初中數(shù)學(xué)人教版八年級下冊第十八章平行四邊形18.2 特殊的平行四邊形18.2.3 正方形優(yōu)秀同步測試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?八年級下冊數(shù)學(xué)《第十八章平行四邊形》
18.5 正方形的性質(zhì)與判定

題型一利用正方形的性質(zhì)求角度

【例題1】（2022秋?競秀區(qū)期中）如圖，在正方形ABCD外側(cè)，作等邊三角形ADE，AC、BE相交于點(diǎn)F，則∠BEA為（　　）

A．15° B．30° C．45° D．55°
【變式1-1】（2022秋?文山市期末）如圖，四邊形ABCD是正方形，延長AB到點(diǎn)E，使AE＝AC，則∠BCE的度數(shù)是（　?。?br />
A．62.5° B．45° C．32.5° D．22.5°
【變式1-2】（2022秋?新城區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，E為對角線BD上一點(diǎn)，連接AE、CE，∠BCE＝70°，則∠EAD為（　?。?br />
A．10° B．15° C．20° D．30°

【變式1-3】（2022秋?保定期末）如圖，在正方形ABCD中，等邊△AEF的頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC和CD上，則∠AEB等于（　?。?br />
A．60° B．70° C．75° D．80°
【變式1-4】（2022秋?太原期中）如圖，點(diǎn)E．F分別是正方形ABCD內(nèi)部、外部一點(diǎn)，四邊形ADFE與四邊形BCFE均為菱形，則∠CBE的度數(shù)等于　 ?。?br />

【變式1-5】（2022秋?沙坪壩區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，點(diǎn)F分別是對角線BD，AC上的點(diǎn)，連接CE，EF，DF，若EF∥BC，且∠CEF＝15°，則∠EDF的度數(shù)為（　?。?br />
A．22.5° B．25° C．30° D．35°
【變式1-6】（2023?渝中區(qū)校級開學(xué)）如圖，E、F、H分別為正方形ABCD的邊AB、BC、CD上的點(diǎn)，連接DF，HE，且HE＝DF，DG平分∠ADF交AB于點(diǎn)G．若∠BEH＝52°，則∠AGD的度數(shù)為（　?。?br />
A．26° B．38° C．52° D．64°

題型二利用正方形的性質(zhì)求線段長

【例題2】（2022春?如皋市校級月考）如圖，正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)E在對角線BD上，且∠BAE＝22.5°，則BE的長為（　?。?br />
A．2?1 B．12 C．22?2 D．1
【變式2-1】（2022秋?朝陽區(qū)校級期末）如圖，直線l過正方形ABCD的頂點(diǎn)A，BE⊥l于點(diǎn)E，DF⊥l于點(diǎn)F．若BE＝2，DF＝4，則的EF長為　　．

【變式2-2】（2022秋?九龍坡區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，O為對角線AC、BD的交點(diǎn)，E、F分別為邊BC、CD上一點(diǎn)，且OE⊥OF，連接EF．若∠AOE＝150°，DF=3，則EF的長為（　?。?br />
A．23 B．2+3 C．3+1 D．31
【變式2-3】（2022秋?青田縣期末）如圖，正方形ABCD的邊長為10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，連結(jié)GH，則線段GH的長為（　?。?br />
A．538 B．22 C．145 D．10?52
【變式2-4】（2022秋?朝陽區(qū)校級期末）如圖，正方形ABCD的邊長為7，點(diǎn)E是AB上的一點(diǎn)，且AE＝3，將正方形沿DE翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)G處，延長EG交BC于點(diǎn)F，則CF的長是．

【變式2-5】（2022秋?沙坪壩區(qū)校級期中）如圖，邊長為5的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，連接AE、AF、EF．已知AF平分∠DFE，BE＝2，則DF的長為（　　）

A．2 B．4 C．125 D．157

題型三利用正方形的性質(zhì)求周長或面積

【例題3】（2022秋?漢臺區(qū)期末）如圖，正方形ABCD的邊長為8，在各邊上順次截取AE＝BF＝CG＝DH＝6，則四邊形EFGH的面積是（　?。?br />
A．34 B．36 C．40 D．100
【變式3-1】（2022秋?永安市期中）正方形的周長為8cm，則它的面積為（　?。?br /> A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2
【變式3-2】（2022?禮縣校級模擬）如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的邊AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面積為（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【變式3-3】（2022春?南崗區(qū)校級月考）正方形一條對角線長為22，則周長為（　　）
A．4 B．42 C．8 D．82
【變式3-4】（2022秋?路北區(qū)校級期末）如圖，小明同學(xué)將邊長為5cm的正方形塑料模板ABCD與一塊足夠大的直角三角板疊放在一起，其中直角三角板的直角頂點(diǎn)落在點(diǎn)A處，兩條直角邊分別與CD交于點(diǎn)F，與CB延長線交于點(diǎn)E，則四邊形AECF的面積是　 ?。?br />
【變式3-5】（2022?珠海校級三模）如圖，E是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，AE⊥DE于E，AE＝2cm，則△ABE的面積是（　?。?br />
A．5 B．4 C．3 D．2

題型四利用正方形的性質(zhì)進(jìn)行證明

【例題4】（2022秋?茂南區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊BC的中點(diǎn)，連接CE、DF．求證：CE＝DF．

【變式4-1】（2022秋?永豐縣校級期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P在邊AD上，且不與點(diǎn)A，D重合，點(diǎn)H在邊AB上，且不與點(diǎn)A，B重合，連接BP、CH，BP與CH交于點(diǎn)E．若BP＝CH，求證：BP⊥CH．

【變式4-2】（2022秋?雙牌縣期末）如圖，四邊形ABCD，BEFG均為正方形，連接CE，AG．
求證：CE＝AG．

【變式4-3】（2022秋?安丘市校級期末）如圖，正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，G是CD邊上一點(diǎn)，連接BG交AC于E，過點(diǎn)A作AM⊥BG，垂足M，AM交BD于點(diǎn)F．
（1）求證：OE＝OF．
（2）若H是BG的中點(diǎn)，BG平分∠DBC，求證：DG＝2OE．

【變式4-4】（2022春?順義區(qū)校級月考）如圖，在正方形ABCD中，Q為對角線BD上一點(diǎn)（DQ＞BQ），連接AQ、CQ．
（1）求證：AQ＝CQ；
（2）過點(diǎn)Q作QR⊥BD交BC于點(diǎn)R，延長CB至點(diǎn)H使BH＝CR，連接AH．
①依題意補(bǔ)全圖形；
②用等式表示AH與CQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

【變式4-5】（2022?珠海校級三模）如圖，E是正方形ABCD的BC邊上一點(diǎn)（E不與B、C重合），EG⊥AC于G，F(xiàn)在BC的延長線上，且CF＝BE，連接AE、DF和DG．
（1）若連接GF，求證：DG＝GF；
（2）若∠BAE＝30°，求∠AGD的度數(shù)．

題型五正方形判定的條件

【例題5】（2022秋?武侯區(qū)期末）下列說法不正確的是（　?。?br /> A．對角線互相垂直平分的四邊形是正方形
B．菱形的對角線互相垂直
C．矩形的對角線相等
D．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
【變式5-1】（2022秋?漳州期末）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，添加下列一個條件，能使矩形ABCD成為正方形的是（　?。?br />
A．BD＝AC B．DC＝AD C．∠AOB＝60° D．OD＝CD
【變式5-2】（2022春?莊浪縣期中）如圖，下列三組條件中，能判定平行四邊形ABCD是正方形的
有（　　）
①AB＝BC，∠BAD＝90°；②AC⊥BD，AC＝BD；③OA＝OD，BC＝CD．

A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【變式5-3】（2022秋?金水區(qū)校級期中）已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中錯誤的有（　　）
①當(dāng)AB＝DC時，它是菱形；
②當(dāng)AC⊥BD時，它是菱形；
③當(dāng)∠ABC＝90°時，它是矩形；
④當(dāng)AC＝BD時，它是正方形．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

【變式5-4】（2022秋?東明縣校級期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四種說法：
①四邊形AEDF是平行四邊形；
②如果∠BAC＝90°，那么四邊形AEDF是矩形；
③如果AD平分∠BAC，那么四邊形AEDF是菱形；
④如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四邊形AEDF是正方形．
其中，正確的有（　　）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式5-5】（2022?黑龍江一模）平行四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，且AC⊥BD，請?zhí)砑右粋€條件：　　，使得平行四邊形ABCD為正方形．

【變式5-6】（2022秋?郟縣期中）如圖，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．要使四邊形EFGH是正方形，BD、AC應(yīng)滿足的條件是　 ?。?br />

題型六正方形的判定的證明

【例題6】（2022?邵陽）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在對角線BD上，且BE＝DF，OE＝OA．
求證：四邊形AECF是正方形．

【變式6-1】（2022春?寬城區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AB、BC上，DE＝AF，DE⊥AF于點(diǎn)G．
（1）求證：△ABF≌△DAE．
（2）求證：四邊形ABCD是正方形．

【變式6-2】（2021秋?涇陽縣期末）如圖，已知四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在對角線AC上，點(diǎn)F在邊CD上（點(diǎn)F與點(diǎn)C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°．求證：四邊形ABCD是正方形．

【變式6-3】（2022秋?中寧縣期中）已知：如圖，AD是△ABC的角平分線，過點(diǎn)D分別作AC和AB的平行線，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．
（1）試判定四邊形AEDF的形狀，并證明你的結(jié)論；
（2）△ABC滿足什么條件時，四邊形AEDF是正方形．

【變式6-4】（2022春?唐河縣期末）如圖所示△ABC中，∠C＝90°，∠CAB，∠ABC的平分線相交于D點(diǎn)，DE⊥BC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F．
（1）求證：四邊形CEDF為正方形；
（2）若AC＝6，BC＝8，則CE的長為　 ?。?br />

【變式6-5】（2022春?隆安縣期末）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AE∥BD，AE與CB的延長線交于點(diǎn)E，DE交AB于F．
（1）求證：BC＝BE；
（2）連接CF，若∠ADF＝∠BCF且AD＝2AF，求證：四邊形ABCD是正方形．

題型七正方形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用

【例題7】（2022春?河西區(qū)期末）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，P，Q分別是正方形ABCD的四條邊上的點(diǎn)，并且AF＝BP＝CQ＝DE，則下列結(jié)論不一定正確的是（　?。?br />
A．∠AFP＝∠BPQ
B．EF∥QP
C．四邊形EFPQ是正方形
D．四邊形PQEF的面積是四邊形ABCD面積的一半
【變式7-1】（2022春?贛縣區(qū)校級期末）如圖，E、F、M、N分別是正方形ABCD四條邊上的點(diǎn)，且
AE＝BF＝CM＝DN
（1）求證：四邊形EFMN是正方形；
（2）若AB＝7，AE＝3，求四邊形EFMN的周長．

【變式7-2】（2022秋?膠州市校級月考）如圖所示，在正方形ABCD中，DF＝AP＝BQ＝CE．
（1）試判斷四邊形PQEF是否是正方形，并證明；
（2）PE是否總過某一定點(diǎn)，并說明理由．

【變式7-3】（2022秋?碭山縣校級月考）如圖，正方形ABCD中，AB＝32，點(diǎn)E是對角線AC上的一點(diǎn)，連接DE．過點(diǎn)E作EF⊥ED，交AB于點(diǎn)F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接AG．
（1）求證：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰為AB的中點(diǎn)，求正方形DEFG的面積．

【變式7-4】（2022春?南譙區(qū)校級月考）如圖1，四邊形ABCD為正方形，E為對角線AC上一點(diǎn)，連接DE，BE．

（1）求證：BE＝DE；
（2）如圖2，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交邊BC于點(diǎn)F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．
①求證：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的邊長為9，CG＝32，求正方形DEFG的邊長．
【變式7-5】（2022春?杭州期中）已知：如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，AE、BF相交于點(diǎn)P，并且AE＝BF．
（1）如圖1，判斷AE和BF的位置關(guān)系？并說明理由；
（2）若AB＝8，BE＝6，求BP的長度；
（3）如圖2，F(xiàn)M⊥DN，DN⊥AE，點(diǎn)F在線段CD上運(yùn)動時（點(diǎn)F不與C、D重合），四邊形FMNP是否能否成為正方形？請說明理由．

題型八正方形中的最短問題

【例題8】（2022?資陽）如圖，正方形ABCD的對角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是直線BC上一動點(diǎn)．若AB＝4，則AE+OE的最小值是（　?。?br />
A．42 B．25+2 C．213 D．210
【變式8-1】（2022?德州）如圖，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)E在BC上，CE＝2．點(diǎn)M是對角線BD上的一個動點(diǎn)，則EM+CM的最小值是（　?。?br />
A．62 B．35 C．213 D．413

【變式8-2】（2022?蘇州模擬）如圖，正方形ABCD的邊長為32，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是對角線AC的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P是邊AB上一動點(diǎn)，則PE+PF的最小值是（　?。?br />
A．5 B．10 C．32 D．25
【變式8-3】如圖，正方形ABCD的邊長為3，點(diǎn)E在BC上，且CE＝1，P是對角線AC上的一個動點(diǎn)，則PB+PE的最小值為　 ?。?br />
【變式8-4】（2022秋?蓮湖區(qū)校級月考）如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，點(diǎn)E在CD邊上，且DE＝2CE，點(diǎn)P是對角線AC上的一動點(diǎn)．則PE+PD的最小值是（　?。?br />
A．10 B．3 C．3 D．32

【變式8-5】（2022?青島一模）如圖，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，CD上兩點(diǎn)，CF＝BE，AE平分∠BAC，連接BF，分別交AE，AC于點(diǎn)G，M，點(diǎn)P是線段AG上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PN⊥AC，垂足為N，連接PM，則PM+PN的最小值為　　．

八年級下冊數(shù)學(xué)《第十八章平行四邊形》
18.5 正方形的性質(zhì)與判定答案
題型一利用正方形的性質(zhì)求角度

【例題1】（2022秋?競秀區(qū)期中）如圖，在正方形ABCD外側(cè)，作等邊三角形ADE，AC、BE相交于點(diǎn)F，則∠BEA為（　?。?br />
A．15° B．30° C．45° D．55°
【分析】根據(jù)等邊三角形和正方形的性質(zhì)可知AB＝AE，∠BAE＝150°，再利用三角形的內(nèi)角和定理可得答案．
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵△ADE是等邊三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴AB＝AE，∠BAE＝150°，
∴∠BEA＝∠ABE=12（180°﹣150°）＝15°．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握正方形和等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（2022秋?文山市期末）如圖，四邊形ABCD是正方形，延長AB到點(diǎn)E，使AE＝AC，則∠BCE的度數(shù)是（　?。?br />
A．62.5° B．45° C．32.5° D．22.5°
【分析】由AB＝CB，∠ABC＝90°，得∠BAC＝∠BCA＝45°，由AE＝AC，得∠E＝∠ACE＝67.5°，則∠BCE＝67.5°﹣45°＝22.5°，于是得到問題的答案．
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∵AE＝AC，
∴∠E＝∠ACE，
∵∠E+∠ACE＝180°﹣45°＝135°，
∴2∠ACE＝135°，
∴∠ACE＝67.5°，
∴∠BCE＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∴∠BCE的度數(shù)是22.5°，
故選：D．
【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，由AE＝AC求得∠ACE＝67.5°是解題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2022秋?新城區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，E為對角線BD上一點(diǎn)，連接AE、CE，∠BCE＝70°，則∠EAD為（　　）

A．10° B．15° C．20° D．30°
【分析】先根據(jù)SAS證出△AED≌△CED，可得∠EAD＝∠ECD，根據(jù)正方形的對角線性質(zhì)以及∠BCE＝70°可求∠BEC的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系可求∠ECD的度數(shù)，最終可求出∠EAD的度數(shù)．
【解答】解：∵正方形ABCD，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠EBC＝45°，AD＝CD，
∵DE＝DE，
∴△AED≌△CED（SAS），
∴∠EAD＝∠ECD，
又∵∠BCE＝70°，
∴∠BEC＝65°，
∵∠BEC＝∠CDE+∠ECD，
即65°＝45°+∠ECD，
∴∠ECD＝20°，
∴∠EAD＝20°．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題主要考查正方形對角線平分對角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵還需要借助三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系，再靈活運(yùn)用三角形全等進(jìn)行轉(zhuǎn)化．

【變式1-3】（2022秋?保定期末）如圖，在正方形ABCD中，等邊△AEF的頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC和CD上，則∠AEB等于（　?。?br />
A．60° B．70° C．75° D．80°
【分析】根據(jù)題意直接證明Rt△ADF≌Rt△ABE，進(jìn)而得CE＝CF，可知∠FEC＝45°，結(jié)合等邊三角形的條件，即可求得∠AEB．
【解答】解：連接AF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC＝CD，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵△AEF是等邊三角形，
∴AF＝AE，∠AEF＝60°，
在Rt△ADF和Rt△ABE中，
AD=ABAF=AE，
∴Rt△ADF≌Rt△ABE（HL），
∴DF＝BE，
∴CE＝CF，
∵∠C＝90°，
∴∠FEC＝45°，
又∠AEF＝60°，
∴∠AEB＝180°﹣∠AEF﹣∠FEC＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
故選：C．

【點(diǎn)評】本題考查了HL證明直角三角形全等，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式1-4】（2022秋?太原期中）如圖，點(diǎn)E．F分別是正方形ABCD內(nèi)部、外部一點(diǎn)，四邊形ADFE與四邊形BCFE均為菱形，則∠CBE的度數(shù)等于　　．

【分析】先由四邊形ABCD是正方形，AB＝AD＝BC，∠ABC＝90°，再由四邊形ADFE與四邊形BCFE均為菱形，得AD＝AE，BC＝BE，則AB＝AE＝BC，所以∠ABE＝60°，則∠CBE＝30°．
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC，∠ABC＝90°，
∴四邊形ADFE與四邊形BCFE均為菱形，
∵AD＝AE，BC＝BE，
∴AB＝AE＝BC，
∴△ABE是等邊三角形，
∴∠ABE＝60°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝90°﹣60°＝30°，
故答案為：30°．
【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明△ABE是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．

【變式1-5】（2022秋?沙坪壩區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，點(diǎn)F分別是對角線BD，AC上的點(diǎn)，連接CE，EF，DF，若EF∥BC，且∠CEF＝15°，則∠EDF的度數(shù)為（　　）

A．22.5° B．25° C．30° D．35°
【分析】設(shè)AC交BD于O，由正方形的性質(zhì)得AC⊥BC，CD＝CB，∠BCD＝90°，OB＝OD，則OC＝OD＝OB，∠DOF＝∠COE＝90°，所以∠OBC＝∠OCB＝45°，由EF∥BC，得∠OEF＝∠OFE＝45°，所以∠OCE＝∠OFE﹣∠CEF＝30°，OF＝OE，即可證明△DOF≌△COE，得∠EDF＝∠OCE＝30°．
【解答】解：設(shè)AC交BD于O，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BC，CD＝CB，∠BCD＝90°，OB＝OD，
∴OC＝OD＝OB=12BC，∠DOF＝∠COE＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵EF∥BC，∠CEF＝15°
∴∠OEF＝∠OBC＝∠OCB＝∠OFE＝45°，
∴∠OCE＝∠OFE﹣∠CEF＝45°﹣15°＝30°，OF＝OE，
在△DOF和△COE中，
OD=OC∠DOF=∠COEOF=OE，
∴△DOF≌△COE（SAS），
∴∠ODF＝∠OCE＝30°，即∠EDF＝30°，
故選：C．

【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查正方形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、平行線的性質(zhì)、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，求得∠OCE＝∠OFE﹣∠CEF＝30°并且證明△DOF≌△COE是解題的關(guān)鍵．
【變式1-6】（2023?渝中區(qū)校級開學(xué)）如圖，E、F、H分別為正方形ABCD的邊AB、BC、CD上的點(diǎn)，連接DF，HE，且HE＝DF，DG平分∠ADF交AB于點(diǎn)G．若∠BEH＝52°，則∠AGD的度數(shù)為（　?。?br />
A．26° B．38° C．52° D．64°
【分析】如圖，設(shè)EH與DF交于點(diǎn)K，過點(diǎn)A作AM∥EH交CD于點(diǎn)M，交DF于點(diǎn)N，根據(jù)正方形性質(zhì)可得：AB∥CD，AD＝CD，∠ADC＝∠C＝90°，先證明四邊形AEHM是平行四邊形，再證明Rt△ADM≌Rt△DCF（HL），利用直角三角形兩銳角互余和角平分線定義即可求得答案．
【解答】解：如圖，設(shè)EH與DF交于點(diǎn)K，過點(diǎn)A作AM∥EH交CD于點(diǎn)M，交DF于點(diǎn)N，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD＝CD，∠ADC＝∠C＝90°，
∴四邊形AEHM是平行四邊形，
∴AM＝HE，
∵HE＝DF，
∴AM＝DF，
在Rt△ADM和Rt△DCF中，
AD=CDAM=DF，
∴Rt△ADM≌Rt△DCF（HL），
∴∠AMD＝∠DFC，
∵∠CDF+∠DFC＝90°，
∴∠CDF+∠AMD＝90°，
在△DNM中，∠MND＝180°﹣（∠CDF+∠AMD）＝180°﹣90°＝90°，
∵AM∥EH，
∴∠DKH＝∠MND＝90°，
∵AB∥CD，∠BEH＝52°，
∴∠DHE＝∠BEH＝52°，
∴∠CDF＝90°﹣52°＝38°，
∴∠ADF＝∠ADC﹣∠CDF＝90°﹣38°＝52°，
∵DG平分∠ADF，
∴∠ADG=12∠ADF=12×52°＝26°，
在Rt△ADG中，∠AGD＝90°﹣∠ADG＝90°﹣26°＝64°．
故選：D．

【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、直角三角形的兩個銳角互余等知識，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．

題型二利用正方形的性質(zhì)求線段長

【例題2】（2022春?如皋市校級月考）如圖，正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)E在對角線BD上，且∠BAE＝22.5°，則BE的長為（　?。?br />
A．2?1 B．12 C．22?2 D．1
【分析】根據(jù)正方形的對角線平分一組對角可得∠ABD＝∠ADB＝45°，再求出∠DAE的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求∠AED，從而得到∠DAE＝∠AED，再根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)得到AD＝DE，然后求出正方形的對角線BD，再求出BE．
【解答】解：在正方形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝45°，
∵∠BAE＝22.5°，
∴∠DAE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣22.5°＝67.5°，
在△ADE中，∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠DAE＝∠AED，
∴AD＝DE＝2，
∵正方形的邊長為2，
∴BD=2，
∴BE＝BD﹣DE＝22?2，
故選C．
【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，主要利用了正方形的對角線平分一組對角，等角對等邊的性質(zhì)，正方形的對角線與邊長的關(guān)系，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)．
【變式2-1】（2022秋?朝陽區(qū)校級期末）如圖，直線l過正方形ABCD的頂點(diǎn)A，BE⊥l于點(diǎn)E，DF⊥l于點(diǎn)F．若BE＝2，DF＝4，則的EF長為　 ?。?br />
【分析】通過證明△ABE≌△DAF，得AE＝DF，AF＝BE，進(jìn)而求出EF．
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∵BE⊥l，DF⊥l，
∴∠AFD＝∠AEB＝90°，
∴∠FAD+∠FDA＝90°，且∠EAB+∠FAD＝90°，
∴∠FDA＝∠EAB，
在△ABE和△ADF中，
∠AFD=∠AEB∠FDA=∠EABAD=AB，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
即AE＝DF＝4，AF＝BE＝2，
∴EF＝AE+AF＝4+2＝6，
故答案為：6．
【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和勾股定理等知識，解本題的關(guān)鍵是證明△ABE≌△DAF．
【變式2-2】（2022秋?九龍坡區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，O為對角線AC、BD的交點(diǎn)，E、F分別為邊BC、CD上一點(diǎn)，且OE⊥OF，連接EF．若∠AOE＝150°，DF=3，則EF的長為（　?。?br />
A．23 B．2+3 C．3+1 D．31
【分析】由題意證明△BOE≌△COF（ASA），所以O(shè)E＝OF，則△OEF是等腰直角三角形；過點(diǎn)F作FG⊥OD，解三角形OFD即可得出OF的長，進(jìn)而可求出EF的長．
【解答】解：在正方形ABCD中，AC和BD為對角線，
∴∠AOB＝∠BOC＝90°，∠OBC＝∠OCD＝45°，OB＝OC，
∵∠AOE＝150°，
∴∠BOE＝60°；
∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝∠BOC＝90°，
∴∠BOE＝∠COF＝60°，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴△OEF是等腰直角三角形；
過點(diǎn)F作FG⊥OD于G，如圖，

∴∠OGF＝∠DGF＝90°，
∵∠ODC＝45°，
∴△DGF是等腰直角三角形，
∴GF＝DG=22DF=62，
∵∠AOE＝150°，
∴∠BOE＝60°，
∴∠DOF＝30°，
∴OF＝2GF=6，
∴EF=2OF＝23．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題主要考查正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，含30°的直角三角形的三邊關(guān)系等相關(guān)知識，解題關(guān)鍵是得出△OEF是等腰直角三角形．

【變式2-3】（2022秋?青田縣期末）如圖，正方形ABCD的邊長為10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，連結(jié)GH，則線段GH的長為（　?。?br />
A．538 B．22 C．145 D．10?52
【分析】延長BG交CH于點(diǎn)E，根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△ABG≌△CDH≌△BCE，可得GE＝BE﹣BG＝2、HE＝CH﹣CE＝2、∠HEG＝90°，由勾股定理可得GH的長．
【解答】解：如圖，延長BG交CH于點(diǎn)E，

∵AB＝CD＝10，BG＝DH＝6，AG＝CH＝8，
∴AG2+BG2＝AB2，
∴△ABG和△DCH是直角三角形，
在△ABG和△CDH中，
AB=CDAG=CHBG=DH，
∴△ABG≌△CDH（SSS），
∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，∠AGB＝∠CHD＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，
∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，
∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，
在△ABG和△BCE中，
∠1=∠3AB=BC∠2=∠4，
∴△ABG≌△BCE（ASA），
∴BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，∠BEC＝∠AGB＝90°，
∴GE＝BE﹣BG＝8﹣6＝2，
同理可得HE＝2，
在Rt△GHE中，GH=GE2+HE2=22+22=22，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題主要考查正方形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及其逆定理的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
【變式2-4】（2022秋?朝陽區(qū)校級期末）如圖，正方形ABCD的邊長為7，點(diǎn)E是AB上的一點(diǎn)，且AE＝3，將正方形沿DE翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)G處，延長EG交BC于點(diǎn)F，則CF的長是．

【分析】連接DF，根據(jù)將正方形沿DE翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)G處，可證得Rt△DGF≌Rt△DCF（HL），有CF＝GF，設(shè)CF＝GF＝x，可得（7﹣3）2+（7﹣x）2＝（3+x）2，即可解得答案．
【解答】解：連接DF，如圖：

∵將正方形沿DE翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)G處，
∴EG＝AE＝3，DG＝AD＝CD，∠DGE＝∠A＝90°，
∴∠DGF＝∠C＝90°，
∵DF＝DF，
∴Rt△DGF≌Rt△DCF（HL），
∴CF＝GF，
設(shè)CF＝GF＝x，則BF＝7﹣x，EF＝3+x，
∵BE2+BF2＝EF2，
∴（7﹣3）2+（7﹣x）2＝（3+x）2，
解得x=145，
∴CF的長為145．
故答案為：145．
【點(diǎn)評】本題考查正方形中的翻折變換，解題的關(guān)鍵是掌握翻折變換的性質(zhì)，能利用勾股定理列方程解決問題．
【變式2-5】（2022秋?沙坪壩區(qū)校級期中）如圖，邊長為5的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，連接AE、AF、EF．已知AF平分∠DFE，BE＝2，則DF的長為（　　）

A．2 B．4 C．125 D．157
【分析】延長FD到G，使FG＝FE，連接AG，由AF平分∠DFE，可證△GFA≌△EFA（SAS），得AG＝AE，GF＝EF，即可證Rt△ADG≌Rt△ABE（HL），得DG＝BE＝2，設(shè)DF＝x，根據(jù)∠C＝90°，有（5﹣2）2+（5﹣x）2＝（x+2）2，即可解得答案．
【解答】解：延長FD到G，使FG＝FE，連接AG，如圖：

∵AF平分∠DFE，
∴∠GFA＝∠EFA，
∵AF＝AF，F(xiàn)G＝FE，
∴△GFA≌△EFA（SAS），
∴AG＝AE，GF＝EF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠ADC＝∠ADG＝90°＝∠B，
∴Rt△ADG≌Rt△ABE（HL），
∴DG＝BE＝2，
設(shè)DF＝x，則FG＝x+2＝EF，CF＝CD﹣DF＝5﹣x，
∵∠C＝90°，
∴CE2+CF2＝EF2，
∴（5﹣2）2+（5﹣x）2＝（x+2）2，
解得x=157，
∴DF=157，
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查正方形性質(zhì)及應(yīng)用，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造全等三角形．

題型三利用正方形的性質(zhì)求周長或面積

【例題3】（2022秋?漢臺區(qū)期末）如圖，正方形ABCD的邊長為8，在各邊上順次截取AE＝BF＝CG＝DH＝6，則四邊形EFGH的面積是（　?。?br />
A．34 B．36 C．40 D．100
【分析】利用正方形的面積減去4個直角三角形的面積，進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：∵正方形ABCD的邊長為8，在各邊上順次截取AE＝BF＝CG＝DH＝6，
∴BE＝AH＝DG＝CF＝8﹣6＝2，
∴四邊形EFGH的面積為：82?12×2×6×4=64?24=40；
故選C．
【點(diǎn)評】本題考查正方形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，正確的識圖，利用割補(bǔ)法求面積是解題的關(guān)鍵．
【變式3-1】（2022秋?永安市期中）正方形的周長為8cm，則它的面積為（　　）
A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2
【分析】設(shè)正方形的邊長為acm，4a＝8，則a＝2，即可求得該正方形的面積為4cm2．
【解答】解：設(shè)正方形的邊長為acm，
∵正方形的周長為8cm，
∴4a＝8，
∴a＝2，
∴S＝a2＝22＝4（cm2），
∴它的面積為4cm2，
故選：B．
【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查正方形的四條邊都相等、正方形的面積公式等知識，根據(jù)正方形的周長為8cm求出它的邊長是解題的關(guān)鍵．
【變式3-2】（2022?禮縣校級模擬）如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的邊AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面積為（　?。?br />
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠B＝90°，然后在Rt△BCE中，利用勾股定理得出BC2，即可得出正方形的面積．
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
∴BC2＝EC2﹣EB2＝22﹣12＝3，
∴正方形ABCD的面積＝BC2＝3．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．即如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．也考查了正方形的性質(zhì)．
【變式3-3】（2022春?南崗區(qū)校級月考）正方形一條對角線長為22，則周長為（　?。?br /> A．4 B．42 C．8 D．82
【分析】根據(jù)對角線長求出邊長，即可求出周長．
【解答】解：設(shè)正方形的邊長為a，
∵對角線長為22，
∴2a2＝（22）2，
解得：a＝2或﹣2（不符合題意，舍去），
∴正方形的周長為8，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．
【變式3-4】（2022秋?路北區(qū)校級期末）如圖，小明同學(xué)將邊長為5cm的正方形塑料模板ABCD與一塊足夠大的直角三角板疊放在一起，其中直角三角板的直角頂點(diǎn)落在點(diǎn)A處，兩條直角邊分別與CD交于點(diǎn)F，與CB延長線交于點(diǎn)E，則四邊形AECF的面積是　 ?。?br />
【分析】利用ASA判斷出△ABE≌△ADF，得到四邊形AECF的面積與正方形ABCD面積相等，結(jié)論可求．
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°，AB＝AB．
∴∠DAF+∠BAF＝90°．
∵∠EAF＝90°，
∴∠EAB+∠BAF＝90°．
∴∠EAB＝∠DAF．
在Rt△EAB和Rt△FAD中，
∠EAB=∠FADAB=AD∠EBA=∠D=90°．
∴Rt△EAB≌Rt△FAD（ASA）．
∴S△EAB＝S△FAD．
∵S四邊形AECF＝S四邊形ABCF+S△ABE
∴S四邊形AECF＝S四邊形ABCF+S△ADF＝S正方形ABCD＝52＝25（cm2）．
故答案為：25cm2．
【點(diǎn)評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形的全等的判定與性質(zhì)．利用面積割補(bǔ)法求不規(guī)則圖形的面積是解題的關(guān)鍵．
【變式3-5】（2022?珠海校級三模）如圖，E是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，AE⊥DE于E，AE＝2cm，則△ABE的面積是（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】如圖，過點(diǎn)B作BG⊥AE于G，根據(jù)AAS證明△BAG≌△ADE，得BG＝AE＝2，最后由三角形面積公式可得結(jié)論．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)B作BG⊥AE于G，

∵AE⊥DE，
∴∠AGB＝∠AED＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAG+∠DAE＝∠DAE+∠ADE＝90°，
∴∠BAG＝∠ADE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
∴△BAG≌△ADE（AAS），
∴BG＝AE＝2，
∴△ABE的面積=12×AE×BG=12×2×2＝2．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查正方形的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)和判定，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形，屬于中考?？碱}型．

題型四利用正方形的性質(zhì)進(jìn)行證明

【例題4】（2022秋?茂南區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊BC的中點(diǎn)，連接CE、DF．求證：CE＝DF．

【分析】欲證明CE＝DF，只要證明△CEB≌△DFC即可．
【解答】證明：∵ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠EBC＝∠FCD＝90°，
又∵E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，
∴BE＝CF，
在△CEB和△DFC中，
BC=CD∠B=∠DCFBE=CF，
∴△CEB≌△DFC，
∴CE＝DF．
【點(diǎn)評】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，中考常考題型．
【變式4-1】（2022秋?永豐縣校級期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P在邊AD上，且不與點(diǎn)A，D重合，點(diǎn)H在邊AB上，且不與點(diǎn)A，B重合，連接BP、CH，BP與CH交于點(diǎn)E．若BP＝CH，求證：BP⊥CH．

【分析】由“HL”可證Rt△ABP≌Rt△BCH，可得∠BCH＝∠ABP，由余角的性質(zhì)可得結(jié)論．
【解答】證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，
在Rt△ABP和Rt△BCH中，
AB=BCBP=CH，
∴Rt△ABP≌Rt△BCH（HL），
∴∠BCH＝∠ABP，
∵∠ABP+∠CBP＝90°＝∠BCH+∠CBP，
∴∠CEB＝90°，
∴BP⊥CH．
【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（2022秋?雙牌縣期末）如圖，四邊形ABCD，BEFG均為正方形，連接CE，AG．
求證：CE＝AG．

【分析】由正方形的性質(zhì)得出AB＝CB，∠ABC＝∠GBE＝90°，BG＝BE，得出∠ABG＝∠CBE，由SAS證明△ABG≌△CBE，得出對應(yīng)邊相等即可；
【解答】證明：∵四邊形ABCD、BEFG均為正方形，
∴AB＝CB，∠ABC＝∠GBE＝90°，BG＝BE，
∴∠ABC+∠CBG＝∠GBE+∠CBG，
∴∠ABG＝∠CBE，
在△ABG和△CBE中，
AB=CB∠ABG=∠CBEBG=BE，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴AG＝CE．
【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．
【變式4-3】（2022秋?安丘市校級期末）如圖，正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，G是CD邊上一點(diǎn)，連接BG交AC于E，過點(diǎn)A作AM⊥BG，垂足M，AM交BD于點(diǎn)F．
（1）求證：OE＝OF．
（2）若H是BG的中點(diǎn)，BG平分∠DBC，求證：DG＝2OE．

【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得OA＝OB，∠AOF＝∠BOE＝90°，由AM⊥BG，得∠AME＝90°，則∠OAF＝∠OBE＝90°﹣∠AEM，即可證明△AOF≌△BOE，則OE＝OF；
（2）由三角形的中位線定理得DG＝2OH，OH∥DG，所以∠FOH＝∠CDB＝45°，則∠FOH＝∠EOH＝45°，所以∠OCB＝∠FOH，而∠CBG＝∠DBG，則∠CBG+∠OCB＝∠DBG+∠FOH，所以∠OEH＝∠OHE，則OH＝OE，所以DG＝2OE．
【解答】證明：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA＝OC=12AC，OB＝OD=12BC，AC＝BD，AC⊥BD，
∴OA＝OB，∠AOF＝∠BOE＝90°，
∵AM⊥BG，
∴∠AME＝90°，
∴∠OAF＝∠OBE＝90°﹣∠AEM，
在△AOF和△BOE中，
∠OAF=∠OBEOA=OB∠AOF=∠BOE，
∴△AOF≌△BOE（ASA），
∴OE＝OF.
（2）如圖2，∵H為BG的中點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)，
∴DG＝2OH，OH∥DG，
∵CB＝CD，∠BCD＝90°，
∴∠CDB＝∠CBD＝45°，
∴∠FOH＝∠CDB＝45°，
∵∠BOC＝90°，
∴∠FOH＝∠EOH＝45°，∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴∠OCB＝∠FOH，
∵BG平分∠DBC，
∴∠CBG＝∠DBG，
∴∠CBG+∠OCB＝∠DBG+∠FOH，
∴∠OEH＝∠OHE，
∴OH＝OE，
∴DG＝2OE．

【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、同角的余角相等、三角形的中位線定理、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和等知識，證明△AOF≌△BOE是解題的關(guān)鍵．
【變式4-4】（2022春?順義區(qū)校級月考）如圖，在正方形ABCD中，Q為對角線BD上一點(diǎn)（DQ＞BQ），連接AQ、CQ．
（1）求證：AQ＝CQ；
（2）過點(diǎn)Q作QR⊥BD交BC于點(diǎn)R，延長CB至點(diǎn)H使BH＝CR，連接AH．
①依題意補(bǔ)全圖形；
②用等式表示AH與CQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△ABQ≌△CBQ，即可得證；
（2）①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可求解；
②連接HQ，證明△QBH≌△QRC，進(jìn)而證明△ADH是等腰直角三角形，即可得出結(jié)論
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABQ＝∠CBQ＝45°，
又BQ＝BQ，
∴△ABQ≌△CBQ（SAS），
∴AQ＝CQ；
（2）解：①補(bǔ)全圖形，如圖，

②AH=2CQ，理由如下，如圖，連接HQ，

∵QR⊥BD，∠QBR＝45°，
∴∠QRB＝45°，
∴∠QBR＝∠QRB，
∴BQ＝RQ，∠QRC＝∠QBH＝135°，
又∵CR＝HB，
∴△QBH≌△QRC（SAS），
∴QH＝QC，∠HQB＝∠RQC，
由（1）可知△ABQ≌△CBQ，
∴∠AQB＝∠BQC，
∴∠AQH+∠HQB＝∠BQR+∠RQC，
∴∠AQH＝∠BQR＝90°，
∵AQ＝QC，
∴AQ＝HQ，
∴△ADH是等腰直角三角形，
∴AH=2AQ，
∴AH=2CQ．
【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
【變式4-5】（2022?珠海校級三模）如圖，E是正方形ABCD的BC邊上一點(diǎn)（E不與B、C重合），EG⊥AC于G，F(xiàn)在BC的延長線上，且CF＝BE，連接AE、DF和DG．
（1）若連接GF，求證：DG＝GF；
（2）若∠BAE＝30°，求∠AGD的度數(shù)．

【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△ABG≌△ADG和△BEG≌△FCG，可得結(jié)論；
（2）如圖2，過點(diǎn)G作MN⊥BC于N，交AD于M，先證明△CNG是等腰直角三角形，得CN＝NG＝DM，根據(jù)HL證明Rt△DMG≌Rt△GNF（HL），可得∠MDG＝∠FGN，可得△DGF是等腰直角三角形，再證明△ABE≌△DCF（SAS），則∠CDF＝∠BAE＝30°，最后由三角形的內(nèi)角和定理可得答案．
【解答】（1）證明：如圖1，連接BG，

∵四邊形ABCD是正方形，AC是對角線，
∴∠ACB＝∠BAG＝∠DAG＝45°，AB＝AD，
∵EG⊥AC，
∴△EGC是等腰直角三角形，
∴GC＝GE，∠GCE＝∠GEC，
∴∠BEG＝∠FCG，
∵AG＝AG，
∴△ABG≌△ADG（SAS），
∴BG＝DG，
∵BE＝CF，
∴△BEG≌△FCG（SAS），
∴BG＝GF，
∴DG＝GF；
（2）解：如圖2，過點(diǎn)G作MN⊥BC于N，交AD于M，

∵AD∥BC，
∴MN⊥AD，
∴∠DMG＝∠FNG＝90°，
∵∠NCG＝45°，
∴△CNG是等腰直角三角形，
∴CN＝NG＝DM，
由（1）知：DG＝GF，
∴Rt△DMG≌Rt△GNF（HL），
∴∠MDG＝∠FGN，
∵∠MDG+∠DGM＝∠FGN+∠DGM＝90°，
∴∠DGF＝90°，
∴△DGF是等腰直角三角形，
∴∠FDG＝45°，
∵AB＝CD，∠B＝∠DCF＝90°，BE＝CF，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠CDF＝∠BAE＝30°，
∴∠CDG＝45°﹣30°＝15°，
∴∠ADG＝90°﹣15°＝75°，
∵∠DAG＝45°，
∴∠AGD＝180°﹣45°﹣75°＝60°．
【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．

題型五正方形判定的條件

【例題5】（2022秋?武侯區(qū)期末）下列說法不正確的是（　　）
A．對角線互相垂直平分的四邊形是正方形
B．菱形的對角線互相垂直
C．矩形的對角線相等
D．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
【分析】利用矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，正方形及平行四邊形的判定方法分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．
【解答】解：A．對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故A錯誤，符合題意；
B．菱形的對角線互相垂直，故B正確，不符合題意；
C．矩形的對角線相等，故C正確，不符合題意；
D．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故D正確，不符合題意．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，正方形及平行四邊形的判定方法，解題的關(guān)鍵是了解有關(guān)的判定方法．
【變式5-1】（2022秋?漳州期末）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，添加下列一個條件，能使矩形ABCD成為正方形的是（　?。?br />
A．BD＝AC B．DC＝AD C．∠AOB＝60° D．OD＝CD
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)及正方形的判定來添加合適的條件．
【解答】解：要使矩形成為正方形，可根據(jù)正方形的判定定理解答：
（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形，
（2）對角線互相垂直的矩形是正方形．
∴添加DC＝AD，能使矩形ABCD成為正方形．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的判定的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能熟記正方形的判定定理．
【變式5-2】（2022春?莊浪縣期中）如圖，下列三組條件中，能判定平行四邊形ABCD是正方形的
有（　?。?br /> ①AB＝BC，∠BAD＝90°；②AC⊥BD，AC＝BD；③OA＝OD，BC＝CD．

A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【分析】根據(jù)正方形的判定逐個分析即可得．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝BC，
∴平行四邊形ABCD是菱形，
∵∠BAD＝90°，
∴菱形ABCD是正方形，
則條件①能判定平行四邊形ABCD是正方形；
∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，
∴平行四邊形ABCD是菱形，
∵AC＝BD，
∴菱形ABCD是正方形，
則條件②能判定平行四邊形ABCD是正方形；
∵四邊形ABCD是平行四邊形，BC＝CD，
∴平行四邊形ABCD是菱形，OA=12AC，OD=12BD，
∵OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴菱形ABCD是正方形，
則條件③能判定平行四邊形ABCD是正方形，
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了正方形的判定，掌握菱形的判定、平行四邊形的性質(zhì)，正方形的判定是解題的關(guān)鍵．
【變式5-3】（2022秋?金水區(qū)校級期中）已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中錯誤的有（　?。?br /> ①當(dāng)AB＝DC時，它是菱形；
②當(dāng)AC⊥BD時，它是菱形；
③當(dāng)∠ABC＝90°時，它是矩形；
④當(dāng)AC＝BD時，它是正方形．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【分析】根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定可以判斷題目中的各個小題的結(jié)論是否正確，從而可以解答本題．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴當(dāng)AB＝DC時，不能判斷它是菱形（對邊相等是平行四邊形的性質(zhì)），故①錯誤，
當(dāng)AC⊥BD時，它是菱形，故②正確，
當(dāng)∠ABC＝90°時，它是矩形，故③正確，
當(dāng)AC＝BD時，它是矩形，故④錯誤，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查正方形、菱形、矩形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確它們的判定的內(nèi)容．

【變式5-4】（2022秋?東明縣校級期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四種說法：
①四邊形AEDF是平行四邊形；
②如果∠BAC＝90°，那么四邊形AEDF是矩形；
③如果AD平分∠BAC，那么四邊形AEDF是菱形；
④如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四邊形AEDF是正方形．
其中，正確的有（　?。?br />
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【分析】先由兩組對邊分別平行的四邊形為平行四邊形，根據(jù)DE∥CA，DF∥BA，得出AEDF為平行四邊形，得出①正確；當(dāng)∠BAC＝90°，根據(jù)推出的平行四邊形AEDF，利用有一個角為直角的平行四邊形為矩形可得出②正確；若AD平分∠BAC，得到一對角相等，再根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等又得到一對角相等，等量代換可得∠EAD＝∠EDA，利用等角對等邊可得一組鄰邊相等，根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形為菱形可得出③正確；由AB＝AC，AD⊥BC，根據(jù)等腰三角形的三線合一可得AD平分∠BAC，同理可得四邊形AEDF是菱形，④錯誤，進(jìn)而得到正確說法的個數(shù)．
【解答】解：∵DE∥CA，DF∥BA，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，選項(xiàng)①正確；
若∠BAC＝90°，
∴平行四邊形AEDF為矩形，選項(xiàng)②正確；
若AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD，
又DE∥CA，
∴∠EDA＝∠FAD，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴AE＝DE，
∴平行四邊形AEDF為菱形，選項(xiàng)③正確；
若AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
同理可得平行四邊形AEDF為菱形，選項(xiàng)④錯誤，
則其中正確的個數(shù)有3個．
故選：C．
【點(diǎn)評】此題考查了平行四邊形的定義，菱形、矩形的判定，涉及的知識有：平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．
【變式5-5】（2022?黑龍江一模）平行四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，且AC⊥BD，請?zhí)砑右粋€條件：　　，使得平行四邊形ABCD為正方形．
【分析】先判定平行四邊形ABCD是菱形，再根據(jù)有一個角是直角的菱形時正方形；對角線相等的菱形是正方形；即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵?ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，且AC⊥BD，
∴?ABCD是菱形，
當(dāng)∠BAD＝90°時，?ABCD為正方形；
當(dāng)AC＝BD時，?ABCD為正方形；
故答案為：∠BAD＝90°或AC＝BD．
【點(diǎn)評】本題考查了正方形的判定、菱形的判定；熟記正方形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
【變式5-6】（2022秋?郟縣期中）如圖，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．要使四邊形EFGH是正方形，BD、AC應(yīng)滿足的條件是　　．

【分析】依據(jù)條件先判定四邊形EFGH為菱形，再根據(jù)∠FEH＝90°，即可得到菱形EFGH是正方形．
【解答】解：滿足的條件應(yīng)為：AC＝BD且AC⊥BD．
理由：∵E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，
∴在△ADC中，HG為△ADC的中位線，
∴HG∥AC且HG=12AC；
同理EF∥AC且EF=12AC，同理可得EH=12BD，
則HG∥EF且HG＝EF，
∴四邊形EFGH為平行四邊形，
又∵AC＝BD，
∴EF＝EH，
∴四邊形EFGH為菱形，
∵AC⊥BD，EF∥AC，
∴EF⊥BD，
∵EH∥BD，
∴EF⊥EH，
∴∠FEH＝90°，
∴菱形EFGH是正方形．
故答案為：AC＝BD且AC⊥BD．
【點(diǎn)評】此題考查了中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)、三角形中位線定理以及正方形的判定．解題時注意：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．
題型六正方形的判定的證明

【例題6】（2022?邵陽）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在對角線BD上，且BE＝DF，OE＝OA．
求證：四邊形AECF是正方形．

【分析】先證明四邊形AECF是菱形，再證明EF＝AC，即可得出結(jié)論
【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
∴四邊形AECF是菱形；
∵OE＝OA＝OF，
∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC，
∴菱形AECF是正方形．
【點(diǎn)評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與判定，正方形的判定，掌握相關(guān)定理是解題基礎(chǔ).
【變式6-1】（2022春?寬城區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AB、BC上，DE＝AF，DE⊥AF于點(diǎn)G．
（1）求證：△ABF≌△DAE．
（2）求證：四邊形ABCD是正方形．

【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得∠DAB＝∠B＝90°，由等角的余角相等可得∠ADE＝∠BAF，利用AAS可得△ABF≌△DAE（AAS）；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得AD＝AB，即可得四邊形ABCD是正方形．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠B＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠DAB＝∠AGD＝90°，
∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，
∴∠BAF＝∠ADE，
在△ABF和△DAE中，
∠BAF=∠ADE∠ABF=∠DAEDE=AF，
∴△ABF≌△DAE（AAS）；
（2）∵△ABF≌△DAE，
∴AD＝AB，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴四邊形ABCD是正方形．
【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握正方形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
【變式6-2】（2021秋?涇陽縣期末）如圖，已知四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在對角線AC上，點(diǎn)F在邊CD上（點(diǎn)F與點(diǎn)C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°．求證：四邊形ABCD是正方形．

【分析】作EM⊥BC于點(diǎn)M，可證EM∥AB，可得∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，由角的數(shù)量關(guān)系可得∠CEM＝45°＝∠BAC，可證AB＝BC，可得結(jié)論．
【解答】證明：如圖，作EM⊥BC于點(diǎn)M，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB⊥BC，
∴EM∥AB，
∴∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，
∵∠ABE+∠CEF＝45°，
∴∠BEM+∠CEF＝45°，
∵BE⊥EF，
∴∠CEM＝45°＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∴AB＝BC，
∴矩形ABCD是正方形．
解法二：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABE＝90°﹣∠EBC，
∵∠BEF＝90°，
∴∠CEF＝90°﹣∠BEC，
∵∠ABE+∠CEF＝45°，
∴180°﹣（∠EBC+∠BEC）＝45°，
又∵180°﹣（∠EBC+∠BEC）＝∠BCE，
∴∠BCE＝45°，
∴∠BAC＝45°，
∴AB＝BC，
∴矩形ABCD是正方形．

【點(diǎn)評】本題考查了正方形的判定，矩形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．
【變式6-3】（2022秋?中寧縣期中）已知：如圖，AD是△ABC的角平分線，過點(diǎn)D分別作AC和AB的平行線，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．
（1）試判定四邊形AEDF的形狀，并證明你的結(jié)論；
（2）△ABC滿足什么條件時，四邊形AEDF是正方形．

【分析】（1）先證明四邊形AEDF是平行四邊形，再根據(jù)∠1＝∠2，∠ADE＝∠2，證明∠1＝∠ADE，則AE＝DE，即可根據(jù)菱形的定義證明四邊形AEDF是菱形；
（2）當(dāng)∠BAC＝90°時，根據(jù)“有一個角是直角的菱形是正方形”可以證明四邊形AEDF是正方形．
【解答】解：（1）四邊形AEDF是菱形，
證明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴DE∥AF，DF∥AE，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，
∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠1＝∠2，
∵∠ADE＝∠2，
∴∠1＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴四邊形AEDF是菱形．
（2）當(dāng)∠BAC＝90°時，四邊形AEDF是正方形，
理由：由（1）得四邊形AEDF是菱形，
∴當(dāng)∠BAC＝90°，四邊形AEDF是正方形．
【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查平行四邊形的判定、菱形的判定、正方形的判定、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識，證明∠1＝∠ADE是解題的關(guān)鍵．
【變式6-4】（2022春?唐河縣期末）如圖所示△ABC中，∠C＝90°，∠CAB，∠ABC的平分線相交于D點(diǎn)，DE⊥BC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F．
（1）求證：四邊形CEDF為正方形；
（2）若AC＝6，BC＝8，則CE的長為　 ?。?br />
【分析】（1）直接利用矩形的判定方法以及角平分線的性質(zhì)得出四邊形CEDF為正方形；
（2）利用三角形面積求法得出EC的長．
【解答】（1）證明：過點(diǎn)D作DN⊥AB于點(diǎn)N，
∵∠C＝90°，DE⊥BC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，
∴四邊形FCED是矩形，
又∵∠A，∠B的平分線交于D點(diǎn)，
∴DF＝DE＝DN，
∴矩形FCED是正方形；

（2）解：∵AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，
∴AB＝10，
∵四邊形CEDF為正方形，
∴DF＝DE＝DN，
∴DF×AC+DE×BC+DN×AB＝AC×BC，
則EC（AC+BC+AB）＝AC×BC，
故EC=6×86+8+10=2．
故答案為：2．
【點(diǎn)評】此題主要考查了正方形的判定以及三角形面積求法和角平分線的性質(zhì)等知識，得出DF＝DE是解題關(guān)鍵．
【變式6-5】（2022春?隆安縣期末）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AE∥BD，AE與CB的延長線交于點(diǎn)E，DE交AB于F．
（1）求證：BC＝BE；
（2）連接CF，若∠ADF＝∠BCF且AD＝2AF，求證：四邊形ABCD是正方形．

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得：AD∥BC，AD＝BC，又由平行四邊形的判定得：四邊形AEBD是平行四邊形，又由平行四邊形的對邊相等可得結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）：四邊形AEBD是平行四邊形，對角線互相平分可得：AF＝BF=12AB，EF＝FD，從而證明AD＝AB，即鄰邊相等，證明EF＝FC＝FD，得∠FDC＝∠FCD，從而∠BCD＝90°，根據(jù)有一個角是直角，鄰邊相等的平行四邊形是正方形可得結(jié)論．
【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AE∥BD，
∴四邊形AEBD是平行四邊形，
∴AD＝EB，
∴BC＝BE；
（2）由（1）知：四邊形AEBD是平行四邊形，
∴AF＝BF=12AB，EF＝FD，
∵AD＝2AF，
∴AB＝AD，
∵AD∥EC，
∴∠ADF＝∠BCF，
∴∠FEC＝∠BCF，
∴EF＝FC＝FD，
∴∠FDC＝∠FCD，
∴∠ADF+∠FDC＝∠FCD+∠BCF，
即∠ADC＝∠BCD，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝90°，
∴四邊形ABCD是正方形．
【點(diǎn)評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、正方形的判定、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，正確利用平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

題型七正方形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用

【例題7】（2022春?河西區(qū)期末）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，P，Q分別是正方形ABCD的四條邊上的點(diǎn)，并且AF＝BP＝CQ＝DE，則下列結(jié)論不一定正確的是（　　）

A．∠AFP＝∠BPQ
B．EF∥QP
C．四邊形EFPQ是正方形
D．四邊形PQEF的面積是四邊形ABCD面積的一半
【分析】由四邊形ABCD是正方形，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，又由AF＝BP＝CQ＝DE，即可得DF＝CE＝BQ＝AP，然后利用SAS即可證得△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP，由此可得∠AFP＝∠BPQ；由此可判斷A；由全等可證得EF＝FP＝PQ＝QE；由EF＝FP＝PQ＝QE，可判定四邊形EFPQ是菱形，又由△APF≌△BPQ，易得∠FPQ＝90°，即可證得四邊形EFPQ是正方形，由此可判斷B，C；最后再判斷D選項(xiàng)即可．
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，
∵AF＝BP＝CQ＝DE，
∴DF＝CE＝BQ＝AP，
∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP（SAS），
∴EF＝FP＝PQ＝QE，∠AFP＝∠BPQ，故A選項(xiàng)正確，不符合題意；
∵EF＝FP＝PQ＝QE，
∴四邊形EFPQ是菱形，
∴EF∥PQ，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；
∵△APF≌△BQP，
∴∠AFP＝∠BPQ，
∵∠AFP+∠APF＝90°，
∴∠APF+∠BPQ＝90°，
∴∠FPQ＝90°，
∴四邊形EFPQ是正方形．故C選項(xiàng)正確，不符合題意；
∵四邊形PQEF的面積＝EF2，四邊形ABCD面積＝AB2，
若四邊形PQEF的面積是四邊形ABCD面積的一半，
則EF2=12AB2，即EF=22AB．
若EF≠22AB，則四邊形PQEF的面積不是四邊形ABCD面積的一半，
故D選項(xiàng)不一定正確，符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)評】此題考查了正方形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意解題的關(guān)鍵是證得△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP．
【變式7-1】（2022春?贛縣區(qū)校級期末）如圖，E、F、M、N分別是正方形ABCD四條邊上的點(diǎn)，且
AE＝BF＝CM＝DN
（1）求證：四邊形EFMN是正方形；
（2）若AB＝7，AE＝3，求四邊形EFMN的周長．

【分析】（1）通過證明△AEN，△DNM，△MCF，△FBE全等，先得出四邊形ENMF是菱形，再證明四邊形EFMN中一個內(nèi)角為90°，從而得出四邊形EFMN是正方形的結(jié)論；
（2）根據(jù)AB＝7，AE＝3，可得AN＝BE＝AB﹣AE＝4，根據(jù)勾股定理可得EN＝5，進(jìn)而可以解決問題．
【解答】（1）證明：∵AE＝BF＝CM＝DN，
∴AN＝DM＝CF＝BE．
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴△AEN≌△DMN≌△CFM≌△BEF（SAS）．
∴EF＝EN＝NM＝MF，∠ENA＝∠DMN．
∴四邊形EFMN是菱形，
∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN+∠DNM＝90°，
∴∠ENA+∠DNM＝90°．
∴∠ENM＝90°．
∴四邊形EFMN是正方形；
（2）解：∵AB＝7，AE＝3，
∴AN＝BE＝AB﹣AE＝4，
∴EN=AE2+AN2=5，
∴正方形EFMN的周長＝4×5＝20．
【點(diǎn)評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握正方形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

【變式7-2】（2022秋?膠州市校級月考）如圖所示，在正方形ABCD中，DF＝AP＝BQ＝CE．
（1）試判斷四邊形PQEF是否是正方形，并證明；
（2）PE是否總過某一定點(diǎn)，并說明理由．

【分析】（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形，故可根據(jù)正方形的定義證明四邊形PQEF是否使正方形．
（2）證PE是否過定點(diǎn)時，可連接AC，證明四邊形APCE為平行四邊形，即可證明PE過定點(diǎn)．
【解答】解：（1）四邊形PQEF為正方形，
證明：在正方形ABCD中，AP＝BQ＝CE＝DF，AB＝BC＝CD＝DA，
∴BP＝QC＝ED＝FA．
又∵∠BAD＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，
∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF（SAS）．
∴FP＝PQ＝QE＝EF，∠APF＝∠PQB．
∴四邊形PQEF是菱形，
∵∠FPQ＝90°，
∴四邊形PQEF為正方形；
（2）對角線PE總過AC的中點(diǎn)，理由如下：
連接AC交PE于O，

∵AP平行且等于EC，
∴四邊形APCE為平行四邊形．
∵O為對角線AC的中點(diǎn)，
∴對角線PE總過AC的中點(diǎn)．
【點(diǎn)評】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是在證明過程中，應(yīng)了解正方形和平行四邊形的判定定理，為使問題簡單化，在證明過程中，可適當(dāng)加入輔助線．

【變式7-3】（2022秋?碭山縣校級月考）如圖，正方形ABCD中，AB＝32，點(diǎn)E是對角線AC上的一點(diǎn)，連接DE．過點(diǎn)E作EF⊥ED，交AB于點(diǎn)F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接AG．
（1）求證：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰為AB的中點(diǎn)，求正方形DEFG的面積．

【分析】（1）如圖，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．只要證明△EMD≌△ENF即可解決問題；
（2）只要證明△ADG≌△CDE，可得AG＝EC即可解決問題；
（3）求出DF的長，由正方形的面積公式可得出答案．
【解答】（1）證明：如圖，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB，
∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∴EM＝EN，
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四邊形ANEM是矩形，
∵EF⊥DE，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF（ASA），
∴ED＝EF，
∵四邊形DEFG是矩形，
∴四邊形DEFG是正方形；
（2）解：∵四邊形DEFG是正方形，四邊形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝32，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE，
∴AE+AG＝AE+EC＝AC=2AD＝6；
（3）解：連接DF，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝32，AB∥CD，
∵F是AB中點(diǎn)，
∴AF＝FB=322，
∴DF=AD2+AF2=(32)2+(322)2=3102，
∴正方形DEFG的面積=12DF2=12×（3102）2=454．
【點(diǎn)評】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和判定、解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．
【變式7-4】（2022春?南譙區(qū)校級月考）如圖1，四邊形ABCD為正方形，E為對角線AC上一點(diǎn)，連接DE，BE．

（1）求證：BE＝DE；
（2）如圖2，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交邊BC于點(diǎn)F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．
①求證：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的邊長為9，CG＝32，求正方形DEFG的邊長．
【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△ABE≌△ADE（SAS），即可解決問題；
（2）①作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，得到EN＝EM，然后證得∠DEN＝∠FEM，得到△DEN≌△FEM，則有DE＝EF，根據(jù)正方形的判定即可證得矩形DEFG是正方形；
②證明△ADE≌△CDG（SAS），可得AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，證明CE⊥CG，連接EG，根據(jù)勾股定理即可解決問題．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD，
在△ABE和△ADE中，
AB=AD∠BAE=∠DAEAE=AE，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE；
（2）①證明：如圖，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
得矩形EMCN，

∴∠MEN＝90°，
∵點(diǎn)E是正方形ABCD對角線上的點(diǎn)，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
∠DNE=∠FME=90°EN=EM∠DEN=∠FEM，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四邊形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在△ADE和△CDG中，
AD=CD∠ADE=∠CDGDE=DG，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°，
∴CE⊥CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝AC=2AB＝92．
∵CG＝32，
∴CE＝62，
連接EG，

∴EG=CE2+CG2=72+18=310，
∴DE=22EG＝35．
∴正方形DEFG的邊長為35．
【點(diǎn)評】此題主要考查了正方形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形的全等的性質(zhì)和判定，勾股定理，解本題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，證得△DEN≌△FEM．
【變式7-5】（2022春?杭州期中）已知：如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，AE、BF相交于點(diǎn)P，并且AE＝BF．
（1）如圖1，判斷AE和BF的位置關(guān)系？并說明理由；
（2）若AB＝8，BE＝6，求BP的長度；
（3）如圖2，F(xiàn)M⊥DN，DN⊥AE，點(diǎn)F在線段CD上運(yùn)動時（點(diǎn)F不與C、D重合），四邊形FMNP是否能否成為正方形？請說明理由．

【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，得到∠ABE＝∠BCF＝90°，AB＝BC，結(jié)合AE＝BF，證明△ABE≌△BCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解決問題；
（2）根據(jù)勾股定理可得AE＝10，然后根據(jù)三角形的面積即可解決問題；
（3）證明△BAP≌△ADN（ASA），可得AN＝BP，AP＝DN，由AE＝BF，可得EN＝PF，根據(jù)點(diǎn)F在線段CD上運(yùn)動時（點(diǎn)F不與C、D重合），可得P、E不重合，所以PN≠PF，進(jìn)而可以解決問題．
【解答】解：（1）AE⊥BF，理由如下：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，
在Rt△ABE和Rt△BCF中，
AE=BFAB=BC，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL），
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CBF+∠BEA＝90°，
∴AE⊥BF；
（2）在Rt△ABE中，AB＝8，BE＝6，
根據(jù)勾股定理得：AE=AB2+BE2=10，
∵S△ABE=12×AB?BE=12×AE?BP，
∴8×6＝10BP，
∴BP＝4.8，
∴BP的長度為4.8；
（3）四邊形FMNP不能成為正方形，理由如下：
由（1）知：AE⊥BF，
∴∠APF＝90°，
∵FM⊥DN，DN⊥AE，
∴∠FMN＝∠MNP＝90°，
∴四邊形FMNP是矩形，
∵∠BAP+∠NAD＝∠NAD+∠ADN＝90°，
∴∠BAP＝∠ADN，
在△BAP和△ADN中，
∠BAP=∠ADNAB=DA∠APB=∠DNA=90°，
∴△BAP≌△ADN（ASA），
∴AN＝BP，AP＝DN，
∵AE＝BF，
∴AE﹣AN＝BF﹣BP，
∴EN＝PF，
∵點(diǎn)F在線段CD上運(yùn)動時（點(diǎn)F不與C、D重合），
∴P、E不重合，
∴PN≠PF，
∴四邊形FMNP不能成為正方形．
【點(diǎn)評】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是得到△ABP≌△ADN．

題型八正方形中的最短問題

【例題8】（2022?資陽）如圖，正方形ABCD的對角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是直線BC上一動點(diǎn)．若AB＝4，則AE+OE的最小值是（　?。?br />
A．42 B．25+2 C．213 D．210
【分析】本題為典型的將軍飲馬模型問題，需要通過軸對稱，作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)A'，再連接A'O，運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短得到A'O為所求最小值，再運(yùn)用勾股定理求線段A'O的長度即可．
【解答】解：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)A'，連接A'O，其與BC的交點(diǎn)即為點(diǎn)E，再作OF⊥AB交AB于點(diǎn)F，

∵A與A'關(guān)于BC對稱，
∴AE＝A'E，AE+OE＝A'E+OE，當(dāng)且僅當(dāng)A'，O，E在同一條線上的時候和最小，如圖所示，此時AE+OE＝A'E+OE＝A'O，
∵正方形ABCD，點(diǎn)O為對角線的交點(diǎn)，
∴OF=FB=12AB=2，
∵A與A'關(guān)于BC對稱，
∴AB＝BA'＝4，
∴FA'＝FB+BA'＝2+4＝6，
在Rt△OFA'中，OA'=FO2+FA'2=210，
故選：D．
【點(diǎn)評】本題為典型的將軍飲馬模型，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)，并運(yùn)用勾股定理求線段長度是解題關(guān)鍵．
【變式8-1】（2022?德州）如圖，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)E在BC上，CE＝2．點(diǎn)M是對角線BD上的一個動點(diǎn)，則EM+CM的最小值是（　?。?br />
A．62 B．35 C．213 D．413
【分析】要求ME+MC的最小值，ME、MC不能直接求，可考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化ME，MC的值，從而找出其最小值求解．
【解答】解：如圖，連接AE交BD于M點(diǎn)，
∵A、C關(guān)于BD對稱，
∴AE就是ME+MC的最小值，
∵正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC上的一定點(diǎn)，且BE＝BC﹣CE＝6﹣2＝4，
∵AB=62+42，
∴AE=62+42=213，
∴ME+MC的最小值是213．
故選：C．

【點(diǎn)評】本題主要考查的是軸對稱﹣﹣路徑最短問題、勾股定理的應(yīng)用、正方形的性質(zhì)，明確當(dāng)點(diǎn)A、M、E在一條直線上時，ME+MA有最小值是解題的關(guān)鍵．
【變式8-2】（2022?蘇州模擬）如圖，正方形ABCD的邊長為32，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是對角線AC的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P是邊AB上一動點(diǎn)，則PE+PF的最小值是（　　）

A．5 B．10 C．32 D．25
【分析】作點(diǎn)E關(guān)于邊AB所在直線的對稱點(diǎn)E'，連接FE'交AB于點(diǎn)P，此時PE+PF有最小值，利用正方形的性質(zhì)得出∠E'AC＝90°，再利用勾股定理求解．
【解答】解：作點(diǎn)E關(guān)于邊AB所在直線的對稱點(diǎn)E'，連接FE'交AB于點(diǎn)P，

此時PE+PF有最小值，
∵在正方形ABCD中，
∴∠BAC＝∠E'AB＝45°，
∴∠E'AC＝90°，
∴AC=(32)2+(32)2=6，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是對角線AC的三等分點(diǎn)，
∴AE＝EF＝FC＝2＝AE'，
∴PE+PF的最小值=FE'=22+42=25．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查的是最短路線問題及正方形的性質(zhì)、勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．
【變式8-3】如圖，正方形ABCD的邊長為3，點(diǎn)E在BC上，且CE＝1，P是對角線AC上的一個動點(diǎn)，則PB+PE的最小值為　　．

【分析】根據(jù)正方形性質(zhì)可知點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對稱，可得PB＝PD，由三角形三邊關(guān)系可得DE≤PD+PE，即DE≤PB+PE，求出DE長即是PB+PE最小值．
【解答】解：如圖，連接PD，DE，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對稱，
∴PB＝PD，
∵DE≤PD+PE，
∴DE≤PB+PE，
即DE長是PB+PE最小值，
∵CE＝1，CD＝3，∠ECD＝90°，
∴DE=CE2+CD2=12+32=10，
∴PB+PE的最小值為10，
故答案為：10．
【點(diǎn)評】本題考查正方形性質(zhì)，軸對稱，勾股定理等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是正確作對稱點(diǎn)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得出結(jié)論．
【變式8-4】（2022秋?蓮湖區(qū)校級月考）如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，點(diǎn)E在CD邊上，且DE＝2CE，點(diǎn)P是對角線AC上的一動點(diǎn)．則PE+PD的最小值是（　?。?br />
A．10 B．3 C．3 D．32
【分析】由于點(diǎn)B與D關(guān)于AC對稱，所以連接BE，與AC的交點(diǎn)即為P點(diǎn)．此時PE+PD＝BE最小，而BE是直角△CBE的斜邊，利用勾股定理即可得出結(jié)果．
【解答】解：如圖，連接BE，設(shè)BE與AC交于點(diǎn)P′，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴點(diǎn)B與D關(guān)于AC對稱，
∴P′D＝P′B，
∴P′D+P′E＝P′B+P′E＝BE最?。?br /> 即P在AC與BE的交點(diǎn)上時，PD+PE最小，為BE的長度．
∵直角△CBE中，∠BCE＝90°，BC＝3，CE=13CD＝1，
∴BE=32+12=10．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱﹣﹣?zhàn)疃搪肪€問題，正方形的性質(zhì)，要靈活運(yùn)用對稱性解決此類問題．找出P點(diǎn)位置是解題的關(guān)鍵．

【變式8-5】（2022?青島一模）如圖，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，CD上兩點(diǎn)，CF＝BE，AE平分∠BAC，連接BF，分別交AE，AC于點(diǎn)G，M，點(diǎn)P是線段AG上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PN⊥AC，垂足為N，連接PM，則PM+PN的最小值為　 ?。?br />
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)以及CF＝BE，可得ABE≌△BCF，進(jìn)而可得∠AGB＝90°，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)，可得BG＝MG，即點(diǎn)M關(guān)于AE的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B．過點(diǎn)B作BN'⊥AM，則PM+PN的最小值即為BN'的長，結(jié)合正方形的對角線相互垂直且平分即可得出答案．
【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BCD＝∠ABC，AB＝BC，
∵CF＝BE，
∴△ABE≌△BCF，
∴∠CBF＝∠BAE，
∵∠CBF+∠ABF＝90°，
∴∠BAE+∠ABF＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
由等腰三角形三線合一的性質(zhì)，可得BG＝MG，
∴點(diǎn)M關(guān)于AE的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B．
過點(diǎn)B作BN'⊥AM，交AE于點(diǎn)P'，
則PM+PN的最小值即為BN'的長．
∵正方形ABCD的對角線相互垂直且平分，
∴BN'=12AC，
∵AB＝BC＝6，
∴AC＝62，
∴BN'＝32．
故答案為：32．

【點(diǎn)評】本題考查軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題、正方形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．

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