人教A版 (2019)必修第二冊6.3 平面向量基本定理及坐標表示達標測試-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．下面三種說法中正確的是( )
①一個平面內(nèi)只有一對不共線向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底;
②一個平面內(nèi)有無數(shù)對不共線向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底;
③零向量不可作為基底中的向量.
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
【答案】B
【解析】由于同一個平面內(nèi)任意兩個不共線的向量都可以作為表示這個平面內(nèi)所有向量的基底,故①是錯的,②③是對的,故選：B.
2.設(shè)O是平行四邊形ABCD的兩條對角線AC與BD的交點，有下列向量組：①eq \(AD,\s\up8(→))與eq \(AB,\s\up8(→))；②eq \(DA,\s\up8(→))與eq \(BC,\s\up8(→))；③eq \(CA,\s\up8(→))與eq \(DC,\s\up8(→))；④eq \(OD,\s\up8(→))與eq \(OB,\s\up8(→)).其中可作為這個平行四邊形所在平面內(nèi)其他所有向量的基底的是( )
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
【答案】C
【解析】如圖所示，eq \(AD,\s\up8(→))與eq \(AB,\s\up8(→))為不共線向量，可以作為基底.eq \(CA,\s\up8(→))與eq \(DC,\s\up8(→))為不共線向量，可以作為基底.eq \(DA,\s\up8(→))與eq \(BC,\s\up8(→))，eq \(OD,\s\up8(→))與eq \(OB,\s\up8(→))均為共線向量，不能作為基底．
,故選：C
3．在△ABC中，已知D是AB邊上一點，若eq \(AD,\s\up8(→))＝2eq \(DB,\s\up8(→))，eq \(CD,\s\up8(→))＝eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up8(→))＋λeq \(CB,\s\up8(→))，則λ＝( )
A．eq \f(2,3) B．eq \f(1,3) C．eq \f(1,2) D．eq \f(3,2)
【答案】A
【解析】∵eq \(AD,\s\up8(→))＝2eq \(DB,\s\up8(→))，∴eq \(CD,\s\up8(→))＝eq \(CA,\s\up8(→))＋eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \(CA,\s\up8(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up8(→))＝eq \(CA,\s\up8(→))＋eq \f(2,3)(eq \(CB,\s\up8(→))－eq \(CA,\s\up8(→)))＝eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up8(→))＋eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up8(→)).
又∵eq \(CD,\s\up8(→))＝eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up8(→))＋λeq \(CB,\s\up8(→))，∴λ＝eq \f(2,3).故選：A
4．設(shè)e1，e2是不共線向量，e1＋2e2與me1＋ne2共線，則eq \f(n,m)＝( )
A．eq \f(1,2) B．2 C．eq \f(1,4) D．4
【答案】B
【解析】由e1＋2e2＝λ(me1＋ne2)，得mλ＝1且nλ＝2，
∴eq \f(n,m)＝2,故選：B
5．在中，為上一點，是的中點，若，，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，因為是的中點，所以，，解得，.
故選:B.
二、多選題（共3小題，滿分15分，每小題5分，少選得3分，多選不得分）
6．設(shè)是所在平面內(nèi)的一點，，則
A．B．C．D．
【答案】CD
【解析】用向量做基底
顯然成立，選項正確，
，，
，
，，選項正確，
，選項錯誤，
，選項錯誤，故選：．
7.如果是平面α內(nèi)兩個不共線的向量，那么下列說法中不正確的是（）
A．λ+μ (λ，μ∈R)可以表示平面α內(nèi)的所有向量
B．對于平面α內(nèi)任一向量，使=λ+μ的實數(shù)對(λ，μ)有無窮多個
C．若向量λ1+μ1與λ2+μ2共線，則有且只有一個實數(shù)λ，
使得λ1+μ1=λ(λ2+μ2)
D．若實數(shù)λ，μ使得，則λ=μ=0
【答案】BC
【解析】由平面向量基本定理可知，A，D是正確的.
對于B，由平面向量基本定理可知，若一個平面的基底確定，那么該平面內(nèi)的任意一個向量在此基底下的實數(shù)對是唯一的.
對于C，當兩個向量均為零向量時，即λ1=λ2=μ1=μ2=0時，這樣的λ有無數(shù)個，或當λ1+μ1為非零向量，而λ2+μ2為零向量(λ2=μ2=0)，此時λ不存在.
故選:BC.
8．設(shè)a是已知的平面向量，向量a，b，c在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，其中真命題是（）
A. 給定向量b，總存在向量c，使a=b+c；
B. 給定向量b和c，總存在實數(shù)λ和μ，使a=λb+μc；
C. 給定單位向量b和正數(shù)μ，總存在單位向量c和實數(shù)λ，使a=λb+μc；
D. 若|a|=2，存在單位向量b，c和正實數(shù)λ，μ，使a=λb+μc，則3λ+3μ>6．
【答案】ABD
【解析】對于選項A，給定向量a和b，只需求得其向量差a?b即為所求的向量c，故總存在向量c，使a=b+c，故A正確；
對于選項B，當向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線時，向量b，c可作基底，由平面向量基本定理可知結(jié)論成立，故B正確；
對于選項C，取a=(4,4)，μ=2，b=(1,0)，無論λ取何值，向量λb都平行于x軸，而向量μc的模恒等于2，要使a=λb+μc成立，根據(jù)平行四邊形法則，向量μc的縱坐標一定為4，故找不到這樣的單位向量c使等式成立，故C錯誤；
對于選項D，∵|a|2=(λb+μc)2=λ2+μ2+2λμcs=4，又b與c不共線，
∴λ2+μ2+2λμ>4，即(λ+μ)2>4，即λ+μ>2，
∵3λ+3μ≥23λ?3μ=23λ+μ(當且僅當λ=μ時等號成立)，
23λ+μ>2×3=6，得3λ+3μ>6，故D正確；故選：ABD．
三、填空題（共3小題，滿分15分，每小題5分，一題兩空，第一空2分）
9．設(shè)向量，不平行，向量與平行．則實數(shù)______．
【答案】-4
【解析】∵不平行，∴；
又與平行；
∴存在實數(shù)μ，使；
∴根據(jù)平面向量基本定理得，∴λ=-4．故答案為：-4．
10．若，，，，則______，______.
【答案】
【解析】因為,,
所以，即,
因為，，，
由平面向量基本定理可得，.
故答案分別為：；
11．已知點是所在平面內(nèi)一點，且滿足，若，則___________
【答案】
【解析】由題意，如圖所示，因為，所以
又因為，所以，
故答案為:-2.
四、解答題：（本題共3小題，共45分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）
12．在中，，且與的夾角為，.
（1）求的值；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】選取向量為基底．
（1）由已知得，
，
∴
．
（2）由（1）得，
又，
∴．
13．如圖所示，在中，是以為中點的點的對稱點，，和交于點，設(shè)，.
（1）用和表示向量、；
（2）若，求實數(shù)的值.
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）由題意知，是線段中點，且.
，
；
（2），
由題可得，且，
設(shè)，即，則有，解得.
因此，.
14．已知點A，B為單位圓O上的兩點，點P為單位圓O所在平面內(nèi)的一點，且eq \(OA,\s\up6(→))與eq \(OB,\s\up6(→))不共線．
(1)在△OAB中，點P在AB上，且eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PB,\s\up6(→))，若eq \(AP,\s\up6(→))＝req \(OB,\s\up6(→))＋seq \(OA,\s\up6(→))，求r＋s的值；
(2)已知點P滿足eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))(m為常數(shù))，若四邊形OABP為平行四邊形，求m的值．
【答案】（1）0；（2）-1
【解析】(1)因為eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PB,\s\up6(→))，所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，
所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(→))，
又因為eq \(AP,\s\up6(→))＝req \(OB,\s\up6(→))＋seq \(OA,\s\up6(→))，
所以r＝eq \f(2,3)，s＝－eq \f(2,3)，
所以r＋s＝0.
(2)因為四邊形OABP為平行四邊形，
所以eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))，
又因為eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))，
所以eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋(m＋1)eq \(OA,\s\up6(→))，
依題意eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))是非零向量且不共線，
所以m＋1＝0，
解得m＝－1.