人教A版 (2019)必修第二冊8.6 空間直線、平面的垂直學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

? 8.6.2直線與平面垂直的判定
導(dǎo)學(xué)案
編寫：廖云波初審：譚光垠終審：譚光垠廖云波
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.掌握直線與平面垂直的定義
2.握直線與平面垂直的判定定理，并能應(yīng)用判定定理證明直線和平面垂直
【自主學(xué)習(xí)】
知識點(diǎn)1 直線與平面垂直的定義
1．如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，
記作l⊥α.直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．
直線與平面垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足．
2．過一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，
叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離．
過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條．
知識點(diǎn)2 直線與平面垂直的判定定理
1．文字語言：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直．
2．圖形語言：如右圖所示．

3.符號語言：a?α，b?α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b?l⊥α.
知識點(diǎn)3 直線與平面所成的角
1．如圖，一條直線l和一個(gè)平面α相交，但不與這個(gè)平面垂直，
這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)A叫做斜足．

2．過斜線上斜足以外的一點(diǎn)P向平面α引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個(gè)平面上的射影．
3．平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．
4．一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是90°；
一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是0°.
直線與平面所成角θ的取值范圍是0°≤θ≤90°.

【合作探究】
探究一直線與平面垂直的定義及判定定理
【例1】下列說法中正確的個(gè)數(shù)是(　　)
①如果直線l與平面α內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則l⊥α；
②如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線垂直，則l⊥α；
③如果直線l不垂直于平面α，則平面α內(nèi)沒有與l垂直的直線；
④如果直線l不垂直于平面α，則平面α內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直．
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】　D
[解析]　由直線和平面垂直的判定定理知①正確；由直線與平面垂直的定義知，②正確；當(dāng)l與平面α不垂直時(shí)，l可能與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，故③不對，④正確．

歸納總結(jié)：
(1)對于線面垂直的定義要注意“直線垂直于平面內(nèi)的所有直線”說法與“直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線”不是一回事，后者說法是不正確的，它可以使直線與平面斜交.
(2)判定定理中要注意必須是平面內(nèi)兩相交直線.

【練習(xí)1】如圖，α∩β＝l，點(diǎn)A，C∈α，點(diǎn)B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直線l與直線AC的關(guān)系是(　　)

A．異面 B．平行
C．垂直 D．不確定
【答案】C
解析：因?yàn)锽A⊥α，α∩β＝l，l?α，
所以BA⊥l，同理BC⊥l，
又BA∩BC＝B，所以l⊥平面ABC.
因?yàn)锳C?平面ABC，所以l⊥AC.

探究二直線與平面垂直的證明
【例2】如圖，P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求證：

(1)BC⊥平面PAB；
(2)AE⊥平面PBC；
(3)PC⊥平面AEF.
[分析]　本題是證線面垂直問題，要多觀察題目中的一些“垂直”關(guān)系，看是否可利用．如看到PA⊥平面ABC，可想到PA⊥AB、PA⊥BC、PA⊥AC，這些垂直關(guān)系我們需要哪個(gè)呢？我們需要的是PA⊥BC，聯(lián)系已知，問題得證．
[證明]　(1)∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC.
∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.
又AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.
(2)∵BC⊥平面PAB，AE?平面PAB，∴BC⊥AE.
∵PB⊥AE，BC∩PB＝B，
∴AE⊥平面PBC.
(3)∵AE⊥平面PBC，PC?平面PBC，
∴AE⊥PC.
∵AF⊥PC，AE∩AF＝A，∴PC⊥平面AEF.
歸納總結(jié)：線面垂直的判定定理實(shí)質(zhì)是由線線垂直推證線面垂直，途徑是找到一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直.推證線線垂直時(shí)注意分析幾何圖形，尋找隱含條件

【練習(xí)2】如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PA垂直于底面，E、F分別是AB、PC的中點(diǎn)，PA＝AD.求證：

(1)CD⊥PD；
(2)EF⊥平面PCD.
證明：(1)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
所以CD⊥PA.
又在矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A，
所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.
(2)如圖，取PD的中點(diǎn)G，連接AG，F(xiàn)G，
又因?yàn)镕是PC的中點(diǎn)，所以GF綉CD，

所以GFAE.
所以四邊形AEFG是平行四邊形，
所以AG∥EF.
因?yàn)镻A＝AD，G是PD的中點(diǎn)，
所以AG⊥PD，所以EF⊥PD，
因?yàn)镃D⊥平面PAD，AG?平面PAD.
所以CD⊥AG.所以EF⊥CD.
因?yàn)镻D∩CD＝D，所以EF⊥平面PCD.
探究三直線與平面所成的角
【例3】在正方體ABCD-A1B1C1D1中．
(1)求直線A1C與平面ABCD所成的角的正切值；
(2)求直線A1B與平面BDD1B1所成的角．
[分析]　(1)求線面角的關(guān)鍵是找出直線在平面內(nèi)的射影，為此須找出過直線上一點(diǎn)的平面的垂線．(2)中過A1作平面BDD1B1的垂線，該垂線必與B1D1、BB1垂直，由正方體的特性知，直線A1C1滿足要求．
[解]　(1)∵直線A1A⊥平面ABCD，
∴∠A1CA為直線A1C與平面ABCD所成的角，
設(shè)A1A＝1，則AC＝，
∴tan∠A1CA＝.
(2)如圖，連接A1C1交B1D1于O，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，

∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1.
又BB1∩B1D1＝B1，
∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足為O.
∴∠A1BO為直線A1B與平面BDD1B1所成的角．
在Rt△A1BO中，A1O＝A1C1＝A1B，
∴∠A1BO＝30°.
即A1B與平面BDD1B1所成的角為30°.

歸納總結(jié)：求平面的斜線與平面所成的角的一般步驟：(1)確定斜線與平面的交點(diǎn)(斜足)；(2)通過斜線上除斜足以外的某一點(diǎn)作平面的垂線，連接垂足和斜足即為斜線在平面上的射影，則斜線和射影所成的銳角即為所求的角；(3)求解由斜線、垂線、射影構(gòu)成的直角三角形

【練習(xí)3】如圖所示，已知AB為圓O的直徑，且AB＝4，點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn)，且AD＝DB，點(diǎn)C為圓O上一點(diǎn)，且BC＝AC.點(diǎn)P在圓O所在平面上的正投影為點(diǎn)D，PD＝DB.

(1)求證：CD⊥平面PAB；
(2)求直線PC與平面PAB所成的角．
解：解法1：(1)證明：如圖，連接CO，由3AD＝DB知，點(diǎn)D為AO的中點(diǎn)．又因?yàn)锳B為圓O的直徑，所以AC⊥CB.由AC＝BC知，∠CAB＝60°，所以△ACO為等邊三角形．故CD⊥AO.

因?yàn)辄c(diǎn)P在圓O所在平面上的正投影為點(diǎn)D，所以PD⊥平面ABC，又CD?平面ABC，所以PD⊥CD，由PD?平面PAB，AO?平面PAB，且PD∩AO＝D，得CD⊥平面PAB.
(2)由(1)知∠CPD是直線PC與平面PAB所成的角，又△AOC是邊長為2的正三角形，所以CD＝.
在Rt△PCD中，PD＝DB＝3，CD＝，
所以tan∠CPD＝＝，所以∠CPD＝30°，
即直線PC與平面PAB所成的角為30°.
解法2：(1)證明：因?yàn)锳B為圓O的直徑，所以AC⊥CB.
在Rt△ABC中，由AB＝4,3AD＝DB，AC＝BC，得DB＝3，BC＝2，所以＝＝，則△BDC∽△BCA，所以∠BCA＝∠BDC，即CD⊥AO.
因?yàn)辄c(diǎn)P在圓O所在平面上的正投影為點(diǎn)D，
所以PD⊥平面ABC.
又CD?平面ABC，所以PD⊥CD.
由PD?平面PAB，AO?平面PAB，
且PD∩AO＝D，得CD⊥平面PAB.
(2)由(1)知∠CPD是直線PC與平面PAB所成的角．
在Rt△PCD中，PD＝BD＝3，CD＝＝，
所以tan∠CPD＝＝，所以∠CPD＝30°，
即直線PC與平面PAB所成的角為30°.

課后作業(yè)
A組基礎(chǔ)題
一、選擇題
1．下列說法中正確的個(gè)數(shù)是(　　)
①若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α；
②若直線l與平面α內(nèi)的兩條直線垂直，則l⊥α；
③若直線l與平面α內(nèi)的兩條相交直線垂直，則l⊥α；
④若直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線垂直，則l⊥α.
A．4 B．2 C．3 D．1
【答案】　B
解析　對于①②不能斷定該直線與平面垂直，該直線與平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面內(nèi)，所以①②是錯(cuò)誤的；易知③④是正確的．
2．如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的下列各種情況，能保證該直線與平面垂直的是(　　)
①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正六邊形的兩條邊．
A．①③ B．② C．②④ D．①②④
【答案】　A
解析　由線面垂直的判定定理知，直線垂直于①③圖形所在的平面．而②④圖形中的兩邊不一定相交，故該直線與它們所在的平面不一定垂直．
3．如果一條直線l與平面α的一條垂線垂直，那么直線l與平面α的位置關(guān)系是(　　)
A．l?α B．l⊥α
C．l∥α D．l?α或l∥α
【答案】　D
解析　結(jié)合正方體模型，直線l與平面α的位置關(guān)系是平行或在平面內(nèi)，故選D.
4．若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于(　　)
A．平面OAB B．平面OAC
C．平面OBC D．平面ABC
【答案】　C
解析　∵OA⊥OB，OA⊥OC且OB∩OC＝O，
∴OA⊥平面OBC.
5．如圖所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA與BD的位置關(guān)系是(　　)

A．平行
B．垂直相交
C．垂直但不相交
D．相交但不垂直
【答案】　C
解析　連接AC.因?yàn)锳BCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，則BD⊥MC.因?yàn)锳C∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA?平面AMC，所以MA⊥BD.顯然直線MA與直線BD不共面，因此直線MA與BD的位置關(guān)系是垂直但不相交．
6．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是(　　)
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D
D．異面直線AD與CB1所成的角為45°
【答案】　C
解析　由正方體的性質(zhì)得BD∥B1D1，且BD?平面CB1D1，所以BD∥平面CB1D1，故A正確；因?yàn)锽D⊥平面ACC1A1，所以AC1⊥BD，故B正確；異面直線AD與CB1所成的角即為AD與DA1所成的角，故為45°，所以D正確．
7．把正方形ABCD沿對角線AC折起，當(dāng)以A，B，C，D四點(diǎn)為頂點(diǎn)棱錐體積最大時(shí)，直線BD和平面ABC所成的角的大小為(　　)
A．90° B．60° C．45° D．30°
【答案】　C
解析　如圖，當(dāng)DO⊥平面ABC時(shí)，三棱錐D－ABC的體積最大．

∴∠DBO為直線BD和平面ABC所成的角，
∵在Rt△DOB中，OD＝OB，
∴直線BD和平面ABC所成的角大小為45°.
8．設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個(gè)平面，則下列命題正確的是(　　)
A．若l⊥m，m?α，則l⊥α
B．若l⊥α，l∥m，則m⊥α
C．若l∥α，m?α，則l∥m
D．若l∥α，m∥α，則l∥m
【答案】　B
解析　根據(jù)定理，兩條平行線中一條直線垂直于一個(gè)平面，則另一條直線也垂直于這個(gè)平面，故選B.
二、填空題
9．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，當(dāng)?shù)酌鍭1B1C1滿足條件________時(shí)，有AB1⊥BC1.(注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況)
【答案】　∠A1C1B1＝90°
解析　如圖所示，連接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要證AB1⊥BC1，則只要證明BC1⊥平面AB1C，即只要證AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要證AC⊥BC即可．因?yàn)锳1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要證A1C1⊥B1C1即可．(或者能推出A1C1⊥B1C1的條件，如∠A1C1B1＝90°等)

10．如圖所示，AB是⊙O的直徑，PA⊥⊙O所在的平面，C是圓上一點(diǎn)，且∠ABC＝30°，PA＝AB，則直線PC與平面ABC所成角的正切值為________．

【答案】　2
解析　因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以AC為斜線PC在平面ABC上的射影，所以∠PCA即為PC與平面ABC所成的角．在△PAC中，AC＝AB＝PA，所以tan∠PCA＝＝2.
11．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是棱AA1和AB上的點(diǎn)，若∠B1MN是直角，則∠C1MN＝______.

【答案】　90°
解析　∵B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN.
又∵M(jìn)N⊥B1M，∴MN⊥平面C1B1M.
又C1M?平面C1B1M，
∴MN⊥C1M，∴∠C1MN＝90°.
三、解答題
12．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AD＝2，PA＝2，PD＝2，求證：AD⊥平面PAB.

證明　在△PAD中，由PA＝2，AD＝2，PD＝2，
可得PA2＋AD2＝PD2，即AD⊥PA.
又AD⊥AB，PA∩AB＝A，
所以AD⊥平面PAB.
13．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2.

(1)求證：AC⊥B1D；
(2)求三棱錐C－BDB1的體積．
(1)證明　∵ABCD－A1B1C1D1為正方體，
∴BB1⊥平面ABCD.
∵又AC?平面ABCD，∴BB1⊥AC.
又∵底面ABCD為正方形，∴AC⊥BD.
∵BB1∩BD＝B，∴AC⊥平面BB1D.
∵B1D?平面BDB1，∴AC⊥B1D.
(2)解　
∵B1B⊥平面ABCD，
∴B1B是三棱錐B1－BDC的高．
∵＝S△BDC·BB1＝××2×2×2＝，
∴三棱錐C－BDB1的體積為.

B組能力提升
一、選擇題
1．三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相等，則頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的(　　)
A．內(nèi)心 B．重心
C．外心 D．垂心
【答案】C　
[如圖，設(shè)點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影為O，連接OA，OB，OC．
∵三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相等，
∴PA＝PB＝PC．
∵PO⊥底面ABC，
∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，
∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，
∴OA＝OB＝OC，
故頂點(diǎn)P在底面的射影為底面三角形的外心．]
2．如圖所示，四棱錐S－ABCD的底面為正方形，SD⊥底面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是(　　)

A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角
D．AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角
【答案】　D
解析　對于選項(xiàng)A，由題意得SD⊥AC，AC⊥BD，SD∩BD＝D，∴AC⊥平面SBD，故AC⊥SB，故A正確；對于選項(xiàng)B，∵AB∥CD，AB?平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正確；對于選項(xiàng)C，由對稱性知SA與平面SBD所成的角與SC與平面SBD所成的角相等，故C正確．
3．空間四邊形ABCD的四邊相等，則它的兩對角線AC、BD的關(guān)系是(　　)
A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直
C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交
【答案】C　
[取BD中點(diǎn)O，連接AO，CO，則BD⊥AO，BD⊥CO，∴BD⊥平面AOC，BD⊥AC，又BD、AC異面，∴選C．]

4. (多選題)如圖，ABCD-A1B1C1D1為正方體，下面結(jié)論正確的是(　　)

A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．異面直線AD與CB1所成的角為60°
【答案】ABC
　[由于BD∥B1D1，BD?平面CB1D1，B1D1?平面CB1D1，則BD∥平面CB1D1，所以A正確；
因?yàn)锽D⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1＝C，
所以BD⊥平面ACC1，所以AC1⊥BD．所以B正確；
可以證明AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，
所以AC1⊥平面CB1D1，所以C正確；
由于AD∥BC，則∠BCB1＝45°是異面直線AD與CB1所成的角，所以D錯(cuò)誤．]
二、填空題
5．如圖所示，AB是⊙O的直徑，PA⊥⊙O所在的平面，C是圓上一點(diǎn)，且∠ABC＝30°，PA＝AB，則直線PC與平面ABC所成角的正切值為________．

【答案】2　
[因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以AC為斜線PC在平面ABC上的射影，所以∠PCA即為PC與平面ABC所成的角．在△ABC中，AC＝AB＝PA，所以tan∠PCA＝＝2.]
6．已知∠ACB＝90°，P為平面ABC外一點(diǎn)，PC＝2，點(diǎn)P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為，那么P到平面ABC的距離為________，直線PC與平面ABC所成的角為________．
【答案】　　
[作PD，PE分別垂直于AC，BC，PO⊥平面ABC．連接CO，OD，知CD⊥PD，CD⊥PO，PD∩PO＝P，
∴CD⊥平面PDO，OD?平面PDO，∴CD⊥OD．
∵PD＝PE＝，PC＝2，
∴sin∠PCE＝sin∠PCD＝，
∴∠PCB＝∠PCA＝60°.
∴PO⊥CO，CO為∠ACB平分線，
∴∠OCD＝45°，∴OD＝CD＝1，OC＝.
又PC＝2，∴PO＝＝.
∴sin∠PCO＝，∴∠PCO＝.]
三、解答題
7.如圖，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)．

(1)求證：MN∥平面PAD；
(2)若PD與平面ABCD所成的角為45°，求證：MN⊥平面PCD.
證明　(1)取PD的中點(diǎn)E，連接NE，AE，如圖．

又∵N是PC的中點(diǎn)，∴NE綊DC.
又∵DC綊AB，AM＝AB，
∴AM綊CD，∴NE綊AM，
∴四邊形AMNE是平行四邊形，∴MN∥AE.
∵AE?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
(2)∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PDA即為PD與平面ABCD所成的角，
∴∠PDA＝45°，∴AP＝AD，∴AE⊥PD.
又∵M(jìn)N∥AE，∴MN⊥PD.
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.
又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD.
∵AE?平面PAD，∴CD⊥AE，
∴CD⊥MN.又CD∩PD＝D，
∴MN⊥平面PCD.

8.如圖，在棱長均為1的直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中點(diǎn)．

(1)求證：AD⊥平面BCC1B1；
(2)求直線AC1與平面BCC1B1所成角的正弦值．
[解]　(1)證明：直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，
∴BB1⊥AD．
∵AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC．又BC∩BB1＝B，
∴AD⊥平面BCC1B1.
(2)連接C1D．由(1)AD⊥平面BCC1B1，
則∠AC1D即為直線AC1與平面BCC1B1所成角．
在Rt△AC1D中，AD＝，
AC1＝，sin∠AC1D＝＝，
即直線AC1與平面BCC1B1所成角的正弦值為.

9.已知四棱錐P-ABCD，PA⊥PB，PA＝PB＝，AD⊥平面PAB，BC∥AD，BC＝3AD，直線CD與平面PAB所成角的大小為，M是線段AB的中點(diǎn)．

(1)求證：CD⊥平面PDM；
(2)求點(diǎn)M到平面PCD的距離．
[解]　(1)證明：∵AD⊥平面PAB，PM?平面PAB，
∴AD⊥PM.
∵PA＝PB＝，M是線段AB的中點(diǎn)，∴PM⊥AB，
又AD∩AB＝A，AD?平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴PM⊥平面ABCD，
又CD?平面ABCD，∴PM⊥CD．
取CB上點(diǎn)E，使得CE＝CB，連接AE，
∴AD∥CE且AD＝CE，
∴四邊形AECD為平行四邊形，∴CD∥AE，
∴直線CD與平面PAB所成角的大小等于直線AE與平面PAB所成角的大小，
又AD⊥平面PAB，BC∥AD，
∴BC⊥平面PAB，∴∠EAB為直線AE與平面PAB所成的角，∴∠EAB＝，∴BE＝AB．
∵PA＝PB＝，PA⊥PB，∴AB＝2＝BE，∴AD＝1，BC＝3，CD＝2，∴DM＝，CM＝，
∴DM2＋DC2＝CM2，∴CD⊥DM.
∵DM∩PM＝M，DM，PM?平面PDM，
∴CD⊥平面PDM.
(2)由(1)可知CD⊥平面PDM，
∴△CDM和△CDP均為直角三角形，
又PD＝，設(shè)點(diǎn)M到平面PCD的距離為d，
則VP-CDM＝VM-PCD，即CD·DM·PM＝CD·DP·d，化簡得DM·PM＝DP·d，解得d＝，
∴點(diǎn)M到平面PCD的距離為.

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