? 8.6.3平面與平面垂直的性質
導學案
編寫：廖云波 初審：譚光垠 終審：譚光垠 廖云波
【學習目標】
1.記住平面與平面垂直的性質定理，并能應用定理解決有關問題
2.能綜合運用直線與平面垂直，平面與平面垂直的判定和性質解決有關問題
【自主學習】
知識點1 平面與平面垂直的性質定理

1．文字語言：兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線，
那么這條直線與另一個平面垂直．

2．符號語言：?a⊥β.

3．圖形語言：



【合作探究】
探究一 面面垂直性質定理的應用
【例1】如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點，四邊形ABCD是∠DAB＝60°的菱形，側面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.若G為AD邊的中點，求證：BG⊥平面PAD.

[分析]　解答本題可先由面面垂直依據(jù)面面垂直的性質定理得線面垂直．
[證明]　連接BD，
∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形．
∵G是AD的中點，∴BG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴BG⊥平面PAD.

歸納總結：證明線面垂直，一種方法是利用線面垂直的判定定理，另一種方法是利用面面垂直的性質定理，本題已知面面垂直，故可考慮面面垂直的性質定理.利用面面垂直的性質定理，證明線面垂直的問題時，要注意以下三點：(1)兩個平面垂直；(2)直線必須在其中一個平面內；(3)直線必須垂直于它們的交線

【練習1】如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠PBC＝90°，∠PBA≠90°.求證：

(1)AD∥平面PBC；
(2)平面PBC⊥平面PAB.
證明：(1)因為BC∥平面PAD，而BC?平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，所以BC∥AD.因為AD?平面PBC，BC?平面PBC，所以AD∥平面PBC.

(2)如圖，自P點作PH⊥AB于H，因為平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以PH⊥平面ABCD.
因為BC?平面ABCD，
所以BC⊥PH.
因為∠PBC＝90°，所以BC⊥PB，
而∠PBA≠90°，于是點H與B不重合，
即PB∩PH＝P.
因為PB，PH?平面PAB，
所以BC⊥平面PAB.
因為BC?平面PBC，
故平面PBC⊥平面PAB.


探究二 垂直關系的綜合應用
【例2】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，E和F分別為CD和PC的中點，求證：

(1)PA⊥平面ABCD；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
[證明]　(1)因為平面PAD⊥平面ABCD，且PA垂直于這兩個平面的交線AD，所以PA⊥平面ABCD.
(2)因為AB∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點，
所以AB∥DE，且AB＝DE.
所以四邊形ABED為平行四邊形．所以BE∥AD.
又因為BE?平面PAD，AD?平面PAD，
所以BE∥平面PAD.
(3)因為AB⊥AD，而且四邊形ABED為平行四邊形．
所以BE⊥CD，AD⊥CD，
由(1)知PA⊥平面ABCD.
所以PA⊥CD.又AD∩PA＝A，
所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.
因為E和F分別是CD和PC的中點，
所以PD∥EF.
所以CD⊥EF.又EF∩BE＝E，
所以CD⊥平面BEF.又CD?平面PCD，
所以平面BEF⊥平面PCD.

歸納總結：掌握線線、線面、面面垂直的性質和判定是三種垂直相互轉化的關鍵.由線面垂直可知線與面內任何一條直線都垂直；由線面垂直亦可得到面面垂直(面面垂直的判定).因此說線面垂直是線線垂直和面面垂直的樞紐

【練習2】如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面是一個直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥平面ABCD，E是PC的中點，則平面EBD能垂直于平面ABCD嗎？請說明理由．

解：平面EBD不能垂直于平面ABCD.理由如下：
假設平面EBD垂直于平面ABCD，
過E作EO⊥BD于O，連接AO、CO.
∵EO?平面EBD，EO⊥BD，平面EBD∩平面ABCD＝BD，
∴EO⊥平面ABCD.
又∵PA⊥平面ABCD，∴EO∥PA.
∵A、O、C是PC上三點P、E、C在平面ABCD上的投影，
∴P、E、C三點的投影均在直線AC上，
∴A、O、C三點共線．
又∵E是PC的中點，∴O是AC的中點．
又∵AB∥CD，∴△ABO∽△CDO.
又∵AO＝OC，∴AB＝CD，
這與CD＝2AB矛盾，
∴假設不成立．故平面EBD不能垂直于平面ABCD.


課后作業(yè)
A組 基礎題
一、選擇題
1．已知直線m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n?α，要使n⊥β，則應增加的條件是 (　　)
A．m∥n B．n⊥m
C．n∥α D．n⊥α
【答案】B
解析：由面面垂直的性質定理知，要使n⊥β，應有n與交線m垂直，∴應增加條件n⊥m.
2．下列命題中錯誤的是(　　)
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α內一定存在直線平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內一定不存在直線垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α內所有直線都垂直于平面β
【答案】D
解析：由平面與平面垂直的有關性質可以判斷出D項錯誤．
3.如圖所示，三棱錐P-ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，則(　　)

A．PD?平面ABC
B．PD⊥平面ABC
C．PD與平面ABC相交但不垂直
D．PD∥平面ABC
【答案】B
解析：∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.又∵平面ABC⊥平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，∴PD⊥平面ABC.
4．如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則點C1在平面ABC上的射影H必在(　　)

A．直線AB上
B．直線BC上
C．直線AC上
D．△ABC內部
【答案】A
解析：連接AC1，如圖所示，

∵∠BAC＝90°，∴AB⊥AC.
∵BC1⊥AC，AB∩BC1＝B，
∴AC⊥平面ABC1.
又∵AC?平面ABC，
∴平面ABC1⊥平面ABC，
又∵平面ABC1∩平面ABC＝AB，
∴點C1在底面ABC上的射影點H必在AB上．故選A.
5．如圖，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與兩平面α、β所成的角分別為和.過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A′、B′，則AB：A′B′等于(　　)

A．2：1　　　B．3：1 C．3：2　　　D．4：3
【答案】A
解析：由已知條件可知∠BAB′＝，
∠ABA′＝，設AB＝2a，
則BB′＝2asin＝a，A′B＝2acos＝a，
∴在Rt△BB′A′中，得A′B′＝a，∴AB：A′B′＝2：1.
6.(多選)如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD：BC：AB＝2：3：4，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，將四邊形ADFE沿直線EF進行翻折，給出四個結論，在翻折過程中，可能成立的結論的為(　　)

A．DF⊥BC
B．BD⊥FC
C．平面DBF⊥平面BFC
D．平面DCF⊥平面BFC
【答案】BC
解析：如圖，因為BC∥AD，AD與DF相交不垂直，
所以BC與DF不垂直，則A錯誤；

設點D在平面BCF上的射影為點P，
當BP⊥CF時，有BD⊥FC，而ADBCAB＝234，可使條件滿足，所以B正確；
當點P落在BF上時，DP?平面BDF，
從而平面BDF⊥平面BFC，所以C正確；
因為點D的投影不可能在FC上，
所以平面DCF⊥平面BFC不成立，即D錯誤．


二、填空題
7．如圖，把Rt△ABC沿斜邊上的高CD折起，使平面ADC⊥平面BDC，如圖所示，互相垂直的平面有 對，其中1對是 ．

【答案】3 平面ADC與平面BDC(【答案】不唯一)
解析：由已知得CD⊥AB，所以平面ADC⊥平面ABD，平面ADB⊥平面BDC，又因為平面ADC⊥平面BDC，綜上可知，互相垂直的平面有3對．
8．已知直二面角α-l-β，點A∈α，AC⊥l，C為垂足，B∈β，BD⊥l，D為垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，則CD的長為 .
【答案】
解析：如圖，連接BC，∵二面角α-l-β為直二面角，AC?α，且AC⊥l，∴AC⊥β，又BC?β，∴AC⊥BC，∴BC2＝AB2－AC2＝3，又BD⊥CD，∴CD＝＝.

9．如圖，若邊長為4和3與邊長為4和2的兩個矩形所在的平面互相垂直，則cosα：cosβ＝ .

【答案】：2
解析：由題意，兩個矩形的對角線長分別為5,2，所以cosα＝＝，cosβ＝，所以cosα：cosβ＝：2.
三、解答題
10.把一副三角板如圖拼接，設BC＝6，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠BCD＝90°，∠D＝60°，使兩塊三角板所在的平面互相垂直．求證：平面ABD⊥平面ACD.

證明：∵平面ABC⊥平面BCD，CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC.
又AB?平面ABC，∴CD⊥AB，
又AB⊥AC，CD∩AC＝C，
∴AB⊥平面ACD.又AB?平面ABD，
∴平面ABD⊥平面ACD.
11.如圖，在三棱錐P-ABC中，E，F(xiàn)分別為AC，BC的中點．

(1)求證：EF∥平面PAB；
(2)若平面PAC⊥平面ABC，且PA＝PC，∠ABC＝90°.
求證：平面PEF⊥平面PBC.
證明：(1)∵E，F(xiàn)分別為AC，BC的中點，∴EF∥AB.又EF?平面PAB，AB?平面PAB，
∴EF∥平面PAB.
(2)∵PA＝PC，E為AC的中點，∴PE⊥AC.
又∵平面PAC⊥平面ABC，
∴PE⊥平面ABC，∴PE⊥BC.
又∵F為BC的中點，∴EF∥AB.
∵∠ABC＝90°，∴BC⊥EF.
∵EF∩PE＝E，∴BC⊥平面PEF.
又∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PEF.


B組 能力提升
一、選擇題
1．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構成三棱錐A－BCD，則在三棱錐A－BCD中，下列命題正確的是(　　)

A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
【答案】　D
解析　如圖，在平面圖形中CD⊥BD，折起后仍然滿足CD⊥BD.由于平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB.又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，所以平面ADC⊥平面ABC.

2．如圖所示，三棱錐P-ABC的底面在平面α內，PB⊥平面α，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，點P，A，B是定點，則動點C的軌跡是(　　)

A．一條線段
B．一條直線
C．一個圓
D．一個圓，但要去掉兩個點
【答案】D
解析：∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC?平面PAC，
∴AC⊥平面PBC.
又∵BC?平面PBC，∴AC⊥BC.∴∠ACB＝90°.
∴動點C的軌跡是以AB為直徑的圓，除去A和B兩點．
3．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD.將四邊形ABCD沿對角線BD折成四面體A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，則下列結論正確的是(　　)

A．A′C⊥BD
B．∠BA′C＝90°
C．CA′與平面A′BD所成的角為30°
D．四面體A′-BCD的體積為
【答案】B
解析：取BD的中點O，連接A′O，OC，∵A′B＝A′D，∴A′O⊥BD，又平面A′BD⊥平面BCD，平面A′BD∩平面BCD＝BD，∴A′O⊥平面BCD，∵CD⊥BD，∴OC不垂直于BD.假設A′C⊥BD，又A′C∩A′O＝A′，∴BD⊥平面A′OC，∴BD⊥OC與OC不垂直于BD矛盾，∴A′C不垂直于BD，A錯誤．∵CD⊥BD，平面A′BD⊥平面BCD，∴CD⊥平面A′BD，∴CD⊥A′D，∴A′C＝，∵A′B＝1，BC＝＝，∴A′B2＋A′C2＝BC2，A′B⊥A′C，B正確．∠CA′D為直線CA′與平面A′BD所成的角，∠CA′D＝45°，C錯誤．VA′-BCD＝S△A′BD·CD＝，D錯誤，故選B.
二、填空題
4．如圖所示，AB為圓O的直徑，點C在圓周上(異于點A，B)，直線PA垂直于圓O所在的平面，點M為線段PB的中點．有以下四個命題：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.其中正確的命題是________．(填上所有正確命題的序號)

【答案】?、冖?br /> 解析　因為PA?平面MOB，所以①不正確；因為MO∥PA，而且MO?平面PAC，所以②正確；OC不垂直于AC，所以③不正確；因為BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBC，所以④正確．
5．m、n是兩條不同的直線，α、β、γ是三個不同的平面，給出如下命題：
①若α⊥β，α∩β＝m，n?α，n⊥m，則n⊥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β；
③若α⊥β，且n⊥β，n⊥m，則m⊥α；
④α⊥β，m⊥β，m?α，則m∥α；
⑤若α⊥β，m∥α，則m⊥β.
其中正確命題的序號為 .
【答案】①④
解析：根據(jù)平面與平面垂直的性質定理知①正確；②中，α、β可能平行，也可能相交，不正確；③中，m還可能在α內或m∥α，或m與α斜交，不正確；④中，α⊥β，m⊥β，m?α時，有m∥α，正確；⑤中，m與β的位置關系可能是m∥β或m?β或m與β相交，不正確．
三、解答題
6．如圖，已知PA⊥平面ABC，AD⊥PB，垂足為D，AE⊥PC，垂足為E，∠ABC＝90°.

(1)證明：平面ADE⊥平面PAC.
(2)作出平面ADE與平面ABC的交線l，并證明∠EAC是二面角E-l-C的平面角．(在圖中體現(xiàn)作圖過程不必寫出畫法)
解：(1)證明：在三棱錐P-ABC中，BC⊥AB，
BC⊥PA，AB∩PA＝A，所以BC⊥平面PAB，
又AD?平面PAB，所以BC⊥AD，
又AD⊥PB，PB∩BC＝B，所以AD⊥平面PBC，
又PC?平面PBC，所以PC⊥AD，
因為AE⊥PC且AE∩AD＝A，
所以PC⊥平面ADE，因為PC?平面PAC，
所以平面ADE⊥平面PAC.
(2)作圖(如圖)．
在平面PBC中，記DE∩BC＝F，連接AF，則AF為所求的l，

證明如下：因為PC⊥平面AED，l?平面ADE，所以PC⊥l，
因為PA⊥平面ABC，l?平面ABC，所以PA⊥l，
又PA∩PC＝P，所以l⊥平面PAC，
又AE?平面PAC且AC?平面PAC，
所以AE⊥l，AC⊥l，
所以∠EAC就是二面角E-l-C的一個平面角．
7．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形，側面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.

(1)求證：AD⊥PB；
(2)若E為BC邊的中點，能否在棱PC上找到一點F，使平面DEF⊥平面ABCD？并證明你的結論．
(1)證明　如圖，設G為AD的中點，連接BG，PG，因為△PAD為正三角形，所以PG⊥AD.

在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G為AD的中點，
所以BG⊥AD.
又BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PGB.
因為PB?平面PGB，所以AD⊥PB.
(2)解　當F為PC的中點時，平面DEF⊥平面ABCD.
證明如下：
在△PBC中，因為F是PC的中點，E是BC的中點，
所以EF∥PB.
在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE?平面DEF，
DE?平面DEF，EF∩DE＝E，
所以平面DEF∥平面PGB，
由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG?平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，
所以平面DEF⊥平面ABCD.

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