【自主學習】
一．空間向量的夾角
1.已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的 ，記作 ．
2.a，b為非零向量，〈a，b〉＝〈b，a〉，a與b的夾角的范圍是 。
當〈a，b〉＝0時，a與b ；
當〈a，b〉＝π時，a與b ；
當〈a，b〉＝eq \f(π,2)時，a與b ．反之，若a∥b，則〈a，b〉＝ 。
二．空間向量數(shù)量積
1.概念：已知兩個非零向量a，b，則 叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
2.投影向量：向量a向向量b投影，得到c=|a||b|cs〈a，b〉= ,向量c稱為向量a在向量b上的投影向量。
3.性質(zhì)
a⊥b? ， |a|2＝ ， |a|＝ ，cs〈a，b〉＝
4.運算律
λ(a·b)＝ ，a·b＝ (交換律)． a·(b＋c)＝ (分配律)．
特別提醒：不滿足結(jié)合律(a·b)·c＝a·(b·c)．
【小試牛刀】
思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若非零向量a，b為共線且同向的向量，則a·b＝|a||b|.( )
(2)對于向量a，b，c，有(a·b)·c＝a·(b·c)．( )
(3)對任意向量a，b，滿足|a·b|≤|a||b|.( )
(4)對于非零向量b，由a·b＝b·c，可得a＝c.( )
【經(jīng)典例題】
題型一 數(shù)量積的計算
點撥：(1)已知a，b的模及a與b的夾角，直接代入數(shù)量積公式計算．
(2)如果要求的是關(guān)于a與b的多項式形式的數(shù)量積，可以先利用數(shù)量積的運算律將多項式展開，再利用a·a＝|a|2及數(shù)量積公式進行計算．
例1 如圖所示，在棱長為1的正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，求：
(1)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))； (2)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))； (3)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))； (4)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→)).

【跟蹤訓(xùn)練】 1 如圖，三棱錐A-BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，則eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(CD,\s\up8(→))等于( )
A．－2 B．2 C．－2eq \r(3) D．2eq \r(3)
題型二 用數(shù)量積證明垂直問題
點撥：（1）證明線線垂直的方法
證明線線垂直的關(guān)鍵是確定直線的方向向量，根據(jù)方向向量的數(shù)量積是否為0來判斷兩直線是否垂直．
(2)證明與空間向量a，b，c有關(guān)的向量m，n垂直的方法
先用向量a，b，c表示向量m，n，再判斷向量m，n的數(shù)量積是否為0.
例2 如圖所示，已知△ADB和△ADC都是以D為直角頂點的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°.求證：BD⊥平面ADC.
【跟蹤訓(xùn)練】 2 已知空間四邊形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，那么AD與BC的位置關(guān)系
為_______．(填“平行”或“垂直”)
題型三 用數(shù)量積求角度
點撥：求兩個空間向量a，b夾角的方法類同平面內(nèi)兩向量夾角的求法，利用公式cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)，在具體的幾何體中求兩向量的夾角時，可把其中一個向量的起點平移至與另一個向量的起點重合，轉(zhuǎn)化為求平面中的角度大小問題。
例3 如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各條棱長都相等，M是側(cè)棱CC1的中點，則異面直線AB1和BM所成的角的大小是______．
【跟蹤訓(xùn)練】 3 已知點O是正△ABC平面外的一點，若OA＝OB＝OC＝AB＝1，E、F分別是AB、OC的中點，試求OE與BF所成角的余弦值．
題型四 用數(shù)量積求長度
點撥:求解長度問題時，先選擇以兩點為端點的向量，將此向量表示為幾個向量和的形式，求出這幾個已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模，利用公式|a|＝eq \r(a·a)求解即可．
例4 如圖，已知ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，并且PA＝6，則PC的長為__________．
【跟蹤訓(xùn)練】4 在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的長．
【當堂達標】
1.在如圖所示的正方體中，下列各對向量的夾角為45°的是( )．
A．與
B．與
C．與
D．與
2.已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，則|2a－3b|等于( )
A．eq \r(97) B．97 C．eq \r(61) D．61
3.已知a，b是空間兩個向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝eq \r(7)，則cs〈a，b〉＝________．
4.已知|a|＝3eq \r(2)，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，則λ＝________．
5.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，CC1的中點，求異面直線A1M與DN所成的角。
6.如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面邊長為eq \r(2).
(1)設(shè)側(cè)棱長為1，求證：AB1⊥BC1；
(2)設(shè)AB1與BC1的夾角為eq \f(π,3)，求側(cè)棱的長．

【課堂小結(jié)】
1.空間向量數(shù)量積運算的兩種方法
(1)利用定義：利用a·b＝|a||b|cs〈a，b〉并結(jié)合運算律進行計算．
(2)利用圖形：計算兩個向量的數(shù)量積，可先將各向量移到同一頂點，利用圖形
尋找夾角，再代入數(shù)量積公式進行運算．
2.在幾何體中求空間向量數(shù)量積的步驟
(1)首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式．
(2)利用向量的運算律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積．
(3)代入a·b＝|a||b|cs〈a，b〉求解．
【參考答案】
【自主學習】
一．1.夾角 〈a，b〉2.[0，π] 方向相同 方向相反 互相垂直 0或π
二．1.|a||b|cs〈a，b〉 2. 3.a·b＝0 a·a eq \r(a·a)eq \f(a·b,|a||b|) 4.(λa)·b b·a a·b＋a·c
【小試牛刀】
√ × √ ×
【經(jīng)典例題】
例1 解 (1)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)|eq \(BD,\s\up6(→))||eq \(BA,\s\up6(→))|·cs〈eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(BA,\s\up6(→))〉＝eq \f(1,2)cs 60°＝eq \f(1,4).
(2)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)|eq \(BD,\s\up6(→))|2＝eq \f(1,2).
(3)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)|eq \(BD,\s\up6(→))|·|eq \(DC,\s\up6(→))|cs〈eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))〉＝eq \f(1,2)cs 120°＝－eq \f(1,4).
(4)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AD,\s\up6(→))|cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))〉－|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉
＝cs 60°－cs 60°＝0.
【跟蹤訓(xùn)練】1 A 解析：∵eq \(CD,\s\up8(→))＝eq \(AD,\s\up8(→))－eq \(AC,\s\up8(→))，∴eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(CD,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))·(eq \(AD,\s\up8(→))－eq \(AC,\s\up8(→)))＝eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AD,\s\up8(→))－eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AC,\s\up8(→))＝0－2×2×cs 60°＝－2.
例2 【證明】 不妨設(shè)AD＝BD＝CD＝1，則AB＝AC＝eq \r(2).
eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))，
由于eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))·(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))＝eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝1，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|cs 60°
＝eq \r(2)×eq \r(2)×eq \f(1,2)＝1.∴eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，即BD⊥AC，又已知BD⊥AD，AD∩AC＝A，
∴BD⊥平面ADC.
【跟蹤訓(xùn)練】2 垂直 解析：∵eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)))·(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))2－eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))
＝eq \(AB,\s\up6(→))·(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(BD,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝0，
∴AD與BC垂直．
例3 90° 解析：不妨設(shè)棱長為2，則eq \(AB1,\s\up6(→))＝eq \(BB1,\s\up6(→))－eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BB1,\s\up6(→))，
cs〈eq \(AB1,\s\up6(→))，eq \(BM,\s\up6(→))〉＝eq \f(（\(BB1,\s\up6(→))－\(BA,\s\up6(→))）·（\(BC,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(BB1,\s\up6(→))）,2\r(2)×\r(5))＝eq \f(0－2＋2－0,2\r(2)×\r(5))＝0。
【跟蹤訓(xùn)練】3 設(shè)eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，則a·b＝b·c＝c·a＝eq \f(1,2)，|a|＝|b|＝|c|＝1，eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(a＋b)，eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)c－b，
eq \(OE,\s\up6(→))·eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(a＋b)·(eq \f(1,2)c－b)＝eq \f(1,2)(eq \f(1,2)a·c＋eq \f(1,2)b·c－a·b－|b|2)＝eq \f(1,2)(eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)－eq \f(1,2)－1)＝－eq \f(1,2)，
∴cs〈eq \(OE,\s\up6(→))，eq \(BF,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(OE,\s\up6(→))·\(BF,\s\up6(→)),|\(OE,\s\up6(→))||\(BF,\s\up6(→))|)＝eq \f(－\f(1,2),\f(\r(3),2)×\f(\r(3),2))＝－eq \f(2,3)，
∴異面直線OE與BF所成角的余弦值為eq \f(2,3).
例4 7 解析：∵＝＋＋，
∴||2＝·＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2||||cs 120°＝61－12＝49．∴PC＝7．
【跟蹤訓(xùn)練】4 解 因為eq \(AC1,\s\up6(-→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(-→))，
所以eq \(AC,\s\up6(-→))eq \\al(2,1)＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(-→)))2＝eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AD,\s\up6(→))2＋eq \(AA,\s\up6(-→))eq \\al(2,1)＋2(eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AA1,\s\up6(→)))．
因為∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
所以eq \(AC,\s\up6(-→))eq \\al(2,1)＝1＋4＋9＋2×(1×3×cs 60°＋2×3×cs 60°)＝23.
因為eq \(AC,\s\up6(→))eq \\al(2,1)＝|eq \(AC1,\s\up6(→))|2，所以|eq \(AC1,\s\up6(-→))|2＝23，
則|eq \(AC1,\s\up6(-→))|＝eq \r(23)，即AC1＝eq \r(23).
【當堂達標】
1. A解析：A，B，C，D四個選項中各對向量的夾角依次是45°，135°，90°，180°．
2.C 解析：|2a－3b|2＝4a2－12a·b＋9b2 ＝4×22－12×2×3×cs 60°＋9×32＝61，∴|2a－3b|＝eq \r(61).
3.eq \f(1,8) 解析：將|a－b|＝eq \r(7)化為(a－b)2＝7，求得a·b＝eq \f(1,2)，再由a·b＝|a||b|cs〈a，b〉
求得cs〈a，b〉＝eq \f(1,8).
4.－eq \f(3,2)解析： 由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，∴a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝0，
∴18＋(λ＋1)×3eq \r(2)×4cs 135°＋16λ＝0，即4λ＋6＝0，∴λ＝－eq \f(3,2).
5.解 以點D為原點，以DA，DC，DD1為x軸、y軸、z軸建立坐標系D－xyz．設(shè)正方體的棱長為2，則＝(2，－1,2)，＝ (0,2,1)，·＝0，故異面直線A1M與ND所成角為90°．
6.(1)證明 eq \(AB1,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(→))，eq \(BC1,\s\up6(→))＝eq \(BB1,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)).
∵BB1⊥平面ABC，∴eq \(BB1,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，eq \(BB1,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0.
又△ABC為正三角形，∴〈eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))〉＝π－〈eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))〉＝π－eq \f(π,3)＝eq \f(2π,3).
∵eq \(AB1,\s\up6(→))·eq \(BC1,\s\up6(→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(→)))·(eq \(BB1,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BB1,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(→))2＋eq \(BB1,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))
＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(BC,\s\up6(→))|·cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＋eq \(BB1,\s\up6(→))2＝－1＋1＝0，
∴AB1⊥BC1.
(2)解 結(jié)合(1)知eq \(AB1,\s\up6(→))·eq \(BC1,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(BC,\s\up6(→))|·cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＋eq \(BB1,\s\up6(→))2＝eq \(BB1,\s\up6(→))2－1.又|eq \(AB1,\s\up6(→))|＝|eq \(BC1,\s\up6(→))|.
∴cs〈eq \(AB1,\s\up6(→))，eq \(BC1,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(BB1,\s\up6(→))2－1,2＋\(BB1,\s\up6(→))2)＝eq \f(1,2)，
∴|eq \(BB1,\s\up6(→))|＝2，即側(cè)棱長為2.課程目標
學科素養(yǎng)
1.了解空間向量夾角的概念及表示方法.
2.掌握兩個向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)與運算律.（重點）
3.可以用數(shù)量積證明垂直，求解角度和長度．（重點、難點）
1、邏輯推理
2、數(shù)學運算
3、數(shù)學抽象

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1.1 空間向量及其運算

版本： 人教A版 (2019)

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