?八年級下冊數(shù)學(xué)《第十八章 平行四邊形》
18.4 菱形的性質(zhì)和判定
題型一 利用菱形的性質(zhì)求角度

【例題1】（2022秋?南海區(qū)期末）如圖，AC為菱形ABCD的對角線，已知∠ADC＝140°，則∠BCA等于（　　）
A．40° B．30° C．20° D．15°
【變式1-1】（2022秋?豐城市校級期末）如圖，菱形ABCD中對角線相交于點O，AB＝AC，則∠ADB的度數(shù)是（　?。?br />
A．30° B．40° C．50° D．60°
【變式1-2】（2022秋?碑林區(qū)校級期末）如圖，菱形ABCD的周長是40cm，對角線AC為10cm，則菱形相鄰兩內(nèi)角的度數(shù)分別為 　 ?。?br />

【變式1-3】（2023?博羅縣校級開學(xué)）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC、BD相交于點O，過點D作DH⊥AB于點H，連接OH，∠CAD＝20°，則∠DHO的度數(shù)是（　?。?br /> A．20° B．25° C．30° D．35°
【變式1-4】（2022春?香坊區(qū)校級期中）已知，在菱形ABCD中，∠ABC＝100°，對角線AC和BD相交于點O，在AC上取點P，連接PB、PD，若∠PBD＝20°，則∠PDC的度數(shù)為 　 ?。?br />
【變式1-5】如圖所示，在菱形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，且∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝24°，求∠CEF的度數(shù)．


題型二 利用菱形的性質(zhì)求線段長

【例題2】（2022秋?山亭區(qū)期末）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，點E為AD的中點，連接OE，∠ABC＝60°，BD＝43，則OE＝　 ．

【變式2-1】（2022秋?滕州市校級期末）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點D作DH⊥AB于點H，連接OH，若OA＝8，S菱形ABCD＝64，則OH的長為（　?。?br /> A．45 B．8 C．4 D．25
【變式2-2】（2021秋?嶗山區(qū)校級月考）如圖，四邊形ABCD是菱形，AB＝10，AC：BD＝3：4，DH⊥AB于H，則DH等于（　?。?br /> A．245 B．485 C．5 D．4
【變式2-3】（2023?雁塔區(qū)校級一模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點E在線段BO上，連接AE，若CD＝3BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，則線段AE的長為 　6　．

【變式2-4】（2022秋?朝陽區(qū)校級期末）如圖，菱形ABCD的周長為20，面積為24，P是對角線BD上一點，分別作P點到直線AB、AD的垂線段PE、PF，則PE+PF等于 　 　．
【變式2-5】（2023?漢陽區(qū)校級一模）如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠BAD＝60°，過點B作BE⊥AB交CD于點E，連接AE，F(xiàn)為AE的中點，H為BE的中點，連接FH和CF，CF交BE于點G，則GF的長為（　?。?br />
A．3 B．5 C．23 D．192


題型三 利用菱形的性質(zhì)求周長或面積

【例題3】（2022秋?峰峰礦區(qū)校級期末）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，若∠BAD＝60°，AC＝23，則菱形ABCD的周長為（　?。?br />
A．8 B．43 C．6 D．4
【變式3-1】（2022秋?武侯區(qū)期末）在菱形ABCD中，若對角線AC=2，BD＝8，則菱形ABCD的面積是 　 　
【變式3-2】（2022秋?朝陽區(qū)校級期末）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E為CD的中點．若OE＝4，則菱形ABCD的周長為（　?。?br />
A．48 B．32 C．24 D．16

【變式3-3】（2022秋?陽山縣期中）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BC相交于點O，E、F分別是AB、BC邊上的中點，連接EF，著EF=3，BD＝4，則菱形ABCD的周長為（　　）

A．4 B．46 C．47 D．28

【變式3-4】（2022秋?碑林區(qū)校級期中）如圖，已知菱形的兩條對角線AC與BD長分別是12和16，則這個菱形的面積是（　?。?br />
A．192 B．48 C．96 D．40

【變式3-5】（2022秋?峰峰礦區(qū)校級期末）如圖，四邊形ABCD是菱形，O是兩條對角線的交點，過O點的三條直線將菱形分成陰影和空白部分．當菱形的兩條對角線的長分別為6和8時，則陰影部分的面積為（　?。?br />
A．48 B．24 C．12 D．6
【變式3-6】（2022春?巨野縣校級月考）若菱形ABCD的周長為8，∠A：∠B＝1：2，則菱形的面積
為（　?。?br /> A．3 B．33 C．43 D．23


題型四 利用菱形的性質(zhì)進行證明

【例題4】（2022秋?臨渭區(qū)期末）已知：如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是邊AB和BC上的點，且∠ADE＝∠CDF，求證：BE＝BF．


【變式4-1】（2021秋?楚雄州期末）如圖，在菱形ABCD中，E是對角線AC上的一點．連BE，DE，求證：BE＝DE．

【變式4-2】（2021秋?武功縣期末）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E，F(xiàn)在對角線BD上，且BF＝DE，連接AE，AF．求證：AE＝AF．

【變式4-3】（2022秋?渭濱區(qū)校級月考）如圖，在菱形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AE＝CF，DE，DF分別與AC交于點M，N．求證：DM＝DN．

【變式4-4】（2022秋?榆陽區(qū)校級期末）如圖，已知四邊形ABCD是菱形，且AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F．
（1）求證：AE＝AF；
（2）若AB＝10，CE＝4，求菱形ABCD的面積．



【變式4-5】（2022春?江漢區(qū)校級月考）如圖，四邊形ABCD是菱形，AC，BD交于點O，DH⊥AB于點H．
（1）若對角線AC＝8cm，BD＝6cm，求DH的長；
（2）連HO，求證：∠BOH＝∠DAH．


【變式4-6】（2022春?姑蘇區(qū)校級期中）如圖，已知菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，延長AB至點E，使BE＝AB，連接CE．
（1）求證：四邊形BECD是平行四邊形；
（2）若∠E＝60°，BD＝8，求菱形ABCD的面積．


題型五 菱形判定的條件

【例題5】（2022秋?二七區(qū)校級月考）如圖?ABCD的對角線AC和BD相交于點O，下列說法正確的
是（　?。?br />
A．若OB＝OD，則?ABCD是菱形
B．若AC＝BD，則?ABCD是菱形
C．若OA＝OD，則?ABCD是菱形
D．若AC⊥BD，則?ABCD是菱形【變式5-1】（2022?鐵鋒區(qū)二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，在不添加任何輔助線的情況下，請你添加一個條件 　 　，使平行四邊形ABCD是菱形．


【變式5-2】（2022春?海倫市期末）如圖，已知AD是△ABC的角平分線，DE∥AC交AB于點E，請你添加一個條件 　 　，使四邊形AEDF是菱形．

【變式5-3】（2022?營口）如圖，將△ABC沿著BC方向平移得到△DEF，只需添加一個條件即可證明四邊形ABED是菱形，這個條件可以是 　 ?。▽懗鲆粋€即可）


【變式5-4】（2022春?房山區(qū)期中）在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O．現(xiàn)存在以下四個條件：①AB∥CD； ②AO＝OC；③AB＝AD；④AC平分∠DAB．
從中選取三個條件，可以判定四邊形ABCD為菱形．則可以選擇的條件序號是 　 ?。▽懗鏊锌赡艿那闆r）．

【變式5-5】（2022秋?寶雞期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，連接DE，DF，當△ABC滿足下列哪個條件時，四邊形AEDF為菱形（　　）

A．AB＝AC B．∠B＝∠A C．BD＝DF D．DE⊥DF


【變式5-6】（2022秋?順慶區(qū)月考）如圖，在?ABCD中，O為AC的中點，經(jīng)過點O的直線交AD于E交BC于F，連接AF、CE，下列選項可以使四邊形AFCE是菱形的為（　?。?br />
A．OE＝OF B．AE＝CF C．EF⊥AC D．EF＝AC

【變式5-7】（2022春?高唐縣期末）如圖所示，D，E，F(xiàn)分別是△ABC三邊的中點，添加下列條件后，不能得到四邊形DBFE是菱形的是（　　）

A．AB＝BC B．BE平分∠ABC C．BE⊥AC D．AB＝AC
【變式5-8】（2022?大名縣三模）如圖，在?ABCD中，E、F分別為邊AD、BC的中點，點G、H在AC上，且AH＝CG，若添加一個條件使四邊形EGFH是菱形，則下列可以添加的條件是（　?。?br />
A．AB＝AD B．AB⊥AD C．AB＝AC D．AB⊥AC




題型六 菱形的判定的證明

【例題6】（2022秋?武功縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，點D為AB的中點，連接CD，過點D作DE∥BC，且DE＝BC，連接BE，求證：四邊形BCDE是菱形．

【變式6-1】（2022秋?虹口區(qū)校級月考）如圖，∠ABC＝∠ADC＝90°，M為AC中點，MN⊥BD于點O，BN∥DM，求證：BNDM為菱形．


【變式6-2】（2023?東莞市模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)在BD上，且BE＝DF．
（1）求證：△ADF≌△CBE；
（2）不添加輔助線，請你補充一個條件，使得四邊形AECF是菱形；并給予證明．


【變式6-3】（2022春?蒼溪縣期末）如圖，在△AFC中，∠FAC＝90°，B、E分別是FC、AB的中點，過點A作AD∥FC交FE的延長線于點D．

（1）求證：BF＝AD；
（2）求證：四邊形ABCD是菱形．


【變式6-4】（2022春?南丹縣期末）已知：如圖，在?ABCD中，M，N分別是AD和BC的中點．
（1）求證：四邊形AMCN是平行四邊形；
（2）當∠ACD滿足什么條件時，四邊形AMCN是菱形，請說明理由．



【變式6-5】（2022春?梅江區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E、F是對角線AC上的兩點，∠1＝∠2．
（1）求證：AE＝CF．
（2）若BE＝ED時，求證：四邊形EBFD是菱形．



【變式6-6】（2022春?郯城縣期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，M是BD上任意一點，連接AM并延長至點N，使AM＝MN，交BC于H，連接CN、BN．
（1）求證：OM∥CN．
（2）連接CM，若AD⊥AN，且AC＝AB，求證：四邊形BNCM是菱形．


題型七 菱形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用

【例題7】（2022春?鎮(zhèn)安縣期末）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC與BD交于點O，E為CD延長線上一點，且CD＝DE，連接BE，分別交AC，AD于點F、G，連接OG、AE，則下列結(jié)論：
①OG=12AB；
②四邊形ABDE是菱形；
③四邊形ODEG與四邊形OBAG面積相等．
其中正確的有（　?。?br />
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【變式7-1】（2022春?高邑縣期末）如圖，在∠MON的兩邊上分別截取OA，OB，使OA＝OB；再分別以點A，B為圓心，OA長為半徑作弧，兩弧交于點C；再連接AC，BC，AB，OC．若AB＝2，OC＝4．則四邊形AOBC的面積是（　?。?br />
A．45 B．8 C．4 D．52
【變式7-2】（2022春?惠民縣期末）如圖，剪兩張對邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，重合的部分構(gòu)成了一個四邊形，轉(zhuǎn)動其中一張紙條，則下列相等關(guān)系：
①AD＝AB；
②AD＝BC；
③∠DAC＝∠ACD；
④AO＝BO，
其中一定成立的是 　 　.（只填序號）

【變式7-3】（2022秋?碭山縣校級月考）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F，連接CF．
（1）求證：四邊形ADCF是菱形；
（2）若AC＝32，AB＝42，求四邊形ADCF的面積．


【變式7-4】（2022春?潁州區(qū)校級月考）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，CE＝DF，AB＝BE，AE與BF相交于點O，連接EF．
（1）求證：四邊形ABEF是菱形；
（2）若平行四邊形ABCD的周長為20，CE＝DF＝2，∠ABE＝60°，求AE的長．







【變式7-5】（2022?巴州區(qū)校級模擬）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，對角線AC，BD交于點O，AC平分∠BAD，過點C作CE⊥AB交AB的延長線于點E，連接OE．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）若AD=6，BD＝2，求OE的長．

【變式7-6】（2022秋?龍崗區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC平分∠DAB，連接BD交AC于點O，過點C作CE⊥AB交AB延長線于點E．
（1）求證：四邊形ABCD為菱形；
（2）若OA＝4，OB＝3，求CE的長．


題型八 菱形與矩形的綜合應(yīng)用

【例題8】（2022秋?鐵西區(qū)校級期末）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，DE⊥AB于點E交AC于點P，BF⊥CD于點F．
（1）判斷四邊形DEBF的形狀，并說明理由；
（2）如果BE＝3，BF＝6，求DP的長．

【變式8-1】（2022?五華區(qū)校級模擬）如圖，AP是△ABC的角平分線，MN垂直平分AP，且交AP于點D，判斷以下結(jié)論錯誤的是（　?。?br />
A．MP∥AC B．AM＝AN
C．PA是∠MPN的平分線 D．四邊形AMPN是矩形

【變式8-2】（2022春?虹口區(qū)校級月考）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AD的中點，點F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）判斷四邊形OEFG的形狀，并證明．
（2）若AC＝8，BD＝6，求四邊形OEFG的面積．





【變式8-3】（2022秋?市中區(qū)校級月考）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，DE⊥AC，AE⊥BD．
（1）求證：四邊形AODE是矩形；
（2）若菱形邊長為10，面積為96，求矩形AODE周長．



【變式8-4】（2022秋?通川區(qū)期末）如圖，已知在菱形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，延長DC到點E，使CE＝CD，延長BC到點F，使CF＝BC，順次連接點B，E，F(xiàn)，D，若BD＝1，AC=3．
（1）求證：四邊形BEFD是矩形；
（2）求四邊形BEFD的周長為多少．


【變式8-5】（2022春?瑯琊區(qū)校級月考）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點．
（1）求證：四邊形DEBF是平行四邊形；
（2）①對角線AC，BD滿足　 　時，四邊形DEBF是矩形；
②對角線AC，BD滿足　 時，四邊形DEBF是菱形．



【變式8-6】（2022春?靖西市期末）如圖，在?ABCD中，DB⊥CB．
（1）延長CB到E，使BE＝CB，連接AE，求證：四邊形AEBD是矩形；
（2）若點F，G分別是AB，CD的中點，連接DF、BG，試判斷四邊形DFBG是什么特殊的四邊形？并證明你的結(jié)論．



八年級下冊數(shù)學(xué)《第十八章 平行四邊形》
18.4 菱形的性質(zhì)和判定答案

題型一 利用菱形的性質(zhì)求角度

【例題1】（2022秋?南海區(qū)期末）如圖，AC為菱形ABCD的對角線，已知∠ADC＝140°，則∠BCA等于（　　）

A．40° B．30° C．20° D．15°
【分析】直接利用菱形的性質(zhì)可得∠BCD的度數(shù)，利用角平分線的性質(zhì)進而得出答案．
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠D+∠BCD＝180°，∠DCA＝∠BCA，
∵∠ADC＝140°，
∴∠BCD＝40°，
∴∠BCA＝∠DCA=12∠BCD＝20°，
故選：C．
【點評】此題主要考查了菱形的性質(zhì)，①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②菱形的四條邊都相等；③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．
【變式1-1】（2022秋?豐城市校級期末）如圖，菱形ABCD中對角線相交于點O，AB＝AC，則∠ADB的度數(shù)是（　?。?br />
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得△ABC是等邊三角形，進一步可得∠ADC＝60°，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得∠ADB的度數(shù)．
【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ADC＝∠ABC，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，
在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB，
∴∠ADB＝30°，
故選：A．
【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，涉及等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2022秋?碑林區(qū)校級期末）如圖，菱形ABCD的周長是40cm，對角線AC為10cm，則菱形相鄰兩內(nèi)角的度數(shù)分別為 　 ?。?br />
【分析】證明△ACD是等邊三角形，則∠D＝60°，即可解決問題．
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD＝CD=404=10（cm），AB∥CD，
∴∠D+∠BAD＝180°，
又∵AC＝10cm，
∴AD＝CD＝AC，
∴△ACD是等邊三角形，
∴∠D＝60°，
∴∠DAB＝120°，
故答案為：60°，120°．
【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明△ACD為等邊三角形是解題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2023?博羅縣校級開學(xué)）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC、BD相交于點O，過點D作DH⊥AB于點H，連接OH，∠CAD＝20°，則∠DHO的度數(shù)是（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°
【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)得OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，則利用DH⊥AB得到DH⊥CD，∠DHB＝90°，所以O(shè)H為Rt△DHB的斜邊DB上的中線，得到OH＝OD＝OB，利用等腰三角形的性質(zhì)得∠1＝∠DHO，然后利用等角的余角相等即可求出∠DHO的度數(shù)
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，
∵DH⊥AB，
∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，
∴OH為Rt△DHB的斜邊DB上的中線，
∴OH＝OD＝OB，
∴∠1＝∠DHO，
∵DH⊥CD，
∴∠1+∠2＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠2+∠DCO＝90°，
∴∠1＝∠DCO，
∴∠DHO＝∠DCA，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，
∴∠CAD＝∠DCA＝20°，
∴∠DHO＝20°，
故選：A．

【點評】本題考查菱形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
【變式1-4】（2022春?香坊區(qū)校級期中）已知，在菱形ABCD中，∠ABC＝100°，對角線AC和BD相交于點O，在AC上取點P，連接PB、PD，若∠PBD＝20°，則∠PDC的度數(shù)為 　 ?。?br /> 【分析】根據(jù)題意畫出圖形，然后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)：對角線互相垂直平分，對角線平分對角進行分情況討論即可．
【解答】解：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝100°，對角線AC和BD相交于點O，
∴AC，BD互相垂直平分，
∵∠ABC＝∠ADC＝100°，
∴∠ABO=∠CBO=∠ADO=∠CDO=12×100°=50°，
當點P如下圖P點所在位置時：
∵PB＝PD，
∴∠PBD＝∠PDB＝20°，
∴∠PDC＝50°﹣20°＝30°；
當點P如下圖P′點所在位置時：
∵P'B＝P'D，
∴∠P'BD＝∠P'DB＝20°，
∴∠P'DC＝∠P'DB+∠CDO＝70°；

綜上：∠PDC的度數(shù)為30°或70°，
故答案為：30°或70°．
【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵，注意分類討論．
【變式1-5】如圖所示，在菱形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，且∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝24°，求∠CEF的度數(shù)．

【分析】先連接AC，證明△ABE≌△ACF，然后推出AE＝AF，證明△AEF是等邊三角形，最后運用三角形外角性質(zhì)，求出∠CEF的度數(shù)．
【解答】解：連接AC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠B＝∠EAF＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，∠BCD＝120°，
∴AB＝AC，∠B＝∠ACF＝60°，
∵∠BAE+∠EAC＝∠FAC+∠EAC，
∴∠BAE＝∠FAC，
在△ABE與△ACF中，
∠BAE=∠CAFAB=AC∠B=∠ACF，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE＝AF，
又∵∠EAF＝∠D＝60°，
∴△AEF是等邊三角形，
∴∠AEF＝60°，
又∠AEC＝∠B+∠BAE＝84°，
∴∠CEF＝84°﹣60°＝24°．

【點評】此題主要考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定以及三角形的內(nèi)角和定理的綜合應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形．

題型二 利用菱形的性質(zhì)求線段長

【例題2】（2022秋?山亭區(qū)期末）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，點E為AD的中點，連接OE，∠ABC＝60°，BD＝43，則OE＝　 ．

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，∠ABO＝30°，AC⊥BD，則BO＝23，再利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得答案．
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴BO＝DO，∠ABO＝30°，AC⊥BD，AB＝AD，
∴BO＝23，
∴AO=33BO＝2，
∴AB＝2AO＝4，
∵E為AD的中點，∠AOD＝90°，
∴OE=12AD＝2，
故答案為：2．
【點評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（2022秋?滕州市校級期末）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點D作DH⊥AB于點H，連接OH，若OA＝8，S菱形ABCD＝64，則OH的長為（　?。?br />
A．45 B．8 C．4 D．25
【分析】由菱形的性質(zhì)得出OA＝OC＝8，OB＝OD，AC⊥BD，則AC＝16，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出OH=12BD，再由菱形的面積求出BD＝8，即可得出答案．
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，
∴AC＝16，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∴OH=12BD，
∵菱形ABCD的面積=12×AC×BD=12×16×BD=64，
∴BD＝8，
∴OH=12BD=4．
故選：C．
【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，菱形的面積公式，關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求得OH=12BD．
【變式2-2】（2021秋?嶗山區(qū)校級月考）如圖，四邊形ABCD是菱形，AB＝10，AC：BD＝3：4，DH⊥AB于H，則DH等于（　?。?br />
A．245 B．485 C．5 D．4
【分析】設(shè)OA＝3a，則OB＝4a，由勾股定理求出OA、OB的長，得出AC、BD的長，再由菱形面積的計算方法即可求解．
【解答】解：設(shè)AC與BD交于點O，如圖所示：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴OA=12AC，OB=12BD，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∵AC：BD＝3：4，
∴OA：OB＝3：4，
設(shè)OA＝3a，則OB＝4a，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：（3a）2+（4a）2＝102，
解得：a＝2（負值已舍去），
∴OA＝6，OB＝8，
∴AC＝2OA＝12，BD＝2OB＝16，
∵菱形ABCD的面積＝AB?DH=12AC?BD=12×12×16＝96，
∴DH=485，
故選：B．

【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．

【變式2-3】（2023?雁塔區(qū)校級一模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點E在線段BO上，連接AE，若CD＝3BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，則線段AE的長為 　6?。?br />
【分析】設(shè)BE＝x，則CD＝3x，根據(jù)菱形的性質(zhì)得AB＝AD＝CD＝3x，OB＝OD，AC⊥BD，再證明DE＝DA＝3x，所以1+x＝2x，解得x＝1，然后利用勾股定理計算OA，再計算AE的長．
【解答】解：設(shè)BE＝x，則CD＝3x，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB＝AD＝CD＝3x，OB＝OD，AC⊥BD，
∵∠DAE＝∠DEA，
∴DE＝DA＝3x，
∴BD＝4x，
∴OB＝OD＝2x，
∵OE+BE＝BO，
∴1+x＝2x，
解得x＝1，
即AB＝3，OB＝2，
在Rt△AOB中，OA=AB2?OB2=32?22=5，
在Rt△AOE中，AE=AO2+EO2=(5)2+12=6．
故答案為：6．
【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角．
【變式2-4】（2022秋?朝陽區(qū)校級期末）如圖，菱形ABCD的周長為20，面積為24，P是對角線BD上一點，分別作P點到直線AB、AD的垂線段PE、PF，則PE+PF等于 　 　．

【分析】直接利用菱形的性質(zhì)得出AB＝AD＝10，S△ABD＝12.5，進而利用三角形面積求法得出答案．
【解答】解：∵菱形ABCD的周長為40，面積為24，
∴AB＝AD＝5，S△ABD＝12，
∵分別作P點到直線AB、AD的垂線段PE、PF，
∴12×AB×PE+12×PF×AD＝12，
∴12×5×（PE+PF）＝12，
∴PE+PF＝4.8．
故答案為：4.8．
【點評】此題主要考查了菱形的性質(zhì)，正確得出12×AB×PE+12×PF×AD＝S△ABD是解題關(guān)鍵．
【變式2-5】（2023?漢陽區(qū)校級一模）如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠BAD＝60°，過點B作BE⊥AB交CD于點E，連接AE，F(xiàn)為AE的中點，H為BE的中點，連接FH和CF，CF交BE于點G，則GF的長為（　?。?br />
A．3 B．5 C．23 D．192
【分析】由菱形的性質(zhì)得AB＝BC＝CD＝4，AB∥CD，∠BAD＝∠BCE＝60°，再由三角形中位線定理得FH=12AB＝2，F(xiàn)H∥AB，然后證△FHG≌△CEG（AAS），得EG＝GH=12EH=32，進而由勾股定理即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵菱形ABCD的邊長為4，∠BAD＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝4，AB∥CD，∠BAD＝∠BCE＝60°，
∵F為AE的中點，H為BE的中點，
∴EH=12BE，F(xiàn)H是△ABE的中位線，
∴FH=12AB＝2，F(xiàn)H∥AB，
∴FH∥AB∥CD，
∵BE⊥AB，
∴FH⊥BE，CD⊥BE，
∴∠FHE＝∠BEC＝90°，
∴∠CBE＝90°﹣60°＝30°，
∴CE=12BC＝2，
∴BE=BC2?CE2=42?22=23，
∴EH=12BE=3，
∴FH＝CE，
在△FHG和△CEG中，
∠FHG=∠CEG∠FGH=∠CGEFH=CE，
∴△FHG≌△CEG（AAS），
∴EG＝GH=12EH=32，
在Rt△FHG中，由勾股定理得：GF=FH2+GH2=22+(32)2=192，
故選：D．
【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)、三角形中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．

題型三 利用菱形的性質(zhì)求周長或面積

【例題3】（2022秋?峰峰礦區(qū)校級期末）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，若∠BAD＝60°，AC＝23，則菱形ABCD的周長為（　?。?br />
A．8 B．43 C．6 D．4
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AC⊥BD，AO=12AC=3，∠DAO＝30°，再根據(jù)勾股定理和含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出AD的長即可得到答案．
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=12AC=3，
∵∠BAD＝60°，
∴∠DAO＝30°，
∴AD＝2OD，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD2＝OD2+AO2，
∴AD2=14AD2+3，
∴AD＝2，
∴菱形ABCD的周長為4AD＝8，
故選：A．
【點評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟知菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式3-1】（2022秋?武侯區(qū)期末）在菱形ABCD中，若對角線AC=2，BD＝8，則菱形ABCD的面積是 　 　．
【分析】根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半計算即可．
【解答】解：菱形ABCD中，AC=2，BD＝8，
∴AC⊥BD，
∴菱形ABCD的面積=12AC?BD＝42，
故答案為：42．
【點評】本題考查了菱形面積的計算，熟記菱形的各種計算面積公式是解題的關(guān)鍵．

【變式3-2】（2022秋?朝陽區(qū)校級期末）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E為CD的中點．若OE＝4，則菱形ABCD的周長為（　?。?br />
A．48 B．32 C．24 D．16
【分析】由菱形的性質(zhì)可得出AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出CD的長，結(jié)合菱形的周長公式即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，
∴△COD為直角三角形．
∵OE＝4，點E為線段CD的中點，
∴CD＝2OE＝8．
∴C菱形ABCD＝4CD＝4×8＝32．
故選：B．
【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出CD＝8．


【變式3-3】（2022秋?陽山縣期中）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BC相交于點O，E、F分別是AB、BC邊上的中點，連接EF，著EF=3，BD＝4，則菱形ABCD的周長為（　?。?br />
A．4 B．46 C．47 D．28
【分析】首先利用三角形的中位線定理得出AC，進一步利用菱形的性質(zhì)和勾股定理求得邊長，得出周長即可．
【解答】解：∵E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的中點，EF=3，
∴AC＝2EF＝23，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=12AC=3，OB=12BD＝2，
∴AB=OA2+OB2=7，
∴菱形ABCD的周長為47．
故選：C．
【點評】此題考查菱形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股定理，掌握菱形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．

【變式3-4】（2022秋?碑林區(qū)校級期中）如圖，已知菱形的兩條對角線AC與BD長分別是12和16，則這個菱形的面積是（　　）

A．192 B．48 C．96 D．40
【分析】直接由菱形面積公式列式計算即可．
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴S菱形ABCD=12AC?BD=12×12×16＝96，
故選：C．
【點評】本題考查菱形的性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是熟記菱形的面積公式，屬于中考常考題型．
【變式3-5】（2022秋?峰峰礦區(qū)校級期末）如圖，四邊形ABCD是菱形，O是兩條對角線的交點，過O點的三條直線將菱形分成陰影和空白部分．當菱形的兩條對角線的長分別為6和8時，則陰影部分的面積為（　?。?br />
A．48 B．24 C．12 D．6
【分析】根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半求出面積，再根據(jù)中心對稱的性質(zhì)判斷出陰影部分的面積等于菱形的面積的一半解答．
【解答】解：∵菱形的兩條對角線的長分別為12和8，
∴菱形的面積=12×6×8＝24，
∵O是菱形兩條對角線的交點，
∴陰影部分的面積=12×24＝12．
故選：C．
【點評】本題考查了中心對稱，菱形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并判斷出陰影部分的面積等于菱形的面積的一半是解題的關(guān)鍵．
【變式3-6】（2022春?巨野縣校級月考）若菱形ABCD的周長為8，∠A：∠B＝1：2，則菱形的面積
為（　　）
A．3 B．33 C．43 D．23
【分析】根據(jù)鄰角互補可得出∠ABC＝60°，∠BAC＝120°，從而根據(jù)菱形的對角線互相垂直且平分的性質(zhì)可分別求出兩對角線的長，進而根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半進行解答．
【解答】解：如圖，

∵菱形ABCD的周長為8，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，
又∵∠A：∠B＝1：2，∠A+∠B＝180°，
∴∠ABC＝60°，∠BAC＝120°，
∴∠ABO=12∠ABC＝30°，
在Rt△ABO中，AO=12AB＝1，BO=32AB=3，
∴AC＝2，BD=23，
∴菱形的面積=12AC×BD=12×2×23=23．
故選：D．
【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，解答本題用到的知識點為：①菱形的四邊形等，菱形的對角線互相垂直且平分，②菱形的面積等于對角線乘積的一半，熟記菱形的各種性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

題型四 利用菱形的性質(zhì)進行證明

【例題4】（2022秋?臨渭區(qū)期末）已知：如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是邊AB和BC上的點，且∠ADE＝∠CDF，求證：BE＝BF．

【分析】證△ADE≌△CDF（ASA），得AE＝CF，則AB﹣AE＝BC﹣CF，即可得出結(jié)論．
【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠C，
在△ADE和△CDF中，
∠A=∠CAD=CD∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，
∴AB﹣AE＝BC﹣CF，
即BE＝BF．
【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)，證明△ADE≌△CDF是解題的關(guān)鍵．
【變式4-1】（2021秋?楚雄州期末）如圖，在菱形ABCD中，E是對角線AC上的一點．連BE，DE，求證：BE＝DE．

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定即可證明．
【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，
∵AC是菱形ABCD的對角線，
∴∠BCA＝∠DCA，
∵BC＝CD，∠BCA＝∠DCA，CE＝CE，
∴△CDE≌△CBE（SAS），
∴DE＝BE，
【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)是關(guān)鍵．
【變式4-2】（2021秋?武功縣期末）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E，F(xiàn)在對角線BD上，且BF＝DE，連接AE，AF．求證：AE＝AF．

【分析】由菱形的性質(zhì)得到OB＝OD，AC⊥BD，由BF＝DE得到OF＝OE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到AE＝AF．
【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，AC⊥BD，
∵BF＝DE，
∴BF﹣OB＝DE﹣OD，
∴OF＝OE，
∴AE＝AF．
【點評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
【變式4-3】（2022秋?渭濱區(qū)校級月考）如圖，在菱形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AE＝CF，DE，DF分別與AC交于點M，N．求證：DM＝DN．

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定SAS，可以證明△ADE≌△CDF，再利用等腰三角形的性質(zhì)，可以得到DE＝DF，DM＝DN．
【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，∠DAE＝∠DCF，AB＝CB，
∵BE＝BF，
∴AE＝CF，
在△ADE和△CDF中，
DA=DC∠DAE=∠DCFAE=CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
∴∠ADM＝∠CDN，DE＝DF，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠DAM＝∠DCN，
∵∠ADM＝∠CDN，
∴∠DMA＝∠DNC，
∴∠DMN＝∠DNM，
∴DM＝DN．
【點評】本題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．

【變式4-4】（2022秋?榆陽區(qū)校級期末）如圖，已知四邊形ABCD是菱形，且AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F．
（1）求證：AE＝AF；
（2）若AB＝10，CE＝4，求菱形ABCD的面積．

【分析】（1）首先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AB＝AD，∠B＝∠D，再利用AAS證明△ABE≌△ADF，于是得到AE＝AF；
（2）根據(jù)菱形的面積公式解答即可．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC＝CD．
∵S菱形ABCD＝BC?AE＝CD?AF，
∴AE＝AF．
（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝10．
∵CE＝4，
∴BE＝6，
∴AE=AB2?BE2=8，
∴S菱形ABCD＝BC?AE＝10×8＝80．
【點評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的四邊相等，此題難度不大．

【變式4-5】（2022春?江漢區(qū)校級月考）如圖，四邊形ABCD是菱形，AC，BD交于點O，DH⊥AB于點H．
（1）若對角線AC＝8cm，BD＝6cm，求DH的長；
（2）連HO，求證：∠BOH＝∠DAH．

【分析】（1）由勾股定理求出AB＝5cm，根據(jù)菱形的面積公式可得出答案；
（2）由菱形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可得出答案．
【解答】（1）解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，
∵AC＝8cm，BD＝6cm，
∴OA=12AC=4cm，OB=12BD＝3cm，
∴AB=OA2+OB2=42+32=5（cm），
∴S菱形ABCD=12AC?BD＝AB?DH，
∴DH=12×AC?BDAB=12×8×65=245（cm）；
（2）證明：∵∠DHB＝90°，OB＝OD，
∴OH＝OB，
∴∠OHB＝∠OBH，
∴∠BOH＝180°﹣2∠OBH，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠DAH＝2∠OAB，
∵∠OAB＝90°﹣∠OBH，
∴∠DAH＝180°﹣2∠OBH，
∴∠BOH＝∠DAH．
【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)．
【變式4-6】（2022春?姑蘇區(qū)校級期中）如圖，已知菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，延長AB至點E，使BE＝AB，連接CE．
（1）求證：四邊形BECD是平行四邊形；
（2）若∠E＝60°，BD＝8，求菱形ABCD的面積．

【分析】（1）根據(jù)菱形的對邊平行且相等可得AB＝CD，AB∥CD，然后證明得到BE＝CD，BE∥CD，從而證明四邊形BECD是平行四邊形；
（2）欲求菱形ABCD的面積，求得AC、BD的長度即可．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝CD＝BC，AB∥CD，
又∵BE＝AB，
∴BE＝CD，BE∥CD，
∴四邊形BECD是平行四邊形；
（2）解：由（1）知，四邊形BECD是平行四邊形，則BD∥CE．
∵∠E＝60°，
∴∠ABD＝60°．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD＝AB．
∴△ABD是等邊三角形．
∴AB＝BD＝8．
又∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=12BD＝4．
∴OA=AB2?OB2=82?42=43．
∴AC＝83．
∴菱形ABCD的面積=12AC?BD=12×83×8＝323．

【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的運用．證明出四邊形BECD是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．

題型五 菱形判定的條件

【例題5】（2022秋?二七區(qū)校級月考）如圖?ABCD的對角線AC和BD相交于點O，下列說法正確的
是（　?。?br />
A．若OB＝OD，則?ABCD是菱形
B．若AC＝BD，則?ABCD是菱形
C．若OA＝OD，則?ABCD是菱形
D．若AC⊥BD，則?ABCD是菱形
【分析】由矩形的判定和菱形的判定分別對各個選項進行判斷即可．
【解答】解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OB＝OD，故選項A不符合題意；
B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC＝BD，
∴?ABCD是矩形，故選項B不符合題意；
C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA＝OC=12AC，OB＝OD=12BD，
∵OA＝OD，∴AC＝BD，
∴?ABCD是矩形，故選項C不符合題意；
D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，
∴?ABCD是菱形，故選項D符合題意；
故選：D．
【點評】本題考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定和矩形的判定是解題的關(guān)鍵．
【變式5-1】（2022?鐵鋒區(qū)二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，在不添加任何輔助線的情況下，請你添加一個條件 　 　，使平行四邊形ABCD是菱形．

【分析】根據(jù)菱形的判定方法即可得出答案．
【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴當AB＝BC或AC⊥BD或AC平分∠DAB時，四邊形ABCD為菱形．
故答案為：AB＝BC（答案不唯一）．
【點評】本題考查了菱形的判定，熟記菱形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
【變式5-2】（2022春?海倫市期末）如圖，已知AD是△ABC的角平分線，DE∥AC交AB于點E，請你添加一個條件 　 　，使四邊形AEDF是菱形．

【分析】根據(jù)DE∥AC交AB于點E，DF∥AB交AC于點F，可以判斷四邊形AEDF是平行四邊形，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可證明結(jié)論成立．
【解答】解：DF∥AB，理由如下：
∵DE∥AC交AB于點E，DF∥AB交AC于點F，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，∠EAD＝∠ADF，
∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠EAD＝∠FAD，
∴∠ADF＝∠FAD，
∴FA＝FD，
∴四邊形AEDF是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）．
【點評】本題考查菱形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的需要的條件，利用菱形的判定解答．
【變式5-3】（2022?營口）如圖，將△ABC沿著BC方向平移得到△DEF，只需添加一個條件即可證明四邊形ABED是菱形，這個條件可以是 　 　．（寫出一個即可）

【分析】由平移的性質(zhì)得AB∥DE，AB＝DE，則四邊形ABED是平行四邊形，再由菱形的判定即可得出結(jié)論．
【解答】解：這個條件可以是 AB＝AD，理由如下：
由平移的性質(zhì)得：AB∥DE，AB＝DE，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
又∵AB＝AD，
∴平行四邊形ABED是菱形，
故答案為：AB＝AD（答案不唯一）．
【點評】本題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及平移的性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的判定和平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式5-4】（2022春?房山區(qū)期中）在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O．現(xiàn)存在以下四個條件：①AB∥CD； ②AO＝OC；③AB＝AD；④AC平分∠DAB．
從中選取三個條件，可以判定四邊形ABCD為菱形．則可以選擇的條件序號是 　 　（寫出所有可能的情況）．
【分析】根據(jù)角平分線定義得到∠DAO＝∠BAO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DO＝CB，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：如：若②AO＝OC；③AB＝AD；④AC平分∠DAB，
則四邊形ABCD是菱形，
證明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAO＝∠BAO，
在△AOD和△AOB中，
AD=AB∠DAO=∠BAOAO=AO，
∴△AOD≌△AOB（ASA），
∴DO＝CB，
∵AO＝OC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
又∵AB＝AD，
∴四邊形ABCD是菱形，
若①AB∥CD； ②AO＝OC；④AC平分∠DAB或①AB∥CD； ③AB＝AD；④AC平分∠DAB或 ②AO＝OC；③AB＝AD；④AC平分∠DAB．都可以判定四邊形ABCD為菱形．
故答案為：①②③或②③④或①②④或①③④．

【點評】本題考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．

【變式5-5】（2022秋?寶雞期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，連接DE，DF，當△ABC滿足下列哪個條件時，四邊形AEDF為菱形（　?。?br />
A．AB＝AC B．∠B＝∠A C．BD＝DF D．DE⊥DF
【分析】可根據(jù)三角形的中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)、菱形的判定，分析得出當△ABC滿足條件AB＝AC或∠B＝∠C時，四邊形AEDF是菱形．
【解答】解：要使四邊形AEDF是菱形，則應(yīng)有DE＝DF＝AE＝AF，
∵E，F(xiàn)分別為AC，BC的中點，
∴AE＝BE，AF＝FC，
∴DE＝BE，DF＝CF，
∴△BDE≌△CDF（SSS），
∴BD＝CD，
∴當點D應(yīng)是BC的中點，而AD⊥BC，
∴△ABC應(yīng)是等腰三角形，
∴應(yīng)添加條件：AB＝AC或∠B＝∠C．
則當△ABC滿足條件AB＝AC或∠B＝∠C時，四邊形AEDF是菱形．
故選：A．
【點評】此題考查的是菱形的判定、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵．
【變式5-6】（2022秋?順慶區(qū)月考）如圖，在?ABCD中，O為AC的中點，經(jīng)過點O的直線交AD于E交BC于F，連接AF、CE，下列選項可以使四邊形AFCE是菱形的為（　?。?br />
A．OE＝OF B．AE＝CF C．EF⊥AC D．EF＝AC
【分析】由平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定以及矩形的判定分別對各個選項進行判斷即可．
【解答】解：A、∵O為AC的中點，
∴OA＝OC，
∵OE＝OF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，故選項A不符合題意；
B、四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∵AE＝CF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，故選項B不符合題意；
C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO，
∵O為AC的中點，
∴OA＝OC，
在△AOE和△COF中，
∠AEO=∠CFO∠AOE=∠COFOA=OC，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∵EF⊥AC，
∴平行四邊形AFCE是菱形，故選項C符合題意；
D、∵EF＝AC，
∴平行四邊形AFCE是矩形，故選項D不符合題意；
故選：C．
【點評】此題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的判定和平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式5-7】（2022春?高唐縣期末）如圖所示，D，E，F(xiàn)分別是△ABC三邊的中點，添加下列條件后，不能得到四邊形DBFE是菱形的是（　　）

A．AB＝BC B．BE平分∠ABC C．BE⊥AC D．AB＝AC
【分析】當AB＝BC時，四邊形DBFE是菱形．根據(jù)三角形中位線定理證明即可；當BE平分∠ABC時，可證BD＝DE，可得四邊形DBFE是菱形，當BE⊥AC，可證AB＝BC，可得四邊形DBFE是菱形，由此即可判斷；
【解答】解：當AB＝BC時，四邊形DBFE是菱形；
理由：∵點D、E、F分別是邊AB、AC、BC的中點，
∴DE∥BC，EF∥AB，
∴四邊形DBFE是平行四邊形，
∵DE=12BC，EF=12AB，
∴DE＝EF，
∴四邊形DBFE是菱形，故A正確，不符合題意，
當BE平分∠ABC時，可證BD＝DE，可得四邊形DBFE是菱形，故B正確，不符合題意，
當BE⊥AC，可證AB＝BC，可得四邊形DBFE是菱形，故C正確，不符合題意．
故選：D．
【點評】本題考查三角形的中位線定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形中位線定理，屬于中考常考題型．
【變式5-8】（2022?大名縣三模）如圖，在?ABCD中，E、F分別為邊AD、BC的中點，點G、H在AC上，且AH＝CG，若添加一個條件使四邊形EGFH是菱形，則下列可以添加的條件是（　?。?br />
A．AB＝AD B．AB⊥AD C．AB＝AC D．AB⊥AC
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD＝BC，AD∥BC，推出四邊形ABFE是平行四邊形，得到AB∥EF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EG＝FH，∠AGE＝∠CHF，推出四邊形EGFH是平行四邊形，連接EF交AC于O，根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：可以添加的條件是AB⊥AC，
理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E、F分別為邊AD、BC的中點，
∴AE=12AD，BF＝CF=12BC，
∴AE＝BF＝CF，
∴四邊形ABFE是平行四邊形，
∴AB∥EF，
∵AD∥BC，
∴∠EAG＝∠FCH，
∵AH＝CG，
∴AH﹣HG＝CG﹣HG，
即AG＝CH，
∴△AEG≌△CFH（SAS），
∴EG＝FH，∠AGE＝∠CHF，
∴∠EGH＝FHG，
∴EG∥FH，
∴四邊形EGFH是平行四邊形，
連接EF交AC于O，
∵AB∥EF，AB⊥AC，
∴EF⊥AC，
∴四邊形EGFH是菱形，
故選：D．

【點評】本題考查了菱形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

題型六 菱形的判定的證明

【例題6】（2022秋?武功縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，點D為AB的中點，連接CD，過點D作DE∥BC，且DE＝BC，連接BE，求證：四邊形BCDE是菱形．

【分析】先證明四邊形BCDE是平行四邊形，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到CD=BD=12AB，進而證明△BCD為等邊三角形得到BC＝CD，根據(jù)菱形的判定定理可證得結(jié)論．
【解答】證明：∵DE∥BC，且DE＝BC，
∴四邊形BCDE是平行四邊形．
∵CD為Rt△ABC的斜邊AB上的中線，
∴CD=BD=12AB．
∵∠ABC＝60°，
∴△BCD為等邊三角形，
∴BC＝CD，
∴四邊形BCDE是菱形．
【點評】本題考查菱形的判定，涉及平行四邊形的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用，證明△BCD為等邊三角形是解答的關(guān)鍵．
【變式6-1】（2022秋?虹口區(qū)校級月考）如圖，∠ABC＝∠ADC＝90°，M為AC中點，MN⊥BD于點O，BN∥DM，求證：BNDM為菱形．

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BM＝DM=12AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BMN＝∠DMN，由平行線的性質(zhì)得到∠BNM＝∠DMN，等量代換得到∠BMN＝∠BNM，求得BM＝BN，得到BN＝DM，根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論．
【解答】證明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M為對角線AC的中點，
∴BM＝DM=12AC，
∵MN⊥BD，
∴∠BMN＝∠DMN，
∵BN∥DM，
∴∠BNM＝∠DMN，
∴∠BMN＝∠BNM，
∴BM＝BN，
∴BN＝DM＝BM＝DN，
∴四邊形BNDM是菱形．
【點評】本題考查了菱形的判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．

【變式6-2】（2023?東莞市模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)在BD上，且BE＝DF．
（1）求證：△ADF≌△CBE；
（2）不添加輔助線，請你補充一個條件，使得四邊形AECF是菱形；并給予證明．

【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)知，AD＝BC，AD∥BC，得到∠ADF＝∠CBE，又有BE＝DF，故由SAS證得△ADF≌△CBE；
（2）平行四邊形的性質(zhì)知，AO＝CO，BO＝DO，由BE＝DF可求得OE＝OF，根據(jù)平行四邊形的判定得到四邊形AECF是平行四邊形，由AC⊥EF可得平行四邊形AECF是菱形．
【解答】（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADF＝∠CBE，
在△ADF和△CBE中，
AD=CB∠ADF=∠CBEDF=BE，
∴△ADF≌△CBE（SAS）；
（2）解：補充的條件是：AC⊥BD．
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
又∵AC⊥BD，
∴四邊形AECF是菱形．
【點評】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，全等三角形的判定，證得四邊形AECF是平行四邊形是解決問題的關(guān)鍵．
【變式6-3】（2022春?蒼溪縣期末）如圖，在△AFC中，∠FAC＝90°，B、E分別是FC、AB的中點，過點A作AD∥FC交FE的延長線于點D．

（1）求證：BF＝AD；
（2）求證：四邊形ABCD是菱形．
【分析】（1）證明△AED≌△BEF（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AD＝BF；
（2）由直角三角形的性質(zhì)得出AB＝BF＝BC，證出AD＝BC，得出四邊形ABCD為平行四邊形，由菱形的判定可得出結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵AD∥FC，
∴∠ADE＝∠BFE，
∵E為AB的中點，
∴AE＝BE，
又∵∠AED＝∠BEF，
∴△AED≌△BEF（AAS），
∴AD＝BF；
（2）證明：∵∠FAC＝90°，B為CF的中點，
∴AB＝BF＝BC，
∵AD＝BF，
∴AD＝BC，
又∵AD∥BC，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
又∵AB＝BC，
∴四邊形ABCD是菱形．
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，證明△AED≌△BEF是解題的關(guān)鍵．
【變式6-4】（2022春?南丹縣期末）已知：如圖，在?ABCD中，M，N分別是AD和BC的中點．
（1）求證：四邊形AMCN是平行四邊形；
（2）當∠ACD滿足什么條件時，四邊形AMCN是菱形，請說明理由．

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證得AM∥CN，AD＝BC，根據(jù)M，N分別是AD和BC的中點證得AM＝CN即可證得結(jié)論；
（2）當∠ACD＝90°，根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵M、N分別是AD和BC的中點，
∴AM=12AD，CN=12BC，
∴AM＝CN，
∵AM∥CN，AM＝CN，
∴四邊形AMCN是平行四邊形；
（2）解：當∠ACD＝90°，四邊形AMCN是菱形，
理由如下：
∵M是AD的中點，
∴AM＝DM，
∵∠ACD＝90°，
∴CM＝AM＝DM，
∴AM＝CM，
由（1）知，四邊形AMCN是平行四邊形，
∴四邊形AMCN是菱形．
【點評】本題考查了平行四邊形和菱形的判定，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵．解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的判定方法，菱形的判定：①四條邊都相等的四邊形是菱形菱形．②對角線互相垂直的平行四邊形是菱形菱形．③一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形菱形．
【變式6-5】（2022春?梅江區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E、F是對角線AC上的兩點，∠1＝∠2．
（1）求證：AE＝CF．
（2）若BE＝ED時，求證：四邊形EBFD是菱形．

【分析】（1）證明△ADE≌△CBF（AAS），即可得出結(jié)論；
（2）由平行線的判定得DE∥BF，再由全等三角形的性質(zhì)得DE＝BF，則四邊形EBFD是平行四邊形，然后由菱形的判定即可得出結(jié)論．
【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵∠1＝∠2，
∴∠AED＝∠CFB，
在△ADE與△CBF中，
∠AED=∠CFB∠DAE=∠BCFAD=CB，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴AE＝CF；
（2）∵∠1＝∠2，
∴DE∥BF．
由（1）知，△ADE≌△CBF，
∴DE＝BF，
∴四邊形EBFD是平行四邊形，
又∵BE＝ED，
∴平行四邊形EBFD是菱形．
【點評】本題考查了菱形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的判定和平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
【變式6-6】（2022春?郯城縣期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，M是BD上任意一點，連接AM并延長至點N，使AM＝MN，交BC于H，連接CN、BN．
（1）求證：OM∥CN．
（2）連接CM，若AD⊥AN，且AC＝AB，求證：四邊形BNCM是菱形．

【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得OA＝OC，再證OM是△ACN的中位線，即可得出結(jié)論；
（2）證△MBH≌△NCH（ASA），得MH＝NH，再證四邊形BNCM是平行四邊形，然后由菱形的判定定理即可得出結(jié)論．
【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA＝OC，
∵AM＝MN，
∴OM是△ACN的中位線，
∴OM∥CN；
（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∵AD⊥AN，
∴BC⊥AN，
∵AB＝AC，
∴BH＝CH，
由（1）可知，OM∥CN，
∴∠MBH＝∠NCH，
在△MBH和△NCH中，
∠MBH=∠NCHBH=CH∠BHM=∠CHN，
∴△MBH≌△NCH（ASA），
∴MH＝NH，
∴四邊形BNCM是平行四邊形，
又∵BC⊥MN，
∴平行四邊形BNCM是菱形．
【點評】本題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、平行線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的判定和平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

題型七 菱形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用

【例題7】（2022春?鎮(zhèn)安縣期末）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC與BD交于點O，E為CD延長線上一點，且CD＝DE，連接BE，分別交AC，AD于點F、G，連接OG、AE，則下列結(jié)論：
①OG=12AB；
②四邊形ABDE是菱形；
③四邊形ODEG與四邊形OBAG面積相等．
其中正確的有（　?。?br />
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【分析】①由AAS證明△ABG≌△DEG，得出AG＝DG，證出OG是△ACD的中位線，得出OG=12CD=12AB，①正確；
②先證四邊形ABDE是平行四邊形，再證△ABD、△BCD是等邊三角形，得AB＝BD＝AD，因此OD＝AG，則四邊形ABDE是菱形，②正確；
③由菱形的性質(zhì)得△ABG≌△BDG≌△DEG，再由SAS證明△BGA≌△COD，得△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，由中線的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)可得S△BOG＝S△DOG，S△ABG＝S△DGE，可得四邊形ODEG與四邊形OBAG面積相等，得出③正確．
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD（SSS），
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
在△ABG和△DEG中，
∠BAG=∠EDG∠AGB=∠DGEAB=DE，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG＝DG，
∴OG是△ACD的中位線，
∴OG=12CD=12AB，故①正確；
∵AB∥CE，AB＝DE，
∴四邊形ABDE是平行四邊形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、△BCD是等邊三角形，
∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，
∴OD＝AG，四邊形ABDE是菱形，故②正確；
∴AD⊥BE，
由菱形的性質(zhì)得：△BGA≌△BGD≌△EGD（SSS），
在△BGA和△COD中，
AG=DO∠BAG=∠CDOAB=DC，
∴△BGA≌△COD（SAS），
∴△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，
∵OB＝OD，
∴S△BOG＝S△DOG，
∵四邊形ABDE是菱形，
∴S△ABG＝S△DGE，
∴四邊形ODEG與四邊形OBAG面積相等，故③正確；
故正確的結(jié)論有3個．
故選：D．
【點評】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理等知識；本題綜合性強，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式7-1】（2022春?高邑縣期末）如圖，在∠MON的兩邊上分別截取OA，OB，使OA＝OB；再分別以點A，B為圓心，OA長為半徑作弧，兩弧交于點C；再連接AC，BC，AB，OC．若AB＝2，OC＝4．則四邊形AOBC的面積是（　?。?br />
A．45 B．8 C．4 D．52
【分析】根據(jù)作圖可得：OA＝AC＝BC＝OB，從而可得四邊形OACB是菱形，然后利用菱形的面積公式進行計算即可解答．
【解答】解：由題意得：
OA＝AC＝BC＝OB，
∴四邊形OACB是菱形，
∵AB＝2，OC＝4，
∴菱形OACB的面積=12OC?AB
=12×4×2
＝4，
故選：C．
【點評】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式7-2】（2022春?惠民縣期末）如圖，剪兩張對邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，重合的部分構(gòu)成了一個四邊形，轉(zhuǎn)動其中一張紙條，則下列相等關(guān)系：
①AD＝AB；
②AD＝BC；
③∠DAC＝∠ACD；
④AO＝BO，
其中一定成立的是 　 　.（只填序號）

【分析】由條件可知AB∥CD，AD∥BC，可證明四邊形ABCD為平行四邊形，得到AD＝BC，即可得出結(jié)論．
【解答】解：由題意可知：AB∥CD，AD∥BC，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD＝BC，
故答案為：②．
【點評】本題主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，證明四邊形ABCD為平行四邊形是解題的關(guān)鍵．

【變式7-3】（2022秋?碭山縣校級月考）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F，連接CF．
（1）求證：四邊形ADCF是菱形；
（2）若AC＝32，AB＝42，求四邊形ADCF的面積．

【分析】（1）由“AAS”可證△AFE≌△DBE，得AF＝BD＝CD，再證四邊形ADCF是平行四邊形，然后由直角三角形的性質(zhì)可證AD＝CD，可得結(jié)論；
（2）由菱形的性質(zhì)和面積關(guān)系可求解．
【解答】（1）證明：∵AF∥BC，
∴∠FAE＝∠BDE，
∵E是AD的中點，
∴AE＝DE，
在△AFE和△DBE中，
∠FAE=∠BDEAE=DE∠AEF=∠DEB，
∴△AFE≌△DBE（ASA），
∴AF＝BD，
∵D是BC的中點，
∴CD＝BD，
∴AF＝CD，
∵AF∥CD，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∵∠BAC＝90°，
∴AD=12BC＝CD，
∴平行四邊形ADCF是菱形；
（2）解：∵D是BC的中點，
∴S△ABD＝S△ACD=12S△ABC，
由（1）可知，四邊形ADCF是菱形，
∴S四邊形ADCF＝2S△ACD＝S△ABC=12AC?AB=12×32×42=12．
【點評】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)等知識，證明AD＝CD是解題的關(guān)鍵．
【變式7-4】（2022春?潁州區(qū)校級月考）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，CE＝DF，AB＝BE，AE與BF相交于點O，連接EF．
（1）求證：四邊形ABEF是菱形；
（2）若平行四邊形ABCD的周長為20，CE＝DF＝2，∠ABE＝60°，求AE的長．

【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得AD∥BC，AD＝BC，再證四邊形ABEF是平行四邊形，然后由菱形的判定即可得出結(jié)論；
（2）由菱形的性質(zhì)得AB+BC＝10，再證AB＝BE＝4，然后證△ABE是等邊三角形，即可得出結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵CE＝DF，
∴AF＝BE，
∴四邊形ABEF是平行四邊形，
又∵AB＝BE，
∴平行四邊形ABEF是菱形；
（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵平行四邊形ABCD的周長為20，
∴AB+BC＝10，
即AB+BE+CE＝10，
∵AB＝BE，CE＝2，
∴AB＝BE＝4，
∵∠ABE＝60°，
∴△ABE是等邊三角形，
∴AE＝BE＝4，
即AE的長為4．
【點評】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

【變式7-5】（2022?巴州區(qū)校級模擬）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，對角線AC，BD交于點O，AC平分∠BAD，過點C作CE⊥AB交AB的延長線于點E，連接OE．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）若AD=6，BD＝2，求OE的長．

【分析】（1）先判斷出∠OAB＝∠DCA，進而判斷出∠DAC＝∠DCA，得出CD＝AD＝AB，即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出OE＝OA＝OC，再求出OB＝1，利用勾股定理求出OA，即可得出結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB，
∵AC為∠DAB的平分線，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠OAB＝∠OCD，
∴BC＝AD＝AB，
∵AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AD＝AB，
∴?ABCD是菱形；
（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，AB＝AD=6，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝2，
∴OB=12BD＝1，
在Rt△AOB中，AB=6，OB＝1，
∴OA=AB2?OB2=5，
∴OE＝OA=5．
【點評】此題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)，掌握菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，勾股定理是解本題的關(guān)鍵．
【變式7-6】（2022秋?龍崗區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC平分∠DAB，連接BD交AC于點O，過點C作CE⊥AB交AB延長線于點E．
（1）求證：四邊形ABCD為菱形；
（2）若OA＝4，OB＝3，求CE的長．

【分析】（1）先證四邊形ABCD是平行四邊形，再證CD＝AD，即可得出結(jié)論；
（2）由菱形的性質(zhì)得AC⊥BD，AC＝2OA＝8，BD＝2OB＝6，再由勾股定理得AB＝5，然后由菱形面積公式得S菱形ABCD＝AB?CE=12AC?BD，即可解決問題．
【解答】（1）證明：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAC＝∠DCA，四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∴?ABCD是菱形；
（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，OA＝4，OB＝3，
∴AC⊥BD，AC＝2OA＝8，BD＝2OB＝6，
∴∠AOB＝90°，
∴AB=OA2+OB2=42+32=5，
∵CE⊥AB，
∴S菱形ABCD＝AB?CE=12AC?BD，
即5CE=12×8×6，
解得：CE=245，
即CE的長為245．

【點評】此題考查了菱形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

題型八 菱形與矩形的綜合應(yīng)用

【例題8】（2022秋?鐵西區(qū)校級期末）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，DE⊥AB于點E交AC于點P，BF⊥CD于點F．
（1）判斷四邊形DEBF的形狀，并說明理由；
（2）如果BE＝3，BF＝6，求DP的長．

【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)和矩形的判定解答即可；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)得出DE＝BF，進而利用勾股定理解答即可．
【解答】（1）解：四邊形DEBF是矩形，理由如下：
∵DE⊥AB，BF⊥CD，

∴∠DEB＝∠BFD＝90°，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠DEB+∠EDF＝180°，
∴∠EDF＝∠DEB＝∠BFD＝90°，
∴四邊形DEBF是矩形；
（2）解：連接PB，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC垂直平分BD，
∴PB＝PD，
由（1）知，四邊形DEBF是矩形，
∴DE＝FB＝6，
設(shè)PD＝BP＝x，則PE＝6﹣x，
在Rt△PEB中，由勾股定理得：（6﹣x）2+32＝x2，
解得：x=154，
∴PD=154．
【點評】此題考查菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的對邊平行和勾股定理解答．
【變式8-1】（2022?五華區(qū)校級模擬）如圖，AP是△ABC的角平分線，MN垂直平分AP，且交AP于點D，判斷以下結(jié)論錯誤的是（　?。?br />
A．MP∥AC B．AM＝AN
C．PA是∠MPN的平分線 D．四邊形AMPN是矩形
【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)得AM＝PM，AN＝PN，則∠MAP＝∠MPA，∠NAP＝∠NPA，再證∠MAP＝∠MPA＝∠NAP＝∠NPA，則AM∥PN，MP∥AC，得四邊形AMPN是平行四邊形，然后證平行四邊形AMPN是菱形，即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵MN垂直平分AP，
∴AM＝PM，AN＝PN，
∴∠MAP＝∠MPA，∠NAP＝∠NPA，
∵AP是△ABC的角平分線，
∴∠MAP＝∠NAP，
∴∠MAP＝∠MPA＝∠NAP＝∠NPA，
∴AM∥PN，MP∥AC，
∴四邊形AMPN是平行四邊形，
又∵AM＝PM，
∴平行四邊形AMPN是菱形，
∴AM＝AN，PA是∠MPN的平分線，
故選項A、B、C不符合題意，選項D符合題意，
故選：D．
【點評】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、平行線的判定、等腰三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式8-2】（2022春?虹口區(qū)校級月考）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AD的中點，點F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）判斷四邊形OEFG的形狀，并證明．
（2）若AC＝8，BD＝6，求四邊形OEFG的面積．

【分析】（1）由三角形中位線定理可得AE＝DE，OE∥AB，由矩形的判定可求解；
（2）由菱形的面積公式可求面積，利用面積法可求OG，即可求EF．
【解答】解：（1）四邊形OEFG是矩形．
在菱形ABCD中，DO＝BO，
又∵E是AD的中點，
∴AE＝DE，OE∥AB，
∴OE∥FG，
又∵OG∥EF，
∴四邊形OEFG是平行四邊形．
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∵四邊形OEFG是矩形．
（2）菱形的面積=12AC?BD=12×8×6=24．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AO=12AC=4，BO=12BD=3，
∴AB＝5．
由（1）知，四邊形OEFG是矩形，
∴EF＝OG，OG⊥AB．
∴12AO?BO=12AB?OG，
∴OG=AO?BOAB=125，
∴OE=12AB=12×5=52，
四邊形OEFG的面積＝OE×OG=125×52=6．
【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，矩形的判定和性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．
【變式8-3】（2022秋?市中區(qū)校級月考）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，DE⊥AC，AE⊥BD．
（1）求證：四邊形AODE是矩形；
（2）若菱形邊長為10，面積為96，求矩形AODE周長．

【分析】（1）根據(jù)題意可判斷出四邊形AODE是平行四邊形，再由菱形的性質(zhì)可得出AC⊥BD，即∠AOD＝90°，可判斷出四邊形AODE是矩形；
（2）由菱形的面積和勾股定理求出OA+OD＝14，由矩形的性質(zhì)即可得出答案．
【解答】（1）證明：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四邊形AODE是平行四邊形，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∴四邊形AODE是矩形；
（2）解：∵菱形ABCD邊長為10，面積為96，
∴AD＝10，AC＝2OA，BD＝2OD，AC⊥BD，12AC×BD＝96，
∴∠AOD＝90°，2OA×OD＝96，
∴OA2+OD2＝AD2＝100，
∴OA2+2OA×OD+OD2＝100+96＝196，
∴（OA+OD）2＝196，
∴OA+OD＝14，
∵四邊形AODE是矩形，
∴DE＝OA，AE＝OD，
∴矩形AODE的周長＝2（OA+OD）＝28．
【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及完全平方式等知識；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)和菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式8-4】（2022秋?通川區(qū)期末）如圖，已知在菱形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，延長DC到點E，使CE＝CD，延長BC到點F，使CF＝BC，順次連接點B，E，F(xiàn)，D，若BD＝1，AC=3．
（1）求證：四邊形BEFD是矩形；
（2）求四邊形BEFD的周長為多少．

【分析】（1）先證四邊形BEFD是平行四邊形，再由三角形中位線定理得OC∥BE，則BE⊥BD，得∠DBE＝90°，即可得出結(jié)論；
（2）由三角形中位線定理得出BE的長，再由矩形的性質(zhì)得EF＝BD＝1，BE＝DF=3，即可求解．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD，
∵CE＝CD，CF＝BC，
∴四邊形BEFD是平行四邊形，OC是△BDE的中位線，
∴OC∥BE，
∴BE⊥BD，
∴∠DBE＝90°，
∴平行四邊形BEFD是矩形；
（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴OC＝OA=12AC，
由（2）可知，OC是△BDE的中位線，
∴BE＝2OC＝AC=3，
∵四邊形BEFD是矩形，
∴EF＝BD＝1，BE＝DF=3，
∴四邊形BEFD的周長＝2（BD+BE）＝2+23．
【點評】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、三角形中位線定理等知識，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

【變式8-5】（2022春?瑯琊區(qū)校級月考）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點．
（1）求證：四邊形DEBF是平行四邊形；
（2）①對角線AC，BD滿足　 　時，四邊形DEBF是矩形；
②對角線AC，BD滿足　 時，四邊形DEBF是菱形．

【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出OB＝OD，OA＝OC，證出OE＝OF，那么兩組對角線互相平分，得出四邊形DEBF是平行四邊形；
（2）①由平行四邊形對角線相等即可證明四邊形ABCD是矩形；②由對角線互相垂直且平分即可證明．
【解答】（1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵點E、F分別為OA、OC的中點，
∴OE=12OA，OF=12OC，
∴OE＝OF，
∴四邊形DEBF是平行四邊形．
（2）解：①當AC＝2BD時，平行四邊形DEBF是矩形；理由如下：
∵AC＝2BD，四邊形ABCD是平行四邊形，
∴EF=12AC=BD，
∴平行四邊形DEBF是矩形；
故答案為：AC＝2BD．
②當AC⊥BD時，平行四邊形DEBF是菱形；理由如下：
∵AC⊥BD，四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BD⊥EF，
∴平行四邊形DEBF是菱形，
故答案為：AC⊥BD．
【點評】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定、矩形的判定；解題的關(guān)鍵是注意掌握兩組對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．
【變式8-6】（2022春?靖西市期末）如圖，在?ABCD中，DB⊥CB．
（1）延長CB到E，使BE＝CB，連接AE，求證：四邊形AEBD是矩形；
（2）若點F，G分別是AB，CD的中點，連接DF、BG，試判斷四邊形DFBG是什么特殊的四邊形？并證明你的結(jié)論．

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD＝BC，AD∥BC，求出AD＝BE，根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形AEBD是平行四邊形，再證∠DBE＝90°，根據(jù)矩形的判定得出即可．
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD＝CB，AD∥CB，求出BF＝DG，根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形AFCG是平行四邊形，求出DF＝BF，根據(jù)菱形的判定得出即可．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BE＝CB，
∴AD＝BE，
∴四邊形AEBD是平行四邊形，
又∵DB⊥CB，
∴∠DBE＝90°，
∴平行四邊形AEBD是矩形；
（2）解：四邊形DFBG是菱形，
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∵點F，G分別是AB，CD的中點，
∴BF=12AB，DG=12CD，
∴BF＝DG，
∴四邊形DFBG是平行四邊形，
由（1）可知，四邊形AEBD是矩形，
∴∠ADB＝90°，
∵F是AB的中點，
∴DF=12AB＝BF，
∴平行四邊形DFBG是菱形．
【點評】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．







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