1.4.1  用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系第1課時(shí) 空間向量與平行關(guān)系【學(xué)習(xí)目標(biāo)】課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.了解空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示．2.掌握直線的方向向量，平面的法向量的概念及求法．(重點(diǎn))3.熟練掌握用方向向量，法向量證明線線、線面、面面間的平行關(guān)系．(重點(diǎn)、難點(diǎn))1、直觀想象2、數(shù)學(xué)運(yùn)算3、邏輯推理【自主學(xué)習(xí)】一．空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示點(diǎn)P的位置向量在空間中，取一定點(diǎn)O作為基點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn)P可以用向量    表示，我們把向量     稱為點(diǎn)P的位置向量.空間直線的向量表示式a是直線l的方向向量，在直線l上取＝a，取定空間中的任意一點(diǎn)O，可以得到點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使＝        ，也可以表示為＝         .這兩個(gè)式子稱為空間直線的向量表示式.空間平面ABC的向量表示式設(shè)兩條直線相交于點(diǎn)O，它們的方向向量分別為a和b，P為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使得＝        .那么取定空間任意一點(diǎn)O，可以得到，空間一點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實(shí)數(shù)x，y，使＝              ，這就是空間平面ABC的向量表示式. 二．直線的方向向量與平面的法向量1.直線的方向向量的定義直線的方向向量是指和這條直線        的非零向量，一條直線的方向向量有    個(gè)．2.平面的法向量的定義直線l⊥α，取直線l的         a，則向量a叫做平面α的法向量．三．空間中平行關(guān)系的向量表示線線平行設(shè)兩條不重合的直線l1，l2的方向向量分別為u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)，則l1∥l2?       ?                     線面平行設(shè)l的方向向量為u＝(a1，b1，c1)，α的法向量為n＝(a2，b2，c2)，則l∥α?         ?                  面面平行設(shè)α，β的法向量分別為n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，則α∥β?         ?   【小試牛刀】思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)直線l的方向向量a一定是單位向量．(　　)(2)直線l的一個(gè)方向向量為a＝(－1,2,1)，平面α的一個(gè)法向量為n＝(－1，－1,1)，l?α，則l∥α.(　　)(3)平面α的法向量是唯一的，即一個(gè)平面不可能存在兩個(gè)不同的法向量．(    )(4)若點(diǎn)A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直線l上，則直線l的向量參數(shù)方程可以為＝t.(　　)(5)兩個(gè)平面的法向量平行，則這兩個(gè)平面平行；兩個(gè)平面的法向量垂直，則這兩個(gè)平面垂直．(    )【經(jīng)典例題】題型一　求平面的法向量點(diǎn)撥：求平面法向量的步驟1.設(shè)法向量n＝(x，y，z)；2.在已知平面內(nèi)找兩個(gè)不共線向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)；3.建立方程組4.解方程組：用一個(gè)未知量表示其他兩個(gè)未知量，然后對(duì)用來(lái)表示兩未知量的未知量賦以特殊值，從而得到平面的一個(gè)法向量．例1 如圖所示，在四棱錐S－ABCD中，底面是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求平面SCD與平面SBA的一個(gè)法向量．   【跟蹤訓(xùn)練】1 已知A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一個(gè)法向量．    題型二  證明線線平行點(diǎn)撥：證明兩直線平行的方法法一：平行直線的傳遞性法二：基向量法，分別取兩條直線的方向向量m，n，證明m∥n，即m＝λn.法三：坐標(biāo)法，建立空間直角坐標(biāo)系，把直線的方向向量用坐標(biāo)表示，如m1＝(x1，y1，z1)，m2＝(x2，y2，z2)，即證明m1＝λm2，即x1＝λx2且y1＝λy2且z1＝λz2.例2 在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分別是AA1，D1C1，AB，CC1的中點(diǎn)．求證：PQ∥RS.   【跟蹤訓(xùn)練】2 已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，則λ與μ的值可以是(　　)A．2，     B．，     C．－3,2      D．2,2 題型三   證明線面、面面平行點(diǎn)撥：1.向量法證明線面平行的思路(1)設(shè)直線l的方向向量是a，平面α的法向量是u，則要證明l∥α，只需證明a⊥u,即a·u＝0.(2)根據(jù)線面平行的判定定理，要證明一條直線和一個(gè)平面平行，在平面內(nèi)找一個(gè)向量與已知直線的方向向量是共線向量即可．2.證明面面平行的方法設(shè)平面α的法向量為μ，平面β的法向量為v，則α∥β?μ∥v.例3　已知u是平面α的一個(gè)法向量，a是直線l的一個(gè)方向向量，若u＝(3,1,2)，a＝(－2,2,2)，則l與α的位置關(guān)系是________． 【跟蹤訓(xùn)練】3 已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E，F分別是BB1，DD1的中點(diǎn)，求證：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.   【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分別是直線l1、l2的方向向量．若l1∥l2，則(　　)A．x＝6，y＝15     B．x＝3，y＝    C．x＝3，y＝15    D．x＝6，y＝2.設(shè)直線l的方向向量為a，平面α的法向量為b，若a·b＝0，則(　　)A．l∥α        B．l?α     C．l⊥α        D．l?α或l∥α3.（多選）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作為平面ABC法向量的是(　　)．A.      B.      C.      D. 4.已知直線l的方向向量為(2，m,1)，平面α的法向量為，且l∥α，則m＝________.5.已知平面α經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，求平面α的一個(gè)法向量．  6.在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是正方形，側(cè)棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點(diǎn)．證明：PA∥平面EDB.   【課堂小結(jié)】1.應(yīng)用向量法證明線面平行問(wèn)題的方法(1)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直．(2)證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一直線的方向向量共線．(3)證明直線的方向向量可用平面內(nèi)的任意兩個(gè)不共線的向量表示．即用平面向量基本定理證明線面平行．2.證明面面平行的方法設(shè)平面α的法向量為n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量為n2＝(a2，b2，c2)，則α∥β?n1∥n2?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．3.直線的方向向量和平面的法向量都不唯一，各有無(wú)數(shù)個(gè)，且直線的方向向量都是共線向量，平面的法向量也都是共線向量．  【參考答案】【自主學(xué)習(xí)】一．   ＋ta   ＋t  xa＋yb   ＋x＋y二．平行或共線  無(wú)數(shù)   方向向量  三．u1∥u2    (a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)  u·n＝0   a1a2＋b1b2＋c1c2＝0n1∥n2   (a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)【小試牛刀】(1)×　(2)√　(3) ×　(4)√  (5)√【經(jīng)典例題】例1 解　以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，AS所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Axyz，則A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，則＝，＝.向量＝是平面SAB的一個(gè)法向量．設(shè)n＝(x，y，z)為平面SDC的一個(gè)法向量，則即取x＝2，得y＝－1，z＝1，故平面SDC的一個(gè)法向量為(2，－1,1)．【跟蹤訓(xùn)練】1解　設(shè)平面ABC的法向量為n＝(x，y，z)，由題意知＝(－1,1,0)，＝(1,0，－1)．∵n⊥，n⊥，∴解得令x＝1，則y＝z＝1.∴平面ABC的一個(gè)法向量為n＝(1,1,1)．例2 證明：法一：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.則P(3,0,1)，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4,1)，＝(－3,2,1)，＝(－3,2,1)，∴＝，∴∥，即PQ∥RS.法二：＝＋＝－＋，＝＋＝＋－，∴＝，∴∥，即RS∥PQ.【跟蹤訓(xùn)練】2 A解析：若a∥b，則2μ－1＝0且＝，解得μ＝且λ＝2或λ＝－3，故選A.例3  l?α或l∥α 解析：　因?yàn)?/span>u·a＝(3,1,2)·(－2,2,2)＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0.所以u⊥a，所以l?α或l∥α.【跟蹤訓(xùn)練】3 證明　(1)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1)．設(shè)n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，則n1⊥，n1⊥，即得令z1＝2，則y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)．因?yàn)?/span>·n1＝－2＋2＝0，所以⊥n1.又因?yàn)?/span>FC1?平面ADE，所以FC1∥平面ADE.(2)因?yàn)?/span>＝(2,0,0)，設(shè)n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一個(gè)法向量．由n2⊥，n2⊥，得得令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)，因?yàn)?/span>n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F. 【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.D解析：由l1∥l2得，＝＝，解得x＝6，y＝.2.D 解析：∵a·b＝0，∴l?α或l∥α.3.BC 解析：∵AA1⊥平面ABC，B1B⊥平面ABC，∴與可以作為平面ABC的法向量．4.－8解析：∵l∥α，∴l的方向向量與α的法向量垂直．∴(2，m,1)×＝2＋m＋2＝0.解得m＝－8.5.解：因?yàn)?/span>A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，所以＝(1，－2，－4)，＝(2，－4，－3)．設(shè)平面α的法向量為n＝(x，y，z)，則有即得z＝0，x＝2y，令y＝1，則x＝2，所以平面α的一個(gè)法向量為n＝(2,1,0)．6.證明　如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，D是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)PD＝DC＝a.方法一連接AC，交BD于點(diǎn)G，連接EG，依題意得D(0,0,0)，A(a,0,0)，P(0,0，a)，E(0，，)．因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，故點(diǎn)G的坐標(biāo)為(，，0)，所以＝(，0，－)．又＝(a,0，－a)，所以＝2，這表明PA∥EG.而EG?平面EDB，且PA?平面EDB，所以PA∥平面EDB.方法二　設(shè)平面BDE的法向量為n＝(x，y，z)，＝(0，，)，＝(a，，－)，則有即即令y＝－1，則所以n＝(1，－1,1)，又＝(a,0，－a)，所以n·＝(1，－1,1)·(a,0，－a)＝a－a＝0.所以n⊥.所以PA∥平面EDB.

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

1.4 空間向量的應(yīng)用

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊(cè)

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