1．平面的概念
幾何里所說的“平面”，是從課桌面、黑板面、平靜的水面等一些物體中抽象出來的．幾何里的平面是無限延展的．
思考1：一個平面能否把空間分成兩部分？
[提示] 因為平面是無限延展的，一個平面把空間分成兩部分．
2．平面的畫法
(1)水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，它的銳角通常畫成45°，且橫邊長等于其鄰邊長的2倍．如圖①.
(2)如果一個平面被另一個平面遮擋住，為了增強它的立體感，把被遮擋部分用虛線畫出來．如圖②.
① ②
3．平面的表示法
上圖①的平面可表示為平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.
4．平面的基本性質(zhì)
思考2：經(jīng)過空間任意三點能確定一個平面嗎？
[提示] 不一定，只有經(jīng)過空間不共線的三點才能確定一個平面．
5．推論
推論1：經(jīng)過一條直線和直線外一點，有且只有一個平面．
推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．
推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．
1．用符號表示“點A在直線l上，l在平面α外”，正確的是( )
A．A∈l，l?α B．A∈l，l?α
C．A?l，l?α D．A?l，l?α
[答案] B
2．如圖所示的平行四邊形MNPQ表示的平面不能記為( )
A．平面MN
B．平面NQP
C．平面α
D．平面MNPQ
A [表示平面不能用一條線段的兩個端點表示，但可以表示為平面MP，選A.]
3．任意三點可確定平面的個數(shù)是( )
A．0 B．1 C．2 D．1或無數(shù)個
D [當(dāng)這三點共線時，可確定無數(shù)個平面；當(dāng)這三點不共線時，可確定一個平面．]
【例1】 用符號表示下列語句，并畫出圖形．
(1)平面α與β相交于直線l，直線a與α，β分別相交于點A，B；
(2)點A，B在平面α內(nèi)，直線a與平面α交于點C，點C不在直線AB上．
[解] (1)用符號表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如圖．
(2)用符號表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C?AB，如圖．
三種語言的轉(zhuǎn)換方法：
(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示．
(2)要注意符號語言的意義. 如點與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”，直線與平面的位置關(guān)系只能用“?”或“?”．
(3)由符號語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時，要注意實線和虛線的區(qū)別．
1．用符號語言表示下列語句，并畫出圖形：
(1)三個平面α，β，γ相交于一點P，且平面α與平面β相交于PA，平面α與平面γ相交于PB，平面β與平面γ相交于PC；
(2)平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC相交于AC.
[解] (1)符號語言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，圖形表示：如圖①.
(2)符號語言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，圖形表示：如圖②.
【例2】 如圖，已知：a ?α，b?α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求證：PQ?α.
[證明] ∵PQ∥a，∴PQ 與 a 確定一個平面β.
∴直線a?β，點 P∈β.
∵P∈b，b?α，∴P∈α.
又∵a?α，∴α與β重合．∴PQ?α.
解決點線共面問題的基本方法：
2．求證：兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一個平面內(nèi)．
[解] 已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C.
求證：直線AB，BC，AC共面．
證明：法一：因為AC∩AB＝A，所以直線AB，AC可確定一個平面α.
因為B∈AB，C∈AC，所以B∈α，C∈α，故BC?α.
因此直線AB，BC，AC都在平面α內(nèi)，
所以直線AB，BC，AC共面．
法二：因為A不在直線BC上，
所以點A和直線BC可確定一個平面α.
因為B∈BC，所以B∈α，又A∈α，所以AB?α.同理AC?α，故直線AB，BC，AC共面．
法三：因為A，B，C三點不在同一條直線上，
所以A，B，C三點可以確定一個平面α.
因為A∈α，B∈α，所以AB?α，
同理BC?α，AC?α，
故直線AB，BC，AC共面．
[探究問題]
1．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)A1C∩平面ABC1D1＝E.能否判斷點E在平面A1BCD1內(nèi)？
[提示] 如圖，連接BD1，
∵A1C∩平面ABC1D1＝E，
∴E∈A1C，E∈平面ABC1D1.
∵A1C?平面A1BCD1，
∴E∈平面A1BCD1.
2．上述問題中，你能證明B，E，D1三點共線嗎？
[提示] 由于平面A1BCD1與平面ABC1D1交于直線BD1，又E∈BD1，根據(jù)基本事實3可知B，E，D1三點共線．
【例3】 如圖，已知平面α， β， 且α∩β＝l. 設(shè)梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β.
求證：AB，CD，l共點(相交于一點).
[思路探究] eq \x(梯形的兩腰)→eq \x(找交點)→
eq \x(探求交點與面α，β的位置關(guān)系)→eq \x(得結(jié)論)
[證明] 因為梯形ABCD中，AD∥BC，
所以AB，CD是梯形ABCD的兩腰.
所以AB，CD必定相交于一點.
設(shè)AB∩CD＝M.
又因為AB?α，CD?β，所以M∈α，M∈β.
所以M∈α∩β.
又因為α∩β＝l，所以M∈l.
即AB，CD，l共點(相交于一點).
本例變?yōu)椋喝鐖D所示，在空間四邊形各邊AD、AB、BC、CD上分別取E、F、G、H四點，如果EF、GH交于一點P，求證：點P在直線BD上．
[證明] 若EF、GH交于一點P，
則E，F(xiàn)，G，H四點共面，
又因為EF?平面ABD，GH?平面CBD，
平面ABD∩平面CBD＝BD，
所以P∈平面ABD，且P∈平面CBD，
由基本事實3可得P∈BD.
1．證明三點共線的方法
(1)首先找出兩個平面，然后證明這三點都是這兩個平面的公共點，根據(jù)基本事實3可知，這些點都在兩個平面的交線上．
(2)選擇其中兩點確定一條直線，然后證明另一點也在此直線上．
2．證明三線共點的步驟
(1)首先說明兩條直線共面且交于一點；
(2)說明這個點在另兩個平面上，并且這兩個平面相交；
(3)得到交線也過此點，從而得到三線共點．
1．立體幾何的三種語言
圖形語言、符號語言、文字語言是立體幾何的三大語言，要準(zhǔn)確實現(xiàn)這三種語言的相互轉(zhuǎn)換．
2．三個基本事實的作用：
基本事實1——判定點共面、線共面的依據(jù)；
基本事實2——判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；
基本事實3——判定點共線、線共點的依據(jù)．
3．證明幾點共線的方法：首先考慮兩個平面的交線，再證有關(guān)的點都是這兩個平面的公共點. 或先由某兩點作一條直線，再證明其他點也在這條直線上．
1．判斷正誤
(1)平面是處處平的面．( )
(2)平面是無限延展的．( )
(3)平面的形狀是平行四邊形．( )
(4)一個平面的厚度可以是0.001 cm.( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×
2．下列空間圖形畫法錯誤的是( )
A B C D
D [遮擋部分應(yīng)畫成虛線．故D錯，選D.]
3．如果點A在直線a上，而直線a在平面α內(nèi)，點B在平面α內(nèi)，則可以表示為( )
A．A?a，a?α，B∈α
B．A∈a，a?α，B∈α
C．A?a，a∈α，B?α
D．A∈a，a∈α，B∈α
B [點A在直線a上，而直線a在平面α內(nèi)，點B在平面α內(nèi)，表示為A∈a，a?α，B∈α.]
4．如圖，已知D，E是△ABC的邊AC，BC上的點，平面α經(jīng)過D，E兩點，若直線AB與平面α的交點是P，求證：點P在直線DE上．
[證明] 因為P∈AB，AB?平面ABC，
所以P∈平面ABC.
又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，
所以P∈直線DE.
學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
核 心 素 養(yǎng)
1.了解平面的概念，掌握平面的畫法及表示方法．(難點)
2．能用符號語言描述空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系．(重點)
3．能用圖形、文字、符號三種語言描述三個公理，理解三個公理的地位與作用．(難點、易錯點)
1.通過對平面有關(guān)概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．
2．通過平面基本性質(zhì)的應(yīng)用，培養(yǎng)邏輯推理、直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng).
基本事實
內(nèi)容
圖形
符號
基本事實1
過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面
A，B，C三點不共線?存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本事實2
如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α
事實3
如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線
P∈α，P∈β?α∩β＝l且P∈l
立體幾何三種語言的相互轉(zhuǎn)化
點線共面問題
點共線、線共點問題

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