《12.3 角的平分線的性質(zhì)》課時(shí)提升訓(xùn)練習(xí)題2020-2021學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八（上）一．選擇題（共12小題）1．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D，且AE＝DE，BD平分∠EBC（　　）A．BE是△ABD的中線 B．BD是△BCE的角平分線 C．∠1＝∠2＝∠3 D．S△AEB＝S△EDB2．如圖，OP平分∠AOB，PD⊥OA于點(diǎn)D，若PD＝3，則PE的最小值（　?。?/span>A．等于3 B．大于3 C．小于3 D．無(wú)法確定3．如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若∠A＝70°，則∠BOC的度數(shù)為（　　）A．35° B．125° C．55° D．135°4．如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，涼亭的位置應(yīng)選在（　?。?/span>A．△ABC 的三條中線的交點(diǎn) B．△ABC 三邊的垂直平分線的交點(diǎn) C．△ABC 三條角平分線的交點(diǎn) D．△ABC 三條高所在直線的交點(diǎn)5．如圖，已知點(diǎn)P到BE、BD、AC的距離恰好相等，則點(diǎn)P的位置：①在∠B的平分線上；②在∠DAC的平分線上；③在∠ECA的平分線上；④恰是∠B，∠DAC，∠ECA三個(gè)角的平分線的交點(diǎn)．上述結(jié)論中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（　　）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．如圖，OP平分∠MON，PA⊥ON于點(diǎn)A，若PA＝2，則PQ的最小值為（　?。?/span>A．1 B．2 C．3 D．47．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若CD＝3，則點(diǎn)D到AB的距離是（　?。?/span>A．5 B．4 C．3 D．28．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，交BC于點(diǎn)D，AB＝10，S△ABD＝15，則CD的長(zhǎng)為（　?。?/span>A．3 B．4 C．5 D．69．如圖，三條公路把A、B、C三個(gè)村莊連成一個(gè)三角形區(qū)域，某地區(qū)決定在這個(gè)三角形區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，則這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在（　　）A．在AC、BC兩邊高線的交點(diǎn)處 B．在AC、BC兩邊中線的交點(diǎn)處 C．在∠A、∠B兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處 D．在AC、BC兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處10．如圖，△ABC中，∠C＝90°，CM＝20cm，那么M到AB的距離是（　?。?/span>A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm11．如圖，在CD上求一點(diǎn)P，使它到OA，則P點(diǎn)是（　?。?/span>A．線段CD的中點(diǎn) B．OA與OB的中垂線的交點(diǎn) C．OA與CD的中垂線的交點(diǎn) D．CD與∠AOB的平分線的交點(diǎn)12．如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，交CD于點(diǎn)E，若S△BCE＝10，BC＝5，則DE等于（　　）A．10 B．7 C．5 D．4二．填空題（共10小題）13．如圖，OP是∠AOB的平分線，PM⊥OA于點(diǎn)M，點(diǎn)N是射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，則線段PN的最小值為　 　．14．在四邊形ABCD中，∠ADC與∠BCD的角平分線交于點(diǎn)E，∠DEC＝115°，CE＝2BF，，連接BE，　 　．15．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，交BC于點(diǎn)D，CD＝4　 　．16．如圖，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，那么△DEB的周長(zhǎng)是　 　cm．17．如圖，點(diǎn)P是∠BAC的平分線上一點(diǎn)，PB⊥AB于B，AC＝12cm，則△APC的面積是　   　cm2．18．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，BD＝4　 　．19．如圖，已知Rt△ABC，∠C＝90°，BD＝5，BC＝4　 　．20．如圖，已知△ABC的周長(zhǎng)是21，OB，OD⊥BC于D，且OD＝4　   　．21．已知如圖，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中點(diǎn)，∠CED＝35°，則∠EAB是　   　度．22．下列語(yǔ)句表示的圖形是（只填序號(hào)）①過點(diǎn)O的三條直線與另?xiàng)l一直線分別相交于點(diǎn)B、C、D三點(diǎn)：　    　．②以直線AB上一點(diǎn)O為頂點(diǎn)，在直線AB的同側(cè)畫∠AOC和∠BOD：　    　．③過O點(diǎn)的一條直線和以O為端點(diǎn)兩條射線與另一條直線分別相交于點(diǎn)B、C、D三點(diǎn)：　    　．三．解答題（共6小題）23．如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DF⊥AC，垂足分別是E，F24．已知△ABC中，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E點(diǎn)．（1）∠B＝50°，∠C＝70°，求∠EDA的度數(shù)；（2）AB＝10，AC＝8，DE＝3△ABC．25．如圖，BE＝CF，DE⊥AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且DB＝DC，求證：AD是∠BAC的平分線．26．如圖，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，若AB＝AC．求證：AD平分∠BAC．27．如圖：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，F在AC上，BD＝DF（1）CF＝EB．（2）AB＝AF+2EB．28．已知，如圖，BD是∠ABC的平分線，點(diǎn)P在BD上，PM⊥AD，垂足分別是M、N．試說明：PM＝PN．
參考答案一．選擇題（共12小題）1．解：A．∵AE＝DE，∴BE是△ABD的中線，故本選項(xiàng)不符合題意；B．∵BD平分∠EBC，∴BD是△BCE的角平分線，故本選項(xiàng)不符合題意；C．∵BD平分∠EBC，∴∠2＝∠3，但不能推出∠8、∠3和∠1相等；D．∵SAEB＝AE×BC，S△EDB＝DE×BC，∴S△AEB＝S△EDB，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．2．解：過P點(diǎn)作PH⊥OB于H，如圖，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，∴PH＝PD＝3，∵點(diǎn)E是射線OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴點(diǎn)E與H點(diǎn)重合時(shí)，PE有最小值．故選：A．3．解：∵∠A＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°，∵點(diǎn)O到△ABC三邊的距離相等，∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝×（∠ABC+∠ACB）＝55°，∴∠BOC＝180°﹣55°＝125°，故選：B．4．解：∵角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，∴要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在△ABC ．故選：C．5．解：由角平分線性質(zhì)的逆定理，可得①②③④都正確．故選：D．6．解：∵垂線段最短，∴當(dāng)PQ⊥OM時(shí)，PQ有最小值，又∵OP平分∠MON，PA⊥ON，∴PQ＝PA＝2，故選：B．7．解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，∵BD是∠ABC的平分線，∠C＝90°，∴DE＝CD＝3，即點(diǎn)D到直線AB的距離是3．故選：C．8．解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DE＝CD，∴S△ABD＝AB?DE＝，解得DE＝3，∴CD＝6．故選：A．9．解：根據(jù)角平分線的性質(zhì)，集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在∠A．故選：C．10．解：如圖，過點(diǎn)M作MN⊥AB于N，∵∠C＝90°，AM平分∠CAB，∴MN＝CM，∵CM＝20cm，∴MN＝20cm，即M到AB的距離是20cm．故選：C．11．解：利用角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可知CD與∠AOB的平分線的交于點(diǎn)P．故選：D．12．解：作EF⊥BC于F，∵S△BCE＝10，∴×BC×EF＝10，即，解得，EF＝4，∵BE平分∠ABC，CD⊥AB，∴DE＝EF＝2，故選：D．二．填空題（共10小題）13．解：當(dāng)PN⊥OB時(shí)，線段PN的值最小，∵OP是∠AOB的平分線，PM⊥OA，PM＝3，∴PN＝PM＝3，即PN的最小值是4，故答案為：3．14．解：∵∠CBF＝∠BCE，∴可以假設(shè)∠BCE＝8x，則∠CBF＝5x，∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∴∠ADE＝∠EDC，∠ECD＝∠ECB＝4x，∵AD∥BF，∴∠A+∠ABF＝180°，∴∠ADC+∠DCB+∠CBF＝180°，∴6y+13x＝180°①，∵∠DEC＝115°，∴∠EDC+∠ECD＝65°，即y+4x＝65° ②，由①②解得，∴∠BCF＝40°，∠CBF＝50°，∴∠CFB＝90°，∴BF⊥EC，∴CE＝2BF，設(shè)BF＝m，∵S△BCE＝?EC?BF＝，∴×2m×m＝，∴m＝或﹣，∴CE＝2m＝6，故答案為5．15．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，交BC于點(diǎn)D，∴點(diǎn)D到AB的距離為4．故答案為：4．16．解：∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，∴∠CAD＝∠BAD，∠C＝∠AED．又∵AD＝AD，∴△CAD≌△EAD，∴AC＝AE，CD＝DE．∵AC＝BC，∴BC＝AE，∴△DEB的周長(zhǎng)為DB+DE+EB＝DB+CD+EB＝CB+BE＝AE+BE＝8cm．故答案為：8．17．解：∵AP平分∠BAC交BC于點(diǎn)P，∠ABC＝90°，∴點(diǎn)P到AC的距離等于5cm，∵AC＝12cm，∴△APC的面積＝12×5÷7＝30cm2，故答案為30．18．解：∵BC＝6，BD＝4∴CD＝8∵∠C＝90°，AD平分∠CAB∴點(diǎn)D到AB的距離＝CD＝2．故填2．19．解：如圖，過D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，BD＝5，∴由勾股定理得：CD＝3，又∵BD是∠ABC的平分線，∴DE＝DC＝7，即點(diǎn)D到AB的距離是3．故答案為：3．20．解：過O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，∴OE＝OD，OD＝OF，即OE＝OF＝OD＝4，∴△ABC的面積是：S△AOB+S△AOC+S△OBC＝×AB×OE+×BC×OD＝×4×（AB+AC+BC）＝×4×21＝42，故答案為：42．21．解：過點(diǎn)E作EF⊥AD，∵DE平分∠ADC，且E是BC的中點(diǎn)，∴CE＝EB＝EF，又∵∠B＝90°，且AE＝AE，∴△ABE≌△AFE，∴∠EAB＝∠EAF．又∵∠CED＝35°，∠C＝90°，∴∠CDE＝90°﹣35°＝55°，∴∠CDA＝110°，∵∠B＝∠C＝90°，∴DC∥AB，∴∠CDA+∠DAB＝180°，∴∠DAB＝70°，∴∠EAB＝35°．故答案為：35．22．解：①過點(diǎn)O的三條直線與另一條直線分別相交于點(diǎn)B、C、D三點(diǎn)的圖形為（3）；②以直線AB上一點(diǎn)O為頂點(diǎn)，在直線AB的同側(cè)畫∠AOC和∠BOD的圖形為（2）；③過O點(diǎn)的一條直線和以O為端點(diǎn)兩條射線與另一條直線分別相交于點(diǎn)B、C、D三點(diǎn)的圖形為（1）．故答案為：（3），（2）．三．解答題（共6小題）23．證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴Rt△BDE和Rt△CDF是直角三角形．，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE＝DF，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是角平分線．24．解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°，∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD＝∠BAC＝，∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°，∴∠EDA＝180°﹣∠BAD﹣∠DEA＝180°﹣30°﹣90°＝60°；（2）如圖，過D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，∴DF＝DE＝3，又∵AB＝10，AC＝7，∴S△ABC＝×AB×DE+×10×3+．25．證明：∵DE⊥AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，∴∠BED＝∠CFD，∴△BDE與△CDF是直角三角形，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE＝DF，∴AD是∠BAC的平分線．26．解：方法一：連接BC，∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∴∠CFB＝∠BEC＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△BCF和△CBE中∵∴△BCF≌△CBE（AAS），∴BF＝CE，在△BFD和△CED中∵，∴△BFD≌△CED（AAS），∴DF＝DE，∴AD平分∠BAC．方法二：先證△AFC≌△AEB，得到AE＝AF，得到∠FAD＝∠EAD．27．證明：（1）∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，∴DE＝DC，在Rt△CDF和Rt△EDB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）．∴CF＝EB； （2）∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，∴CD＝DE．在Rt△ADC與Rt△ADE中，，∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），∴AC＝AE，∴AB＝AE+BE＝AC+EB＝AF+CF+EB＝AF+2EB．28．證明：在△ABD和△CBD中，AB＝BC（已知），∠ABD＝∠CBD（角平分線的性質(zhì)），BD＝BD（公共邊），∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB＝∠CDB（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）；∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN（角平分線的性質(zhì)）． 

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12.3 角的平分線的性質(zhì)

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