在推動(dòng)平行四邊形的變化過程中，你有沒有發(fā)現(xiàn)一種熟悉的、更特殊的圖形？
我們都知道三角形具有穩(wěn)定性，平行四邊形是否也具有穩(wěn)定性？
我們已經(jīng)知道平行四邊形是特殊的四邊形，因此平行四邊形除具有四邊形的性質(zhì)外，還有它的特殊性質(zhì)，同樣對(duì)于平行四邊形來說也有特殊情況即特殊的平行四邊形，這堂課我們就來研究一種特殊的平行四邊形—— 矩形.
知識(shí)點(diǎn)1 矩形的定義
矩形是特殊的平行四邊形.
知識(shí)點(diǎn)2 矩形的性質(zhì)
具備平行四邊形所有的性質(zhì).
矩形是一個(gè)特殊的平行四邊形，除了具有平行四邊形的所有性質(zhì)外，還有哪些特殊性質(zhì)呢？
(1)請(qǐng)同學(xué)們以小組為單位，測(cè)量身邊的矩形(如書本，課桌，鉛筆盒等)的四條邊長(zhǎng)度、四個(gè)角度數(shù)和對(duì)角線的長(zhǎng)度及夾角度數(shù)，并記錄測(cè)量結(jié)果.
準(zhǔn)備素材：直尺、量角器、橡皮擦、課本、鉛筆盒等.
(2)根據(jù)測(cè)量的結(jié)果，你有什么猜想？
猜想1 矩形的四個(gè)角都是直角.
猜想2 矩形的對(duì)角線相等.
證明：矩形的四個(gè)角都是直角．
證明：∵四邊形ABCD是矩形,
又 矩形ABCD是平行四邊形，
∴ ∠A=∠C , ∠B = ∠D,
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
即矩形的四個(gè)角都是直角.
∠A +∠B = 180°.
證明：在矩形ABCD中，
∵∠ABC = ∠DCB = 90°，
又∵AB = DC， BC = CB，
∴△ABC≌△DCB (SAS).
證明：矩形的對(duì)角線相等.
矩形的四個(gè)角都是直角．
矩形的兩條對(duì)角線相等．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD ∥ BC ，CD ∥ AB.
∴AD =BC ，CD =AB.
∴AO= CO ，OD = OB.
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
題型1 利用矩形的性質(zhì)求線段的長(zhǎng)
∴△OAB是等邊三角形.
解：∵四邊形ABCD是矩形.
又∵∠AOB=60°，
∴AC=BD=2OA=8.
如圖，EF過矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)O，且分別交AB,CD于E,F，那么陰影部分的面積是矩形ABCD面積的_______.
　　　　　　　　　　　　　
題型2 利用矩形的性質(zhì)解答折疊問題
解：矩形紙片ABCD中，∠DAB=90°，AD=BC，AB=CD.
又∵△ADG沿DG折疊得到△A′DG，
∴△ADG≌ △ A′DG.
∴x2+42=(8-x)2 解得x=3. ∴ AG=3.
在Rt△GA′B中，由勾股定理得A′B2+A′G2=BG2
∴AD=A′D, AG=A′G，A′B=DB-A′D=10-6=4，
設(shè)AG=x，則BG=AB-AG=8-x，
解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
又由折疊知，∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3. ∴BE＝DE.
設(shè)BE＝DE＝x，則AE＝8－x.
∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，
∴42＋(8－x) ＝x2，解得x＝5，即DE＝5.
知識(shí)點(diǎn)3 矩形的對(duì)稱性及相關(guān)性質(zhì)
矩形的性質(zhì)對(duì)稱性：____________.對(duì)稱軸：____________.
中心對(duì)稱：____________.對(duì)稱中心：____________.
中心對(duì)稱圖形 軸對(duì)稱圖形
你在矩形中還發(fā)現(xiàn)了哪些基本圖形？
如圖，一張矩形紙片，沿著對(duì)角線剪去一半，你能得到什么結(jié)論？
Rt△ABC中，BO是一條怎樣的線段？它的長(zhǎng)度與斜邊AC有什么關(guān)系？一般地，這個(gè)結(jié)論對(duì)所有直角三角形都成立嗎？
知識(shí)點(diǎn)4 直角三角形的性質(zhì)
證明：延長(zhǎng)BO至D，使OD=BO，連接AD,DC.
∵AO=OC，BO=OD，
∴平行四邊形ABCD是矩形，
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
∴四邊形AEDF的周長(zhǎng)＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18；
題型3 利用直角三角形的性質(zhì)解答題目
解：∵AD是△ABC的高，E,F分別是AB,AC的中點(diǎn)，
證明：∵DE＝AE，DF＝AF，
∴E,F在線段AD的垂直平分線上.
答：公平.因?yàn)橹苯侨切涡边叺闹芯€等于斜邊的一半.
1. 如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AC=10，P，Q分別為AO，AD的中點(diǎn)，則PQ的長(zhǎng)度為_____．
在△ADF和△CBE中，
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，
∴△ADF≌△CBE (SAS).
1.如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，下列說法錯(cuò)誤的是 (　　)A．AB∥DC B．AC=BDC．AC⊥BD D．OA=OB
2.若直角三角形的兩條直角邊分別5和12，則斜邊上的中線長(zhǎng)為 ( ) A.13 B.6 C.6.5 D.不能確定
3.如圖，在△ABC中,∠ABC = 90°,BD是斜邊AC上的中線.(1)若BD=3cm,則AC =_____cm;(2)若∠C = 30° ,AB = 5cm,則AC =_____cm, BD = _____cm.
∴△DFE≌△DCE.∴DF=DC.
∵AD =AE，∴∠AED =∠ADE.
∴AD∥BC，∠C=90°.
∴∠ADE=∠DEC，∴∠DEC=∠AED.
又∵DF⊥AE，∴∠DFE=∠C=90°.
∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.
又∵∠DAE：∠BAE＝3：1，
∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.
∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°.
∴∠OAB＝∠ABE＝67.5°.
∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°.
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