?八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第十八章 平行四邊形》
18.2 平行四邊形的判定

題型一 利用定義進(jìn)行平行四邊形的判定

【例題1】如圖，E是四邊形ABCD的邊BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且AB∥CD，則下列條件中不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（　　）

A．∠D＝∠5 B．∠3＝∠4 C．∠1＝∠2 D．∠B＝∠D

【變式1-1】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，要使四邊形ABCD成為平行四邊形，則應(yīng)增加的條件是（　　）

A．AB＝CD B．∠ABD＝∠CDB
C．AC＝BD D．∠ABC+∠BAD＝180°
【變式1-2】如圖，在平行四邊形ABCD中，EF∥AD，GH∥AB，EF與GH交于點(diǎn)O，則圖中平行四邊形的個(gè)數(shù)是 　?。?br />
【變式1-3】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是邊BC上一點(diǎn)，且DE＝DC．
求證：四邊形ABED是平行四邊形．




【變式1-4】已知：如圖，△ABC和△ADE都是等邊三角形，點(diǎn)D在BC邊上，EF∥BC交AC于點(diǎn)F，連結(jié)BE．
求證：四邊形BEFC為平行四邊形．





題型二 利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形進(jìn)行判定


【例題2】（2022?鞍山）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，且BE＝DF，∠ABD＝∠BDC．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．







【變式2-1】如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，已知AB＝CD，添加列其中一個(gè)條件，能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（　　）

A．AD∥BC B．∠ABD＝∠BDC C．OB＝OD D．AC⊥BD
【變式2-2】（2022?海淀區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F，使CF=12BC，連接DE、CD、EF．求證：四邊形DCFE是平行四邊形．


【變式2-3】（2022春?舒城縣校級(jí)月考）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，以O(shè)D，CD為鄰邊作平行四邊形DOEC，OE交BC于點(diǎn)F，連接BE．求證：四邊形ABEO是平行四邊形．


【變式2-4】（2021?射陽(yáng)縣二模）如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF．
（1）求證：△ABC≌△DEF；
（2）連接AD，求證：四邊形ACFD是平行四邊形．







題型三 利用兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形進(jìn)行判定
定


【例題3】（2022春?南召縣期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AB的延長(zhǎng)線上
的一動(dòng)點(diǎn)，連接EF，過(guò)點(diǎn)C作CD∥AB，與線段EF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，連接CE、BD．
求證：四邊形DBEC是平行四邊形．






【變式3-1】下面給出的是四邊形ABCD中，AB，BC，CD，DA的長(zhǎng)度之比，其中能滿(mǎn)足四邊形ABCD是平行四邊形的是（　　）
A．2：3：4：5 B．3：3：4：4 C．4：3：3：4 D．4：3：4：3
【變式3-2】如圖，已知四邊形ABCD，CD⊥AC，AB⊥AC，垂足分別為C、A，AD＝BC．
（1）求證：Rt△ACD≌Rt△CAB．
（2）求證：四邊形ABCD是平行四邊形．


【變式3-3】如圖，以平行四邊形ABCD的邊AB、CD為邊，作等邊△ABE和等邊△CDF，連接DE，BF．求證：四邊形BFDE是平行四邊形．



題型四 利用兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形進(jìn)行判定
定


【例題4】一個(gè)四邊形的四個(gè)內(nèi)角的度數(shù)依次為88°，92°，88°，92°，我們判定其為平行四邊形的依據(jù)是（　?。?br /> A．兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形
B．兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形
C．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形
D．兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形

【變式4-1】下面給出的四邊形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度數(shù)之比，其中能判定四邊形ABCD是平行四邊形的條件是（　?。?br /> A．3：4：3：4 B．3：3：4：4 C．2：3：4：5 D．3：4：4：3
【變式4-2】如圖，在四邊形ABCD中，連接AC，已知∠BAC＝∠DCA，∠B＝∠D，求證：四邊形ABCD是平行四邊形．





【變式4-3】如圖，四邊形ABCD中，∠B＝∠D，EF交CD于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)E，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∠DEF＝∠CFG．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．






題型五 利用對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形進(jìn)行判定
定


【例題5】（2022?天河區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在四邊形ABCD中，∠ADB＝90°，AD＝12，DO＝OB＝5，AC＝26，
（1）求證；四邊形ABCD為平行四邊形；
（2）求四邊形ABCD的面積．



【變式5-1】（2022春?巴中期末）已知：如圖，四邊形ABCD中，AO＝OC，要使四邊形ABCD為平行四邊形，需添加一個(gè)條件是：　　 ．（只需填一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可）

【變式5-2】（2021春?柳南區(qū)校級(jí)期末）已知：如圖，在四邊形ABCD中，E是邊BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且AB＝BF，∠F＝∠CDE．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．


【變式5-3】已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中點(diǎn)，直線AE交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．試判斷四邊形ABFC的形狀，并證明你的結(jié)論．

【變式5-4】（2021春?黑山縣期末）如圖，AB，CD相交于點(diǎn)O，AC∥DB，OA＝OB，E、F分別是OC，OD中點(diǎn)．
（1）求證：OD＝OC．
（2）求證：四邊形AFBE平行四邊形．


題型六 應(yīng)用中位線定理求線段的長(zhǎng)度
定


【例題6】如圖，在?ABCD中，AD＝10，點(diǎn)E、F分別是BD、CD的中點(diǎn)，則EF等于（　?。?br />
A．3 B．4 C．5 D．6


【變式6-1】（2022秋?任城區(qū)期末）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，BC＝16，F(xiàn)是線段DE上一點(diǎn)，連接AF、CF，DE＝4DF．若∠AFC＝90°，則AC的長(zhǎng)度是 　 ?。?br />
【變式6-2】如圖，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD、AE分別是其角平分線和中線，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AD于F，交AB于G，連接EF，則線段EF的長(zhǎng)為（　　）

A．12 B．1 C．72 D．7
【變式6-3】如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6．若DE是△ABC的中位線，延長(zhǎng)DE交△ABC的外角∠ACM的平分線于點(diǎn)F，則線段DF的長(zhǎng)為（　?。?br />
A．7 B．8 C．9 D．10
【變式6-4】如圖，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)為（　?。?br />
A．12 B．14 C．24 D．21
【變式6-5】（2022春?順德區(qū)校級(jí)期中）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，BC＝15，CD＝9，EF＝6，∠AFE＝50°，求∠ADC的度數(shù)．



題型七 應(yīng)用中位線定理推理證明
定


【例題7】如圖，四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn).
求證：四邊形EFGH是平行四邊形.




【變式7-1】（2022?濉溪縣校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知，如圖△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，E為AD的中點(diǎn)，CE延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F．求證：AF=12FB．





【變式7-2】（2022春?寧都縣期末）如圖，AC、BD是四邊形ABCD的對(duì)角線，E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，G、H分別為BD、AC的中點(diǎn)．請(qǐng)你判斷EF與GH的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．



【變式7-3】（2022春?城固縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，連接CD，∠ADC+∠DCB＝90°，AE平分∠CAB交CD于點(diǎn)E．
（1）求證：AE垂直平分CD；
（2）若AC＝6，BC＝8，點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，連接EF，求EF的長(zhǎng)．


【變式7-4】如圖，已知AO是△ABC的∠A的平分線，BD⊥AO的延長(zhǎng)線于D，E是BC的中點(diǎn)．
求證：DE=12（AB﹣AC）





【變式7-5】在△ABC中，D、E分別是AB，AC的中點(diǎn)，作∠B的角平分線
（1）如圖1，若∠B的平分線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，猜想△ABC是怎樣的特殊三角形，并說(shuō)明理由．
（2）如圖2，若∠B的平分線交線段DE于點(diǎn)F，已知AB＝8，BC＝10，求EF的長(zhǎng)度．
（3）若∠B的平分線交直線DE于點(diǎn)F，直接寫(xiě)出AB、BC、EF三者之間的數(shù)量關(guān)系．





題型八 平行四邊形性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用

【例題8】（2022春?張家港市校級(jí)月考）如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線BD上不同的兩點(diǎn)，連接AE，CE，AF，CF．下列條件中，不能得出四邊形AECF一定是平行四邊形的為（　　）

A．BE＝DF B．AE＝CF C．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF
【變式8-1】如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，線段EF與對(duì)角線AC交于點(diǎn)O且互相平分，若AD＝BC＝10，AB＝6，則四邊形ABCD的周長(zhǎng)是（　?。?br />
A．26 B．32 C．34 D．36
【變式8-2】（2022?豐順縣校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，BD＝2AD，E，F(xiàn)，G分別是OC，OD，AB的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①BE⊥AC；②四邊形BEFG是平行四邊形；③△EFG≌△GBE；④EG＝EF，其中正確的有 　　個(gè)．

【變式8-3】（2022秋?萊陽(yáng)市期末）如圖，△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，DE∥BC交AB于點(diǎn)E，EF∥AC交BC于點(diǎn)F．求證：BE＝CF．

【變式8-4】（2022秋?煙臺(tái)期末）如圖，在?ABCD中，∠C＝60°，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)．
（1）求證：四邊形MNCD是平行四邊形；
（2）若BC＝2CD，MN＝1，求BD的長(zhǎng)．




【變式8-5】（2022秋?泰山區(qū)校級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，且AO＝OC．
（1）求證：①△AOE≌△COF；②四邊形ABCD為平行四邊形；
（2）過(guò)點(diǎn)O作EF⊥BD，交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝32°，求∠ABE的度數(shù)．






題型九 平行四邊形的判定與動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題
定


【例題9】（2022春?蓮池區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝18 cm，BC＝15 cm，點(diǎn)P在AD邊上以每秒2 cm的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在BC邊上，以每秒1 cm的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 　 秒時(shí)，直線PQ在四邊形ABCD內(nèi)部截出一個(gè)平行四邊形．

【變式9-1】（2021春?魏縣期中）如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，點(diǎn)P在AD邊上以每秒1cm的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒3cm的速度從點(diǎn)D出發(fā)，沿DC，CB向B運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，在運(yùn)動(dòng) 　 　秒時(shí)，以P，D，Q，B四點(diǎn)組成的四邊形是平行四邊形．

【變式9-2】（2022春?社旗縣期末）在四邊形ABCD中，AD＝6cm，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝10cm，M是BC上一點(diǎn)，且BM＝4cm，點(diǎn)E從A出發(fā)以1cm/s的速度向D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)以2cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，而另一點(diǎn)也隨之停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，當(dāng)t的值為 　 　時(shí)，以A、M、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．


【變式9-3】（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以1cm/s的速度由A向D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以3cm/s的速度由C向B運(yùn)動(dòng)，其中一動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）AP＝　 ，BQ＝　 　，（分別用含有t的式子表示）；
（2）當(dāng)四邊形PQCD的面積是四邊形ABQP面積的2倍時(shí)，求出t的值．
（3）當(dāng)點(diǎn)P、Q與四邊形ABCD的任意兩個(gè)頂點(diǎn)所形成的四邊形是平行四邊形時(shí)，直接寫(xiě)出t的值．


【變式9-4】（2022秋?任城區(qū)校級(jí)月考）.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝9cm，BC＝24cm，E是BC的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P平均每秒運(yùn)動(dòng)1cm；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q平均每秒運(yùn)動(dòng)2cm，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t（0＜t＜9）秒時(shí)，則PD＝　 ??；（用含t的代數(shù)式直接表示）
（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，
①若0＜t＜6，則EQ＝　 ??；（用含t的代數(shù)式直接表示）
②若6＜t＜9，則EQ＝　 ??；（用含t的代數(shù)式直接表示）
（3）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為多少秒時(shí)，以點(diǎn)P，Q，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？










八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第十八章 平行四邊形》
18.2 平行四邊形的判定答案
題型一 利用定義進(jìn)行平行四邊形的判定

【例題1】如圖，E是四邊形ABCD的邊BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且AB∥CD，則下列條件中不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（　?。?br />
A．∠D＝∠5 B．∠3＝∠4 C．∠1＝∠2 D．∠B＝∠D
【分析】利用平行線的判定方法及平行四邊形的判定可得出答案．
【解答】解：A．∵∠D＝∠5，
∴AD∥BC，
又∵AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
故A選項(xiàng)不符合題意；
B．∵∠3＝∠4，
∴AD∥BC，
又∵AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
故B選項(xiàng)不符合題意；
C．∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
∴不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，
故C選項(xiàng)符合題意；
D．∵AB∥CD，
∴∠B+∠BCD＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠D+∠BCD＝180°，
∴AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
故D選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的判定，平行四邊形的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．
解題技巧提煉
當(dāng)已知條件中涉及或易得出四邊形的對(duì)邊分別平行時(shí)，應(yīng)考慮使用平行四邊形的定義這種判定方法.

【變式1-1】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，要使四邊形ABCD成為平行四邊形，則應(yīng)增加的條件是（　?。?br />
A．AB＝CD B．∠ABD＝∠CDB
C．AC＝BD D．∠ABC+∠BAD＝180°
【分析】先證AB∥CD，再由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論．
【解答】解：應(yīng)增加的條件是：∠ABD＝∠CDB，理由如下：
∵∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD，
∵AD∥BC，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定、平行線的判定等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．
【變式1-2】如圖，在平行四邊形ABCD中，EF∥AD，GH∥AB，EF與GH交于點(diǎn)O，則圖中平行四邊形的個(gè)數(shù)是 　?。?br />
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵AD∥EF，CD∥GH，
∴AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，
∴圖中平行四邊形有：?ABCD，?ABHG，?CDGH，?BCFE，?ADFE，?AGOE，?BEOH，?OFCH，?OGDF共9個(gè)．
即共有9個(gè)平行四邊形．
故答案為：9．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)．熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式1-3】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是邊BC上一點(diǎn)，且DE＝DC．
求證：四邊形ABED是平行四邊形．

【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得∠DEC＝∠C，再證∠B＝∠DEC，則AB∥DE，然后由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論．
【解答】證明：∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠C，
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DEC，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴四邊形ABED是平行四邊形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定、等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的判定等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．
【變式1-4】已知：如圖，△ABC和△ADE都是等邊三角形，點(diǎn)D在BC邊上，EF∥BC交AC于點(diǎn)F，連結(jié)BE．
求證：四邊形BEFC為平行四邊形．

【分析】證△ABE≌△ACD（SAS），得∠EBA＝∠DCA＝60°，再證∠EBC+∠BCA＝180°，則BE∥CF，然后由EF∥BC，即可得出結(jié)論．
【解答】證明：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴AE＝AD，AB＝AC，∠BCA＝∠EAD＝∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴∠EAD﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD，
即∠EAB＝∠DAC，
在△ABE和△ACD中，
AB=AC∠BAE=∠CADAE=AD，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠EBA＝∠DCA＝60°，
∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝120°，
∴∠EBC+∠BCA＝180°，
∴BE∥CF，
又∵EF∥BC，
∴四邊形BEFC為平行四邊形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定、等邊三角形的性質(zhì)、平行線的判定等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的判定，證明△ABE≌△ACD是解題的關(guān)鍵．



題型二 利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形進(jìn)行判定


【例題2】（2022?鞍山）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，且BE＝DF，∠ABD＝∠BDC．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

【分析】結(jié)合已知條件推知AB∥CD；然后由全等三角形的判定定理AAS證得△ABE≌△CDF，則其對(duì)應(yīng)邊相等：AB＝CD；最后根據(jù)“對(duì)邊平行且相等是四邊形是平行四邊形”證得結(jié)論．
【解答】證明：∵∠ABD＝∠BDC，
∴AB∥CD．
∴∠BAE＝∠DCF．
在△ABE與△CDF中，
∠BAE=∠DCF∠AEB=∠CFD=90°BE=DF．
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
∴AB＝CD．
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行四邊形的判定：（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．



【變式2-1】如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，已知AB＝CD，添加列其中一個(gè)條件，能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（　　）

A．AD∥BC B．∠ABD＝∠BDC C．OB＝OD D．AC⊥BD
【分析】由平行四邊形的判定定理即可得出結(jié)論．
【解答】解：添加一個(gè)條件，能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是∠ABD＝∠BDC，理由如下：
∵∠ABD＝∠BDC，
∴AB∥CD，
又∵AB＝CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定，熟記“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形”是解題的關(guān)鍵．
【變式2-2】（2022?海淀區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F，使CF=12BC，連接DE、CD、EF．求證：四邊形DCFE是平行四邊形．

【分析】證明DE是△ABC的中位線，得DE∥BC，DE=12BC，再證明DE＝CF，即可得出結(jié)論．
【解答】證明：∵點(diǎn)D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE∥BC，DE=12BC，
∵CF=12BC，
∴DE＝CF，
又∵DE∥CF，
∴四邊形DCFE是平行四邊形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定以及三角形中位線定理，熟練掌握平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2022春?舒城縣校級(jí)月考）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，以O(shè)D，CD為鄰邊作平行四邊形DOEC，OE交BC于點(diǎn)F，連接BE．求證：四邊形ABEO是平行四邊形．

【分析】與證明四邊形ABEO是平行四邊形，只需推知AB＝OE且AB∥OE即可．
【解答】證明：∵四邊形ABCD和四邊形DOEC都是平行四邊形，
∴AB∥CD且AB＝CD，OE∥CE且OE＝DC，
∴AB∥OE且AB＝OE．
∴四邊形ABEO是平行四邊形．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，平行四邊形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)角線互相平分及它的判定，是我們證明直線的平行、線段相等、角相等的重要方法，若要證明兩直線平行和兩線段相等、兩角相等，可考慮將要證的直線、線段、角、分別置于一個(gè)四邊形的對(duì)邊或?qū)堑奈恢蒙?，通過(guò)證明四邊形是平行四邊形達(dá)到上述目的．
【變式2-4】（2021?射陽(yáng)縣二模）如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF．
（1）求證：△ABC≌△DEF；
（2）連接AD，求證：四邊形ACFD是平行四邊形．

【分析】（1）由SAS證明△ABC≌△DEF即可；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得AC＝DF，∠ACB＝∠F，則AC∥DF，即可得出結(jié)論．
【解答】證明：（1）∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
AB=DE∠B=∠DEFBC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
（2）由（1）得：△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF，∠ACB＝∠F，
∴AC∥DF，
∴四邊形ACFD是平行四邊形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定，證明△ABC≌△DEF是解題的關(guān)鍵．

題型三 利用兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形進(jìn)行判定
定


【例題3】（2022春?南召縣期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AB的延長(zhǎng)線上
的一動(dòng)點(diǎn)，連接EF，過(guò)點(diǎn)C作CD∥AB，與線段EF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，連接CE、BD．
求證：四邊形DBEC是平行四邊形．

【分析】先證明△EBF≌△DCF，可得DC＝BE，可證四邊形BECD是平行四邊形
【解答】證明：∵AB∥CD，
∴∠CDF＝∠FEB，∠DCF＝∠EBF，
∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，
∴BF＝CF，
在△DCF和△EBF中，
∠CDF=∠FEB∠DCF=∠EBFFC=BF，
∴△EBF≌△DCF（AAS），
∴DC＝BE，
∴四邊形BECD是平行四邊形．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行四邊形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì).

【變式3-1】下面給出的是四邊形ABCD中，AB，BC，CD，DA的長(zhǎng)度之比，其中能滿(mǎn)足四邊形ABCD是平行四邊形的是（　?。?br /> A．2：3：4：5 B．3：3：4：4 C．4：3：3：4 D．4：3：4：3
【分析】?jī)山M對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，故只有選項(xiàng)D能判定是平行四邊形．其它三個(gè)選項(xiàng)不能滿(mǎn)足兩組對(duì)邊相等，故不能判定．
【解答】解：根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可知D正確．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的判定，運(yùn)用了兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形這一判定方法．
【變式3-2】如圖，已知四邊形ABCD，CD⊥AC，AB⊥AC，垂足分別為C、A，AD＝BC．
（1）求證：Rt△ACD≌Rt△CAB．
（2）求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

【分析】（1）根據(jù)HL可證明Rt△ACD≌Rt△CAB．
（2）由全等三角形的性質(zhì)得出AB＝DC，AD＝BC，由平行四邊形的判定可得出結(jié)論．
【解答】證明：（1）在Rt△ACD和Rt△CAB中，
AD=BCAC=CA，
∴Rt△ACD≌Rt△CAB（HL）；
（2）∵△ACD≌△CAB，
∴AB＝DC，AD＝BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，證明Rt△ABF≌Rt△CDE是本題的關(guān)鍵．
【變式3-3】如圖，以平行四邊形ABCD的邊AB、CD為邊，作等邊△ABE和等邊△CDF，連接DE，BF．求證：四邊形BFDE是平行四邊形．

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝∠DCB，由等邊三角形的性質(zhì)得出BE＝AE＝AB＝CD＝CF＝DF，∠BAE＝∠DCF＝60°，證明△ADE≌△CBF（SAS），得出DE＝BF，則可得出結(jié)論．
【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝∠DCB，
∵△ABE和△CDF是等邊三角形，
∴BE＝AE＝AB＝CD＝CF＝DF，∠BAE＝∠DCF＝60°，
∴∠DCB﹣∠DCF＝∠DAB﹣∠BAE，
即∠DAE＝∠FCB，
在△ADE和△CBF中，
AD=CB∠DAE=∠BCFAE=CF，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴DE＝BF，
又∵BE＝DF，
∴四邊形BFDE為平行四邊形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練運(yùn)用平行四邊形的判定和性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．

題型四 利用兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形進(jìn)行判定
定


【例題4】一個(gè)四邊形的四個(gè)內(nèi)角的度數(shù)依次為88°，92°，88°，92°，我們判定其為平行四邊形的依據(jù)是（　　）
A．兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形
B．兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形
C．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形
D．兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形
【分析】根據(jù)兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵一個(gè)四邊形的四個(gè)內(nèi)角的度數(shù)依次為88°，92°，88°，92°，
∴度數(shù)為88°的兩個(gè)內(nèi)角是一組相等的對(duì)角，度數(shù)為92°的兩個(gè)內(nèi)角是另一組相等的對(duì)角，
∴這個(gè)四邊形是平行四邊形（兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形）．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的判定．熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．

【變式4-1】下面給出的四邊形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度數(shù)之比，其中能判定四邊形ABCD是平行四邊形的條件是（　?。?br /> A．3：4：3：4 B．3：3：4：4 C．2：3：4：5 D．3：4：4：3
【分析】由于平行四邊形的兩組對(duì)角分別相等，故只有A能判定是平行四邊形．其它三個(gè)選項(xiàng)不能滿(mǎn)足兩組對(duì)角相等，故不能判定．
【解答】解：根據(jù)平行四邊形的兩組對(duì)角分別相等，可知A正確．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，運(yùn)用了兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形這一判定方法．
【變式4-2】如圖，在四邊形ABCD中，連接AC，已知∠BAC＝∠DCA，∠B＝∠D，求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

【分析】證出AB∥CD，AD∥BC，根據(jù)平行四邊形的判定可得出結(jié)論．
【解答】證明：∵∠BAC＝∠DCA，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠DCB＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠D+∠DCB＝180°，
∴AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定，平行線的判定，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
【變式4-3】如圖，四邊形ABCD中，∠B＝∠D，EF交CD于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)E，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∠DEF＝∠CFG．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

【分析】根據(jù)平行線的判定得出AD∥BC，進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)和平行四邊形的判定解答即可．
【解答】證明：∵∠DEF＝∠CFG，
∴AD∥BC，
∴∠D＝∠DCF，
∵∠B＝∠D，
∴∠B＝∠DCF，
∴AB∥DC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查平行四邊形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)兩組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形解答．

題型五 利用對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形進(jìn)行判定
定


【例題5】（2022?天河區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在四邊形ABCD中，∠ADB＝90°，AD＝12，DO＝OB＝5，AC＝26，
（1）求證；四邊形ABCD為平行四邊形；
（2）求四邊形ABCD的面積．

【分析】（1）由勾股定理可求AO＝13，可得AO＝CO＝13，即可得出四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）由平行四邊形面積公式即可求解．
【解答】（1）證明：∵∠ADB＝90°，
∴AO=AO2+OD2=122+52=13，
∵AC＝26，
∴CO＝AO＝13，
∵OD＝OB，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，BD＝2OD＝10，
∴四邊形ABCD的面積＝AD×BD＝12×10＝120．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理；證明四邊形ABCD是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．



【變式5-1】（2022春?巴中期末）已知：如圖，四邊形ABCD中，AO＝OC，要使四邊形ABCD為平行四邊形，需添加一個(gè)條件是：　　 ．（只需填一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可）

【分析】根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形的四邊形可知：添加BO＝DO可以使四邊形ABCD是平行四邊形．
【解答】解：添加BO＝DO，
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
故答案為：BO＝DO．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定：1、兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形（定義判定法）；2、一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；3、兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；4、兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；5、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．
【變式5-2】（2021春?柳南區(qū)校級(jí)期末）已知：如圖，在四邊形ABCD中，E是邊BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且AB＝BF，∠F＝∠CDE．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

【分析】利用邊角邊定理證得△DEC≌△FEB，從而得到DC＝BF，∠C＝∠EBF，進(jìn)一步得到AB∥DC，然后得到DC＝AB，利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定四邊形ABCD為平行四邊形即可．
【解答】證明：在△DEC與△FEB中，
∠CDE=∠F∠DEC=∠BEFEC=BE，
∴△DEC≌△FEB（AAS），
∴DC＝BF，∠C＝∠EBF，
∴AB∥DC，
∵AB＝BF，
∴DC＝AB，
∴四邊形ABCD為平行四邊形．
【點(diǎn)評(píng)】考查了平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．

【變式5-3】已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中點(diǎn)，直線AE交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．試判斷四邊形ABFC的形狀，并證明你的結(jié)論．

【分析】利用平行線的性質(zhì)得出∠BAE＝∠CFE，由AAS得出△ABE≌△FCE，得出對(duì)應(yīng)邊相等AE＝EF，再利用平行四邊形的判定得出即可．
【解答】解：四邊形ABFC是平行四邊形；理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠CFE，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴BE＝CE，
在△ABE和△FCE中，
∠BAE=∠CFE∠AEB=∠FECBE=CE，
∴△ABE≌△FCE（AAS）；
∴AE＝EF，
又∵BE＝CE
∴四邊形ABFC是平行四邊形．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的判定方法，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【變式5-4】（2021春?黑山縣期末）如圖，AB，CD相交于點(diǎn)O，AC∥DB，OA＝OB，E、F分別是OC，OD中點(diǎn)．
（1）求證：OD＝OC．
（2）求證：四邊形AFBE平行四邊形．

【分析】（1）利用已知條件和全等三角形的判定方法即可證明△AOC≌△BOD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得解．
（2）此題已知OA＝OB，要證四邊形AFBE是平行四邊形，根據(jù)全等三角形，只需證OE＝OF就可以了．
【解答】證明：（1）∵AC∥BD，
∴∠C＝∠D，
在△AOC和△BOD中，
∠C=∠D∠COA=∠DOBOA=OB，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴OD＝OC；
（2）∵OD＝OC，
∵E、F分別是OC、OD的中點(diǎn)，
∴OF=12OD，OE=12OC，
∴EO＝FO，
又∵OA＝OB，
∴四邊形AFBE是平行四邊形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定，在應(yīng)用判定定理判定平行四邊形時(shí)，應(yīng)仔細(xì)觀察題目所給的條件，仔細(xì)選擇適合于題目的判定方法進(jìn)行解答，避免混用判定方法．


題型六 應(yīng)用中位線定理求線段的長(zhǎng)度
定


【例題6】如圖，在?ABCD中，AD＝10，點(diǎn)E、F分別是BD、CD的中點(diǎn)，則EF等于（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等，可得BC＝AD＝10，又由點(diǎn)E、F分別是BD、CD的中點(diǎn)，利用三角形中位線的性質(zhì)，即可求得答案．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC＝AD＝10，
∵點(diǎn)E、F分別是BD、CD的中點(diǎn)，
∴EF=12BC=12×10＝5．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)與三角形中位線的性質(zhì)．此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．


【變式6-1】（2022秋?任城區(qū)期末）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，BC＝16，F(xiàn)是線段DE上一點(diǎn)，連接AF、CF，DE＝4DF．若∠AFC＝90°，則AC的長(zhǎng)度是 　 ?。?br />
【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到DE=12BC＝8，根據(jù)題意求出EF，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AC．
【解答】解：∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，
∴DE=12BC＝8，
∵DE＝4DF，
∴DF=14DE＝2，
∴EF＝DE﹣DF＝6，
∵∠AFC＝90°，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，
∴AC＝2EF＝12，
故答案為：12．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
【變式6-2】如圖，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD、AE分別是其角平分線和中線，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AD于F，交AB于G，連接EF，則線段EF的長(zhǎng)為（　　）

A．12 B．1 C．72 D．7
【分析】由等腰三角形的判定方法可知△AGC是等腰三角形，所以F為GC中點(diǎn)，再由已知條件可得EF為△CBG的中位線，利用中位線的性質(zhì)即可求出線段EF的長(zhǎng)．
【解答】解：∵AD是△ABC角平分線，CG⊥AD于F，
∴△AGC是等腰三角形，
∴AG＝AC＝3，GF＝CF，
∵AB＝4，AC＝3，
∴BG＝1，
∵AE是△ABC中線，
∴BE＝CE，
∴EF為△CBG的中位線，
∴EF=12BG=12，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形的中位線性質(zhì)定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．
【變式6-3】如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6．若DE是△ABC的中位線，延長(zhǎng)DE交△ABC的外角∠ACM的平分線于點(diǎn)F，則線段DF的長(zhǎng)為（　?。?br />
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出DE，得到DF∥BM，再證明EC＝EF=12AC，由此即可解決問(wèn)題．
【解答】解：在RT△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴AC=AB2+BC2=82+62=10，
∵DE是△ABC的中位線，
∴DF∥BM，DE=12BC＝3，
∴∠EFC＝∠FCM，
∵∠FCE＝∠FCM，
∴∠EFC＝∠ECF，
∴EC＝EF=12AC＝5，
∴DF＝DE+EF＝3+5＝8．
故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形中位線定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用三角形中位線定理，掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．
【變式6-4】如圖，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)為（　　）

A．12 B．14 C．24 D．21
【分析】利用勾股定理列式求出BC的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出EH＝FG=12BC，EF＝GH=12AD，然后代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解
【解答】解：∵BD⊥CD，BD＝4，CD＝3，
∴BC=BD2+CD2=42+32=5，
∵E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，
∴EH＝FG=12BC，EF＝GH=12AD，
∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，
又∵AD＝7，
∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)＝7+5＝12．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線定理，勾股定理的應(yīng)用，熟記三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
【變式6-5】（2022春?順德區(qū)校級(jí)期中）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，BC＝15，CD＝9，EF＝6，∠AFE＝50°，求∠ADC的度數(shù)．

【分析】連接BD，根據(jù)三角形中位線定理得到EF∥BD，BD＝2EF＝12，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠ADB，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，計(jì)算即可．
【解答】解：連接BD，
∵點(diǎn)E、F分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，EF＝6，
∴EF∥BD，BD＝2EF＝12，
∴∠ADB＝∠AFE＝50°，
在△BDC中，BD2+CD2＝122+92＝225，BC2＝225，
則BD2+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°+50°＝140°．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理、勾股定理的逆定理，熟記三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．

題型七 應(yīng)用中位線定理推理證明
定


【例題7】如圖，四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn).
求證：四邊形EFGH是平行四邊形.

【分析】連接AC，由三角形的中位線定理可得EF=12AC，EF∥AC；GH=12AC，GH∥AC；于是可得EF=GH，EF∥GH，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可求解.
【解答】證明：連接AC ,

∵E，F(xiàn)，G，H是四邊形ABCD的中點(diǎn),
∴EF，HG分別是△BCA和△DCA的中位線,
∴EF∥AC，HG∥AC，且EF=12AC=HG,
∴EF∥HG， EF=HG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中點(diǎn)四邊形、平行四邊形的判定，根據(jù)三角形中線定義找出EF∥HG、EF=HG是解題的關(guān)鍵．


【變式7-1】（2022?濉溪縣校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知，如圖△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，E為AD的中點(diǎn)，CE延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F．求證：AF=12FB．

【分析】過(guò)點(diǎn)D作DG∥CF，交AB于點(diǎn)G，易證EF是△AGD的中位線，DG是△BCF的中位線，得AF＝GF＝BG，即可得出結(jié)論．
【解答】證明：過(guò)點(diǎn)D作DG∥CF，交AB于點(diǎn)G，
在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，
∴BD＝CD，
∴DG是△BCF的中位線，
∴BG＝GF，
∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，EF∥GD，
∴EF是△ADG的中位線，
∴AF＝GF，
∴AF＝GF＝BG，
∴AF=12FB．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線定理以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確的添加輔助線得到AF＝GF＝BG．
【變式7-2】（2022春?寧都縣期末）如圖，AC、BD是四邊形ABCD的對(duì)角線，E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，G、H分別為BD、AC的中點(diǎn)．請(qǐng)你判斷EF與GH的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

【分析】連接EG、GF、FH、EH，根據(jù)三角形中位線定理得到EG=12AB，EG∥AB，F(xiàn)H=12AB，F(xiàn)H∥AB，進(jìn)而得到EG＝FH，EG∥FH，證明四邊形EGFH為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明結(jié)論．
【解答】解：EF與GH互相平分，
理由如下：連接EG、GF、FH、EH，
∵E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，G、H分別為BD、AC的中點(diǎn)，
∴EG是△ADB的中位線，F(xiàn)H是△ACB的中位線，
∴EG=12AB，EG∥AB，F(xiàn)H=12AB，F(xiàn)H∥AB，
∴EG＝FH，EG∥FH，
∴四邊形EGFH為平行四邊形，
∴EF與GH互相平分．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)，掌握三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
【變式7-3】（2022春?城固縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，連接CD，∠ADC+∠DCB＝90°，AE平分∠CAB交CD于點(diǎn)E．
（1）求證：AE垂直平分CD；
（2）若AC＝6，BC＝8，點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，連接EF，求EF的長(zhǎng)．

【分析】（1）首先根據(jù)題干信息證明出△ACD為等腰三角形，然后即可證明出AE垂直平分CD；
（2）在△ABC中利用勾股定理求出AB，進(jìn)而得到BD，再根據(jù)E為CD中點(diǎn)，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，即可求出EF的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：因?yàn)椤螦CB＝90°，
所以∠ACD+∠DCB＝90°，
因?yàn)椤螦DC+∠DCB＝90°，
所以∠ACD＝∠ADC，
所以AC＝AD，即△ACD為等腰三角形，
因?yàn)锳E平分∠CAB，
所以AE⊥CD，CE＝DE，
所以AE垂直平分CD；
（2）解：在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，
所以AB=AC2+BC2=62+82=10，AD＝AC＝6，
所以BD＝AB﹣AD＝4，
因?yàn)辄c(diǎn)E為CD中點(diǎn)，點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，
所以EF為△CBD的中位線，
所以EF=12BD＝2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線定理以及線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．

【變式7-4】如圖，已知AO是△ABC的∠A的平分線，BD⊥AO的延長(zhǎng)線于D，E是BC的中點(diǎn)．
求證：DE=12（AB﹣AC）

【分析】延長(zhǎng)AC、BD交于點(diǎn)F，可以證得△ABF是等腰三角形，則DE是△BCF的中位線，依據(jù)三角形中位線定理即可證得．
【解答】證明：延長(zhǎng)AC、BD交于點(diǎn)F，
∵在△ABD和△AFD中，
∠BAD=∠FADAD=AD∠ADB=∠ADF=90°，
∴△ABD≌△AFD（ASA），
∴AB＝AF，BD＝DF，
又∵E是BC的中點(diǎn)，即ED是△BCF中位線，
∴DE=12CF=12（AB﹣AC）．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線定理，以及等腰三角形的性質(zhì)，正確證得DE是△BCF中位線是關(guān)鍵．
【變式7-5】在△ABC中，D、E分別是AB，AC的中點(diǎn)，作∠B的角平分線
（1）如圖1，若∠B的平分線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，猜想△ABC是怎樣的特殊三角形，并說(shuō)明理由．
（2）如圖2，若∠B的平分線交線段DE于點(diǎn)F，已知AB＝8，BC＝10，求EF的長(zhǎng)度．
（3）若∠B的平分線交直線DE于點(diǎn)F，直接寫(xiě)出AB、BC、EF三者之間的數(shù)量關(guān)系．

【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)證明AB＝BC，得到答案；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論計(jì)算即可；
（3）分點(diǎn)F在線段DE上、點(diǎn)F在線段DE的延長(zhǎng)線上兩種情況，根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算即可．
【解答】解：（1）∵D、E分別是AB，AC的中點(diǎn)，
∴DE=12BC，DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC，
∵BE是∠B的角平分線，
∴∠DBE＝∠EBC，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴DE＝DB=12AB，
∴AB＝BC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）由（1）得，DE=12BC＝5，DF=12AB＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝1；
（3）當(dāng)點(diǎn)F在線段DE上時(shí)，由（2）得，EF=12（BC﹣AB）；
當(dāng)點(diǎn)F在線段DE的延長(zhǎng)線上時(shí)，EF=12（AB﹣BC）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．

題型八 平行四邊形性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用

【例題8】（2022春?張家港市校級(jí)月考）如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線BD上不同的兩點(diǎn)，連接AE，CE，AF，CF．下列條件中，不能得出四邊形AECF一定是平行四邊形的為（　?。?br />
A．BE＝DF B．AE＝CF C．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)或全等三角形的判定與性質(zhì)分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：A、連接AC，交BD于O，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四邊形AECF是平行四邊形，故選項(xiàng)A不符合題意；
B、由AE＝CF不能判定四邊形AECF一定是平行四邊形，故選項(xiàng)B符合題意；
C、∵AF∥CE，
∴∠AFB＝∠CED，
∴∠AFD＝∠CEB，
在△ADF和△CBE中，
∠ADF=∠CBE∠AFD=∠CEBAD=BC，
∴△ADF≌△CBE（AAS），
∴BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四邊形AECF是平行四邊形，故選項(xiàng)C不符合題意；
D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
∠ABE=∠CDFAB=CD∠BAE=∠DCF，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四邊形AECF是平行四邊形，故選項(xiàng)D不符合題意；
故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定方法，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
【變式8-1】如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，線段EF與對(duì)角線AC交于點(diǎn)O且互相平分，若AD＝BC＝10，AB＝6，則四邊形ABCD的周長(zhǎng)是（　?。?br />
A．26 B．32 C．34 D．36
【分析】根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得出∠EAO＝∠FCO，再根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)得出周長(zhǎng)即可．
【解答】解：線段EF與AC交于點(diǎn)O且互相平分，得OA＝OC，OE＝OF，
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴∠EAO＝∠FCO，
∴AD∥BC，
∵AD＝BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD＝AB＝6，
∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)＝AB+CD+BC+AD＝10+6+6+10＝32；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定性質(zhì)和全等三角形的與判定以及全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．

【變式8-2】（2022?豐順縣校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，BD＝2AD，E，F(xiàn)，G分別是OC，OD，AB的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①BE⊥AC；②四邊形BEFG是平行四邊形；③△EFG≌△GBE；④EG＝EF，其中正確的有 　　個(gè)．

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得AB＝CD，AD＝BC，BO＝DO=12BD，AO＝CO，AB∥CD，即可得BO＝DO＝AD＝BC，由等腰三角形的性質(zhì)可判斷①，由中位線定理和直角三角形的性質(zhì)可判斷②④，由平行四邊形的性質(zhì)可判斷③，即可求解．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，AD＝BC，BO＝DO=12BD，AO＝CO，AB∥CD，
∵BD＝2AD，
∴BO＝DO＝AD＝BC，且點(diǎn)E是OC中點(diǎn)，
∴BE⊥AC，∴①正確；
∵E、F、分別是OC、OD中點(diǎn)，
∴EF∥DC，CD＝2EF，
∵G是AB中點(diǎn)，BE⊥AC，
∴AB＝2BG＝2GE，且CD＝AB，CD∥AB，
∴BG＝EF＝GE，EF∥CD∥AB，
∴四邊形BGFE是平行四邊形，∴②④正確；
∵四邊形BGFE是平行四邊形，
∴BG＝EF，GF＝BE，且GE＝GE，
∴△BGE≌△FEG（SSS），∴③正確；
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．
【變式8-3】（2022秋?萊陽(yáng)市期末）如圖，△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，DE∥BC交AB于點(diǎn)E，EF∥AC交BC于點(diǎn)F．求證：BE＝CF．

【分析】要證明BE＝CF，先證四邊形EFDC是平行四邊形，再利用BE＝ED轉(zhuǎn)化，進(jìn)而可求出結(jié)論．
【解答】證明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD=12∠ABC，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD
∴∠ABD＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∵DE∥BC，EF∥AC，
∴四邊形EFCD是平行四邊形，
∴DE＝CF
∴BE＝CF．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵．
【變式8-4】（2022秋?煙臺(tái)期末）如圖，在?ABCD中，∠C＝60°，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)．
（1）求證：四邊形MNCD是平行四邊形；
（2）若BC＝2CD，MN＝1，求BD的長(zhǎng)．

【分析】（1）由平行四邊形的在得AD＝BC，AD∥BC，再證MD＝NC，即可得出結(jié)論；
（2）連接ND，由平行四邊形的性質(zhì)得DC＝MN＝1，再證△NCD是等邊三角形，得ND＝NC＝DC＝1，∠CDN＝∠DNC＝60°，然后證∠BDC＝90°，即可解決問(wèn)題．
【解答】（1）證明：∵ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，AD∥BC．
∵M(jìn)、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，
∴MD＝NC．
∵M(jìn)D∥NC，
∴四邊形MNCD是平行四邊形；
（2）解：如圖，連接ND，
∵四邊形MNCD是平行四邊形，
∴DC＝MN＝1．
∵N是BC的中點(diǎn)，
∴BN＝CN=12BC．
∵BC＝2CD，
∴CD＝CN．
∵∠C＝60°，
∴△NCD是等邊三角形，
∴ND＝NC＝DC＝1，∠CDN＝∠DNC＝60°．
∵∠DNC是△BND的外角，
∴∠NBD+∠NDB＝∠DNC，
∵DN＝CN＝BN，
∴∠DBN＝∠BDN=12∠DNC＝30°，
∴∠BDC＝∠CDN+∠BDN＝90°，
∴BC＝2DC＝2，
∴BD=BC2?DC2=22?12=3．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

【變式8-5】（2022秋?泰山區(qū)校級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，且AO＝OC．
（1）求證：①△AOE≌△COF；②四邊形ABCD為平行四邊形；
（2）過(guò)點(diǎn)O作EF⊥BD，交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝32°，求∠ABE的度數(shù)．

【分析】（1）①由平行線的性質(zhì)得出∠OAD＝∠OCB，可證明△AOE≌△COF（ASA）；
②證得AD＝CB，再由AD∥BC，即可得出結(jié)論；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得出OE＝OF，證出BE＝BF，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠OBF＝∠OBE＝32°，求出∠ABC＝116°，則可得出答案．
【解答】（1）①證明：∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB，
在△AOE和△COF中，
∠OAE=∠OCFAO=OC∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA）；
②同理可證△AOD≌△COB，
∴AD＝CB，
又∵AD∥BC，
∴四邊形ABCD為平行四邊形；
（2）解：∵△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，
∵EF⊥BD，
∴BE＝BF，
∴∠OBF＝∠OBE＝32°，
∴∠EBF＝64°，
∵AD∥BC，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣100°＝80°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBF＝80°﹣64°＝16°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，證明△AOE≌△COF是解題的關(guān)鍵．

題型九 平行四邊形的判定與動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題
定


【例題9】（2022春?蓮池區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝18 cm，BC＝15 cm，點(diǎn)P在AD邊上以每秒2 cm的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在BC邊上，以每秒1 cm的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 　 秒時(shí)，直線PQ在四邊形ABCD內(nèi)部截出一個(gè)平行四邊形．

【分析】由題意可得AD∥BC，分BQ＝AP或CQ＝PD兩種情況討論，再列出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了t秒，
∴CQ＝tcm，AP＝2tcm，BQ＝（15﹣t）cm，PD＝（18﹣2t）cm，
①當(dāng)BQ＝AP時(shí)，且AD∥BC，則四邊形APQB是平行四邊形，
即15﹣t＝2t，
∴t＝5；
②當(dāng)CQ＝PD時(shí)，且AD∥BC，則四邊形CQPD是平行四邊形，
即t＝18﹣2t，
∴t＝6，
綜上所述：當(dāng)直線PQ在四邊形ABCD內(nèi)部截出一個(gè)平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了5秒或6秒，
故答案為：5或6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)．求出符合條件的所有情況是解此題的關(guān)鍵，注意分類(lèi)討論思想的應(yīng)用．

【變式9-1】（2021春?魏縣期中）如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，點(diǎn)P在AD邊上以每秒1cm的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒3cm的速度從點(diǎn)D出發(fā)，沿DC，CB向B運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，在運(yùn)動(dòng) 　 　秒時(shí)，以P，D，Q，B四點(diǎn)組成的四邊形是平行四邊形．

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得AD∥BC，CD＝AB＝8cm，BC＝AD＝12cm，當(dāng)Q在BC上，且PD＝BQ時(shí)，以P，D，Q，B四點(diǎn)組成的四邊形是平行四邊形，則12﹣t＝12+8﹣3t，求解即可．
【解答】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t妙，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，CD＝AB＝8cm，BC＝AD＝12cm，
當(dāng)Q在BC上，且PD＝BQ時(shí)，以P，D，Q，B四點(diǎn)組成的四邊形是平行四邊形，
則12﹣t＝12+8﹣3t，
解得：t＝4，
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

【變式9-2】（2022春?社旗縣期末）在四邊形ABCD中，AD＝6cm，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝10cm，M是BC上一點(diǎn)，且BM＝4cm，點(diǎn)E從A出發(fā)以1cm/s的速度向D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)以2cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，而另一點(diǎn)也隨之停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，當(dāng)t的值為 　 　時(shí)，以A、M、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

【分析】分兩種情形，由平行四邊形的判定列出方程，即可解決問(wèn)題．
【解答】解：分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)F在線段BM上，即0≤t＜2，AE＝FM時(shí)，以A、M、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
則有t＝4﹣2t，
解得：t=43；
②當(dāng)F在線段CM上，即2≤t≤5，AE＝FM時(shí)，以A、M、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
則有t＝2t﹣4，
解得：t＝4，
綜上所述，t=43s或4s時(shí)，以A、M、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
故答案為：43s或4s．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題．
【變式9-3】（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以1cm/s的速度由A向D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以3cm/s的速度由C向B運(yùn)動(dòng)，其中一動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）AP＝　 ，BQ＝　 　，（分別用含有t的式子表示）；
（2）當(dāng)四邊形PQCD的面積是四邊形ABQP面積的2倍時(shí)，求出t的值．
（3）當(dāng)點(diǎn)P、Q與四邊形ABCD的任意兩個(gè)頂點(diǎn)所形成的四邊形是平行四邊形時(shí)，直接寫(xiě)出t的值．

【分析】（1）由路程＝速度×?xí)r間，可求解；
（2）由面積關(guān)系可求解；
（3）分四種情況討論，由平行四邊形的性質(zhì)列出方程可求解．
【解答】解：（1）∵點(diǎn)P以1cm/s的速度由A向D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以3cm/s的速度由C向B運(yùn)動(dòng)，
∴AP＝tcm，CQ＝3tcm，
∴BQ＝（15﹣3t）cm，
故答案為：t，3t；
（2）設(shè)點(diǎn)A到BC的距離為h，
∵四邊形PQCD的面積是四邊形ABQP面積的2倍，
∴12×（12﹣t+3t）×h＝2×12×（t+15﹣3t）×h，
∴t＝3；
（3）若四邊形APQB是平行四邊形，
∴AP＝BQ，
∴t＝15﹣3t，
∴t=154；
若四邊形PDCQ是平行四邊形，
∴PD＝CQ，
∴12﹣t＝3t，
∴t＝3，
若四邊形APCQ是平行四邊形，
∴AP＝CQ，
∴t＝3t，
∴t＝0（不合題意舍去），
若四邊形PDQB是平行四邊形，
∴PD＝BQ，
∴12﹣t＝15﹣3t，
∴t=32，
綜上所述：當(dāng)t=154或3或32時(shí)，點(diǎn)P、Q與四邊形ABCD的任意兩個(gè)頂點(diǎn)所形成的四邊形是平行四邊形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，利用分類(lèi)討論思想解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．
【變式9-4】（2022秋?任城區(qū)校級(jí)月考）.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝9cm，BC＝24cm，E是BC的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P平均每秒運(yùn)動(dòng)1cm；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q平均每秒運(yùn)動(dòng)2cm，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t（0＜t＜9）秒時(shí)，則PD＝　 ??；（用含t的代數(shù)式直接表示）
（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，
①若0＜t＜6，則EQ＝　 　；（用含t的代數(shù)式直接表示）
②若6＜t＜9，則EQ＝　 ??；（用含t的代數(shù)式直接表示）
（3）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為多少秒時(shí)，以點(diǎn)P，Q，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？


【分析】（1）根據(jù)題意即可得結(jié)論；
（2）根據(jù)BC＝24cm，E是BC的中點(diǎn)，BE＝CE＝12cm，然后即可解決①和②；
（3）分兩種情況畫(huà)圖討論：當(dāng)PDQE為平行四邊形時(shí)，當(dāng)PDEQ為平行四邊形時(shí)，結(jié)合（1）（2），列方程即可解決問(wèn)題．
【解答】解：（1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t（0＜t＜9）秒時(shí)，則PD＝（9﹣t）cm，
故答案為：（9﹣t）cm；
（2）∵BC＝24cm，E是BC的中點(diǎn)．
∴BE＝CE＝12cm，
①若0＜t＜6，則EQ＝（12﹣2t）cm，
故答案為：（12﹣2t）cm；
②若6＜t＜9，則EQ＝（2t﹣12）cm，
故答案為：（2t﹣12）cm；
（3）如圖1，當(dāng)四邊形PDQE為平行四邊形時(shí)，

∵PD＝9﹣t，EQ＝EC﹣CQ＝12﹣2t，
∴9﹣t＝12﹣2t，
∴t＝3；
如圖2，當(dāng)四邊形PDEQ為平行四邊形時(shí)，

∵PD＝9﹣t，EQ＝CQ﹣CE＝2t﹣12，
∴9﹣t＝2t﹣12，
∴t＝7；
綜上所述：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為3秒或7秒時(shí)，以點(diǎn)P，Q，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于四邊形綜合題，考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，平行四邊形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握分類(lèi)討論思想．

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初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)下冊(cè)電子課本

18.1.1 平行四邊形的性質(zhì)

版本： 人教版

年級(jí)： 八年級(jí)下冊(cè)

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