qū)校級期中）如圖，已知點B、C、D在同一條直線上，△ABC和△CDE都是等邊三角形．BE交AC于F，AD交CE于H．（1）求證：△BCE≌△ACD；（2）求證：FH∥BD．【答案】證明：（1）∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴在△BCE和△ACD中，∵，∴△BCE≌△ACD （SAS）．（2）由（1）知△BCE≌△ACD，則∠CBF=∠CAH，BC=AC又∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，且點B、C、D在同一條直線上，∴∠ACH=180°﹣∠ACB﹣∠HCD=60°=∠BCF，在△BCF和△ACH中，∵，∴△BCF≌△ACH （ASA），∴CF=CH，又∵∠FCH=60°，∴△CHF為等邊三角形∴∠FHC=∠HCD=60°，∴FH∥BD．

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