1.4.2  用空間向量研究距離、夾角問題【學(xué)習(xí)目標(biāo)】課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.理解點(diǎn)到平面、線面、面面距離的概念.（難點(diǎn)）2.會(huì)用向量法求點(diǎn)面、線面、面面距離.（重點(diǎn)）3.理解線線、線面、面面夾角的概念.（難點(diǎn)）4.會(huì)用向量法求線線、線面、面面夾角.（重點(diǎn)）1、直觀想象2、數(shù)學(xué)運(yùn)算3、空間想象【自主學(xué)習(xí)】一．空間距離的向量求法分類向量求法兩點(diǎn)距設(shè)A、B為空間中的任意兩點(diǎn)，則d＝    點(diǎn)線距設(shè)直線l的單位方向向量為u，A∈l，P?l，設(shè)＝a，則點(diǎn)P到直線l的距離d＝             點(diǎn)面距已知平面α的法向量為n，A∈α，P?α，則點(diǎn)P到平面α的距離為d＝    二．空間角的向量求法角的分類向量求法范圍兩異面直線l1與l2所成的角為θ設(shè)l1與l2的方向向量分別為u，v，則cosθ＝              ＝      直線l與平面α所成的角為θ設(shè)l的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sin θ＝            ＝      平面α與平面β的夾角為θ設(shè)平面α，β的法向量分別為n1，n2，則cos θ＝              ＝        【小試牛刀】思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)（1）兩條異面直線所成的角與兩直線的方向向量所成的角相等．(　 　)（2）直線與平面所成的角等于直線與該平面法向量夾角的余角．(　 　)（3）二面角的大小就是該二面角兩個(gè)面的法向量的夾角．(　 　)（4）若二面角兩個(gè)面的法向量的夾角為120°，則該二面角的大小等于60°或120°.(　 　)  【經(jīng)典例題】題型一 利用空間向量求距離例1 （點(diǎn)面距離）設(shè)A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７），D（－５,－4,8），求D到平面ABC的距離.   例2（線面距離）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分別為AB，BC的中點(diǎn)．則點(diǎn)D到平面PEF的距離為________；直線AC到平面PEF的距離為________．  【跟蹤訓(xùn)練】1 （面面距離）已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，求平面AB1C與平面A1C1D間的距離．   題型二  求異面直線所成角例3 （線線角）如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分別是BD和AD的中點(diǎn)，則B1M與D1N所成角的余弦值為(　　)A.       B.      C.     D.   【跟蹤訓(xùn)練】2 如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點(diǎn)E是棱AB上的動(dòng)點(diǎn)．若異面直線AD1與EC所成角為60°，試確定此時(shí)動(dòng)點(diǎn)E的位置．   題型三  求直線與平面所成角例4（線面角）如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分別是AC，A1B1的中點(diǎn)．(1)證明：EF⊥BC；(2)求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值．【跟蹤訓(xùn)練】3 如圖所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝，BC＝1，AD＝AA1＝3.(1)證明：AC⊥B1D；(2)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值．     題型四  求平面與平面所成角例5 （面面角）如圖所示，在幾何體S－ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，求平面SAD與平面SAB所成的銳二面角的余弦值．  【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.已知向量m，n分別是直線l的方向向量和平面α的法向量，若cos〈m，n〉＝－，則l與α所成的角為(　　)A．30°    B．60°    C．120°    D．150°2.(多選)已知二面角α－l－β的兩個(gè)半平面α與β的法向量分別為a，b，若〈a，b〉＝，則二面角α－l－β的大小為(　　)A.       B.      C.       D. 3.正方體ABCD－A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的余弦值為(　　)A.      B.     C.        D.4.已知兩平面的法向量分別為m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，則兩平面所成的二面角的大小為(　　)A．45°   B．135°   C．45°或135°   D．90°5.在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，則異面直線A1B與B1C所成角的余弦值為________．6.如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝2，點(diǎn)P，Q分別為A1B1，BC的中點(diǎn)．(1)求異面直線BP與AC1所成角的余弦值；(2)求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值．        【參考答案】 【自主學(xué)習(xí)】|AB|     |cos<u，v>|      |cos<u，n>|      |cos<n1，n2>|   【小試牛刀】× × × √【經(jīng)典例題】例1 解：∵A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７），D（－５,－4,8），∴;設(shè)平面ABC的法向量=（x，y，z），則·=0，·=0，∴即令z=－2，則=（3，2，－2）由點(diǎn)到平面的距離公式：==.∴點(diǎn)D到平面ABC的距離為.例2 解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D(0，0，0)，P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，F，＝，＝，＝(－1，0，1)，＝(0，0，1).設(shè)平面PEF的法向量為n＝(x，y，z)，則即解得x＝y，令x＝y＝2，得n＝(2，2，3)，因此，點(diǎn)D到平面PEF的距離為＝＝.因?yàn)?/span>E，F分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以EF∥AC，又EF?平面PEF，所以AC∥平面PEF，所以直線AC到平面PEF的距離為＝＝.【跟蹤訓(xùn)練】 1 解析　建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)．設(shè)平面A1C1D的一個(gè)法向量為???故n＝(－1，－1,1)，所以平面AB1C與平面A1C1D間例3  A 解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0,0,2)，N(1,0,0)，∴＝(－1，－1，－2)，＝(1,0，－2)，∴cos〈，〉＝＝.【跟蹤訓(xùn)練】2 解　以DA所在直線為x軸，以DC所在直線為y軸，以DD1所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．設(shè)E(1，t,0)(0≤t≤2)，則A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0,1)，C(0,2,0)，＝(1,0，－1)，＝(1，t－2,0)，根據(jù)數(shù)量積的定義及已知得：1＋0×(t－2)＋0＝×·cos 60°，所以t＝1，所以點(diǎn)E的位置是AB的中點(diǎn)．例4 解：　(1)連接A1E，因?yàn)?/span>A1A＝A1C，E是AC的中點(diǎn)，所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E?平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以，A1E⊥平面ABC.如圖，以點(diǎn)E為原點(diǎn)，分別以射線EC，EA1為y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz.不妨設(shè)AC＝4，則A1(0,0,2)，B(，1,0)，B1(，3，2)，F，C(0,2,0)．因此，＝，＝(－，1,0)．由·＝0得EF⊥BC.(2)設(shè)直線EF與平面A1BC所成角為θ，由(1)可得＝(－，1,0)，＝(0,2，－2)，設(shè)平面A1BC的法向量為n＝(x，y，z)，由，得，取n＝(1，，1)，故sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝.因此直線EF與平面A1BC所成角的余弦值為.【跟蹤訓(xùn)練】3 (1)證明　以A為原點(diǎn)，以，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，C(，1,0)，B1(，0,3)，D(0,3,0)，C1(，1,3)，D1(0,3,3)．易知＝(，1,0)，＝(－，3，－3)，∴·＝0，∴AC⊥B1D.(2)解　設(shè)平面ACD1的法向量為m＝(x，y，z)，＝(，1,0)，＝(0,3,3)，則即令x＝1，則y＝－，z＝，∴平面ACD1的一個(gè)法向量為m＝(1，－，)．設(shè)直線B1C1與平面ACD1所成的角為θ，∵＝(0,1,0)，∴sin θ＝＝，∴直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為.例5 解　如圖，過點(diǎn)D作DC的垂線交SC于E，以D為原點(diǎn)，以DC，DE，DA所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．∵∠SDC＝120°，∴∠SDE＝30°，又SD＝2，∴點(diǎn)S到y軸的距離為1，到x軸的距離為，則有D(0,0,0)，S(－1，，0)，A(0,0,2)，C(2,0,0)，B(2,0,1)，設(shè)平面SAD的法向量為m＝(x，y，z)，∵＝(0,0，－2)，＝(－1，，－2)，∴取x＝，得平面SAD的一個(gè)法向量為m＝(，1,0)．又＝(2,0，－1)，設(shè)平面SAB的法向量為n＝(a，b，c)，則即令a＝，則n＝(，5,2)，∴cos〈m，n〉＝＝＝，故平面SAD與平面SAB所成的銳二面角的余弦值是.【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1. A 解析：設(shè)l與α所成的角為θ且θ∈[0,90°]，則sin θ＝|cos〈m，n〉|＝.∴θ＝30°.2.AB 解析：由于二面角的范圍是[0，π]，而二面角的兩個(gè)半平面α與β的法向量都有兩個(gè)方向，因此二面角α－l－β的大小為或，故選AB.3.D 解析：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，建系如圖．則D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)．平面ACD1的一個(gè)法向量為＝(1,1,1)．又＝(0,0,1)，則cos〈，〉＝＝＝.故BB1與平面ACD1所成角的余弦值為＝.C解析：∵cos〈m，n〉＝＝，∴二面角的大小為45°或135°.5.  解析：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．由已知得A1(4,0,0)，B(4,4,3)，B1(4，4,0)，C(0,4,3)．∴＝(0,4,3)，＝(－4,0,3)，∴cos〈，〉＝.6.解：如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，設(shè)AC，A1C1的中點(diǎn)分別為O，O1，則OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以{，，}為基底，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.因?yàn)?/span>AB＝AA1＝2，所以A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，－1，2)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)．(1)因?yàn)?/span>P為A1B1的中點(diǎn)，所以P，從而＝，＝(0,2,2)，故|cos〈，〉|＝＝＝.因此，異面直線BP與AC1所成角的余弦值為.(2)因?yàn)?/span>Q為BC的中點(diǎn)，所以Q，因此＝，＝(0,2,2)，＝(0,0,2)．設(shè)n＝(x，y，z)為平面AQC1的一個(gè)法向量，則即不妨取n＝(，－1,1)．設(shè)直線CC1與平面AQC1所成的角為θ，則sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，所以直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值為.
  

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1.4 空間向量的應(yīng)用

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