上一節(jié)我們知道了如何證明線面平行及線面平行的性質(zhì)，那么面面平行如何證明又有怎樣的性質(zhì)呢？
探究：根據(jù)基本事實(shí)的推論2,3，過兩條平行直線或兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面，由此可以想到，如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交或平行直線都與另一個(gè)平面平行，是否就能使這兩個(gè)平面平行？
如圖（1），a和b分別是矩形硬紙板的兩條對(duì)邊所在直線，它們都和桌面平行，那么硬紙板和桌面平行嗎？
如圖（2），c和d分別是三角尺相鄰兩邊所在直線，它們都和桌面平行，那么三角尺與桌面平行嗎？
如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條平行直線與另一個(gè)平面平行，這兩個(gè)平面不一定平行。我們借助長方體模型來說明。如圖，在平面A’ADD’內(nèi)畫一條與AA’平行的直線EF,顯然AA’與EF都平行于平面DD’CC’,但這兩條平行直線所在平面AA’DD’與平面DD’CC’相交。
如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，這兩個(gè)平面是平行的，如圖，平面ABCD內(nèi)兩條相交直線A’C’,B’D’平行。由直線與平面平行的判定定理可知，這兩條相交直線AC,BD都與平面A’B’C’D’平行，此時(shí)平面ABCD平行平面A’B’C’D’
定理：如果一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行。符號(hào)表示為：
練習(xí)一：判斷下列命題是否正確（1）若平面α內(nèi)的兩條直線分別與平面β平行，則α與β平行（ ）（2）若平面α內(nèi)有無數(shù)條直線分別與平面β平行，則α與β平行（ ）（3）一個(gè)平面α內(nèi)兩條不平行的直線都平行于β平面，則α與β平行（ ）（4）如果一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行（ ）
例一已知正方體如圖，求證：平面 AB1D1//平面BC1D
證明：∵幾何體是正方體∴ D1C1⊥A1B1 且D1C1//A1B1,AB⊥A1B1且AB//A1B1 ∴ D1C1⊥AB且D1C1//AB∴四邊形D1C1BA為平行四邊形∴ D1A//C1B又D1A不在平面BC1D內(nèi)C1B在平面 BC1D內(nèi)∴D1A//平面BC1D同理D1B1//平面BC1D又D1A∩D1B1=D∴平面AB1D1//平面BC1D
練習(xí)二如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD⊥CD,E,F分別為棱PC,CD的中點(diǎn)，AB=3,CD=6,且AC=證明：平面PAD//平面BEF
證明：因?yàn)镕為CD的中點(diǎn)且CD=2AB，所以DF=AB,因?yàn)锳B//CD，所以AB//DF,所以四邊形ABFD為平行四邊形。所以BF//AD.在△PDC中因?yàn)镋,F分別為PC,CD的中點(diǎn)所以EF//PD.因?yàn)镋F∩BF=F,PD∩AD=D所以平面PAD//平面BEF
總結(jié)證明兩個(gè)平面平行基本思路 線線平行 線面平行 面面平行證明兩個(gè)平面平行一般步驟一：在一個(gè)平面內(nèi)找出兩條相交直線二：證明兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面三：利用判定定理得結(jié)論
思考：如果兩個(gè)平面平行，會(huì)有哪些結(jié)論呢？探究一：如果兩個(gè)平面平行，那么一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面有什么位置關(guān)系？
答：如果兩個(gè)平面平行，那么一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行。
探究二：如果兩個(gè)平面平行，兩個(gè)平面內(nèi)的直線有什么位置關(guān)系？
答：借助長方體模型探究得出結(jié)論，如果兩個(gè)平面平行，那么兩個(gè)平面內(nèi)的直線要么是異面直線，要么是平行直線。
定理： 兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行。
答：平行，證明如下。如圖平面α//β，平面γ分別與α，β相交于直線a,b因?yàn)棣痢搔?a,β∩γ=b所以∴a，b沒有公共點(diǎn)又a,b同在平面γ內(nèi)∴a//b
探究三：當(dāng)?shù)谌齻€(gè)平面和兩個(gè)平行平面都相交時(shí)，兩條交線有什么關(guān)系？為什么？
練習(xí)三已知：α//β，l∩α=A證明：l與β相交
證明：在β上取一點(diǎn)B,過l和B作平面γ，由于γ和α有公共點(diǎn)A,由于γ和β有公共點(diǎn)B,所以γ與α，β都相交，設(shè)γ∩α=a,γ∩β=b,因?yàn)棣?/β，所以a//b，又因?yàn)閘,a，b都在平面γ內(nèi)，且l與a相交于A,所l與b相交，所以l與β相交。
練習(xí)三、如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，問：當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)，平面D1BQ與平面PAO平行？
解：如圖，設(shè)平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，點(diǎn)M在AA1上，由于平面D1BQ∩平面BCC1B1＝BQ，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，由面面平行的性質(zhì)定理可得BQ∥D1M.假設(shè)平面D1BQ∥平面PAO，由平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，平面PAO∩平面ADD1A1＝AP，可得AP∥D1M，所以BQ∥AP.因?yàn)镻為DD1的中點(diǎn)，所以Q為CC1的中點(diǎn)．故當(dāng)Q為CC1的中點(diǎn)時(shí)，平面D1BQ∥平面PAO.
應(yīng)用平面與平面平行性質(zhì)定理的基本步驟
平面與平面平行的性質(zhì)定理使用時(shí)三個(gè)條件缺一不可(1)兩個(gè)平面平行，即α∥β.(2)第一個(gè)平面與第三個(gè)平面相交，即α∩γ＝a.(3)第二個(gè)平面與第三個(gè)平面也相交，即β∩γ＝b.三種平行關(guān)系可以任意轉(zhuǎn)化，其相互轉(zhuǎn)化關(guān)系如圖所示
例二求證：夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等證明：如圖，α//β，AB//CD,且A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，求證AB=CD
證明：過平行線AB,CD作平面γ，與平面α和β分別相交于AC和BD∵α//β∴BD//AC又AB//CD∴四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CD
總結(jié)：兩個(gè)平面平行具有如下的一些性質(zhì)：（1）如果兩個(gè)平面平行，那么在一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都與另一個(gè)平面平行（2）如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么他們的交線平行（3）夾在兩個(gè)平行面間的所有平行線段相等（4）一條直線與平行平面中的一個(gè)平面相交，則其必與另一個(gè)平面也相交
一、平面α與平面β平行的充分條件是A α內(nèi)有無數(shù)條直線都與β平行B 直線a//α，a//β，且直線a不在α內(nèi)，也不在β內(nèi)C 直線a ,直線b ,且a//β，b//αD α內(nèi)的任何一條直線都與β平行
二、判斷下列命題是否正確（1）若一個(gè)平面α內(nèi)兩條不平行的直線都平行于另一個(gè)平面β，則α//β（2）平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行（3）平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行（4）一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)相交，則必與另一個(gè)相交
三、兩個(gè)平行平面與另兩個(gè)平行平面相交所得四條直線的位置關(guān)系A(chǔ) 兩兩相互平行B 兩兩相交于一點(diǎn)C 兩兩相交但不一定交于同一點(diǎn)D 兩兩相互平行或交于同一點(diǎn)
四、如圖三棱錐P-ABC，D,E,F分別是棱PA，PB，PC上的點(diǎn)，PD/PA=PE/PB=PF/PC 求證：平面DEF//平面ABC
證明：因?yàn)镻D/PA=PE/PB,所以DE//AB.又因?yàn)镈E不在平面ABC內(nèi)，所以DE//平面ABC同理EF//平面ABC。又因?yàn)镈E∩EF=E,所以，平面EDF//平面ABC.

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6.4 平面向量的應(yīng)用

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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