1.經(jīng)歷菱形判定定理的探究過程，掌握菱形的判 定定理．（重點） 2.會用這些菱形的判定方法進行有關的證明和計算. （難點）
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形
兩條對角線互相垂直平分每一條對角線平分一組對角
問題 菱形的定義是什么？性質有哪些？
根據(jù)菱形的定義,可得菱形的第一個判定的方法：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴四邊形ABCD是菱形.
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.
思考 還有其他的判定方法嗎？
前面我們用一長一短兩根細木條,在它們的中點處固定一個小釘,做成一個可以轉動的十字,四周圍上一根橡皮筋,做成一個平行四邊形.那么轉動木條,這個平行四邊形什么時候變成菱形?對此你有什么猜想？
猜想：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形,對角線AC與BD相交于點O ，AC⊥BD.求證：□ABCD是菱形.
證明： ∵四邊形ABCD是平行四邊形. ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD, ∴BD是線段AC的垂直平分線. ∴BA=BC. ∴四邊形ABCD是菱形（菱形的定義）.
對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
幾何語言描述：∵在□ABCD中，AC⊥BD,
∴ □ABCD是菱形.
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∵ OA=4,OB=3,AB=5，
∴ AB2=OA2+OB2，
∴△AOB是直角三角形，
例2 如圖,矩形ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于點E、F,求證：四邊形AFCE是菱形．
證明:∵四邊形ABCD是矩形, ∴AE∥FC，∴∠1=∠2.∵EF垂直平分AC，∴AO = OC . 又∠AOE =∠COF，∴△AOE≌△COF，∴EO =FO.∴四邊形AFCE是平行四邊形.又∵EF⊥AC ∴ 四邊形AFCE是菱形.
在四邊形ABCD中，對角線AC，BD互相平分，若添加一個條件使得四邊形ABCD是菱形，則這個條件可以是 （ 　 ） A．∠ABC=90° B．AC⊥BD C．AB=CD D．AB∥CD
小剛：分別以A、C為圓心,以大于 AC的長為半徑作弧,兩條 弧分別相交于點B , D,依次連接A、B、C、D四點.
已知線段AC,你能用尺規(guī)作圖的方法作一個菱形ABCD,使AC為菱形的一條對角線嗎？
想一想：根據(jù)小剛的作法你有什么猜想？你能驗證小剛的作法對嗎？
猜想：四條邊相等的四邊形是菱形.
證明：∵AB=BC=CD=AD; ∴AB=CD , BC=AD. ∴四邊形ABCD是平行四邊形.又∵AB=BC,∴四邊形ABCD是菱形.
已知：如圖，四邊形ABCD中,AB=BC=CD=AD.求證：四邊形ABCD是菱形.
四條邊都相等的四邊形是菱形
AB=BC=CD=AD
幾何語言描述：∵在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=AD，
∴四邊形 ABCD是菱形.
下列命題中正確的是 （ ）A.一組鄰邊相等的四邊形是菱形B.三條邊相等的四邊形是菱形C.四條邊相等的四邊形是菱形D.四個角相等的四邊形是菱形
證明： ∵ ∠1= ∠2, 又∵AE=AC,AD=AD, ∴ △ACD≌ △AED (SAS). 同理△ACF≌△AEF(SAS) . ∴CD=ED, CF=EF. 又∵EF=ED,∴CD=ED=CF=EF, ∴四邊形CDEF是菱形.
例3 如圖,在△ABC中, AD是角平分線,點E、F分別在 AB、 AD上,且AE=AC,EF = ED. 求證：四邊形CDEF是菱形.
例4 如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.將△ABC沿射線BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的對應點分別是D，E，F(xiàn)，連接AD.求證：四邊形ACFD是菱形．
證明：由平移變換的性質得CF＝AD＝10cm，DF＝AC.∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm，∴四邊形ACFD是菱形．
四邊形的條件中存在多個關于邊的等量關系時，運用四條邊都相等來判定一個四邊形是菱形比較方便．
證明：連接AC、BD.
∵四邊形ABCD是矩形，
∵點E、F、G、H為各邊中點，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四邊形EFGH是菱形.
例5 如圖，順次連接矩形ABCD各邊中點，得到四邊形EFGH，求證：四邊形EFGH是菱形.
【變式題】 如圖，順次連接對角線相等的四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形EFGH是什么四邊形？
解：四邊形EFGH是菱形.
順次連接對角線相等的四邊形的各邊中點，得到四邊形是菱形.
理由如下：連接AC、BD
拓展1 如圖，順次連接平行四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形EFGH是什么四邊形？
∴四邊形EFGH是平行四邊形.
拓展2 如圖，若四邊形ABCD是菱形，順次連接菱形ABCD各邊中點，得到四邊形EFGH是什么四邊形？
四邊形EFGH是矩形.
思考 在學平行四邊形的時候我們知道把兩張等寬的紙條交叉重疊在一起得到的四邊形是平行四邊形，你能進一步判斷重疊部分ABCD的形狀嗎？
分析：易知四邊形ABCD是平行四邊形，只需證一組鄰邊相等或對角線互相垂直即可進一步判斷.
由題意可知BC邊上的高和CD邊上的高相等，
然后通過證△ABE≌△ADF，即得AB=AD.
例3 如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，BE＝2DE，延長DE到點F，使得EF＝BE，連接CF.(1)求證：四邊形BCFE是菱形；
(1)證明：∵D、E分別是AB、AC的中點，∴DE∥BC且2DE＝BC.又∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝BC，EF∥BC，∴四邊形BCFE是平行四邊形．又∵EF＝BE，∴四邊形BCFE是菱形.
(2)解：∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°，∴△EBC是等邊三角形，∴菱形的邊長為4，高為 ，∴菱形的面積為 .
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面積．
判定一個四邊形是菱形時，要結合條件靈活選擇方法．如果可以證明四條邊相等，可直接證出菱形；如果只能證出一組鄰邊相等或對角線互相垂直，可以先嘗試證出這個四邊形是平行四邊形．
如圖，在平行四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，求平行四邊形ABCD的周長.
解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAC=∠ACB，∠BAC=∠ACD，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC，∴∠DAC=∠ACD，∴AD=DC，∴四邊形ABCD為菱形，∴四邊形ABCD的周長=4×2=8．
1.判斷下列說法是否正確(1)對角線互相垂直的四邊形是菱形；(2)對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形；(3)對角線互相垂直，且有一組鄰邊相等的 四邊形是菱形；(4)兩條鄰邊相等，且一條對角線平分一組 對角的四邊形是菱形．
2.一邊長為5cm的平行四邊形的兩條對角線的長分別 為24cm和26cm，則平行四邊形的面積是 .
3.如圖，將△ABC沿BC方向平移得到△DCE，連接AD，下列條件能夠判定四邊形ACED為菱形的是（　?。? A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60° D．∠ACB=60°
解析：∵將△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AC∥DE，AC=DE，∴四邊形ACED為平行四邊形.當AC=BC時，平行四邊形ACED是菱形．故選B．
4.如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，DE∥AC,CE ∥BD.求證：四邊形OCED是菱形.
證明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四邊形OCED是平行四邊形.∵四邊形ABCD是矩形，∴OC=OD，∴四邊形OCED是菱形．
證明：∵MN是AC的垂直平分線，∴AE=CE，AD=CD，OA=OC，∠AOD=∠EOC=90°.∵CE∥AB，∴∠DAO=∠ECO，∴△ADO≌△CEO（ASA）．∴AD=CE，∴四邊形ADCE是平行四邊形.又∵∠AOD=90°，∴四邊形ADCE是菱形．
5.如圖，△ABC中，AC的垂直平分線MN交AB于點D，交AC于點O，CE∥AB交MN于點E，連接AE、CD.求證：四邊形ADCE是菱形.
（1）證明：由尺規(guī)作∠BAF的平分線的過程可得AB=AF，∠BAE=∠FAE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=FA，∴四邊形ABEF為平行四邊形，∵AB=AF，∴四邊形ABEF為菱形.
6.如圖,在平行四邊形ABCD中，用直尺和圓規(guī)作∠BAD的 平分線交BC于點E，連接EF．（1）求證：四邊形ABEF為菱形；（2）AE，BF相交于點O，若BF=6，AB=5，求AE的長．
（2）AE，BF相交于點O，若BF=6，AB=5，求AE的長．
解：∵四邊形ABEF為菱形，∴AE⊥BF，BO= FB=3，AE=2AO，在Rt△AOB中，由勾股定理得AO =4，∴AE=2AO=8．

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18.2.2 菱形

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