初中數(shù)學(xué)18.1.1 平行四邊形的性質(zhì)一課一練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第十八章平行四邊形》
18.3 矩形的性質(zhì)與判定

題型一利用矩形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)

【例題1】（2022秋?滕州市校級(jí)期末）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC＝4，∠BOA＝120°，則AB的長(zhǎng)是（　?。?br />
A．3 B．2 C．23 D．4
【變式1-1】（2022秋?錦江區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O．點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AO，AD的中點(diǎn)，連接EF，則△AEF的周長(zhǎng)為（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
【變式1-2】（2022秋?峰峰礦區(qū)校級(jí)期末）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，且EC平分∠BED，AB＝2，∠ABE＝45°，則DE的長(zhǎng)為（　?。?br />
A．22?2 B．22?1 C．3?1 D．22
【變式1-3】（2022春?余干縣期末）已知一矩形的兩邊長(zhǎng)分別為10cm和15cm，其中一個(gè)內(nèi)角的平分線分長(zhǎng)邊為兩部分，這兩部分的長(zhǎng)為（　　）
A．6 cm和9 cm B．5 cm和10 cm
C．4 cm和11 cm D．7 cm和8 cm
【變式1-4】（2021?香坊區(qū)模擬）在矩形ABCD中，AB＝3，∠ABC的平分線BE交AD所在的直線于點(diǎn)E，若DE＝2，則AD的長(zhǎng)為　　．
【變式1-5】（2022春?碑林區(qū)校級(jí)期末）如圖，P是矩形ABCD的邊AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，矩形的兩條邊AB、BC的長(zhǎng)分別為3和4，那么點(diǎn)P到矩形的兩條對(duì)角線AC和BD的距離之和是（　?。?br />
A．125 B．65 C．245 D．不確定
題型二利用矩形的性質(zhì)求角度

【例題2】（2022秋?衡南縣期末）如圖，分別在長(zhǎng)方形ABCD的邊DC，BC上取兩點(diǎn)E，F(xiàn)，使得AE平分∠DAF，若∠BAF＝60°，則∠DAE＝（　?。?br /> A．45° B．30° C．15° D．60°
【變式2-1】（2022春?承德縣期末）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)E，DF⊥AC于F點(diǎn)，若∠ADF＝3∠FDC，則∠DEC的度數(shù)是（　?。?br />
A．30° B．45° C．50° D．55°
【變式2-2】（2022春?撫順期末）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，若DF⊥AC，∠ADF：∠FDC＝3：2，則∠BDF＝　 ?。?br />
【變式2-3】如圖，四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，F(xiàn)是DA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CF交AB于點(diǎn)E，G是CF上一點(diǎn)，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．若∠ECB＝20°，則∠ACD的度數(shù)是　．

【變式2-4】（2022春?洪澤區(qū)校級(jí)月考）如圖，延長(zhǎng)矩形ABCD的邊BC至點(diǎn)E，使CE＝BD，連結(jié)AE，如果∠ACB＝36°，求∠E的度數(shù)．

【變式2-5】（2022秋?薌城區(qū)校級(jí)期中）長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝12，AD＝17，E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，BE＝5，DF＝7，則∠AEB+∠AFD等于（　?。?br /> A．105° B．120° C．90° D．135°

題型三利用矩形的性質(zhì)求面積

【例題3】如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，連接ED，若ED＝5，EC＝3，則長(zhǎng)方形的面積為（　?。?br />
A．22 B．24 C．26 D．28
【變式3-1】如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ACB＝30°，BD＝4，則矩形ABCD的面積是　．

【變式3-2】（2022?鼓樓區(qū)校級(jí)二模）如圖，點(diǎn)O是矩形ABCD的對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接OA，OE．若OA＝2，OE＝1，則矩形ABCD的面積為　 ?。?br />

【變式3-3】如圖，△ABC中，AC的垂直平分線分別交AC、AB于點(diǎn)D、F，BE⊥DF交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，則四邊形BCDE的面積是（　?。?br />
A．23 B．33 C．4 D．43
【變式3-4】如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在BD上，BE＝DF．
（1）求證：AE＝CF；
（2）若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面積．

題型四利用矩形的性質(zhì)證明

【例題4】（2022春?江西月考）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，連接OE，若∠AOB＝60°，求證：△OBE是等腰三角形．

【變式4-1】在矩形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足為F．
（1）求證：DF＝AB；
（2）若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD．

【變式4-2】（2022春?姜堰區(qū)校級(jí)月考）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，在AB的延長(zhǎng)線上找一點(diǎn)E，連接EC，使得EC＝AC．
（1）求證：四邊形BDCE是平行四邊形；
（2）若AB＝6，BC＝8，求點(diǎn)E到AC的距離．

【變式4-3】（2022?安順模擬）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC的垂直平分線分別與邊AB，CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，N，與邊AD交于點(diǎn)E，垂足為O．
（1）求證：△AOM≌△CON；
（2）若AD＝8，CD＝4，求AE的長(zhǎng)．

【變式4-4】（2022秋?石阡縣期中）如圖，在矩形ABCD中，O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作EF⊥AC，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．
（1）求證：△AOE≌△COF；
（2）若AE+BF＝16，求BC的長(zhǎng)．

【變式4-5】（2022秋?南岸區(qū)校級(jí)期中）如圖，在矩形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．過點(diǎn)C作CG⊥AF于點(diǎn)G，連接DG、BG、CG．
（1）求證：BG＝DG；
（2）連接BD，求∠BDG的度數(shù)．

題型五直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)

【例題5】（2022秋?沭陽(yáng)縣期中）如圖，在△ABC中，BD⊥AC于點(diǎn)E，CE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)M，N分別是BC，DE的中點(diǎn)．
（1）求證：MN⊥DE；
（2）若∠ECB+∠DBC＝45°，DE＝10，求MN的長(zhǎng)．

【變式5-1】（2022?寧南縣模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為中線，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E，使BE＝BC，連結(jié)DE，點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，連結(jié)BF．若AB＝10，則BF的長(zhǎng)為　 ?。?br />

【變式5-2】（2022秋?新田縣期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8cm，AM是BC上的高，MN∥AC，MN交AB于點(diǎn)N，BC＝6cm，求△BMN的周長(zhǎng)．

【變式5-3】（2021秋?蓮都區(qū)期末）已知：如圖，在△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝45°，AD是BC邊上的高線，CE是AB邊上的中線．
（1）求證：AE＝CD；
（2）求∠ACE的度數(shù)．

【變式5-4】（2022秋?大名縣期末）如圖，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上的一點(diǎn)，且AD⊥AB，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，連接AE．
（1）求證：∠AEC＝∠C；
（2）求證：BD＝2AC；
（3）若AE＝6.5，AD＝5，求△ABE的周長(zhǎng)．

【變式5-5】（2022秋?興化市校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，CF⊥AB于點(diǎn)F，BE⊥AC于點(diǎn)E，M為BC的中點(diǎn)．
（1）求證：△MEF是等腰三角形；
（2）若∠EBC＝30°，BC＝10cm，求CE的長(zhǎng)度．

題型六判斷四邊形是矩形

【例題6】（2021秋?天府新區(qū)期末）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點(diǎn)E．
求證：四邊形ADCE為矩形；

【變式6-1】（2021秋?中牟縣期末）檢查一個(gè)門框是否為矩形，下列方法中正確的是（　　）
A．測(cè)量?jī)蓷l對(duì)角線，是否相等
B．測(cè)量?jī)蓷l對(duì)角線，是否互相平分
C．測(cè)量門框的三個(gè)角，是否都是直角
D．測(cè)量?jī)蓷l對(duì)角線，是否互相垂直

【變式6-2】（2021春?新市區(qū)校級(jí)期末）四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD于點(diǎn)O，下列各組條件，不能判定四邊形ABCD是矩形的是（　?。?br /> A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD
B．∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A＝∠B
C．OA＝OC，OB＝OD，∠BAD＝90°
D．∠A＝∠C，∠B+∠C＝180°，∠AOB＝∠BOC
【變式6-3】已知，如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，DF、DE分別是△BDC、△ADC的角平分線．求證：四邊形DECF是矩形．

【變式6-4】如圖，MN∥PQ，直線l分別交MN、PQ于點(diǎn)A、C，同旁內(nèi)角的平分線AB、CB相交于點(diǎn)B，AD、CD相交于點(diǎn)D．試證明四邊形ABCD是矩形．

【變式6-5】（2021春?西吉縣期末）已知：如圖，在?ABCD中，AF、BH、CH、DF分別是∠BAD、∠ABC、∠BCD、∠ADC的平分線．求證：四邊形EFGH是矩形．

題型七判斷平行四邊形是矩形

【例題7】如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥CD，CF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)．求證：四邊形AFCE是矩形．

【變式7-1】（2022春?南票區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC．四邊形ABED是平行四邊形，DE交BC于點(diǎn)F，連接CE．
求證：四邊形BECD是矩形．

【變式7-2】如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，E，G分別是AC，DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為DE延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，∠FCA＝∠CEG．
（1）求證：AD∥CF；
（2）求證：四邊形ADCF是矩形．

【變式7-3】已知：如圖，平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分別為E，F(xiàn)．且BE＝CF．求證：平行四邊形ABCD是矩形．

【變式7-4】如圖，AC、BD相交于點(diǎn)O，且O是AC、BD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在四邊形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°，求證：四邊形ABCD是矩形．

【變式7-5】如圖所示，在?ABCD中，AE⊥BD于點(diǎn)E，CF⊥BD于點(diǎn)F，延長(zhǎng)AE至點(diǎn)G，使EG＝AE，連接CG．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）求證：四邊形EGCF是矩形．

【變式7-6】如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，E為AB中點(diǎn)，點(diǎn)F在CB的延長(zhǎng)線上，且EF∥BD．
（1）求證：四邊形OBFE是平行四邊形；
（2）當(dāng)線段AD和BD之間滿足什么條件時(shí)，四邊形OBFE是矩形？并說明理由．

題型八利用矩形的性質(zhì)解決折疊問題

【例題8】（2022春?三臺(tái)縣月考）如圖，長(zhǎng)方形ABCD中將△ABF沿AF翻折至△AB'F處，若AB'∥BD，∠1＝26°，則∠BAF的度數(shù)為（　?。?br />
A．57° B．58° C．59° D．60°
【變式8-1】（2021秋?金山區(qū)期末）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，點(diǎn)E在邊DC上，聯(lián)結(jié)AE，將△AED沿折痕AE翻折，使點(diǎn)D落在邊BC上的D1處，如果∠DEA＝76°，那么∠D1EC＝　　度．

【變式8-2】（2021秋?管城區(qū)校級(jí)月考）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，把長(zhǎng)方形沿直線AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE交CD于點(diǎn)F，則AF的長(zhǎng)為多少？

【變式8-3】如圖，在矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，延長(zhǎng)BG交CD于點(diǎn)F，結(jié)果發(fā)現(xiàn)F點(diǎn)恰好是DC的中點(diǎn)，若BC＝26，則AB的長(zhǎng) .

【變式8-4】（2022春?工業(yè)園區(qū)校級(jí)期末）已知，如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P為AD上一點(diǎn)，將△ABP沿BP翻折至△EBP，PE與CD相交于O，且OE＝OD，求AP的長(zhǎng)．

八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第十八章平行四邊形》
18.3 矩形的性質(zhì)與判定答案

題型一利用矩形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)

【例題1】（2022秋?滕州市校級(jí)期末）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC＝4，∠BOA＝120°，則AB的長(zhǎng)是（　?。?br />
A．3 B．2 C．23 D．4
【分析】根據(jù)矩形的對(duì)角線相等且互相平分可得AO＝CO＝BO＝DO=12AC＝2，再根據(jù)鄰角互補(bǔ)求出∠AOD的度數(shù)，然后得到△AOD是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得解．
【解答】解：在矩形ABCD中，AO＝CO＝BO＝DO=12AC＝2，
∵∠AOB＝120°，
∴∠AOD＝180°﹣120°＝60°，
∴△AOD是等邊三角形，
∴AD＝AO＝2，
∴AB=3AD＝23，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，判定出△AOD是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．

【變式1-1】（2022秋?錦江區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O．點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AO，AD的中點(diǎn)，連接EF，則△AEF的周長(zhǎng)為（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以AD＝BC＝8，∠BAD＝90°，OB＝OD＝OA＝OC，在Rt△BAD中，可得BD＝10，推出OD＝OA＝OB＝5，因?yàn)镋．F分別是AO．AD中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，∠BAD＝90°，OB＝OD＝OA＝OC，
在Rt△BAD中，∵BD=AB2+AD2=62+82=10，
∴OD＝OA＝OB＝5，
∵E．F分別是AO，AD中點(diǎn)，
∴EF=12OD=52，AE=52，AF＝4，
∴△AEF的周長(zhǎng)為9，
故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形中位線定理、矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型．
【變式1-2】（2022秋?峰峰礦區(qū)校級(jí)期末）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，且EC平分∠BED，AB＝2，∠ABE＝45°，則DE的長(zhǎng)為（　?。?br />
A．22?2 B．22?1 C．3?1 D．22
【分析】在Rt△ABE中可求得BE的長(zhǎng)，由角平分線的定義和平行的性質(zhì)可證得BC＝BE，則可求得AD的長(zhǎng)，則可求得DE的長(zhǎng)．
【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠A＝90°，
∵AB＝2，∠ABE＝45°，
∴AE＝AB＝2，
∴BE=AB2+AE2=22，
∵AD∥BC，
∴∠DEC＝∠ECB，
∵EC平分∠BED，
∴∠BEC＝∠DEC，
∴∠BEC＝∠ECB，
∴BC＝BE＝22，
∴AD＝22，
∴DE＝AD﹣AE＝22?2，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查矩形的性質(zhì)，根據(jù)條件證得BC＝BE是解題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2022春?余干縣期末）已知一矩形的兩邊長(zhǎng)分別為10cm和15cm，其中一個(gè)內(nèi)角的平分線分長(zhǎng)邊為兩部分，這兩部分的長(zhǎng)為（　?。?br /> A．6 cm和9 cm B．5 cm和10 cm
C．4 cm和11 cm D．7 cm和8 cm
【分析】根據(jù)已知條件以及矩形性質(zhì)證△ABE為等腰三角形得到AB＝AE，注意“長(zhǎng)和寬分別為15cm和10cm”說明有2種情況，需要分類討論．
【解答】解：如圖，∵矩形ABCD中，BE是角平分線．
∴∠ABE＝∠EBC．
∵AD∥BC．
∴∠AEB＝∠EBC．
∴∠AEB＝∠ABE
∴AB＝AE．
當(dāng)AB＝15cm時(shí)：則AE＝15cm，不滿足題意．
當(dāng)AB＝10cm時(shí)：AE＝10cm，則DE＝5cm．
故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了矩形的性質(zhì)與等腰三角形的判定與性質(zhì)．注意出現(xiàn)角平分線，出現(xiàn)平行線時(shí)，一般出現(xiàn)等腰三角形，需注意等腰三角形相等邊的不同．
【變式1-4】（2021?香坊區(qū)模擬）在矩形ABCD中，AB＝3，∠ABC的平分線BE交AD所在的直線于點(diǎn)E，若DE＝2，則AD的長(zhǎng)為　　．
【分析】當(dāng)點(diǎn)E在AD上時(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可得AE＝AB＝3，可得AD的長(zhǎng)；當(dāng)點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，同理可求出AD的長(zhǎng)．
【解答】解：如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在AD上時(shí)，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝3，
∵DE＝2，
∴AD＝AE+DE＝3+2＝5；
如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，同理AE＝3，

∴AD＝AE﹣DE＝3﹣2＝1．
故答案為：5或1．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確畫出兩種圖形．
【變式1-5】（2022春?碑林區(qū)校級(jí)期末）如圖，P是矩形ABCD的邊AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，矩形的兩條邊AB、BC的長(zhǎng)分別為3和4，那么點(diǎn)P到矩形的兩條對(duì)角線AC和BD的距離之和是（　　）

A．125 B．65 C．245 D．不確定
【分析】首先連接OP，由矩形的兩條邊AB、BC的長(zhǎng)分別為3和4，可求得OA＝OD＝2.5，△AOD的面積，然后由S△AOD＝S△AOP+S△DOP=12OA?PE+OD?PF求得答案．
【解答】解：連接OP，
∵矩形的兩條邊AB、BC的長(zhǎng)分別為3和4，
∴S矩形ABCD＝AB?BC＝12，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝5，
∴OA＝OD＝2.5，
∴S△ACD=12S矩形ABCD＝6，
∴S△AOD=12S△ACD＝3，
∵S△AOD＝S△AOP+S△DOP=12OA?PE+12OD?PF=12×2.5×PE+12×2.5×PF=54（PE+PF）＝3，
解得：PE+PF=125．
故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了矩形的性質(zhì)以及三角形面積問題．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．

題型二利用矩形的性質(zhì)求角度

【例題2】（2022秋?衡南縣期末）如圖，分別在長(zhǎng)方形ABCD的邊DC，BC上取兩點(diǎn)E，F(xiàn)，使得AE平分∠DAF，若∠BAF＝60°，則∠DAE＝（　?。?br />
A．45° B．30° C．15° D．60°
【分析】長(zhǎng)方形內(nèi)角為90°，已知∠BAF＝60°，所以可以得到∠DAF，又因?yàn)锳E平分∠DAF，所以∠DAE便可求出．
【解答】解：在長(zhǎng)方形ABCD中，∠BAD＝90°
∵∠BAF＝60°
∴∠DAF＝90°﹣∠BAF＝30°
又AE平分∠DAF
所以∠DAE=12∠DAF＝15°
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】運(yùn)用了長(zhǎng)方形的四個(gè)角都是直角以及角平分線的概念即可解決．
【變式2-1】（2022春?承德縣期末）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)E，DF⊥AC于F點(diǎn)，若∠ADF＝3∠FDC，則∠DEC的度數(shù)是（　　）

A．30° B．45° C．50° D．55°
【分析】根據(jù)∠ADC＝90°，求出∠CDF和∠ADF，根據(jù)矩形性質(zhì)求出ED＝EC，推出∠BDC＝∠DCE，求出∠BDC，即可求出答案．
【解答】解：設(shè)∠ADF＝3x°，∠FDC＝x°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴x+3x＝90，
x＝22.5°，
即∠FDC＝x°＝22.5°，
∵DF⊥AC，
∴∠DFC＝90°，
∴∠DCE＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC＝2EC，BD＝2ED，AC＝BD，
∴ED＝EC，
∴∠BDC＝∠DCE＝67.5°，
∴∠BDF＝∠BDC﹣∠CDF＝67.5°﹣22.5°＝45°，
∴∠DEC＝90°﹣45°＝45°
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出∠BDC和∠CDF的度數(shù)，注意：矩形的對(duì)角線互相平分且相等．
【變式2-2】（2022春?撫順期末）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，若DF⊥AC，∠ADF：∠FDC＝3：2，則∠BDF＝　 ?。?br />
【分析】根據(jù)∠ADC＝90°，求出∠CDF和∠ADF，根據(jù)矩形性質(zhì)求出OD＝OC，推出∠BDC＝∠DCO，求出∠BDC，即可求出答案．
【解答】解：設(shè)∠ADF＝3x°，∠FDC＝2x°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴2x+3x＝90，
x＝18°，
即∠FDC＝2x°＝36°，
∵DF⊥AC，
∴∠DMC＝90°，
∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC＝2OC，BD＝2OD，AC＝BD，
∴OD＝OC，
∴∠BDC＝∠DCO＝54°，
∴∠BDF＝∠BDC﹣∠CDF＝54°﹣36°＝18°，
故答案為：18°．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出∠BDC和∠CDF的度數(shù)，注意：矩形的對(duì)角線互相平分且相等．
【變式2-3】如圖，四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，F(xiàn)是DA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CF交AB于點(diǎn)E，G是CF上一點(diǎn)，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．若∠ECB＝20°，則∠ACD的度數(shù)是　．

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD∥BC，∠DCB＝90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠F＝∠ECB＝20°，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠ACG＝∠AGC＝∠GAF+∠F＝2∠F＝40°，于是得到結(jié)論．
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠DCB＝90°，
∴∠F＝∠ECB＝20°，
∴∠GAF＝∠F＝20°，
∴∠ACG＝∠AGC＝∠GAF+∠F＝2∠F＝40°，
∴∠ACB＝∠ACG+∠ECB＝60°，
∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°，
故答案為：30°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：矩形的對(duì)邊平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．
【變式2-4】（2022春?洪澤區(qū)校級(jí)月考）如圖，延長(zhǎng)矩形ABCD的邊BC至點(diǎn)E，使CE＝BD，連結(jié)AE，如果∠ACB＝36°，求∠E的度數(shù)．

【分析】由矩形的性質(zhì)得AC＝BD，而CE＝BD，則AC＝CE，所以∠CAE＝∠E，則∠ACB＝∠CAE+∠E＝2∠E＝36°，即可求得∠E＝18°．
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∵CE＝BD，
∴AC＝CE，
∴∠CAE＝∠E，
∴∠ACB＝∠CAE+∠E＝2∠E，
∵∠ACB＝36°，
∴2∠E＝36°，
∴∠E＝18°，
∴∠E的度數(shù)是18°．
【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和等知識(shí)，證明AC＝CE是解題的關(guān)鍵．
【變式2-5】（2022秋?薌城區(qū)校級(jí)期中）長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝12，AD＝17，E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，BE＝5，DF＝7，則∠AEB+∠AFD等于（　?。?br /> A．105° B．120° C．90° D．135°
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，證明△ABE≌△ECF（SAS），可得∠EAB＝∠CEF，AE＝FE，∠AEB＝∠EFC，然后證明△AEF是等腰直角三角形，進(jìn)而可以解決問題．
【解答】解：如圖，連接EF，

在長(zhǎng)方形ABCD中，DC＝AB＝12，BC＝AD＝17，
∵BE＝5，DF＝7，
∴CE＝12，CF＝5，
∴AB＝EC，BE＝CF，
∵∠B＝∠C＝90°，
在△ABE和△ECF中，
AB=EC∠B=∠C=90°BE=CE，
∴△ABE≌△ECF（SAS），
∴∠EAB＝∠CEF，AE＝FE，∠AEB＝∠EFC，
∵∠EAB+∠AEB＝90°，
∴∠CEF+∠AEB＝90°，
∴∠AEF＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AFE＝45°，
∴∠AEB+∠AFD＝∠EFC+∠AFD＝180°﹣45°＝135°．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到△ABE≌△ECF．

題型三利用矩形的性質(zhì)求面積

【例題3】如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，連接ED，若ED＝5，EC＝3，則長(zhǎng)方形的面積為（　　）

A．22 B．24 C．26 D．28
【分析】直接利用勾股定理得出DC的長(zhǎng)，再利用角平分線的定義以及等腰三角形的性質(zhì)得出BE的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝DC，
∵ED＝5，EC＝3，
∴DC=ED2?EC2=52?32=4，
則AB＝4，
∵AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE＝4，
∴BC=BE+EC＝4+3=7
∴長(zhǎng)方形的面積為：4×7＝28．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了矩形的性質(zhì)以及角平分線的定義，正確得出AB＝BE是解題關(guān)鍵．
【變式3-1】如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ACB＝30°，BD＝4，則矩形ABCD的面積是　．

【分析】根據(jù)題意和矩形的性質(zhì)，可以得到AC的長(zhǎng)，然后根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半和勾股定理，可以得到AB和BC的長(zhǎng)，從而可以求得矩形ABCD的面積．
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，BD＝4，
∴AC＝BD＝4，∠ABC＝90°，
∵∠ACB＝30°，
∴AB＝2，BC=AC2?AB2=42?22=23，
∴矩形ABCD的面積是：2×23=43，
故答案為：43．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的性質(zhì)、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．

【變式3-2】（2022?鼓樓區(qū)校級(jí)二模）如圖，點(diǎn)O是矩形ABCD的對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接OA，OE．若OA＝2，OE＝1，則矩形ABCD的面積為　 ?。?br />
【分析】由三角形中位線定理求出OA＝2，由勾股定理求出AD的長(zhǎng)，則可得出答案．
【解答】解：∵O為BD的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)，
∴OE=12DC，
∵OE＝1，
∴DC＝2，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，∠BAD＝90°，
∵OA＝2，
∴BD＝2OA＝4，
∴AD=BD2?AB2=42?22=23，
∴矩形ABCD的面積＝AD?DC＝23×2=43．
故答案為：43．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式3-3】如圖，△ABC中，AC的垂直平分線分別交AC、AB于點(diǎn)D、F，BE⊥DF交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，則四邊形BCDE的面積是（　　）

A．23 B．33 C．4 D．43
【分析】因?yàn)镈E是AC的垂直的平分線，所以D是AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，所以DF∥BC，所以∠C＝90°，所以四邊形BCDE是矩形，因?yàn)椤螦＝30°，∠C＝90°，BC＝2，能求出AB的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，從而求出DC的長(zhǎng)，從而求出面積．
【解答】解：∵DE是AC的垂直的平分線，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，
∴DF∥BC，
∴∠C＝90°，
∴四邊形BCDE是矩形．
∵∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝2，
∴AB＝4，
∴AC=42?22=23．
∴BE＝CD=3．
∴四邊形BCDE的面積為：2×3=23．
故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定定理，矩形的面積的求法，以及中位線定理，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)等．

【變式3-4】如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在BD上，BE＝DF．
（1）求證：AE＝CF；
（2）若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面積．

【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得出OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°，證出OE＝OF，由SAS證明△AOE≌△COF，即可得出AE＝CF；
（2）證出△AOB是等邊三角形，得出OA＝AB＝6，AC＝2OA＝12，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC=AC2?AB2=63，即可得出矩形ABCD的面積．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
在△AOE和△COF中，OA=OC∠AOE=∠COFOE=OF，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE＝CF；
（2）解：∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝∠COD＝60°，
∴△AOB是等邊三角形，
∴OA＝AB＝6，
∴AC＝2OA＝12，
在Rt△ABC中，BC=AC2?AB2=63，
∴矩形ABCD的面積＝AB?BC＝6×63=363．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形全等和求出BC是解決問題的關(guān)鍵．
題型四利用矩形的性質(zhì)證明

【例題4】（2022春?江西月考）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，連接OE，若∠AOB＝60°，求證：△OBE是等腰三角形．

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得△AOB為等邊三角形．然后根據(jù)角平分線可得△ABE是等腰直角三角形，進(jìn)而可以解決問題．
【解答】證明：∵矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，
∴OA＝OB，
又∵∠AOB＝60°，
∴△AOB為等邊三角形．
∴OA＝OD＝OB＝AB＝OC，
∵AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，
∴∠BAE＝45°，
∴AB＝BE，
∴BE＝OB，
∴△OBE是等腰三角形．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)矩形的性質(zhì)和等腰三角形的判定解答．
【變式4-1】在矩形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足為F．
（1）求證：DF＝AB；
（2）若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD．

【分析】（1）利用“AAS”證△ADF≌△EAB即可得；
（2）由∠ADF+∠FDC＝90°、∠DAF+∠ADF＝90°得∠FDC＝∠DAF＝30°，據(jù)此知AD＝2DF，根據(jù)DF＝AB可得答案．
【解答】證明：（1）在矩形ABCD中，∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAF，
又∵DF⊥AE，
∴∠DFA＝90°，
∴∠DFA＝∠B，
又∵AD＝EA，
∴△ADF≌△EAB，
∴DF＝AB．
（2）∵∠ADF+∠FDC＝90°，∠DAF+∠ADF＝90°，
∴∠FDC＝∠DAF＝30°，
∴AD＝2DF，
∵DF＝AB，
∴AD＝2AB＝8．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)．
【變式4-2】（2022春?姜堰區(qū)校級(jí)月考）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，在AB的延長(zhǎng)線上找一點(diǎn)E，連接EC，使得EC＝AC．
（1）求證：四邊形BDCE是平行四邊形；
（2）若AB＝6，BC＝8，求點(diǎn)E到AC的距離．

【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得∠ABC＝90°，DB＝AC，AB＝DC，由BC⊥AE，EC＝AC，得AB＝EB，則DB＝EC，EB＝DC，即可證明四邊形BDCE是平行四邊形；
（2）設(shè)點(diǎn)E到AC的距離是h，由勾股定理求得AC=AB2+BC2=10，再由12×10h=12×12×8＝S△AEC求出h的值即可．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，DB＝AC，AB＝DC，
∴BC⊥AE，
∵EC＝AC，
∴DB＝EC，AB＝EB，
∴EB＝DC，
∴四邊形BDCE是平行四邊形．
（2）解：設(shè)點(diǎn)E到AC的距離是h，
∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC=AB2+BC2=62+82=10，AE＝2AB＝12，
∵12AC?h=12AE?BC＝S△AEC，
∴12×10h=12×12×8，
解得h=485，
∴點(diǎn)E到AC的距離為485．
【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查等腰三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、矩形的性質(zhì)、勾股定理、根據(jù)面積等式求點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)與方法，正確地列出表示△AEC面積的代數(shù)式是解題的關(guān)鍵．
【變式4-3】（2022?安順模擬）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC的垂直平分線分別與邊AB，CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，N，與邊AD交于點(diǎn)E，垂足為O．
（1）求證：△AOM≌△CON；
（2）若AD＝8，CD＝4，求AE的長(zhǎng)．

【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AB∥CD，求出∠M＝∠N，AO＝CO，再根據(jù)全等三角形的判定定理AAS推出即可；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AB＝CD＝4，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AE＝CE，再根據(jù)勾股定理求出即可．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠M＝∠N，
∵AC的垂直平分線是MN，
∴AO＝CO，
在△AOM和△CON中，
∠AOM=∠CON∠M=∠NAO=CO，
∴△AOM≌△CON（AAS）；
（2）解：連接CE，設(shè)AE＝x，則DE＝8﹣x，

∵AC的垂直平分線是MN，
∴AE＝CE＝x，
∵四邊形ABCD是矩形，AB＝4，
∴DC＝AB＝4，∠ADC＝90°，
由勾股定理得：DE2+DC2＝CE2，
∴（8﹣x）2+42＝x2，
解得：x＝5，
即AE＝5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，能熟記矩形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．
【變式4-4】（2022秋?石阡縣期中）如圖，在矩形ABCD中，O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作EF⊥AC，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．
（1）求證：△AOE≌△COF；
（2）若AE+BF＝16，求BC的長(zhǎng)．

【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，由“ASA”可證△AOE≌△COF；
（2）根據(jù)△AOE≌△COF，可得AE＝CF，然后利用線段的和差即可解決問題．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，
∴AO＝CO，
在△AOE和△COF中，
∠DAC=∠ACBAO=CO∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）解：∵△AOE≌△COF，
∴AE＝CF，
∵AE+BF＝16，
∴CF+BF＝16，
∴BC＝16．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
【變式4-5】（2022秋?南岸區(qū)校級(jí)期中）如圖，在矩形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．過點(diǎn)C作CG⊥AF于點(diǎn)G，連接DG、BG、CG．
（1）求證：BG＝DG；
（2）連接BD，求∠BDG的度數(shù)．

【分析】（1）由BF平分∠BAD，得∠DAF＝∠BAF＝45°，則∠F＝∠DAF＝45°，可證明DF＝DA＝BC，由CG⊥AF于點(diǎn)G，得∠GCF＝∠F＝45°，則∠BCG＝∠F＝45°，CG＝FG，即可證明△BCG≌△DFG，得BG＝DG；
（2）由∠CBG＝∠FDG，推導(dǎo)出∠GBD+∠BDG＝∠CBD+∠CDB＝90°，則∠GBD＝∠BDG＝45°．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴BC＝DA，BC∥DA，∠BAD＝∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠BCF＝∠BCD＝90°，
∵BF平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAF＝45°，
∴∠F＝∠DAF＝45°，
∴DF＝DA，
∴BC＝DF，
∵CG⊥AF于點(diǎn)G，
∴∠CGF＝90°，
∴∠GCF＝∠F＝45°，
∴∠BCG＝∠F＝45°，CG＝FG，
在△BCG和△DFG中，
BC=DF∠BCG=∠FCG=FG，
∴△BCG≌△DFG（SAS），
∴BG＝DG．
（2）解：∵△BCG≌△DFG，
∴∠CBG＝∠FDG，
∴∠GBD+∠BDG＝∠CBD+∠CBG+∠BDG＝∠CBD+∠FDG+∠BDG＝∠CBD+∠CDB＝90°，
∵∠GBD＝∠BDG，
∴∠BDG＝45°，
∴∠BDG的度數(shù)是45．
【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的兩個(gè)銳角互余等知識(shí)，證明△BCG≌△DFG是解題的關(guān)鍵．

題型五直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)

【例題5】（2022秋?沭陽(yáng)縣期中）如圖，在△ABC中，BD⊥AC于點(diǎn)E，CE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)M，N分別是BC，DE的中點(diǎn)．
（1）求證：MN⊥DE；
（2）若∠ECB+∠DBC＝45°，DE＝10，求MN的長(zhǎng)．

【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得MD＝ME=12BC，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明即可；
（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得MD＝ME＝BM＝CM，進(jìn)而得到∠DBM＝∠BDM，∠MEC＝∠MCE，由三角形外角定理及∠ECB+∠DBC＝45°得到∠EMB+∠DMC＝90°，即∠EMD＝90°，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求得MN．
【解答】（1）證明：連接EM、DM，
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°，
∵在Rt△DBC中和Rt△EBC中，M是BC的中點(diǎn)，
∴DM=12BC，EM=12BC，
∴DM＝EM，
∵N是DE的中點(diǎn)，
∴MN⊥ED；
（2）解：在Rt△DBC中，M是BC的中點(diǎn)，
∴DM=12BC＝BM，
∴∠DBM＝∠BDM，
同理∠MEC＝∠MCE，
∵∠ECB+∠DBC＝45°，
∴∠EMB+∠DMC＝2（∠ECB+∠DBC）＝90°，
∴∠EMD＝90°，
∵N是DE的中點(diǎn)，DE＝10，
∴MN=12DE＝5．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解決問題的關(guān)鍵．
【變式5-1】（2022?寧南縣模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為中線，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E，使BE＝BC，連結(jié)DE，點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，連結(jié)BF．若AB＝10，則BF的長(zhǎng)為　　．

【分析】先由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得CD的長(zhǎng)度，結(jié)合題意知線段BF是△CDE的中位線，則BF=12CD．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，
∵CD為中線，
∴CD=12AB＝5．
∵F為DE中點(diǎn)，BE＝BC，
∴點(diǎn)B是EC的中點(diǎn)，
∴BF是△CDE的中位線，
∴BF=12CD＝2.5．
故答案為：2.5．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理，三角形中位線定理，直角三角形斜邊上的中線，熟知直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．

【變式5-2】（2022秋?新田縣期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8cm，AM是BC上的高，MN∥AC，MN交AB于點(diǎn)N，BC＝6cm，求△BMN的周長(zhǎng)．

【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠CAM＝∠BAM，求出BM，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BAM＝∠AMN，進(jìn)而得出MN＝AN，最后根據(jù)△BMN＝BM+AB求出答案．
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，AM是BC上的高，
∴∠CAM＝∠BAM，BM=12BC=12×6=3（cm）（三線合一），
∵M(jìn)N∥AC，
∴∠AMN＝∠CAM，
∴∠BAM＝∠AMN（等量代換），
∴MN＝AN（等角對(duì)等邊），
∴△BMN的周長(zhǎng)＝BM+BN+MN，
＝BM+BN+AN＝BM+AB＝3+8＝11（cm）．
答：△BMN的周長(zhǎng)為11cm．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)等，將三角形的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為兩條線段的和是解題的關(guān)鍵．
【變式5-3】（2021秋?蓮都區(qū)期末）已知：如圖，在△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝45°，AD是BC邊上的高線，CE是AB邊上的中線．
（1）求證：AE＝CD；
（2）求∠ACE的度數(shù)．

【分析】（1）連接DE，根據(jù)垂直定義可得∠ADC＝∠ADB＝90°，從而利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得∠BAD＝60°，∠DAC＝45°，進(jìn)而可得AD＝CD，然后利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得BE＝DE＝AE，從而可得△AED是等邊三角形，進(jìn)而可得AD＝AE，最后利用等量代換即可解答；
（2）利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠B＝∠EDB＝30°，從而可得∠DEC+∠DCE＝30°，再利用（1）的結(jié)論可得DE＝DC，然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠DEC＝∠DCE＝15°，最后利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】（1）證明：連接DE，

∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵∠B＝30°，∠ACB＝45°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝60°，∠DAC＝90°﹣∠ACD＝45°，
∴∠DAC＝∠ACD＝45°，
∴AD＝CD，
∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∠ADB＝90°，
∴BE＝DE＝AE=12AB，
∴△AED是等邊三角形，
∴AD＝AE，
∴AE＝DC；
（2）解：∵DE＝EB，
∴∠B＝∠EDB＝30°，
∴∠DEC+∠DCE＝30°，
∵DE＝AD，AD＝CD，
∴DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE＝15°，
∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝30°，
∴∠ACE的度數(shù)為30°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式5-4】（2022秋?大名縣期末）如圖，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上的一點(diǎn)，且AD⊥AB，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，連接AE．
（1）求證：∠AEC＝∠C；
（2）求證：BD＝2AC；
（3）若AE＝6.5，AD＝5，求△ABE的周長(zhǎng)．

【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得出AE＝BE，再由等邊對(duì)等角及三角形外角的性質(zhì)即可證明；
（2）根據(jù)（1）中結(jié)論及直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)即可證明；
（3）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)及勾股定理即可求解．
【解答】（1）證明：∵AD⊥AB，
∴△ABD為直角三角形．
又∵點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，
∴AE=12BD，
又∵BE=12BD，
∴AE＝BE，
∴∠B＝∠BAE．
又∵∠AEC＝∠B+∠BAE，
∴∠AEC＝∠B+∠B＝2∠B．
又∵∠C＝2∠B，
∴∠AEC＝∠C．
（2）證明：由（1）可得AE＝AC，
又∵AE=12BD，
∴12BD=AC，
∴BD＝2AC．
（3）解：在Rt△ABD中，
∵AD＝5，BD＝2AE＝2×6.5＝13，
∴AB=BD2?AD2=132?52=12，
∴△ABE的周長(zhǎng)＝AB+BE+AE＝12+6.5+6.5＝25．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，勾股定理解三角形及等腰三角形的性質(zhì)與判定等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
【變式5-5】（2022秋?興化市校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，CF⊥AB于點(diǎn)F，BE⊥AC于點(diǎn)E，M為BC的中點(diǎn)．
（1）求證：△MEF是等腰三角形；
（2）若∠EBC＝30°，BC＝10cm，求CE的長(zhǎng)度．

【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線；等腰三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形．版權(quán)所有
【分析】（1）利用直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
（2）利用直角三角形中30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可得出．
【解答】（1）證明：∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴△BFC與△BEC都為直角三角形，
∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，
∴FM、EM為斜邊BC的中點(diǎn)，
∴EM=12BC，F(xiàn)M=12BC，
∴EM＝FM，
∴△MEF是等腰三角形；
（2）在Rt△EBC中，∵∠EBC＝30°，
∴CE=12BC=12×10=5（cm）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．

題型六判斷四邊形是矩形

【例題6】（2021秋?天府新區(qū)期末）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點(diǎn)E．
求證：四邊形ADCE為矩形；

【分析】根據(jù)三個(gè)角是直角是四邊形是矩形即可證明；
【解答】證明：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD．
∴∠ADC＝90°，
∵AN為△ABC的外角∠CAM的平分線，
∴∠MAN＝∠CAN．
∴∠DAE＝90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC＝90°．
∴四邊形ADCE為矩形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的判定、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．
【變式6-1】（2021秋?中牟縣期末）檢查一個(gè)門框是否為矩形，下列方法中正確的是（　?。?br /> A．測(cè)量?jī)蓷l對(duì)角線，是否相等
B．測(cè)量?jī)蓷l對(duì)角線，是否互相平分
C．測(cè)量門框的三個(gè)角，是否都是直角
D．測(cè)量?jī)蓷l對(duì)角線，是否互相垂直
【分析】對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形或有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形的原理即可突破此題．
【解答】解：根據(jù)“三個(gè)角是直角的四邊形是矩形”可以得到測(cè)量門框的三個(gè)角，是否都是直角即可檢驗(yàn)該四邊形是不是矩形，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生對(duì)矩形的判定的理解和掌握，要求學(xué)生熟練掌握矩形的判定方法，并學(xué)會(huì)在實(shí)際生活中靈活運(yùn)用，學(xué)以致用．
【變式6-2】（2021春?新市區(qū)校級(jí)期末）四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD于點(diǎn)O，下列各組條件，不能判定四邊形ABCD是矩形的是（　?。?br /> A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD
B．∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A＝∠B
C．OA＝OC，OB＝OD，∠BAD＝90°
D．∠A＝∠C，∠B+∠C＝180°，∠AOB＝∠BOC
【分析】矩形的判定定理有：
（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．
（2）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形．
（3）對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形．據(jù)此利用排除法可判斷．
【解答】解；A、AB＝CD，AD＝BC，可以判定為平行四邊形，又有AC＝BD，可判定為矩形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、∠A＝∠C，∠B＝∠D，可以判定為平行四邊形，又有∠A＝∠B，可得到∠A＝90°，可判定為矩形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、OA＝OC，OB＝OD，可以判定為平行四邊形，又有∠BAD＝90°可判定為矩形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、A，B，C都錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)正確．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了矩形的判定定理，同學(xué)們一定要熟練掌握矩形的判定方法．
【變式6-3】已知，如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，DF、DE分別是△BDC、△ADC的角平分線．求證：四邊形DECF是矩形．

【分析】利用等腰△ADC“三合一”的性質(zhì)證得DE⊥AC，同理得DF⊥BC，根據(jù)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，證四邊形DECF是矩形．
【解答】證明：如圖，
∵∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，
∴AD＝CD，
∵DE是∠ADC的角平分線，
∴DE⊥AC．
∴∠DEC＝90°，
同理得∠CFD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴四邊形DECF是矩形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定．此題是根據(jù)矩形的判定：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形推知四邊形DECF是矩形的．

【變式6-4】如圖，MN∥PQ，直線l分別交MN、PQ于點(diǎn)A、C，同旁內(nèi)角的平分線AB、CB相交于點(diǎn)B，AD、CD相交于點(diǎn)D．試證明四邊形ABCD是矩形．

【分析】首先推出∠BAC＝∠DCA，繼而推出AB∥CD；推出∠BCA＝∠DAC，進(jìn)而推出AD∥CB，因此四邊形ABCD平行四邊形，再證明∠ABC＝90°，可得平行四邊形ABCD是矩形．
【解答】證明：∵M(jìn)N∥PQ，
∴∠MAC＝∠ACQ、∠ACP＝∠NAC，
∵AB、CD分別平分∠MAC和∠ACQ，
∴∠BAC=12∠MAC、∠DCA=12∠ACQ，
又∵∠MAC＝∠ACQ，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴AB∥CD，
∵AD、CB分別平分∠ACP和∠NAC，
∴∠BCA=12∠ACP、∠DAC=12∠NAC，
又∵∠ACP＝∠NAC，
∴∠BCA＝∠DAC，
∴AD∥CB，
又∵AB∥CD，
∴四邊形ABCD平行四邊形，
∵∠BAC=12∠MAC，∠ACB=12∠ACP，
又∵∠MAC+∠ACP＝180°，
∴∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴平行四邊形ABCD是矩形．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了矩形的判定，關(guān)鍵是掌握有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．
【變式6-5】（2021春?西吉縣期末）已知：如圖，在?ABCD中，AF、BH、CH、DF分別是∠BAD、∠ABC、∠BCD、∠ADC的平分線．求證：四邊形EFGH是矩形．

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得∠AFD＝∠BHC＝∠HGF＝∠HEF＝90°，由此可證四邊形EFGH為矩形．
【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°．
∵AF，BF分別平分∠DAB，∠ABC，
∴∠EAB+∠EBA=12（∠DAB+∠ABC）=12×180°＝90°．
∴∠AEB＝90°，
同理可得：∠AFD＝90°，∠BHC＝90°，∠DGC＝90°，
∵∠HGF＝∠DGC＝90°，∠HEF＝∠AEB＝90°，
∴∠AFD＝∠HGF＝∠HEF＝90°，
∴四邊形EGFH是矩形．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了矩形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握三個(gè)角是直角的四邊形是矩形．

題型七判斷平行四邊形是矩形

【例題7】如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥CD，CF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)．求證：四邊形AFCE是矩形．

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出∠AFC＝∠AEC＝90°，則∠FCE＝∠EAF＝90°，可得出結(jié)論．
【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∵AE⊥CD，CF⊥AB，
∴∠AFC＝∠AEC＝90°，
∴∠FCE＝∠EAF＝90°，
∴四邊形AFCE是矩形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及矩形的判定，熟練掌握矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．

解題技巧提煉
已知四邊形是平行四邊形時(shí)，判定矩形的方法只需再證有一個(gè)角為直角（定義法），或再證明對(duì)角線相等.當(dāng)已知對(duì)角線相等時(shí)，只需證這個(gè)四邊形是平行四邊形即可.
【變式7-1】（2022春?南票區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC．四邊形ABED是平行四邊形，DE交BC于點(diǎn)F，連接CE．
求證：四邊形BECD是矩形．

【分析】根據(jù)已知條件易推知四邊形BECD是平行四邊形．結(jié)合等腰△ABC“三線合一”的性質(zhì)證得BD⊥AC，即∠BDC＝90°，所以由“有一內(nèi)角為直角的平行四邊形是矩形”得到?BECD是矩形．
【解答】證明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，AD＝CD．
∵四邊形ABED是平行四邊形，
∴BE∥AD，BE＝AD，
∴BE＝CD，
∴四邊形BECD是平行四邊形．
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∴?BECD是矩形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定．矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．
【變式7-2】如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，E，G分別是AC，DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為DE延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，∠FCA＝∠CEG．
（1）求證：AD∥CF；
（2）求證：四邊形ADCF是矩形．

【分析】（1）先證EG是△ACD的中位線，得EG∥AD，再由∠FCA＝∠CEG證出EG∥CF，即可得出結(jié)論；
（2）先證△ADE≌△CFE（AAS），得AD＝CF，則四邊形ADCF是平行四邊形，再由等腰三角形的在得∠ADC＝90°，即可得出結(jié)論．
【解答】證明：（1）∵E，G分別是AC，DC的中點(diǎn)，
∴EG是△ACD的中位線，
∴EG∥AD，
∵∠FCA＝∠CEG，
∴EG∥CF，
∴AD∥CF；
（2）由（1）得：AD∥CF，
∴∠DAE＝∠FCE，∠ADE＝∠CFE，
∵E是AC的中點(diǎn)，
∴AE＝CE，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
又∵AB＝AC，AD是BC邊上的中線，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴平行四邊形ADCF是矩形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí)；熟練掌握矩形的判定和平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式7-3】已知：如圖，平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分別為E，F(xiàn)．且BE＝CF．求證：平行四邊形ABCD是矩形．

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出OB=12BD，OC=12AC，由AAS證明△BEO≌△CFO，得出對(duì)應(yīng)邊相等OB＝OC，得出BD＝AC，即可得出結(jié)論．
【解答】證明：∵BE⊥AC，CF⊥BD，
∴∠OEB＝∠OFC＝90°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OB=12BD，OC=12AC，
在△BEO和△CFO中，
∠OEB=∠OFC∠BOE=∠COFBE=CF，
∴△BEO≌△CFO（AAS），
∴OB＝OC，
∴BD＝AC，
∴平行四邊形是矩形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握矩形的判定方法，證明三角形全等得出OB＝OC是解決問題的關(guān)鍵.

【變式7-4】如圖，AC、BD相交于點(diǎn)O，且O是AC、BD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在四邊形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°，求證：四邊形ABCD是矩形．

【分析】連接EO，首先根據(jù)O為BD和AC的中點(diǎn)，得出四邊形ABCD是平行四邊形，在Rt△AEC中EO=12AC，在Rt△EBD中，EO=12BD，得到AC＝BD，可證出結(jié)論．
【解答】證明：連接EO，如圖所示：
∵O是AC、BD的中點(diǎn)，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
在Rt△EBD中，
∵O為BD中點(diǎn)，
∴EO=12BD，
在Rt△AEC中，∵O為AC中點(diǎn)，
∴EO=12AC，
∴AC＝BD，
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴平行四邊形ABCD是矩形．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了矩形的判定、平行四邊形的判定、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．
【變式7-5】如圖所示，在?ABCD中，AE⊥BD于點(diǎn)E，CF⊥BD于點(diǎn)F，延長(zhǎng)AE至點(diǎn)G，使EG＝AE，連接CG．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）求證：四邊形EGCF是矩形．

【分析】（1）由AAS證明△ABE≌△CDF即可；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得AE＝CF，證出EG＝CF，則四邊形EGCF是平行四邊形，由∠GEF＝90°，即可得出四邊形EGCF是矩形．
【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE⊥BD于點(diǎn)E，CF⊥BD于點(diǎn)F，
∴AE∥CF，∠GEF＝∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，∠ABE=∠CDF∠AEB=∠CFDAB=CD，
∴△ABE≌△CDF（AAS）；
（2）由（1）得：△ABE≌△CDF，AE∥CF，
∴AE＝CF，
∵EG＝AE，
∴EG＝CF，
∴四邊形EGCF是平行四邊形，
又∵∠GEF＝90°，
∴四邊形EGCF是矩形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握矩形的判定，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
【變式7-6】如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，E為AB中點(diǎn)，點(diǎn)F在CB的延長(zhǎng)線上，且EF∥BD．
（1）求證：四邊形OBFE是平行四邊形；
（2）當(dāng)線段AD和BD之間滿足什么條件時(shí)，四邊形OBFE是矩形？并說明理由．

【分析】（1）首先證明OE是△ABC的中位線，推出OE∥BC，由EF∥OB，推薦可提出四邊形OBFE是平行四邊形．
（2）當(dāng)AD⊥BD時(shí)，四邊形OBFE是矩形．只要證明∠EOB＝90°即可解決問題．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)．
又∵點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，
∴OE是△ABC的中位線，
∴OE∥BC，
又∵點(diǎn)F在CB的延長(zhǎng)線上，
∴OE∥BF．
∵EF∥BD，即EF∥OB，
∴四邊形OBFE是平行四邊形．
（2）當(dāng)AD⊥BD時(shí)，四邊形OBFE是矩形．
理由：由（1）可知四邊形OBFE是平行四邊形，
又∵AD⊥BD，AD∥BC，且點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，
∴FC⊥BD，
∴∠OBF＝90°，
∴四邊形OBFE是矩形．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定、矩形的判定、三角形的中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和判定，掌握矩形的判定方法，屬于中考?？碱}型．

題型八利用矩形的性質(zhì)解決折疊問題

【例題8】（2022春?三臺(tái)縣月考）如圖，長(zhǎng)方形ABCD中將△ABF沿AF翻折至△AB'F處，若AB'∥BD，∠1＝26°，則∠BAF的度數(shù)為（　?。?br />
A．57° B．58° C．59° D．60°
【分析】由矩形的性質(zhì)得∠ABC＝90°，AD∥BC，則∠AFB＝∠DAF，由翻折得∠B′＝∠ABF＝90°，∠AFB′＝∠AFB，所以∠AFB′＝∠DAF，由AB'∥BD，∠B′AM＝∠1＝26°，則∠AFB′+∠DAF＝2∠DAF＝∠AMB′＝64°，所以∠DAF＝32°，即可求得∠BAF＝∠B′AF＝58°，于是得到問題的答案．
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AD∥BC，
∴∠AFB＝∠DAF，
由翻折得∠B′＝∠ABF＝90°，∠AFB′＝∠AFB，
∴∠AFB′＝∠DAF，
∵AB'∥BD，
∴∠B′AM＝∠1＝26°，
∴∠AMB′＝90°﹣∠B′AM＝64°，
∴∠AFB′+∠DAF＝2∠DAF＝∠AMB′＝64°，
∴∠DAF＝32°，
∴∠BAF＝∠B′AF＝∠B′AM+∠DAF＝26°+32°＝58°，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和等知識(shí)，根據(jù)翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明∠AFB′＝∠DAF是解題的關(guān)鍵．
【變式8-1】（2021秋?金山區(qū)期末）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，點(diǎn)E在邊DC上，聯(lián)結(jié)AE，將△AED沿折痕AE翻折，使點(diǎn)D落在邊BC上的D1處，如果∠DEA＝76°，那么∠D1EC＝　　度．

【分析】利用翻折不變性求出∠DED1即可解決問題；
【解答】解：由翻折不變性可知，
∠AED＝∠AED1＝76°，
∴∠DED1＝152°，
∴∠CED1＝180°﹣152°＝28°，
故答案為：28．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圖形翻折變換的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，熟知折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解答此題的關(guān)鍵
【變式8-2】（2021秋?管城區(qū)校級(jí)月考）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，把長(zhǎng)方形沿直線AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE交CD于點(diǎn)F，則AF的長(zhǎng)為多少？

【分析】首先根據(jù)勾股定理計(jì)算出AC的長(zhǎng)，再根據(jù)折疊的方法可得△ABC≌△AEC，△ADF≌△CEF，進(jìn)而可得到可知AE＝AB＝8cm，CE＝BC＝AD＝6cm，再設(shè)AF＝xcm，則EF＝DF＝（8﹣x）cm，在Rt△ADF中利用勾股定理可得62+（8﹣x）2＝x2，再解方程即可．
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，AB＝8cm，AD＝6cm，
∴BC＝AD＝6cm，AB＝CD＝8cm，
∴AC=AB2+BC2=10cm，
矩形紙片沿直線AC折疊，則△ABC≌△AEC，
可知AE＝AB＝8cm，CE＝BC＝AD＝6cm，∠E＝∠B＝∠D＝90°，
在△ADF和△CEF中，
∠AFD=∠CFE∠D=∠EAD=CE，
∴△ADF≌△CEF（AAS），
∴DF＝EF，
設(shè)AF＝xcm，則EF＝DF＝（8﹣x）cm，
在Rt△ADF中，
AD2+DF2＝AF2，
即：62+（8﹣x）2＝x2，
解得x=254．
即：AF的長(zhǎng)為254cm．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，利用勾股定理列出方程是本題的關(guān)鍵．
【變式8-3】如圖，在矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，延長(zhǎng)BG交CD于點(diǎn)F，結(jié)果發(fā)現(xiàn)F點(diǎn)恰好是DC的中點(diǎn)，若BC＝26，則AB的長(zhǎng) .

【分析】連接EF，由折疊性質(zhì)得AE＝EG，∠A＝∠EGB＝90°，BG＝AB，則∠EGF＝90°，易證EG＝DE，由矩形的性質(zhì)得AB＝CD，∠C＝∠D＝90°，推出∠EGF＝∠D＝90°，由HL證得Rt△EGF≌Rt△EDF，得出FG＝FD，求得CF＝DF＝FG=12CD=12AB，BF＝BG+FG=32AB，由勾股定理得出BC2+CF2＝BF2，即可得出結(jié)果．
【解答】解：連接EF，如圖所示：
由折疊性質(zhì)得：AE＝EG，∠A＝∠EGB＝90°，BG＝AB，
∴∠EGF＝90°，
∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，
∴AE＝DE，
∴EG＝DE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠C＝∠D＝90°，
∴∠EGF＝∠D＝90°，
在Rt△EGF與Rt△EDF中，EG=EDEF=EF，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），
∴FG＝FD，
∵F點(diǎn)恰好是DC的中點(diǎn)，
∴CF＝DF＝FG=12CD=12AB，
∴BF＝BG+FG＝AB+12AB=32AB，
在Rt△BCF中，BC2+CF2＝BF2，
即：（26）2+（12AB）2＝（32AB）2，
解得：AB＝23．
故答案為：23．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握折疊的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．

【變式8-4】（2022春?工業(yè)園區(qū)校級(jí)期末）已知，如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P為AD上一點(diǎn)，將△ABP沿BP翻折至△EBP，PE與CD相交于O，且OE＝OD，求AP的長(zhǎng)．

【分析】由折疊的性質(zhì)得出EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8，由ASA證明△ODP≌△OEG，得出OP＝OG，PD＝GE，設(shè)AP＝EP＝x，則PD＝GE＝6﹣x，DG＝x，根據(jù)勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：設(shè)CD與BE交于點(diǎn)G，如圖所示：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8，
由翻折的性質(zhì)得：△ABP≌△EBP，
∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8，
在△ODP和△OEG中，∠D=∠EOD=OE∠DOP=∠EOG，
∴△ODP≌△OEG（ASA），
∴OP＝OG，PD＝GE，
∴DG＝EP，
∴AP＝EP＝DG，
設(shè)AP＝EP＝x，則PD＝GE＝6﹣x，DG＝x，
∴CG＝8﹣x，BG＝8﹣（6﹣x）＝2+x，
在Rt△BCG中，根據(jù)勾股定理得：BC2+CG2＝BG2，
即62+（8﹣x）2＝（x+2）2，
解得：x＝4.8，
∴AP＝4.8．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)；熟練掌握翻折變換和矩形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多