【自主學(xué)習(xí)】
一．空間直角坐標(biāo)系
在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底{i，j，k}，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以i，j，k方向?yàn)檎较?，以它們的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立三條數(shù)軸：x軸，y軸，z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時(shí)我們就建立 ，O叫做 ， i，j，k都叫做 。
對(duì)于空間任意一個(gè)向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3，則把x，y，z稱作向量p在單位正交基底e1，e2，e3下的坐標(biāo)，記作 。
空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算
空間向量a，b，其坐標(biāo)形式為a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
空間向量的平行、垂直及模、夾角
設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則
【小試牛刀】
思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)空間直角坐標(biāo)系中，向量eq \(AB,\s\up6(→))的坐標(biāo)與終點(diǎn)B的坐標(biāo)相同．( )
(2)設(shè)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)且b≠0，則a∥b?eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)＝eq \f(z1,z2).( )
(3)四邊形ABCD是平行四邊形，則向量eq \(AB,\s\up6(→))與eq \(DC,\s\up6(→))的坐標(biāo)相同．( )
(4)設(shè)A(0,1，－1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則eq \(OA,\s\up6(→))＝(0,1，－1)．( )
【經(jīng)典例題】
題型一 空間直角坐標(biāo)系
點(diǎn)撥：建系時(shí)要充分利用圖形的線面垂直關(guān)系，選擇合適的基底，在寫向量的坐標(biāo)時(shí)，考慮圖形的性質(zhì)，充分利用向量的線性運(yùn)算，將向量用基底表示．
例1已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，并且PA＝AD＝1，建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求向量eq \(MN,\s\up6(→))的坐標(biāo)．
【跟蹤訓(xùn)練】1 如圖在邊長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，取D點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，O，M分別是AC，DD1的中點(diǎn)，寫出下列向量的坐標(biāo).eq \(AM,\s\up6(→))＝________，eq \(OB1,\s\up6(→))＝________.
題型二 空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算
例2 （1）設(shè)a＝(1，－1，3)，b＝(－2，1，2)，則a＋2b＝________.
設(shè)a＝(1，－1，1)，b＝(－2，0，1)，則cs〈a，b〉＝________.
（3）已知點(diǎn)A(－1，2，0)，B(－1，0，2)，則|eq \(AB,\s\up6(→))|＝________.
【跟蹤訓(xùn)練】2若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，且滿足條件(c－a)·(2b)＝－2，則
x＝________.
題型三 空間向量坐標(biāo)運(yùn)算的運(yùn)用
例3 設(shè)a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．
(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；
(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.
【跟蹤訓(xùn)練】3 已知正三棱柱ABC－A1B1C1，底面邊長(zhǎng)AB＝2，AB1⊥BC1，點(diǎn)O，O1分別是棱AC，A1C1的中點(diǎn).建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
(1)求三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)；
(2)求異面直線AB1與BC所成角的余弦值.

【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1.已知向量a＝(0，2，1)，b＝(－1，1，－2)，則a與b的夾角為( )
A.0° B.45° C.90° D.180°
2.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M(5，－1，2)，A(4，2，－1)，若eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，則點(diǎn)B應(yīng)為( )
A.(－1，3，－3) B.(9，1，1) C.(1，－3，3) D.(－9，－1，－1)
3．若△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1，－2,1)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，則△ABC的形狀是( )
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形
4.(多選)已知a＝(2，－3,1)，則下列向量中與a平行的是( )
A．(1,1,1) B．(－4,6，－2) C．(2，－3,5) D．(－2，3, －1)
5.向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k的值是( )
A．1 B.eq \f(1,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(7,5)
6.A(－2,3,1)，B(2，－5,3)，C(8,1,8)，D(4,9,6)，求證：四邊形ABCD為平行四邊形．
【參考答案】
【自主學(xué)習(xí)】
1.空間直角坐標(biāo)系Oxyz 原點(diǎn) 坐標(biāo)向量 p＝(x，y，z)
2. a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a1－b1，a2－b2，a3－b3) (λa1，λa2，λa3) a1b1＋a2b2＋a3b3
3. eq \r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3)) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
【小試牛刀】
（1）× （2）× （3）√ （4）√
【經(jīng)典例題】
例1 解 以AD，AB，AP所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
則M(0，eq \f(1,2)，0)，N(eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，eq \f(1,2))．∴eq \(MN,\s\up6(→))＝(eq \f(1,2)，0，eq \f(1,2))．
【跟蹤訓(xùn)練】1 (－2,0,1) (1,1,2) 解析：∵A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，B1(2,2,2)，
∴eq \(AM,\s\up6(→))＝(0,0,1)－(2,0,0)＝(－2,0,1)，eq \(OB1,\s\up6(→))＝(1,1,2)．
例2（1）(－3，1，7) 解析a＋2b＝(1,－1,3)＋2(－2，1，2)＝(1，－1，3)＋(－4，2，4)＝(－3，1，7).
（2）－eq \f(\r(15),15) 解析： cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－2＋1,\r(3)·\r(5))＝－eq \f(\r(15),15).
（3）2eq \r(2) 析： |eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(（－1＋1）2＋（2－0）2＋（0－2）2)＝2eq \r(2).
【跟蹤訓(xùn)練】2 2 析：據(jù)題意，有c－a＝(0,0,1－x),2b＝(2,4,2)，故(c－a)·2b＝2(1－x)＝－2,解得x＝2.
例3 解 (1)ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，a－3b＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．因?yàn)?ka＋b)∥(a－3b)，所以eq \f(k－2,7)＝eq \f(5k＋3,－4)＝eq \f(－k＋5,－16)，解得k＝－eq \f(1,3).
因?yàn)?ka＋b)⊥(a－3b)，所以(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0，解得k＝eq \f(106,3).
【跟蹤訓(xùn)練】3 解(1)設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為b,則A(0，－1，0)，B1(eq \r(3)，0，b)，B(eq \r(3)，0，0)，C1(0，1，b)，
所以eq \(AB1,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，1，b)，eq \(BC1,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)，1，b).因?yàn)锳B1⊥BC1，所以eq \(AB1,\s\up6(→))·eq \(BC1,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，1，b)·(－eq \r(3)，1，b)＝－(eq \r(3))2＋12＋b2＝0，解得b＝eq \r(2).故側(cè)棱長(zhǎng)為eq \r(2).
(2)由(1)知eq \(AB1,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，1，eq \r(2))，eq \(BC,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)，1，0)，因?yàn)閨eq \(AB1,\s\up6(→))|＝eq \r(（\r(3)）2＋12＋（\r(2)）2)＝eq \r(6)，
|eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(（－\r(3)）2＋12＋02)＝2，eq \(AB1,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，1，eq \r(2))·(－eq \r(3)，1，0)＝－(eq \r(3))2＋1×1＝－2，
所以cs〈eq \(AB1,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝eq \f(|\(AB1,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→))|,|\(AB1,\s\up6(→))||\(BC,\s\up6(→))|)＝eq \f(|－2|,\r(6)×2)＝eq \f(\r(6),6).所以異面直線AB1與BC所成角的余弦值為eq \f(\r(6),6).
【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
C 解析：∵cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(2－2,\r(5)×\r(6))＝0，0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝90°.
2. B 解析：設(shè)B(x，y，z)，由eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))得(5，－1，2)＝(x－4，y－2，z＋1)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－4＝5，,y－2＝－1，,z＋1＝2，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝9，,y＝1，,z＝1.))
3.A解析：eq \(AB,\s\up6(→))＝(3,4,2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(5,1,3)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(2，－3,1)．由eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＞0，得A為銳角；由eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＞0，得C為銳角；由eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＞0，得B為銳角．所以△ABC為銳角三角形．
4. BD 解析：若b＝(－4,6，－2)，則b＝－2(2，－3,1)＝－2a，所以a∥b，同理D也平行.
5.D 解析：依題意得(ka＋b)·(2a－b)＝0，所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，
而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，所以4k＋k－2－5＝0，解得k＝eq \f(7,5).
6.證明 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，依題意 =（-2，3，1），=（2，-5，3），
∴= = (2, 5,3) (2,3,1) = (4, 8 , 2).
同理可得= (4,8,2), = (6,6,5),= (6,6,5).
由 =， =，可知∥，∥，
所以四邊形ABCD是平行四邊形. 課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)科素養(yǎng)
1.學(xué)會(huì)空間直角坐標(biāo)系的建立方法，掌握空間向量的坐標(biāo)表示．
2.會(huì)判斷兩向量平行或垂直.
3.掌握空間向量的模、夾角公式和兩點(diǎn)間的距離公式．
1、直觀想象
2、數(shù)學(xué)運(yùn)算
3、數(shù)學(xué)抽象
向量運(yùn)算
向量表示
坐標(biāo)表示
加法
a＋b
a＋b＝
減法
a－b
a－b＝
數(shù)乘
λa
λa＝
數(shù)量積
a·b
a·b＝
名稱
滿足條件
向量表示形式
坐標(biāo)表示形式
a∥b
a＝λb(λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
a⊥b
a·b＝0
a·b＝
模
|a|＝eq \r(a·a)
|a|＝
夾角
cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)
cs〈a，b〉＝eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3)) \r(b\\al(2,1)＋b\\al(2,2)＋b\\al(2,3)))

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1.3 空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示

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