高中人教A版 (2019)1.4 空間向量的應(yīng)用第2課時(shí)導(dǎo)學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

【自主學(xué)習(xí)】
一．空間中有關(guān)垂直的向量關(guān)系
一般地，直線與直線垂直，就是兩直線的方向向量；直線與平面垂直，就是直線的方向向量與平面的法向量；平面與平面垂直，就是兩平面的法向量．
二．空間中垂直關(guān)系的向量表示
【小試牛刀】
思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)若直線l1，l2的方向向量分別為a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，則l1⊥l2.( )
(2)若點(diǎn)A、B是平面α上的任意兩點(diǎn)，n是平面α的法向量，則eq \(AB,\s\up8(→))·n＝0. ( )
(3)若n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α⊥β ? n1·n2＝0. ( )
(4)若n是平面α的法向量，a是直線l的方向向量，若l與平面α平行，則n·a＝0. ( )
【經(jīng)典例題】
題型一證明線線垂直
點(diǎn)撥：用向量法證明空間中兩條直線l1，l2相互垂直，只需證明兩條直線的方向向量a·b＝0即可，具體方法如下：
1.坐標(biāo)法：根據(jù)圖形的特征，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確地寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出兩條直線的方向向量，計(jì)算出其數(shù)量積為0即可．
2.基向量法：利用向量的加減運(yùn)算，結(jié)合圖形，將要證明的兩條直線的方向向量用基向量表示出來，利用數(shù)量積運(yùn)算說明兩向量的數(shù)量積為0.
例1 如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求證：AC⊥BC1.
【跟蹤訓(xùn)練】1 在棱長為a的正方體OABC-O1A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是AB，BC上的動點(diǎn)，且AE＝BF，求證：A1F⊥C1E.
題型二空間中直線與平面垂直問題
點(diǎn)撥：坐標(biāo)法證明線面垂直的兩種方法
法一：(1)建立空間直角坐標(biāo)系；(2)將直線的方向向量用坐標(biāo)表示；
(3)找出平面內(nèi)兩條相交直線，并用坐標(biāo)表示它們的方向向量；
(4)分別計(jì)算兩組向量的數(shù)量積，得到數(shù)量積為0.
法二：(1)建立空間直角坐標(biāo)系；(2)將直線的方向向量用坐標(biāo)表示；
(3)求出平面的法向量；(4)判斷直線的方向向量與平面的法向量平行．
使用坐標(biāo)法證明時(shí)，如果平面的法向量很明顯，可以用法二，否則常常選用法一解決．
例2 如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，O為AC與BD的交點(diǎn)，G為CC1的中點(diǎn)．求證：A1O⊥平面GBD.
【跟蹤訓(xùn)練】2 如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝eq \r(2)，AF＝1，M是線段EF的中點(diǎn)．求證：AM⊥平面BDF.
題型三空間中直線與平面垂直問題
點(diǎn)撥：利用空間向量證明面面垂直通常可以有兩個(gè)方法
一是利用兩個(gè)平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直；二是直接求解兩個(gè)平面的法向量，由兩個(gè)法向量垂直，得面面垂直．
例3 如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E為BB1的中點(diǎn)，證明：平面AEC1⊥平面AA1C1C.
【跟蹤訓(xùn)練】3如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中點(diǎn)．求證：平面BDE⊥平面ABCD.
【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1.設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，則m等于( )
A．－2 B．2 C．6 D．10
2.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，eq \(AB,\s\up8(→))＝(2，－1，－4)，eq \(AD,\s\up8(→))＝(4,2,0)，eq \(AP,\s\up8(→))＝(－1,2，－1)，則PA與底面ABCD的關(guān)系是( )
A．相交 B．垂直 C．不垂直 D．成60°角
3.(多選題)已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn)，如果eq \(AB,\s\up8(→))＝(2，－1，－4)，eq \(AD,\s\up8(→))＝(4,2,0)，eq \(AP,\s\up8(→))＝(－1，2，－1)．對于下列結(jié)論正確的有( )
A．AP⊥AB B．AP⊥AD C．eq \(AP,\s\up8(→))是平面ABCD的法向量 D．eq \(AP,\s\up8(→))∥eq \(BD,\s\up8(→))
4.已知平面α和平面β的法向量分別為a＝(1,1,2)，b＝(x，－2,3)，且α⊥β，則x＝________.
5.在三棱錐S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝eq \r(13)，SB＝eq \r(29)，則異面直線SC與BC是否垂直________．(填“是”或“否”)
6.如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M為CE的中點(diǎn)．
(1)求證：BM∥平面ADEF；
(2)求證：BC⊥平面BDE；
(3)證明平面BCE⊥平面BDE.
【課堂小結(jié)】
空間垂直關(guān)系的解決方法：
【參考答案】
【自主學(xué)習(xí)】
垂直平行垂直 u·v＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 u∥n u＝λn
(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2) n1⊥n2 n1·n2＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
【小試牛刀】
(1) √ (2) √ (3) √ (4) √
【經(jīng)典例題】
例1 證明 ∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三邊長AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC，BC，C1C兩兩垂直．
如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz. 則C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，
∵eq \(AC,\s\up6(→))＝(－3,0,0)，eq \(BC1,\s\up6(-→))＝(0，－4,4)，∴eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BC1,\s\up6(-→))＝0.∴AC⊥BC1.
【跟蹤訓(xùn)練】1 證明：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．
設(shè)AE＝BF＝x，則E(a，x,0)，F(xiàn)(a－x，a,0)．
∴eq \(A1F,\s\up8(→))＝(－x，a，－a)，eq \(C1E,\s\up8(→))＝(a，x－a，－a)．
∴eq \(A1F,\s\up8(→))·eq \(C1E,\s\up8(→))＝(－x，a，－a)·(a，x－a，－a)＝－ax＋ax－a2＋a2＝0，
∴eq \(A1F,\s\up8(→))⊥eq \(C1E,\s\up8(→))，即A1F⊥C1E.
例2 證明方法一如圖取D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)正方體棱長為2，則O(1,1,0)，A1(2,0,2)，G(0,2,1)，B(2,2,0)，D(0,0,0)，
∴eq \(OA1,\s\up6(→))＝(1，－1,2)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq \(BG,\s\up6(→))＝(－2,0,1)，
而eq \(OA1,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝1－1＋0＝0，eq \(OA1,\s\up6(→))·eq \(BG,\s\up6(→))＝－2＋0＋2＝0.
∴eq \(OA1,\s\up6(→))⊥eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OA1,\s\up6(→))⊥eq \(BG,\s\up6(→))，即OA1⊥OB，OA1⊥BG，
而OB∩BG＝B，∴OA1⊥平面GBD.
方法二同方法一建系后，設(shè)面GBD的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(BG,\s\up6(→))·n＝0,\(BD,\s\up6(→))·n＝0))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x＋z＝0,－2x－2y＝0))，
令x＝1得z＝2，y＝－1，
∴平面GBD的一個(gè)法向量為(1，－1,2)，顯然eq \(A1O,\s\up6(→))＝(－1,1，－2)＝－n，
∴eq \(A1O,\s\up6(→))∥n，∴A1O⊥平面GBD.
【跟蹤訓(xùn)練】2 證明：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(eq \r(2)，eq \r(2)，0)，B(0，eq \r(2)，0)，D(eq \r(2)，0,0)，F(xiàn)(eq \r(2)，eq \r(2)，1)，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1)).
所以eq \(AM,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)，1))，eq \(DF,\s\up8(→))＝(0, eq \r(2)，1)，eq \(BD,\s\up8(→))＝(eq \r(2)，－eq \r(2)，0)．
設(shè)n＝(x，y，z)是平面BDF的法向量，則n⊥eq \(BD,\s\up8(→))，n⊥eq \(DF,\s\up8(→))，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(BD,\s\up8(→))＝\r(2)x－\r(2)y＝0，,n·\(DF,\s\up8(→))＝\r(2)y＋z＝0))?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝y(tǒng)，,z＝－\r(2)y，))
取y＝1，得x＝1，z＝－eq \r(2).則n＝(1,1，－eq \r(2))．
因?yàn)閑q \(AM,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)，1)).所以n＝－eq \r(2) eq \(AM,\s\up8(→))，得n與eq \(AM,\s\up8(→))共線．
所以AM⊥平面BDF.
例3 解：由題意得AB，BC，B1B兩兩垂直．以B為原點(diǎn)，BA，BC，BB1分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
則A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(1,2)))，
則eq \(AA1,\s\up8(→))＝(0,0,1)，eq \(AC,\s\up8(→))＝(－2,2,0)，eq \(AC1,\s\up8(→))＝(－2,2,1)，eq \(AE,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，0，\f(1,2))).
設(shè)平面AA1C1C的一個(gè)法向量為n1＝(x1，y1，z1)．
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n1·\(AA1,\s\up8(→))＝0，,n1·\(AC,\s\up8(→))＝0))?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(z1＝0，,－2x1＋2y1＝0.))
令x1＝1，得y1＝1.∴n1＝(1,1,0)．
設(shè)平面AEC1的一個(gè)法向量為n2＝(x2，y2，z2)．
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n2·\(AC1,\s\up8(→))＝0，,n2·\(AE,\s\up8(→))＝0))?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x2＋2y2＋z2＝0，,－2x2＋\f(1,2)z2＝0，))
令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1.∴n2＝(1，－1,4)．
∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0.
∴n1⊥n2，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.
【跟蹤訓(xùn)練】3 證明：設(shè)AS＝AB＝1，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，S(0,0,1)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，\f(1,2))).
法一：如圖，連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接OE，則點(diǎn)O的坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，0)).易知eq \(AS,\s\up8(→))＝(0,0,1)，eq \(OE,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(1,2)))，∴eq \(OE,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)eq \(AS,\s\up8(→))，∴OE∥AS.
又AS⊥底面ABCD，∴OE⊥平面ABCD.
又OE?平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD.
法二：設(shè)平面BDE的法向量為n1＝(x，y，z)．
易知eq \(BD,\s\up8(→))＝(－1,1,0)，eq \(BE,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)，\f(1,2)))，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n1⊥\(BD,\s\up8(→))，,n1⊥BE，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n1·\(BD,\s\up8(→))＝－x＋y＝0，,n1·\(BE,\s\up8(→))＝－\f(1,2)x＋\f(1,2)y＋\f(1,2)z＝0.))
令x＝1，可得平面BDE的一個(gè)法向量為n1＝(1,1,0)．
∵AS⊥底面ABCD，∴平面ABCD的一個(gè)法向量為n2＝eq \(AS,\s\up8(→))＝(0,0,1)．
∵n1·n2＝0，∴平面BDE⊥平面ABCD.
【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1.D 解析：∵l1⊥l2，∴a·b＝0，∴－2×3－2×2＋m＝0，∴m＝10.
2.B 解析：因?yàn)閑q \(AB,\s\up8(→))·eq \(AP,\s\up8(→))＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，所以eq \(AB,\s\up8(→))⊥eq \(AP,\s\up8(→))；因?yàn)閑q \(AD,\s\up8(→))·Aeq \(P,\s\up8(→))＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以eq \(AD,\s\up8(→))⊥eq \(AP,\s\up8(→))，又eq \(AB,\s\up8(→))∩eq \(AD,\s\up8(→))＝A，所以AP⊥ABCD.
3.ABC解析：由于eq \(AP,\s\up8(→))·eq \(AB,\s\up8(→))＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，eq \(AP,\s\up8(→))·eq \(AD,\s\up8(→))＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以A、B、C正確，又eq \(BD,\s\up8(→))＝eq \(AD,\s\up8(→))－eq \(AB,\s\up8(→))＝(2,3,4)．
∵eq \(AP,\s\up8(→))＝(－1,2，－1)，不滿足eq \(AP,\s\up8(→))＝λeq \(BD,\s\up8(→))，
∴D不正確，故選ABC.
4.－4 解析： ∵α⊥β，∴a·b＝0，∴x－2＋2×3＝0，∴x＝－4.
5.是解析：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AS所在直線分別為y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則由AC＝2，BC＝eq \r(13)，SB＝eq \r(29)，
得B(0，eq \r(17)，0)，S(0,0，2eq \r(3))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(\f(13,17))，\f(4,\r(17))，0))，
eq \(SC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(\f(13,17))，\f(4,\r(17))，－2\r(3)))，eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2\r(\f(13,17))，\f(13,\r(17))，0)).
因?yàn)閑q \(SC,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝0，所以SC⊥BC.
6.證明 ∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AD⊥ED，ED?平面ADEF，
∴ED⊥平面ABCD.
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(DE,\s\up6(→))分別為x軸，y軸,z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
則D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,4,0)，E(0,0,2)，F(xiàn)(2,0,2)．
(1)∵M(jìn)為EC的中點(diǎn)，∴M(0,2,1)，
則eq \(BM,\s\up6(→))＝(－2,0,1)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(－2,0,0)，eq \(AF,\s\up6(→))＝(0,0,2)，
∴eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AF,\s\up6(→))，故eq \(BM,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))共面．
又BM?平面ADEF，∴BM∥平面ADEF.
(2)eq \(BC,\s\up6(→))＝(－2,2,0)，eq \(DB,\s\up6(→))＝(2,2,0)，eq \(DE,\s\up6(→))＝(0,0,2)，
∵eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(DB,\s\up6(→))＝－4＋4＝0，∴BC⊥DB.
又eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(DE,\s\up6(→))＝0，∴BC⊥DE.
又DE∩DB＝D，DB，DE?平面BDE，∴BC⊥平面BDE.
（3）證明由(2)知BC⊥平面BDE，又BC?平面BCE，∴平面BCE⊥平面BDE.課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)科素養(yǎng)
1.能利用平面法向量證明線面和面面垂直．(重點(diǎn))
2.能利用直線的方向向量和平面的法向量判定并證明空間中的垂直關(guān)系．(重點(diǎn)、難點(diǎn))
1、直觀想象
2、數(shù)學(xué)運(yùn)算
3、邏輯推理
線線垂直
設(shè)直線l1的方向向量為u＝(a1，a2，a3)，直線l2的方向向量為v＝(b1，b2，b3)，則l1⊥l2? ?
線面垂直
設(shè)直線l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是n＝(a2，b2，c2)，則l⊥α? ? ? (λ∈R)
面面
垂直
設(shè)平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)，則α⊥β ? ? ?
幾何法
向量法
線線
垂直
(1)證明兩直線所成的角為90°.
(2)若直線與平面垂直，則此直線與平面內(nèi)所有直線垂直
兩直線的方向向量互相垂直
線面
垂直
對于直線l，m，n和平面α
(1)若l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，m與n相交，則l⊥α.
(2)若l∥m，m⊥α，則l⊥α
(1)證明直線的方向向量分別與平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量垂直．
(2)證明直線的方向向量與平面的法向量是平行向量
面面垂直
對于直線l，m和平面α，β
(1)若l⊥α，l?β，則α⊥β.
(2)若l⊥α，m⊥β，l⊥m，則α⊥β.
(3)若平面α與β相交所成的二面角為直角，則α⊥β
證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修第一冊電子課本

1.4 空間向量的應(yīng)用

版本：人教A版 (2019)

年級：選擇性必修第一冊

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2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性必修第一冊全套學(xué)案

2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性必修第一冊全套學(xué)案

共24份 2024-02-21更新

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