?18.2.1.1 矩形翻折模型

問題：根據(jù)已知信息，求翻折后各邊長。
模型一： 思路：

模型二： 思路：






模型三： 思路：









模型四： 思路：







模型五： 思路：








模型六：點(diǎn)M,點(diǎn)N分別為DC，AB中點(diǎn) 思路：






?
一、單選題
1．（2022春·甘肅隴南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，把△CDE沿DE翻折，點(diǎn)C 恰好落在AB邊上的F處，則CE的長是（???）

A．1 B．43 C．32 D．53
【答案】D
【分析】設(shè)CE=x，則BE=3-x由折疊性質(zhì)可知，EF=CE=x，DF=CD=AB=5，所以AF=4，BF=AB-AF=5-4=1，在Rt△BEF中，由勾股定理得(3-x)2+12=x2，解得x的值即可．
【詳解】解：設(shè)CE=x，則BE=3-x，
由折疊性質(zhì)可知，
EF=CE=x，DF=CD=AB=5
在Rt△DAF中，AD=3，DF=5，
∴AF=，
∴BF=AB-AF=5-4=1，
在Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2，
即(3-x)2+12=x2，
解得x=53，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了與矩形有關(guān)的折疊問題，熟練掌握矩形的性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．
2．（2022秋·浙江·八年級(jí)期末）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)M為AB上一點(diǎn)，將△BCM沿CM翻折至△ECM，ME與AD相交于點(diǎn)G，CE與AD相交于點(diǎn)F，且AG=GE，則BM的長度是（????）

A． B．4 C．245 D．5
【答案】C
【分析】由ASA證明△GAM≌△GEF（ASA），得出GM=GF，AF=ME=BM=x，EF=AM=6-x，因此DF=8-x，CF=x+2，在Rt△DFC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【詳解】解：設(shè)BM=x，
由折疊的性質(zhì)得：∠E=∠B=90°=∠A，
在△GAM和△GEF中，∠A=∠EAG=GE∠AGM=∠EGF，
∴△GAM≌△GEF（ASA），
∴GM=GF，
∴AF=ME=BM=x，EF=AM=6-x，
∴DF=8-x，CF=8-（6-x）=x+2，
在Rt△DFC中，由勾股定理得：（x+2）2=（8-x）2+62，
解得：x=245，
∴BM=245．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊有性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解決問題的關(guān)鍵．
3．（2022春·廣東廣州·八年級(jí)校考期中）如圖，折疊矩形ABCD，使點(diǎn)D落在點(diǎn)F處，已知AB=8，BC=10，則EC的長（?????）

A．5cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】C
【分析】根據(jù)矩形及折疊的性質(zhì)可得AD=AF=BC=10cm，AB=CD=8cm，在Rt?ABF中，利用勾股定理得出BF=6cm，CF=4cm，在Rt?ECF中，設(shè)EC=xcm，則DE=8-xcm，繼續(xù)利用勾股定理求解即可得．
【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，且經(jīng)過折疊，AB=8cm，BC=10cm，
∴AD=AF=BC=10cm，AB=CD=8cm，
在Rt?ABF中，
BF=AF2-AB2=102-82=6cm，
CF=BC-BF=4cm，
在Rt?ECF中，設(shè)EC=xcm，則DE=8-xcm，
∴EF=DE=8-xcm，
∴FC2+EC2=EF2即42+x2=8-x2，
解得：x=3cm，
即EC=3cm，
故選：C．
【點(diǎn)睛】題目主要考查矩形及折疊的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，理解題意，結(jié)合圖形，熟練運(yùn)用勾股定理是解題關(guān)鍵．
4．（2022秋·江蘇蘇州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，長方形ABCD中，AD=BC=6，AB=CD=10，點(diǎn)E為射線DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△ADE與△AD'E關(guān)于直線AE對稱，當(dāng)△AD'B為直角三角形時(shí)，DE的長為(　　)

A．2或8 B．83或18 C．83或2 D．2或18
【答案】D
【分析】分兩種情況： 當(dāng)E點(diǎn)在線段DC上時(shí)， 當(dāng)E點(diǎn)在線段DC的延長線上時(shí)，利用全等三角形的判定和性質(zhì)得出答案即可．
【詳解】解：分兩種情況討論：
①當(dāng)E點(diǎn)在線段DC上時(shí)，
∵△AD'E≌△ADE，
∴∠AD'E=∠D=90°，

∵∠AD'B=90°，
∴∠AD'B+∠AD'E=180°，
∴B、D'、E三點(diǎn)共線，
∵S△ABE=12BE?AD'=12AB?AD，AD'=AD，
∴BE=AB=10，
∵BD'=AB2-AD'2=102-62=8，
∴DE=D'E=10-8=2；
②當(dāng)E點(diǎn)在線段DC的延長線上時(shí)，如下圖，

∵∠ABD″+∠CBE=∠ABD″+∠BAD″=90°，
∴∠CBE=∠BAD″，
在△ABD″和△BEC中，
∵∠D″=∠BCEAD″=BC∠BAD″=∠CBE，
∴△ABD″≌△BEC，
∴BE=AB=10，
∵BD″=102-62=8，
∴DE=D″E=BD″+BE=8+10=18，
綜上所知，DE=2或18，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查翻折的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理、掌握翻折的性質(zhì)、分類探討的思想方法是解決問題的關(guān)鍵．
5．（2022春·廣東廣州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，將邊長分別是4，8的矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，則的長是（????）

A．2 B．3 C．10 D．4
【答案】B
【分析】由折疊的性質(zhì)可得出AF＝CF，設(shè)BF＝m，則AF＝8?m，在Rt△ABF中，利用勾股定理可得出關(guān)于m的方程，解之即可得出結(jié)論．
【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可知：AF＝CF．
設(shè)BF＝m，則AF＝CF＝8?m，
在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，AB＝4，BF＝m，AF＝8?m，
∴AF2=AB2+BF2 ，即8-m2=42+m2 ，
∴m＝3．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了翻轉(zhuǎn)變換、矩形的性質(zhì)以及勾股定理，在Rt△ABF中，利用勾股定理找出m（AF的長）的方程是解題的關(guān)鍵．
6．（2022春·江蘇無錫·八年級(jí)校考階段練習(xí)）在矩形紙片ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，現(xiàn)將紙片折疊壓平，使A與C重合，如果設(shè)折痕為EF，那么重疊部分△AEF的面積等于（???）cm2

A． B．758 C．7316 D．7516
【答案】D
【分析】由矩形及折疊的性質(zhì)可得AE=AF，再由勾股定理可求得AE的長，從而可求得重疊部分的面積．
【詳解】∵四邊形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠AFE=∠FEC
由折疊的性質(zhì)知：∠AEF=∠FEC，AE=CE
∴∠AFE=∠AEF
∴AE=AF
設(shè)BE=xcm，則AE=CE=(4-x)cm
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
解得：x=78
∴AE=AF=4-78=258(cm)
∴S△AEF=12AFAB=12×258×3=7516(cm2)
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形與折疊的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定等知識(shí)，運(yùn)用勾股定理建立方程求得AE的長是解題的關(guān)鍵．
7．（2022春·山西運(yùn)城·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在長方形ABCD中，cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF，則△BEF的面積為（????）

A．6 B．7.5 C．10 D．12
【答案】B
【分析】由折疊的性質(zhì)可得∠G=∠C=90°，BG=CD=3cm，GF=CF，設(shè)BF=xcm，則GF=CF=（9-x）cm，Rt△BGF中由勾股定理建立方程求解即可解答；
【詳解】解：如圖，C點(diǎn)翻折后對應(yīng)的點(diǎn)為G，

長方形ABCD中，AB=CD=3cm，AD=9cm，∠C=90°，
根據(jù)翻折可得：∠G=∠C=90°，BG=CD=3cm，GF=CF，
設(shè)BF=xcm，則GF=CF=（9-x）cm，
在Rt△BGF中，根據(jù)勾股定理得：
32+（9-x）2=x2，解得x=5，
∴S△BEF=12BF·AB=12×5×3=7.5(cm2)，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
8．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(4,0)，，，將沿直線OB折疊，使得點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，OD與BC交于點(diǎn)E，則點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為（　?。?br />
A．165 B．125 C．95 D．4
【答案】A
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合折疊的性質(zhì)可得出∠EOB=∠EBO，進(jìn)而可得出OE=BE，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m,2)，則，CE=m，利用勾股定理即可求出m值，再根據(jù)點(diǎn)E的坐標(biāo)，過點(diǎn)D作DF⊥CB軸于點(diǎn)F，利用，可以求出DF的長，進(jìn)而可以解決問題．
【詳解】解：，，，，
∴四邊形OABC為矩形，
．
，
∴∠EOB=∠EBO，
∴OE=BE．
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m,2)，則，CE=m，
在中，OC=2，CE=m，，
∴4-m2=22+m2，
∴m=32，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為32,2．
，
，
如圖，過點(diǎn)D作DF⊥CB軸于點(diǎn)F，

由翻折得：BD=AB=2，，
，
，
，
，
即點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為165．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)，圖形的折疊，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握矩形的判定和性質(zhì)，圖形的折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．
9．（2022春·江蘇南通·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在長方形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，將△ABE沿直線BE折疊后得到△GBE，延長BG交CD于點(diǎn)F，連結(jié)EF，若AB＝6，BC＝46，則FD的長為(???)

A．2 B．4 C．6 D．2
【答案】B
【詳解】試題分析：∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE=DE，∵△ABE沿BE折疊后得到△GBE，∴AE=EG，AB=BG，∴ED=EG，∵在矩形ABCD中，∴∠A=∠D=90°，∴∠EGF=90°，在Rt△EDF和Rt△EGF中，∵ED=EG，EF=EF，∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），∴DF=FG，設(shè)DF=x，則BF=6+x，CF=6﹣x，在Rt△BCF中，(46)2+(6-x)2=(6+x)2，解得x=4．故選B．

10．（2022春·山西呂梁·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知矩形紙片ABCD中，AB＝15，AD＝10，點(diǎn)E在BC邊上，將△ABE沿BE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，此時(shí)點(diǎn)F到CD的距離為1，到AD的距離為3，則AE的長為（????）

A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【分析】過點(diǎn)F作FG⊥CD于G，過點(diǎn)F作FH⊥AD于H，則FGDH是矩形，F(xiàn)G=1，F(xiàn)H=3；設(shè)AE=x，則EF=x，EH=9－x，在Rt△EHF中由勾股定理建立方程求解即可；
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)F作FG⊥CD于G，過點(diǎn)F作FH⊥AD于H，

ABCD是矩形，則∠D=90°，
FG⊥CD，F(xiàn)H⊥AD，則FGDH是矩形，
∴HD=FG=1，F(xiàn)H=3，
設(shè)AE=x，則EF=x，EH=AD－HD－AE=9－x，
Rt△EHF中，EF2=EH2+FH2，
x2=9-x2+9，
解得：x=5，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理；正確作出輔助線由勾股定理得到含有參數(shù)的方程是解題關(guān)鍵．
二、填空題
11．（2022春·山東泰安·八年級(jí)東平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在長方形ABCD中，AB=10，BC=8，P為AD上一點(diǎn)，將△ABP沿BP翻折至△EBP，PE與CD相交于點(diǎn)O，且OE=OD，則AP的長為______．

【答案】203##623
【分析】證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OP=OG，PD=GE，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)用x表示出PD、OP，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，，
由折疊的性質(zhì)可知，
∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=10，
在和中，
，
，
，PD=GE，
，
設(shè)AP=EP=x，則PD=GE=8-x，DG=x，
，BG=10-(8-x)=2+x，
根據(jù)勾股定理得：BC2+CG2=BG2，
即82+(10-x)2=(x+2)2，
解得：x=203，
∴AP=203，
故答案為：203．
【點(diǎn)睛】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握翻折變換的性質(zhì)．
12．（2022春·上?！ぐ四昙?jí)上海市進(jìn)才中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知矩形ABCD的長AD=9，，將其折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，求折疊后折痕EF的長是______．

【答案】10
【分析】作FM⊥AD于M，設(shè)AE=x，則BE=DE=BF=9-x，根據(jù)勾股定理得：AB2+AE2=BE2，建立方程，解方程求得AE，即可求得EM，勾股定理即可求解
【詳解】作FM⊥AD于M，如圖所示：

則∠FME=90°，F(xiàn)M=AB=3，根據(jù)題意得：BE=DE，∠BEF=∠DEF，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，AD∥BC，
∴∠BFE=∠DEF，
∴∠BEF=∠BFE，
∴BF=BE，
設(shè)AE=x，則BE=DE=BF=9-x，
根據(jù)勾股定理得：AB2+AE2=BE2，
即32+x2=9-x2，解得：x=4，
∴AE=4，
∴DE=BF=5，
∴CF=DM=4，
∴EM=1，
根據(jù)勾股定理得：EF=32+12=10，
故答案為：10.
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形折疊問題，利用勾股定理建立方程是解題的關(guān)鍵．
13．（2022春·湖南婁底·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，有一張長方形片ABCD，AB=8cm，BC=10cm．點(diǎn)E為CD上一點(diǎn)，將紙片沿AE折疊，BC的對應(yīng)邊恰好經(jīng)過點(diǎn)D，則線段DE的長為________cm．

【答案】5
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到線段和角相等，然后在Rt△AB'D中，由勾股定理求出B'D的長，則可得出C'D的長，再在Rt△EC'D利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可求DE的長.
【詳解】解：∵四邊形ABCD是長方形，
∴AD=BC=10,CD=AB=8,∠B=∠C=90°.
根據(jù)折疊的性質(zhì),得AB=AB'=8, CE=C'E =8-DE, B'C'=CB=10,∠B' =∠B=90°.
在Rt△AB'D中,由勾股定理，得B'D =AD2-AB'2=6.
∴C'D =10-6=4.
在Rt△EC'D中,由勾股定理，得C'E2+C'D2=DE2.
∴（8-DE）2+42=DE2.
解得DE=5.
故答案是：5.
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，熟練運(yùn)用折疊的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
14．（2022·全國·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊上的一點(diǎn)，連接AE，將△ABE沿AE翻折，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為F．若線段AF的延長線經(jīng)過矩形一邊的中點(diǎn)，AB=2，AD=4，則BE長為_________．

【答案】22-2或17-12或2
【分析】主要分三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)線段AF的延長線AG經(jīng)過BC的中點(diǎn)時(shí)，②當(dāng)線段AF的延長線經(jīng)過AD的中點(diǎn)時(shí)，③當(dāng)線段AF的延長線AG經(jīng)過CD的中點(diǎn)時(shí)，進(jìn)行一一求解即可．
【詳解】解：分三種情況討論，
①當(dāng)線段AF的延長線AG經(jīng)過BC的中點(diǎn)時(shí)，如圖1，此時(shí)BG=CG=2，

?????????圖1
由折疊的性質(zhì)可得：AF=AB=2，∠AFE=∠B=90°，
∵Rt△ABG中，AB=BG=2，
∴AG=22，∠AGB=45°，
∴FG==AG-AF=22-2，EF=FG，
∴BE=EF=FG=22-2；
②當(dāng)線段AF的延長線經(jīng)過AD的中點(diǎn)時(shí)，如圖2，此時(shí)BE=CE=2，

???????????圖2
由折疊的性質(zhì)可得：AF=AB=2，∠AFE=∠B=90°，
∴四邊形ABEF是正方形，
∴BE=AF=2，
③當(dāng)線段AF的延長線AG經(jīng)過CD的中點(diǎn)時(shí)，如圖3，此時(shí)DG=CG=1，

???????????圖3
由折疊的性質(zhì)可得：AF=AB=2，∠AFE=∠B=90°，
∵Rt△ADG中，AD=4，DG=1，
∴AG=AD2+DG2=42+12=17，
∴FG=AG-AF=17-2，
設(shè)BE=x，則EF=x，CE=4-x，
∵EG2=EF2+FG2,EG2=EC2+CG2，
∴EF2+FG2=EC2+CG2，
∴17-22+x2=12+4-x2，
解得：x=17-12，
∴BE=17-12，
故答案為：22-2或17-12或2．
【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握翻折變換的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
15．（2022春·廣東深圳·八年級(jí)深圳市光明區(qū)公明中學(xué)?？计谥校┤鐖D，矩形紙片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，現(xiàn)將紙片折疊壓平，使A與C重合，設(shè)折痕為EF，則重疊部分△AEF的面積等于_____．

【答案】10
【分析】要求重疊部分△AEF的面積，選擇AF作為底，高就等于AB的長；而由折疊可知∠AEF=∠CEF，由平行得∠CEF=∠AFE，代換后，可知AE=AF，問題轉(zhuǎn)化為在Rt△ABE中求AE的長，進(jìn)而可得出△AEF的面積．
【詳解】解：設(shè)AE＝x，由折疊可知，EC＝x，BE＝8－x，
在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，即42＋（8－x）2＝x2，
解得：x＝5，
由折疊可知∠AEF＝∠CEF，
∵AD//BC，
∴∠CEF＝∠AFE，
∴∠AEF＝∠AFE，即AE＝AF＝5，
∴S△AEF=12×AF×AB=12×5×4＝10．
故答案為：10．
【點(diǎn)睛】本題考查的是圖形的翻折變換，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后對應(yīng)角相等．
三、解答題
16．（2022秋·全國·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，將矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點(diǎn)D恰好落在BC邊上F點(diǎn)處，已知CE＝3cm，AB＝8cm，求圖中陰影部分的面積．

【答案】30．
【分析】根據(jù)折疊的過程以及矩形的對邊相等，得：AF＝AD＝BC，DE＝EF．然后根據(jù)勾股定理求得CF的長，再設(shè)BF＝x，即可表示AF的長，進(jìn)一步根據(jù)勾股定理進(jìn)行求解．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，
由折疊可知△ADE和△AFE關(guān)于AE成軸對稱，
故AF＝AD，EF＝DE＝DC﹣CE＝8﹣3＝5cm．
在△CEF中，CF＝EF2-CE2=4cm，
設(shè)BF＝xcm，則AF＝AD＝BC＝（x+4）cm．
在Rt△ABF中，由勾股定理，得82+x2＝（x+4）2．
解得x＝6，故BC＝10．
所以陰影部分的面積為：10×8﹣2S△ADE＝80﹣50＝30（cm2）．
【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，正確分析圖形得到直角三角形，利用勾股定理解決問題是解題的關(guān)鍵．
17．（2022春·安徽亳州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，長方形紙片ABCD中，AB＝8，BC＝12，點(diǎn)E、F分別在邊AD和邊BC上，連接EF，將紙片沿EF折疊．

(1)如圖（1），若點(diǎn)B落在邊AD的延長線上的點(diǎn)G處，求證：GE＝GF；
(2)如圖（2），若點(diǎn)B落在邊CD的中點(diǎn)M處，求BF的長．
【答案】(1)見解析
(2)203

【分析】（1）由折疊的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)得出∠GEF＝∠EFG，則可得出結(jié)論；
（2）設(shè)BF＝x，由勾股定理得出（12?x）2＋42＝x2，求出x可得出答案．
（1）
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠GEF＝∠BFE，
∵將紙片沿EF折疊．
∴∠BFE＝∠EFG，
∴∠GEF＝∠EFG，
∴GE＝GF；
（2）
解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝12，AB＝CD＝8，
∵M(jìn)是CD的中點(diǎn)，
∴CM＝4，
由折疊的性質(zhì)可知，BF＝FM，
設(shè)BF＝x，
∵CF2＋CM2＝FM2，
∴（12?x）2＋42＝x2，
解得x＝203，
∴BF＝203．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握折疊的性質(zhì)．
18．（2022秋·江蘇無錫·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在長方形紙片ABCD中，點(diǎn)E是邊CD上的一點(diǎn)，將△AED沿AE所在的直線折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)F處．

（1）如圖1，若點(diǎn)F落在對角線AC上，且∠BAC＝54°，則∠DAE的度數(shù)為　 °．
（2）如圖2，若點(diǎn)F落在邊BC上，且AB＝6，AD＝10，求CE的長．
（3）如圖3，若點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，AF的沿長線交BC于點(diǎn)G，且AB＝6，AD＝10，求CG的長．
【答案】（1）18；（2）CE的長為83；（3）CG的長為910．
【分析】（1）由矩形的性質(zhì)可知∠BAD＝90°，易知∠DAC的度數(shù)，由折疊的性質(zhì)可知∠DAE＝12∠DAC，計(jì)算可得∠DAE的度數(shù).
（2）由矩形四個(gè)角都是直角及對邊相等的性質(zhì)及折疊后圖形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理可得BF長，由CF＝BC﹣BF可求出CF長，設(shè)CE＝x，則EF＝ED＝6﹣x，在Rt△CEF中，根據(jù)勾股定理求出x值即可；
（3）連接EG，由中點(diǎn)及折疊的性質(zhì)利用HL定理可證Rt△CEG≌△FEG，結(jié)合全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)可設(shè)CG＝FG＝y(tǒng)，可用含y的代數(shù)式表示出AG、BG，在Rt△ABG中，根據(jù)勾股定理求解即可.
【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝54°，
∴∠DAC＝90°﹣54°＝36°，
由折疊的性質(zhì)得：∠DAE＝∠FAE，
∴∠DAE＝12∠DAC＝18°；
故答案為：18；
（2）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，
由折疊的性質(zhì)得：AF＝AD＝10，EF＝ED，
∴BF＝AF2-AB2＝102-62＝8，
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，
設(shè)CE＝x，則EF＝ED＝6﹣x，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：22+x2＝（6﹣x）2，
解得：x＝83，
即CE的長為83；
（3）連接EG，如圖3所示：
∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，
∴DE＝CE，
由折疊的性質(zhì)得：AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，F(xiàn)E＝DE，
∴∠EFG＝90°＝∠C，
在Rt△CEG和△FEG中，
EG=EGCE=FE，
∴Rt△CEG≌△FEG（HL），
∴CG＝FG，
設(shè)CG＝FG＝y(tǒng)，
則AG＝AF+FG＝10+y，BG＝BC﹣CG＝10﹣y，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：62+（10﹣y）2＝（10+y）2，
解得：y＝910，
即CG的長為910．

【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的折疊問題，涉及了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、直角三角形的判定、勾股定理，靈活利用矩形與折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
19．（2022春·云南昆明·八年級(jí)云南省昆明市第十四中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)E、F分別為邊AD、BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為對稱軸折疊四邊形CDEF，點(diǎn)D、C的對應(yīng)點(diǎn)分別為M、N，當(dāng)點(diǎn)N恰好落在AB的三等分點(diǎn)處時(shí)，求CF的長．

【答案】5或174
【分析】分AN=AB=2與AN=AB=4兩種情況討論，設(shè)CF=NF=x，在Rt△NBF中利用勾股定理，可分別求出x的值，即CF的長度．
【詳解】解：由翻折知，CF=NF，
設(shè)CF=NF=x，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠B=90°，
當(dāng)AN=AB=2時(shí)，
在Rt△NBF中，NF=x，BF=BC-CF=8-x，BN=AB-AN=4，
∵NF2=NB2+BF2，
∴x2=42+（8-x）2，
解得，x=5，
∴CF=5；
當(dāng)AN=AB=4時(shí)，
在Rt△NBF中，NF=x，BF=BC-CF=8-x，BN=AB-AN=2，
∵NF2=NB2+BF2，
∴x2=22+（8-x）2，
解得，x=174，
∴CF=174，
故答案為5或174．

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理等，解題關(guān)鍵是能夠運(yùn)用分類討論的思想，弄清楚線段的三等分點(diǎn)有兩個(gè)．
20．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖①，在長方形OABC中，O為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)B在第一象限．點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿著O-A-B-C-O的路線勻速移動(dòng)（即：沿著長方形移動(dòng)一周）．點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間為ts．

（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為 　 ??；當(dāng)t＝4s時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為 　 ?。?br /> （2）在移動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)P到x軸的距離為5個(gè)單位長度時(shí)，求點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間．
（3）如圖②，若將長方形OABC沿著AC翻折，點(diǎn)B與點(diǎn)B′重合，邊AB′與y軸交于點(diǎn)E，求出點(diǎn)E的坐標(biāo).
【答案】（1）（4，6），（4，4）；（2）當(dāng)點(diǎn)P到x軸的距離為5個(gè)單位長度時(shí)，求點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間是4.5s或7.5s；（3）點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，53）．
【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)解答；
（2）分點(diǎn)P在AB上和點(diǎn)P在OC上兩種情況，根據(jù)題意計(jì)算；
（3）根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到∠B′=∠B=90°，B′C=BC=OA=4，證明△CB′E≌△AOE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE′=OE，根據(jù)勾股定理計(jì)算，求出OE，得到答案．
【詳解】解：（1）∵四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，6），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，6）；
當(dāng)t=4s時(shí)，點(diǎn)P在AB上，AP=2×4-4=4，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，4），
故答案為：（4，6），（4，4）；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，AP=5，
∴OA+AB=9，
∴t=92=4.5（s），
當(dāng)點(diǎn)P在OC上時(shí)，OP=5，
則CP=6-5=1，
∴OA+AB+BC+CP=15，
∴t=152=7.5（s），
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P到x軸的距離為5個(gè)單位長度時(shí)，求點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間是4.5s或7.5s；
（3）由折疊的性質(zhì)可知，∠B′=∠B=90°，B′C=BC=OA=4，
在△CB′E和△AOE中，
∠B'=∠AOE∠CEB'=∠AEOB'C=OA，
∴△CB′E≌△AOE（AAS）
∴BE′=OE，
在Rt△CB′E中，CE2=B′E2+B′C2，即（6-OE）2=OE2+42，
解得：OE=53，
則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，53）．
【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理，翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

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