1.理解矩形的概念，知道矩形與平行四邊形的區(qū)別與 聯(lián)系.（重點(diǎn)）2.會(huì)證明矩形的性質(zhì)，會(huì)用矩形的性質(zhì)解決簡單的問 題.（重點(diǎn)、難點(diǎn)）3.掌握直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，并會(huì)簡單的運(yùn)用. （重點(diǎn)）
觀察下面圖形,長方形在生活中無處不在.
思考 長方形跟我們前面學(xué)習(xí)的平行四邊形有什么關(guān)系？
你還能舉出其他的例子嗎？
活動(dòng)1：利用一個(gè)活動(dòng)的平行四邊形教具演示,使平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角變化,請(qǐng)同學(xué)們注意觀察.
定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形. 也叫做長方形.
平行四邊形不一定是矩形.
思考 因?yàn)榫匦问瞧叫兴倪呅?，所以它具有平行四邊形的所有性質(zhì)，由于它有一個(gè)角為直角，它是否具有一般平行四邊形不具有的一些特殊性質(zhì)呢？
可以從邊，角，對(duì)角線等方面來考慮.
活動(dòng)2：準(zhǔn)備素材：直尺、量角器、橡皮擦、課本、鉛筆盒等.（1）請(qǐng)同學(xué)們以小組為單位,測(cè)量身邊的矩形（如書本,課桌,鉛筆盒等）的四條邊長度、四個(gè)角度數(shù)和對(duì)角線的長度及夾角度數(shù),并記錄測(cè)量結(jié)果.
（2）根據(jù)測(cè)量的結(jié)果,你有什么猜想？
猜想1 矩形的四個(gè)角都是直角.
猜想2 矩形的對(duì)角線相等.
證明：∵四邊形ABCD是矩形, ∴∠B=∠D,∠C=∠A, AB∥DC. ∴∠B+∠C=180°. 又∵∠B = 90°, ∴∠C = 90°. ∴∠B=∠C=∠D=∠A =90°.
如圖,四邊形ABCD是矩形,∠B=90°.求證： ∠B=∠C=∠D=∠A=90°.
證明：∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°,在△ABC和△DCB中,∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC= CB,∴△ABC≌△DCB.∴AC=DB.
如圖,四邊形ABCD是矩形,∠ABC=90°,對(duì)角線AC與DB相交于點(diǎn)O.求證：AC=DB.
矩形除了具有平行四邊形所有性質(zhì)，還具有的性質(zhì)有：矩形的四個(gè)角都是直角.矩形的對(duì)角線相等.
幾何語言描述：在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與DB相交于點(diǎn)O.∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°，AC=DB.
例1 如圖,在矩形ABCD中,兩條對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,∠AOB=60°,AB=4 ,求矩形對(duì)角線的長.
解：∵四邊形ABCD是矩形. ∴AC = BD， OA= OC= AC,OB = OD = BD , ∴OA = OB. 又∵∠AOB=60°, ∴△OAB是等邊三角形， ∴OA=AB=4， ∴AC=BD=2OA=8.
矩形的對(duì)角線相等且互相平分
例2 如圖,在矩形ABCD中,E是BC上一點(diǎn),AE=AD,DF⊥AE ,垂足為F.求證：DF=DC.
證明：連接DE.∵AD =AE,∴∠AED =∠ADE.∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠C=90°.∴∠ADE=∠DEC, ∴∠DEC=∠AED.又∵DF⊥AE, ∴DF=DC.
例3 如圖，將矩形ABCD沿著直線BD折疊，使點(diǎn)C落在C′處，BC′交AD于點(diǎn)E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面積．
解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠2＝∠3.又由折疊知∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴BE＝DE.設(shè)BE＝DE＝x，則AE＝8－x.∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，∴42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，即DE＝5.∴S△BED＝ DE·AB＝ ×5×4＝10.
矩形的折疊問題常與勾股定理結(jié)合考查
思考 請(qǐng)同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的矩形紙片,折一折,觀察并思考.??矩形是不是軸對(duì)稱圖形?如果是,那么對(duì)稱軸有幾條?
矩形的性質(zhì)：對(duì)稱性： .對(duì)稱軸：.
1.如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O， 下列說法錯(cuò)誤的是 （　　）A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OB
2.如圖，EF過矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)O，且分別交AB、CD于E、F，那么陰影部分的面積是矩形ABCD面積的_________.
　　　　　　　　　　　　　
3.如圖，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE：∠BAE＝3：1，求∠BAE和∠EAO的度數(shù)．
解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，AO＝ AC，BO＝ BD，AC＝BD，∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.又∵∠DAE：∠BAE＝3：1，∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.∵AE⊥BD，∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°，∴∠OAB＝∠ABE＝67.5°∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°.
活動(dòng)：如圖，一張矩形紙片，畫出兩條對(duì)角線，沿著對(duì)角線AC剪去一半.
問題 Rt△ABC中，BO是一條怎樣的線段？它的長度與斜邊AC有什么關(guān)系？
猜想：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.
證明: 延長BO至D, 使OD=BO, 連接AD、DC.
∵AO=OC, BO=OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形.
∵∠ABC=90°,
∴平行四邊形ABCD是矩形，
1. 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.
例4 如圖，在△ABC中，AD是高，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)．(1)若AB＝10，AC＝8，求四邊形AEDF的周長；
解：∵AD是△ABC的高，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5， DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4，∴四邊形AEDF的周長＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18 .
(2)求證：EF垂直平分AD.
證明：∵DE＝AE，DF＝AF，∴E、F在線段AD的垂直平分線上， ∴EF垂直平分AD.
當(dāng)已知條件含有線段的中點(diǎn)、直角三角形的條件時(shí)，可聯(lián)想直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)進(jìn)行求解．
例5 如圖，已知BD，CE是△ABC不同邊上的高，點(diǎn)G，F(xiàn)分別是BC，DE的中點(diǎn)，試說明GF⊥DE.
解：連接EG，DG. ∵BD，CE是△ABC的高， ∴∠BDC＝∠BEC＝90°. ∵點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，∴EG＝ BC，DG＝ BC. ∴EG＝DG. 又∵點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)， ∴GF⊥DE.
在直角三角形中，遇到斜邊中點(diǎn)常作斜邊中線，進(jìn)而可將問題轉(zhuǎn)化為等腰三角形的問題，然后利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)解題．
如圖，在△ABC中,∠ABC = 90°,BD是斜邊AC上的中線.(1)若BD=3cm,則AC =_____cm;(2)若∠C = 30° ,AB = 5cm,則AC =_____cm, BD = _____cm.
1.矩形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是 ( ) A.對(duì)角線相等 B.對(duì)邊相等 C.對(duì)角相等 D.對(duì)角線互相平分 2.若直角三角形的兩條直角邊分別5和12,則斜邊上的中線長為 ( ) A.13 B.6 C.6.5 D.不能確定 3.若矩形的一條對(duì)角線與一邊的夾角為40°,則兩條對(duì)角線相交的銳角是 ( ) A.20 ° B.40° C.80 ° D.10°
4.如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是AO、AD的中點(diǎn)，若AB=6cm，BC=8cm，則EF=______cm．
5.如圖，△ABC中，E在AC上，且BE⊥AC．D為AB中點(diǎn)，若DE=5，AE=8，則BE的長為______．
6.如圖,四邊形ABCD是矩形,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,BE∥AC交DC的延長線于點(diǎn)E.（1）求證：BD=BE,（2）若∠DBC=30° , BO=4 ,求四邊形ABED的面積.
(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形,∴AC= BD,AB∥CD.又∵BE∥AC,∴四邊形ABEC是平行四邊形,∴AC=BE,∴BD=BE.
(2)解：∵在矩形ABCD中,BO=4,∴BD = 2BO =2×4=8.∵∠DBC=30°,∴CD= BD= ×8=4,∴AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=8.在Rt△BCD中,BC=∴四邊形ABED的面積= ×(4+8)× = .
7.如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AC，PF⊥BD于F，求PE+PF的值.
解：連接OP.∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，OA=OD=OC=OB，∴S△AOD=S△DOC=S△AOB=S△BOC = S矩形ABCD= ×6×8=12.在Rt△BAD中，由勾股定理得BD=10，∴AO=OD=5，∵S△APO+S△DPO=S△AOD，∴ AO·PE+ DO·PF=12，即5PE+5PF=24，∴PE+PF= .

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18.2.1 矩形

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