全等三角形全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 了解全等三角形的概念和性質(zhì)，能夠準(zhǔn)確地辨認全等三角形中的對應(yīng)元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等進行證明，掌握綜合法證明的格式；3．會作角的平分線，了解角的平分線的性質(zhì)，能利用三角形全等證明角的平分線的性質(zhì)，   會利用角的平分線的性質(zhì)進行證明.【知識網(wǎng)絡(luò)】 【要點梳理】 一般三角形直角三角形判定邊角邊（SAS）角邊角（ASA）角角邊（AAS）邊邊邊（SSS）兩直角邊對應(yīng)相等一邊一銳角對應(yīng)相等斜邊、直角邊定理（HL）性質(zhì)對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等（其他對應(yīng)元素也相等，如對應(yīng)邊上的高相等）備注判定三角形全等必須有一組對應(yīng)邊相等要點一、全等三角形的判定與性質(zhì)
         要點二、全等三角形的證明思路要點三、角平分線的性質(zhì)1.角的平分線的性質(zhì)定理
　  角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.
2.角的平分線的判定定理
　  角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.
3.三角形的角平分線    三角形角平分線交于一點，且到三邊的距離相等.4.與角平分線有關(guān)的輔助線    在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形；    在角的平分線上取一點向角的兩邊作垂線段.要點四、全等三角形證明方法全等三角形是平面幾何內(nèi)容的基礎(chǔ)，這是因為全等三角形是研究特殊三角形、四邊形、相似圖形、圓等圖形性質(zhì)的有力工具，是解決與線段、角相關(guān)問題的一個出發(fā)點.運用全等三角形，可以證明線段相等、線段的和差倍分關(guān)系、角相等、兩直線位置關(guān)系等常見的幾何問題.可以適當(dāng)總結(jié)證明方法.1． 證明線段相等的方法： (1) 證明兩條線段所在的兩個三角形全等.(2) 利用角平分線的性質(zhì)證明角平分線上的點到角兩邊的距離相等.(3) 等式性質(zhì).2． 證明角相等的方法：(1) 利用平行線的性質(zhì)進行證明.(2) 證明兩個角所在的兩個三角形全等.(3) 利用角平分線的判定進行證明.(4) 同角（等角）的余角（補角）相等.(5) 對頂角相等.3． 證明兩條線段的位置關(guān)系（平行、垂直）的方法：可通過證明兩個三角形全等，得到對應(yīng)角相等，再利用平行線的判定或垂直定義證明.4． 輔助線的添加:(1)作公共邊可構(gòu)造全等三角形；(2)倍長中線法；(3)作以角平分線為對稱軸的翻折變換全等三角形；(4)利用截長(或補短)法作旋轉(zhuǎn)變換的全等三角形.5.  證明三角形全等的思維方法:（1）直接利用全等三角形判定和證明兩條線段或兩個角相等，需要我們敏捷、快速地發(fā)現(xiàn)兩條線段和兩個角所在的兩個三角形及它們?nèi)鹊臈l件.（2）如果要證明相等的兩條線段或兩個角所在的三角形全等的條件不充分時，則應(yīng)根據(jù)圖形的其它性質(zhì)或先證明其他的兩個三角形全等以補足條件. （3）如果現(xiàn)有圖形中的任何兩個三角形之間不存在全等關(guān)系，此時應(yīng)添置輔助線，使之出現(xiàn)全等三角形，通過構(gòu)造出全等三角形來研究平面圖形的性質(zhì).【典型例題】類型一、巧引輔助線構(gòu)造全等三角形(1)．倍長中線法 1、已知，如圖，△ABC中，D是BC中點，DE⊥DF,試判斷BE＋CF與EF的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【思路點撥】因為D是BC的中點，按倍長中線法，倍長過中點的線段DF，使DG＝DF,證明△EDG≌△EDF，△FDC≌△GDB，這樣就把BE、CF與EF線段轉(zhuǎn)化到了△BEG中，利用兩邊之和大于第三邊可證.【答案與解析】BE＋CF＞EF；證明：延長FD到G，使DG＝DF,連接BG、EG∵D是BC中點∴BD＝CD又∵DE⊥DF在△EDG和△EDF中∴△EDG≌△EDF（SAS）∴EG＝EF在△FDC與△GDB中∴△FDC≌△GDB(SAS)∴CF＝BG∵BG＋BE＞EG∴BE＋CF＞EF【總結(jié)升華】有中點的時候作輔助線可考慮倍長中線法（或倍長過中點的線段）.舉一反三：【變式】已知：如圖所示，CE、CB分別是△ABC與△ADC的中線，且∠ACB＝∠ABC．求證：CD＝2CE．【答案】證明： 延長CE至F使EF＝CE，連接BF．        ∵  EC為中線，∴  AE＝BE．在△AEC與△BEF中，∴  △AEC≌△BEF（SAS）．∴  AC＝BF，∠A＝∠FBE．（全等三角形對應(yīng)邊、角相等）又∵  ∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A．∴  AC＝AB，∠DBC＝∠FBC．∴  AB＝BF．又∵  BC為△ADC的中線，∴  AB＝BD．即BF＝BD．在△FCB與△DCB中，∴  △FCB≌△DCB（SAS）．∴  CF＝CD．即CD＝2CE．(2)．作以角平分線為對稱軸的翻折變換構(gòu)造全等三角形2、（2016?海淀區(qū)校級模擬）如圖，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于點D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于點F．試說明AE=CF．【思路點撥】作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得EH=ED，再證ED=FG，則EH=FG，通過證明△AEH≌△CFG即可．【答案與解析】解：作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，∵∠1=∠2，AD⊥BC，∴EH=ED（角平分線的性質(zhì)）∵EF∥BC，AD⊥BC，FG⊥BC，∴四邊形EFGD是矩形，∴ED=FG，∴EH=FG，∵∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，∴∠BAD=∠C，又∵∠AHE=∠FGC=90°，∴△AEH≌△CFG（AAS）∴AE=CF．【總結(jié)升華】本題考查了角平分線的性質(zhì)；由角平分線構(gòu)造全等，綜合利用了角平分線的性質(zhì)、同角的余角相等、全等三角形的判定等知識點．舉一反三：【變式】如圖，AD是的角平分線，H，G分別在AC，AB上，且HD＝BD.(1)求證：∠B與∠AHD互補；(2)若∠B＋2∠DGA＝180°，請?zhí)骄烤€段AG與線段AH、HD之間滿足的等量關(guān)系，并加以證明.【答案】證明：（1）在AB上取一點M, 使得AM＝AH, 連接DM.∵ ∠CAD＝∠BAD, AD＝AD, ∴ △AHD≌△AMD.    ∴ HD＝MD, ∠AHD＝∠AMD.∵ HD＝DB, ∴ DB＝ MD.         ∴ ∠DMB＝∠B.  ∵ ∠AMD＋∠DMB ＝180?,∴ ∠AHD＋∠B＝180?. 即 ∠B與∠AHD互補. （2）由（1）∠AHD＝∠AMD, HD＝MD, ∠AHD＋∠B＝180?.∵ ∠B＋2∠DGA ＝180?,∴ ∠AHD＝2∠DGA.∴ ∠AMD＝2∠DGM.∵ ∠AMD＝∠DGM＋∠GDM. ∴ 2∠DGM＝∠DGM＋∠GDM.∴ ∠DGM＝∠GDM.     ∴ MD＝MG.           ∴ HD＝ MG.    ∵ AG＝ AM＋MG, ∴ AG＝ AH＋HD.          （3）.利用截長(或補短)法作構(gòu)造全等三角形3、（2015?新賓縣模擬）如圖，△ABC中，AB=AC，點P是三角形右外一點，且∠APB=∠ABC．（1）如圖1，若∠BAC=60°，點P恰巧在∠ABC的平分線上，PA=2，求PB的長；（2）如圖2，若∠BAC=60°，探究PA，PB，PC的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，若∠BAC=120°，請直接寫出PA，PB，PC的數(shù)量關(guān)系．【思路點撥】（1）AB=AC，∠BAC=60°，證得△ABC是等邊三角形，∠APB=∠ABC，得到∠APB=60°，又點P恰巧在∠ABC的平分線上，得到∠ABP=30°，得到直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)解出結(jié)果．（2）在BP上截取PD，使PD=PA，連結(jié)AD，得到△ADP是等邊三角形，再通過三角形全等證得結(jié)論．（3）以A為圓心，以AP的長為半徑畫弧交BP于D，連接AD，過點A作AF⊥BP交BP于F，得到等腰三角形，然后通過三角形全等證得結(jié)論．【答案與解析】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∠APB=∠ABC，∴∠APB=60°，又∵點P恰巧在∠ABC的平分線上，∴∠ABP=30°，∴∠PAB=90°，∴BP=2AP，∵AP=2，∴BP=4；（2）結(jié)論：PA+PC=PB．證明：如圖1，在BP上截取PD，使PD=PA，連結(jié)AD，∵∠APB=60°，∴△ADP是等邊三角形，∴∠DAP=60°，∴∠1=∠2，PA=PD，在△ABD與△ACP中，，∴△ABD≌△ACP，∴PC=BD，∴PA+PC=PB；（3）結(jié)論：PA+PC=PB．證明：如圖2，以A為圓心，以AP的長為半徑畫弧交BP于D，連接AD，過點A作AF⊥BP交BP于F，∴AP=AD，∵∠BAC=120°，∴∠ABC=30°，∴∠APB=30°，∴∠DAP=120°，∴∠1=∠2，在△ABD與△ACP中，，∴△ABD≌△ACP，∴BD=PC，∵AF⊥PD，∴PF=AP，∴PD=AP，∴PA+PC=PB．【總結(jié)升華】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，截長補短作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵． 舉一反三：【變式】如圖，AD是△ABC的角平分線，AB＞AC,求證：AB－AC＞BD－DC【答案】證明：在AB上截取AE＝AC,連結(jié)DE∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD＝∠CAD在△AED與△ACD中∴△AED≌△ADC（SAS）∴DE＝DC在△BED中，BE＞BD－DC即AB－AE＞BD－DC∴AB－AC＞BD－DC（4）.在角的平分線上取一點向角的兩邊作垂線段4、（2016?海淀區(qū)校級模擬）如圖，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于點D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于點F．試說明AE=CF．【思路點撥】作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得EH=ED，再證ED=FG，則EH=FG，通過證明△AEH≌△CFG即可．【答案與解析】解：作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，∵∠1=∠2，AD⊥BC，∴EH=ED（角平分線的性質(zhì)）∵EF∥BC，AD⊥BC，FG⊥BC，∴四邊形EFGD是矩形，∴ED=FG，∴EH=FG，∵∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，∴∠BAD=∠C，又∵∠AHE=∠FGC=90°，∴△AEH≌△CFG（AAS）∴AE=CF．【總結(jié)升華】本題考查了角平分線的性質(zhì)；已知角平分線，構(gòu)造全等三角形，綜合利用了角平分線的性質(zhì)、同角的余角相等、全等三角形的判定等知識點．5、如圖所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一點，且AE垂直BD的延長線于E， ，求證：BD是∠ABC的平分線．　　　【答案與解析】證明：延長AE和BC，交于點F，
　　　∵AC⊥BC，BE⊥AE，∠ADE=∠BDC（對頂角相等），
　　　∴∠EAD+∠ADE=∠CBD+∠BDC．即∠EAD=∠CBD．
　　　在Rt△ACF和Rt△BCD中．
　　　　　
　　　　　所以Rt△ACF≌Rt△BCD（ASA）．
　　　　　則AF=BD（全等三角形對應(yīng)邊相等）．
　　　　　∵AE=BD，∴AE=AF，
　　　　　即AE=EF．
　　　　　在Rt△BEA和Rt△BEF中，
　　　　　
　　　　　則Rt△BEA≌Rt△BEF（SAS）．
　　　　　所以∠ABE=∠FBE（全等三角形對應(yīng)角相等），
　　　　　即BD是∠ABC的平分線．【總結(jié)升華】如果由題目已知無法直接得到三角形全等，不妨試著添加輔助線構(gòu)造出三角形全等的條件，使問題得以解決．平時練習(xí)中多積累一些輔助線的添加方法.類型二、全等三角形動態(tài)型問題 6、在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線經(jīng)過頂點C，過A，B兩點分別作的垂線AE，BF，垂足分別為E，F(xiàn).（1）如圖1當(dāng)直線不與底邊AB相交時，求證：EF＝AE＋BF.（2）將直線繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，使與底邊AB相交于點D，請你探究直線在如下位置時，EF、AE、BF之間的關(guān)系，①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD.【答案與解析】證明：（1）∵AE⊥，BF⊥，∴∠AEC＝∠CFB＝90°，∠1＋∠2＝90°∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°∴∠1＝∠3。∵在△ACE和△CBF中，∴△ACE≌△CBF（AAS）∴AE＝CF，CE＝BF∵EF＝CE＋CF，∴EF＝AE＋BF。（2）①EF＝AE－BF，理由如下：∵AE⊥，BF⊥，∴∠AEC＝∠CFB＝90°，∠1＋∠2＝90°∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3。∵在△ACE和△CBF中∴△ACE≌△CBF（AAS）∴AE＝CF，CE＝BF∵EF＝CF－CE，∴EF＝AE―BF。②EF＝AE―BF③EF＝BF―AE證明同①.【總結(jié)升華】解決動態(tài)幾何問題時要善于抓住以下幾點：(1)  變化前的結(jié)論及說理過程對變化后的結(jié)論及說理過程起著至關(guān)重要的作用；(2)  圖形在變化過程中，哪些關(guān)系發(fā)生了變化，哪些關(guān)系沒有發(fā)生變化；原來的線段之間、角之間的位置與數(shù)量關(guān)系是否還存在是解題的關(guān)鍵；(3)  幾種變化圖形之間，證明思路存在內(nèi)在聯(lián)系，都可模仿與借鑒原有的結(jié)論與過程，其結(jié)論有時變化，有時不發(fā)生變化.舉一反三：【變式】（2015?臨沂模擬）【問題情境】如圖，在正方形ABCD中，點E是線段BG上的動點，AE⊥EF，EF交正方形外角∠DCG的平分線CF于點F．【探究展示】（1）如圖1，若點E是BC的中點，證明：∠BAE+∠EFC=∠DCF．（2）如圖2，若點E是BC的上的任意一點（B、C除外），∠BAE+∠EFC=∠DCF是否仍然成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由．【拓展延伸】（3）如圖3，若點E是BC延長線（C除外）上的任意一點，求證：AE=EF．【答案】（1）證明：取AB的中點M，連結(jié)EM，如圖1：∵M是AB的中點，E是BC的中點，∴在正方形ABCD中，AM=EC，∵CF是∠DCG的平分線，∴∠BCF=135°，∴∠AME=∠ECF=135°，∵∠MAE=∠CEF=45°，在△AME與△ECF中，，∴△AME≌△ECF（SAS），∴∠BAE+∠EFC=∠FCG=∠DCF；（2）證明：取AB上的任意一點使得AM=EC，連結(jié)EM，如圖2：∵AE⊥EF，AB⊥BC，∴∠BAE+∠BEA=90°，∠BEA+∠CEF=90°，∴∠MAE=∠CEF，∵AM=EC，∴在正方形ABCD中，BM=BE，∴∠AME=∠ECF=135°，在△AME與△ECF中，，∴△AME≌△ECF（SAS），∴∠BAE+∠EFC=∠FCG=∠DCF；（3）證明：取AB延長線上的一點M使得AM=CE，如圖3：∵AM=CE，AB⊥BC，∴∠AME=45°，∴∠ECF=AME=45°，∵AD∥BE，∴∠DAE=∠BEA，∵MA⊥AD，AE⊥EF，∴∠MAE=∠CEF，在△AME與△ECF中，，∴△AME≌△ECF（SAS），∴AE=EF．

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12.1 全等三角形

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