專題三    空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示 一 知識結(jié)構(gòu)圖內(nèi)  容考點(diǎn)關(guān)注點(diǎn)  空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)求中點(diǎn)坐標(biāo)空間向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算 坐標(biāo)運(yùn)算空間向量夾角及長度夾角、長度公式空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決平行、垂直問題平行、垂直的坐標(biāo)表示 二.學(xué)法指導(dǎo)1．在空間直角坐標(biāo)系中，確定點(diǎn)的坐標(biāo)或求對稱點(diǎn)坐標(biāo)時，要記住規(guī)律：“在誰的軸上，誰屬于R，其它為零；在誰的平面上，誰屬于R，其它為零．”“關(guān)于誰對稱誰不變，其余變成相反數(shù)．”2．空間幾何體中，要得到有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)時，先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，一般選擇兩兩垂直的三條線段所在直線為坐標(biāo)軸，然后選擇基向量，根據(jù)已知條件和圖形關(guān)系將所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐標(biāo)．3．進(jìn)行空間向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算的技巧利用向量坐標(biāo)運(yùn)算解決問題的關(guān)鍵是熟記向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則，同時掌握下列技巧．(1)在運(yùn)算中注意相關(guān)公式的靈活運(yùn)用，如(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)2等．(2)進(jìn)行向量坐標(biāo)運(yùn)算時，可以先代入坐標(biāo)再運(yùn)算，也可先進(jìn)行向量式的化簡再代入坐標(biāo)運(yùn)算，如計算(2a)·(－b)，既可以利用運(yùn)算律把它化成－2(a·b)，也可以求出2a，－b后，再求數(shù)量積；計算(a＋b)·(a－b)，既可以求出a＋b，a－b后，求數(shù)量積，也可以把(a＋b)·(a－b)寫成a2－b2后計算．4.判斷空間向量垂直或平行的步驟(1)向量化：將空間中的垂直與平行轉(zhuǎn)化為向量的垂直與平行；(2)向量關(guān)系代數(shù)化：寫出向量的坐標(biāo)；(3)對于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根據(jù)x1x2＋y1y2＋z1z2是否為0判斷兩向量是否垂直；根據(jù)x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)或＝＝(x2，y2，z2都不為0)判斷兩向量是否平行．5.利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求異面直線所成角的步驟(1)根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)利用已知條件寫出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而獲得相關(guān)向量的坐標(biāo)；(3)利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求得異面直線上有關(guān)向量的夾角，并將它轉(zhuǎn)化為異面直線所成的角．6．利用向量坐標(biāo)求空間中線段的長度的一般步驟(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)求出線段端點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)利用兩點(diǎn)間的距離公式求出線段的長．三.知識點(diǎn)貫通知識點(diǎn)1  求空間點(diǎn)的坐標(biāo)空間直角坐標(biāo)系中A點(diǎn)坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系中，i，j，k為坐標(biāo)向量，對空間任一點(diǎn)A，對應(yīng)一個向量，且點(diǎn)A的位置由向量唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk，則(x，y，z)叫做點(diǎn)A在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)．記作A(x，y，z)，其中x叫點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系中，給定向量a.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk，則(x，y，z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，簡記作a＝(x，y，z) 例題1.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N為棱CC1的中點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．(1)求點(diǎn)A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐標(biāo)；(2)求點(diǎn)N的坐標(biāo)．【解析】(1)顯然D(0,0,0)，因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸的正半軸上，且|AD|＝3，所以A(3,0,0)．同理，可得C(0,4,0)，D1(0,0,5)．因?yàn)辄c(diǎn)B在坐標(biāo)平面xOy內(nèi)，BC⊥CD，BA⊥AD，所以B(3,4,0)．同理，可得A1(3,0,5)，C1(0,4,5)，與B的坐標(biāo)相比，點(diǎn)B1的坐標(biāo)中只有豎坐標(biāo)不同，|BB1|＝|AA1|＝5，則B1(3,4,5)．(2)由(1)知C(0,4,0)，C1(0,4,5)，則C1C的中點(diǎn)N為，即N.知識點(diǎn)二   求對稱點(diǎn)的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系中，任一點(diǎn)P(a，b，c)的幾種特殊的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)如下： 對稱軸或?qū)ΨQ中心對稱點(diǎn)坐標(biāo)P(a，b，c)x軸(a，－b，－c)y軸(－a，b，－c)z軸(－a，－b，c)xOy平面(a，b，－c)yOz平面(－a，b，c)xOz平面(a，－b，c)坐標(biāo)原點(diǎn)(－a，－b，－c)例題2：在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(－2,1,4)．(1)求點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求點(diǎn)P關(guān)于xOy平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)求點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M(2，－1，－4)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)【解析】　(1)由于點(diǎn)P關(guān)于x軸對稱后，它在x軸的分量不變，在y軸、z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點(diǎn)為P1(－2，－1，－4)．(2)由于點(diǎn)P關(guān)于xOy平面對稱后，它在x軸、y軸的分量不變，在z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點(diǎn)為P2(－2,1，－4)．(3)設(shè)對稱點(diǎn)為P3(x，y，z)，則點(diǎn)M為線段PP3的中點(diǎn)．由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)．知識點(diǎn)三   空間向量的坐標(biāo)表示若則。例題3 .如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別為A1B1，A1A的中點(diǎn)，試建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求向量，，的坐標(biāo)．【解析】　法一：由題意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，分別以CA，CB，CC1的方向?yàn)?/span>x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，如圖所示．∴＝－＝＋－＝－＋，∴的坐標(biāo)為(1，－1,1)，而＝－＝－＋，∴的坐標(biāo)為(1，－1,2)．又∵＝－，∴的坐標(biāo)為(－1,1，－2)．法二：建系同法一，則B(0,1,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,2)，N(1,0,1)，∴＝(1，－1,1)，＝(1，－1,2)，＝(－1,1，－2)．知識點(diǎn)四  空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則如下表所示：運(yùn)算坐標(biāo)表示加法a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)減法a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)乘λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R數(shù)量積a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 例題4．已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求a＋b，a－b，a·b，(2a)·(－b)，(a＋b)·(a－b)．【解析】　a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)；a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2,0，－6)；a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7；(2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14；(a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8.知識點(diǎn)五   空間向量的平行與垂直空間向量的平行、垂直的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則平行(a∥b)a∥b(b≠0)?a＝λb?垂直(a⊥b)a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均為非零向量)例題5.(1)對于空間向量a＝(1,2,3)，b＝(λ，4,6)．若a∥b，則實(shí)數(shù)λ＝(　　)A．－2  B．－1  C．1  D．2(2)正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱D1D的中點(diǎn)，P、Q分別為線段B1D1，BD上的點(diǎn)，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值．【解析】(1)因?yàn)榭臻g向量a＝(1,2,3)，b＝(λ，4,6)，若a∥b，則＝＝＝，所以λ＝2，故選D.(2)如圖所示，以D為原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，則A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，由題意，可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，a,1)，因?yàn)?/span>3＝，所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a,0)，所以3a－3＝－a，解得a＝，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.由題意可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(b，b,0)，因?yàn)?/span>PQ⊥AE，所以·＝0，所以·＝0，即－－＝0，解得b＝，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，因?yàn)?/span>＝λ，所以＝λ，所以＝－1，故λ＝－4.知識點(diǎn)六    空間向量的夾角與長度問題設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則模|a|＝＝夾角公式cos〈a，b〉＝＝ 例題6.如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別為A1B1，A1A的中點(diǎn)．(1)求BN的長；(2)求A1B與B1C所成角的余弦值；【解析】　(1)如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz.依題意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，∴||＝＝，∴線段BN的長為.(2)依題意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，∴·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.又||＝，||＝.∴cos〈，〉＝＝.故A1B與B1C所成角的余弦值為.五 易錯點(diǎn)分析易錯一 空間直角坐標(biāo)系中求對稱點(diǎn)的坐標(biāo)例題7.點(diǎn)P(－3,2，－1)關(guān)于平面xOz的對稱點(diǎn)是________，關(guān)于z軸的對稱點(diǎn)是________，關(guān)于M(1,2,1)的對稱點(diǎn)是________．【答案】(－3，－2，－1)　(3，－2，－1)　(5,2,3)　【解析】點(diǎn)P(－3,2，－1)關(guān)于平面xOz的對稱點(diǎn)是(－3，－2，－1)，關(guān)于z軸的對稱點(diǎn)是(3，－2，－1)．設(shè)點(diǎn)P(－3,2，－1)關(guān)于M(1,2,1)的對稱點(diǎn)為(x，y，z)．則解得故點(diǎn)P(－3,2，－1)關(guān)于點(diǎn)M(1,2,1)的對稱點(diǎn)為(5,2,3)．誤區(qū)警示
在空間直角坐標(biāo)系中，求點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)時，關(guān)于坐標(biāo)平面對稱時，注意應(yīng)該變換哪個坐標(biāo)。  

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