?《11.2 與三角形有關(guān)的角》課時提升訓(xùn)練習(xí)題
2020-2021學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八（上）
一．選擇題（共13小題）
1．如果三角形三個內(nèi)角分別是x°，x°，y°（　　）
A．x+2y＝180 B．2x+y＝180 C．2x﹣y＝180 D．3x+y＝180
2．如圖，在△ABC中，∠B＝70°，使得點B落在AC上的點D處，則∠1+∠2等于（　?。?br />
A．160° B．150° C．140° D．110°
3．如圖，在△ABC中，∠B＝28°，點B落在點D的位置，則∠1﹣∠2的度數(shù)是（　?。?br />
A．42° B．46° C．52° D．56°
4．一個三角形兩個內(nèi)角的度數(shù)分別如下，這個三角形是等腰三角形的是（　　）
A．40°，70° B．30°，90° C．60°，50° D．50°，20°
5．如果∠A＝∠B﹣∠C，那么△ABC是（　　）
A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．無法確定
6．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：7，則△ABC的形狀是（　?。?br /> A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．無法確定
7．如圖，在Rt△AOB中，∠O＝90°，且不與A，O重合（　　）

A．10° B．20° C．30° D．40°
8．如圖，點C是∠BAD內(nèi)一點，連CB、CD，∠B＝10°，∠D＝40°（　?。?br />
A．110° B．120° C．130° D．150°
9．如圖，在△ABC中，∠A＝45°，則∠C的度數(shù)是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°
10．如圖，BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，∠ACP＝50°，則∠A+∠P＝（　?。?br />
A．70° B．80° C．90° D．100°
11．已知三角形的三個外角的度數(shù)比為2：3：4，則它的最大內(nèi)角的度數(shù)為（　　）
A．90° B．110° C．100° D．120°
12．如圖，已知C，A，G三點共線，C，B，2∠CAD＝∠BAD，2∠CBD＝∠ABD，∠EBH＝2∠EBA，則∠D和∠E的關(guān)系滿足（　?。?br />
A．2∠E+∠D＝320° B．2∠E+∠D＝340°
C．2∠E+∠D＝300° D．2∠E+∠D＝360°
13．下列說法中錯誤的是（　?。?br /> A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝2：2：4，則△ABC為直角三角形
B．在△ABC中，若∠A＝∠B﹣∠C，則△ABC為直角三角形
C．在△ABC中，若∠A＝∠B＝∠C，則△ABC為直角三角形
D．在△ABC中，∠A＝∠B＝2∠C，則△ABC為直角三角形
二．填空題（共6小題）
14．如圖△ABC中，將邊BC沿虛線翻折，若∠1+∠2＝110°　 　度．

15．如圖，∠CAD和∠CBD的平分線相交于點P．請寫出∠C、∠D、∠P的數(shù)量關(guān)系　 ?。?br />
16．如圖，將紙片△ABC沿DE折疊，使點A落在BE邊上的點A'處，則∠1＝　 ?。?br />
17．如圖，∠MON＝90°，點A，ON上運動，BE平分∠NBA，則∠ACB的度數(shù)是　 　°．

18．如圖，BA1和CA1分別是△ABC的內(nèi)角平分線和外角平分線，BA2是∠A1BD的角平分線，CA2是∠A1CD的角平分線，BA3是∠A2BD的角平分線，CA3是∠A2CD的角平分線，若∠A1＝α，則∠A2021為　 ?。?br />
19．在一個三角形中，如果一個角是另一個角的3倍，這樣的三角形我們稱之為“靈動三角形”．例如，40°，20°的三角形是“靈動三角形”．如圖，在射線OM上找一點A，過點A作AB⊥OM交ON于點B，交線段OB于點C（規(guī)定0°＜∠OAC＜90°）．當(dāng)△ABC為“靈動三角形”時　 　．

三．解答題（共5小題）
20．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，若∠BAD＝40°，∠C＝70°

21．已知：如圖，在△ABC中，∠DAE＝10°，AE平分∠BAC，∠B＝60°

22．∠MOQ＝90°，點A，B分別在射線OM、OQ上運動（不與點O重合）．
（1）如圖1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，求∠AIB的度數(shù)．
（2）如圖2，AI平分∠BAO，BC平分∠ABM
①若∠BAO＝40°，則∠ADB＝　 　°；
②點A、B在運動的過程中，∠ADB是否發(fā)生變化，若不變；若變化，請說明變化規(guī)律．
23．如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度數(shù)；
（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點Q
（3）如圖③，延長線段BP、QC交于點E，△BQE中，求∠A的度數(shù)．

24．在一個三角形中，如果一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的3倍，這樣的三角形我們稱之為“三倍角三角形”．例如，40°，20°的三角形是“三倍角三角形”．
（1）△ABC中，∠A＝35°，∠B＝40°
（2）若△ABC是“三倍角三角形”，且∠B＝60°，求△ABC中最小內(nèi)角的度數(shù)．

參考答案
一．選擇題（共13小題）
1．解：∵三角形三個內(nèi)角分別是x°，x°，
∴x+x+y＝180（三角形的內(nèi)角和等于180°），
∴2x+y＝180．
故選：B．
2．解：∵∠B＝70°，
∴∠BEF+∠BFE＝110°，
∵翻折，
∴∠BEF＝∠DEF，∠BFE＝∠DFE，
∴∠BED+∠BFD＝2（∠BEF+∠BFE）＝2×110°＝220°，
∴∠5+∠2＝180°×2﹣220°＝140°，
故選：C．
3．解：
∵∠B＝28°，將△ABC沿直線m翻折，
∴∠D＝∠B＝28°，
∵∠1＝∠B+∠BEF，∠BEF＝∠2+∠D，
∴∠4＝∠B+∠2+∠D，
∴∠1﹣∠2＝∠B+∠D＝28°+28°＝56°，
故選：D．
4．解：A、第三個角為180°﹣40°﹣70°＝70°，所以三角形為等腰三角形；
B、第三個角為180°﹣30°﹣90°＝60°，所以三角形不為等腰三角形；
C、第三個角為180°﹣60°﹣50°＝70°，所以三角形不為等腰三角形；
D、第三個角為180°﹣50°﹣20°＝110°，所以三角形不為等腰三角形．
故選：A．
5．解：因為∠A+∠B+C＝180°，
且∠A＝∠B﹣∠C，
所以∠B﹣∠C+∠B+C＝180°，
所以∠B＝90°，
所以△ABC是直角三角形．
故選：C．
6．解：設(shè)∠A、∠B、4k，
∵3k+5k＝7k，
∴∠A+∠B＝∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
故選：C．
7．解：∵∠BCA＝∠O+∠OBC，∠O＝90°，
∴90°＜6x＜180°，
∴15°＜x＜30°，
故選：B．
8．解：延長BC交AD于E，
∵∠BED是△ABE的一個外角，∠A＝80°，
∴∠BED＝∠A+∠B＝90°，
∵∠BCD是△CDE的一個外角
∴∠BCD＝∠BED+∠D＝130°，
故選：C．

9．解：∵∠A＝45°，△ABC的外角∠CBD＝75°，
∴∠C＝∠CBD﹣∠A＝75°﹣45°＝30°，
故選：A．
10．解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，
∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，
∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，
∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，
∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，
∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，
∵∠PBC＝20°，
∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，
∴∠A+∠P＝90°，
故選：C．
11．解：設(shè)三個外角的度數(shù)分別為2k，3k，
根據(jù)三角形外角和定理，可知4k°+3k°+4k°＝360°，
所以最小的外角為4k＝80°，
故最大的內(nèi)角為180°﹣80°＝100°．
故選：C．
12．解：設(shè)∠CAD＝x，∠CBD＝y(tǒng)，∠ABD＝2y，
∴∠GAB＝180°﹣3x，∠HBA＝180°﹣6y，
∵∠GAE＝2∠BAE，∠EBH＝2∠EBA，
∴∠BAE＝60°﹣x，∠EBA＝60°﹣y，
∴∠D＝180°﹣4（x+y），∠E＝180°﹣（60°﹣x）﹣（60°﹣y）＝60°+（x+y），
∴2∠E+∠D＝300°，
故選：C．
13．解：A、在△ABC中，所以∠C＝90°，△ABC為直角三角形．
B、在△ABC中，所以∠B＝90°，本選項不符合題意．
C、在△ABC中∠B＝，所以∠C＝90°，∠A＝30°，本選項不符合題意．
D、在△ABC中，所以∠A＝∠B＝72°，△ABC不是直角三角形，
故選：D．
二．填空題（共6小題）
14．解：如圖，
延長B'E，C'F，
由折疊可得，∠B＝∠B'，
∴∠A＝∠D，
又∵∠1+∠2＝110°，
∴∠AED+∠AFD＝360°﹣110°＝250°，
∴四邊形AEDF中，∠A＝，
故答案為：55．

15．解：∵∠BFA＝∠PAC+∠P，∠BFA＝∠PBC+∠C，
∴∠PAC+∠P＝∠PBC+∠C，
∵∠CAD和∠CBD的平分線相交于點P，
∴∠PAC＝∠CAD∠CBD，
∴∠CAD+∠P＝，
同理：∠CAD+∠D＝，
①﹣②，得∠P﹣∠D＝∠C﹣∠P，
整理得，2∠P＝∠D+∠C，
故答案為：2∠P＝∠D+∠C．

16．解：∵紙片△ABC沿DE折疊，使點A落在BE邊上的點A'處，
∴∠DA′A＝∠A＝18°，
∴∠1＝∠DA′A+∠A＝36°．
故答案為36°．
17．解：根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，可得∠ABN＝∠AOB+∠BAO，
∵BE平分∠NBA，AC平分∠BAO，
∴∠ABE＝∠ABN∠BAO，
∴∠C＝∠ABE﹣∠BAC＝（∠AOB+∠BAO）﹣∠AOB，
∵∠MON＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴∠C＝×90°＝45°．
故答案為：45．

18．解：∵A1B是∠ABC的平分線，A1C是∠ACD的平分線，
∴∠A4BC＝∠ABC7CD＝∠ACD，
又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A4CD＝∠A1BC+∠A1，
∴（∠A+∠ABC）＝1，
∴∠A1＝∠A，
同理理可得∠A2＝∠A1，∠A2＝∠A2，……
則∠A2021＝∠A5＝．
故答案為：．
19．解：設(shè)∠OAC＝x則∠BAC＝90°﹣x，∠ACB＝60°+x
∵△ABC為“靈動三角形”，
Ⅰ、當(dāng)∠ABC＝3∠BAC時，
∴30°＝3（90°﹣x），
∴x＝80°；
Ⅱ、當(dāng)∠ABC＝7∠ACB時，
∴30°＝3（60°+x）∴x＝﹣50°（舍去）
∴此種情況不存在；
Ⅲ、當(dāng)∠BCA＝3∠BAC時，
∴60°+x＝5（90°﹣x），
∴x＝52.5°，
Ⅳ、當(dāng)∠BCA＝3∠ABC時，
∴60°+x＝90°，
∴x＝30°；
Ⅴ、當(dāng)∠BAC＝2∠ABC時，
∴90°﹣x＝90°，
∴x＝0°（舍去）；
Ⅵ、當(dāng)∠BAC＝3∠ACB時，
∴90°﹣x＝4（60°+x），
∴x＝﹣22.5°（舍去），
∴此種情況不存在，
∴綜上所述：∠OAC＝80°或52.5°或30°．
故答案為：80°或52.5°或30°．
三．解答題（共5小題）
20．解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝80°，
∵∠C＝70°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣70°﹣80°＝30°，
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝30°+40°＝70°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣70°＝20°．
21．解：∵AD⊥BC，∠B＝60°，
∴在△ABD中，∠BAD＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
又∵∠DAE＝10°，
∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝30°+10°＝40°，
又∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAE＝80°，
∴在△ABC中，∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°．
答：∠C的度數(shù)是40°．
22．解：（1）∵M(jìn)N⊥PQ，
∴∠AOB＝90°，
∵∠BAO＝40°，
∴∠ABO＝90°﹣∠OAB＝50°，
∵AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，
∴∠IBA＝＝ABO＝25°＝OAB＝20°，
∴∠AIB＝180°﹣（∠IBA+∠IAB）＝135°．
（2）①∵∠MBA＝∠AOB+∠BAO＝90°+40°＝130°，
∵AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，
∴∠CBA＝∠MBA＝65°∠BAO＝20°，
∵∠CBA＝∠D+∠BAD，
∴∠D＝45°，
故答案為：45．
②不變，
理由：∵∠D＝∠CBA﹣∠BAD＝∠MBA﹣（∠MBA﹣∠BAO）＝×90°＝45°，
∴點A、B在運動的過程中．
23．（1）解：∵∠A＝80°．
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵點P是∠ABC和∠ACB的平分線的交點，
∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣，
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點Q，
∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）
＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
＝（180°+∠A）
＝90°+∠A
∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣；
（3）延長BC至F，
∵CQ為△ABC的外角∠NCB的角平分線，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分線，
∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝6∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+7∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，即∠E＝；
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
＝∠ABC+
＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．
如果△BQE中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍
①∠EBQ＝5∠E＝90°，則∠E＝45°；
②∠EBQ＝2∠Q＝90°，則∠Q＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
③∠Q＝2∠E，則90°﹣，解得∠A＝60°；
④∠E＝5∠Q，則∠A＝2（90°﹣，解得∠A＝120°．
綜上所述，∠A的度數(shù)是90°或60°或120°．

24．解：（1）△ABC是“三倍角三角形”，理由如下：
∵∠A＝35°，∠B＝40°，
∴∠C＝180°﹣35°﹣40°＝105°＝35°×3，
∴△ABC是“三倍角三角形”；
（2）∵∠B＝60°，
∴∠A+∠C＝120°，
設(shè)最小的角為x，
①當(dāng)60°＝3x時，x＝20°，
②當(dāng)x+2x＝120°時，x＝30°，
答：△ABC中最小內(nèi)角為20°或30°．

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