1.理解三角形中位線的概念，掌握三角形的中位線 定理.（重點）2.能利用三角形的中位線定理解決有關證明和計算 問題.(重點）
問題 平行四邊形的性質和判定有哪些？
?AB∥CD, AD∥BC
?AB=CD, AD=BC
?AB∥CD, AB=CD
∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
AO=CO,DO=BO
我們探索平行四邊形時，常常轉化為三角形，利用三角形的全等性質進行研究，今天我們一起來利用平行四邊形來探索三角形的某些問題吧.
思考 如圖，有一塊三角形蛋糕，準備平分給四個小朋友，要求四人所分的形狀大小相同，該怎樣分呢？
定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.
如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，連接DE，則線段DE就稱為△ABC的中位線.
問題1 一個三角形有幾條中位線？你能在△ABC中畫出它所有的中位線嗎？
有三條，如圖，△ABC的中位線是DE、DF、EF.
問題2 三角形的中位線與中線有什么區(qū)別？
中位線是連接三角形兩邊中點的線段.
中線是連接一個頂點和它的對邊中點的線段.
問題3：如圖，DE是△ABC的中位線，DE與BC有怎樣的關系？
度量一下你手中的三角形，看看是否有同樣的結論？并用文字表述這一結論．
一條線段是另一條線段的一半
猜想：三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半．
問題3：如何證明你的猜想？
延長DE到F，使EF=DE．
連接AF、CF、DC ．
∵AE=EC，DE=EF ，
∴四邊形ADCF是平行四邊形．
∴四邊形BCFD是平行四邊形，
∴ DE∥BC， ．
如圖，在△ABC中，點D,E分別是AB,AC邊的中點，求證：
∴四邊形BCFD是平行四邊形．
∴△ADE≌△CFE．
∵∠AED=∠CEF，AE=CE，
∴ DE∥BC， ．
三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半．
①中位線DE、EF、DF把△ABC分成四個全等的三角形；有三組共邊的平行四邊形，它們是四邊形ADFE和BDEF，四邊形BFED和CFDE，四邊形ADFE和DFCE.
②頂點是中點的三角形，我們稱之為中點三角形；中點三角形的周長是原三角形的周長的一半.面積等于原三角形面積的四分之一.
由此你知道怎樣分蛋糕了嗎
例1 如圖，在△ABC中，D、E分別為AC、BC的中點，AF平分∠CAB，交DE于點F.若DF＝3，求AC的長
解：∵D、E分別為AC、BC的中點，∴DE∥AB，∴∠2＝∠3.又∵AF平分∠CAB，∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DF＝3，∴AC＝2AD＝2DF＝6.
例2 如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，M、N、P分別是AD、BC、BD的中點，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度數(shù)．
解：∵M、N、P分別是AD、BC、BD的中點，∴PN，PM分別是△CDB與△DAB的中位線，∴PM= AB，PN= DC，PM∥AB，PN∥DC，∵AB=CD，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，∵PM∥AB，PN∥DC，∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°，∴∠MPN=∠MPD+(180°?∠NPB)=130°，∴∠PMN=(180°?130°)÷ 2 =25°．
例3 如圖，在△ABC中，AB＝AC，E為AB的中點，在AB的延長線上取一點D，使BD＝AB，求證：CD＝2CE.
證明：取AC的中點F，連接BF.∵BD＝AB，∴BF為△ADC的中位線，∴DC＝2BF.∵E為AB的中點，AB＝AC，∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.∵BC＝CB，∴△EBC≌△FCB,∴CE＝BF，∴CD＝2CE.
恰當?shù)貥嬙烊切沃形痪€是解決線段倍分關系的關鍵．
1. 如圖，△ABC中，D、E分別是AB、AC中點．
（1） 若DE=5，則BC= ．
（2） 若∠B=65°，則∠ADE= °．
（3） 若DE+BC=12，則BC= ．
2.如圖，A，B兩點被池塘隔開，在A，B外選一點C，連接AC和BC，并分別找出AC和BC的中點M，N，如果測得MN=20m，那么A，B兩點間的距離為______m．
例4 如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA中點．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．
∵E,F,G,H分別為各邊的中點,
∴ EF∥HG, EF=HG.
∴四邊形EFGH是平行四邊形.
順次連接四邊形四條邊的中點，所得的四邊形是平行四邊形.
【變式題】如圖，E、F、G、H分別為四邊形ABCD四邊之中點．求證：四邊形EFGH為平行四邊形.
證明：如圖，連接BD.∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四邊之中點，∴EH是△ABD的中位線， FG是△BCD的中位線，∴EH∥BD且EH= BD， FG∥BD且FG= BD，∴EH∥FG且EH=FG，∴四邊形EFGH為平行四邊形.
證明：∵D、E分別為AB、AC的中點，∴DE為△ABC的中位線，∴DE∥ BC，DE= BC.∵CF= BC，∴DE=FC．
例5 如圖，等邊△ABC的邊長是2，D、E 分別為AB、AC的中點，延長BC至點F，使CF= BC，連接CD和EF．（2）求EF的長．
解：∵DE∥FC，DE=FC，∴四邊形DEFC是平行四邊形，∴DC=EF，∵D為AB的中點，等邊△ABC的邊長是2，∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，∴EF=DC= ．
1.如圖，在△ABC中，AB=6，AC=10，點D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，AC的中點，則四邊形ADEF的周長為 （　　） A.8 B.10 C.12 D.16
2.如圖，?ABCD的周長為36，對角線AC，BD相交于點O，點E是CD的中點，BD=12，求△DOE的周長．
解：∵?ABCD的周長為36，∴BC+CD=18．∵點E是CD的中點，∴OE是△BCD的中位線，DE= CD，∴OE= BC，∴△DOE的周長為OD+OE+DE= （BD+BC+CD）=15，即△DOE的周長為15．
2.如圖，在?ABCD中，AD=8，點E，F(xiàn)分別是BD，CD的中點，則EF等于 （　　）A.2 B.3 C.4 D.5
1.如圖，在△ABC中，點E、F分別為AB、AC的中點．若EF的長為2，則BC的長為 （　　）A.1 B.2 C.4 D.8
3.如圖，點 D、E、F 分別是 △ABC 的三邊AB、BC、 AC的中點.（1）若∠ADF=50°，則∠B= °；（2）已知三邊AB、BC、AC分別為12、10、8， 則△ DEF的周長為 .
4.在△ABC中，E、F、G、H分別為AC、CD、 BD、 AB的中點，若AD=3，BC=8，則四邊形EFGH的周長是 .
5.如圖，在△ABC中，AB=6cm，AC=10cm，AD平分∠BAC，BD⊥AD于點D，BD的延長線交AC于 點F，E為BC的中點，求DE的長．
解：∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，∴AB=AF=6cm，BD=DF，∴CF=AC-AF=4cm，∵BD=DF，E為BC的中點，∴DE= CF=2cm．
6.如圖，E為?ABCD中DC邊的延長線上一點，且CE＝DC，連接AE，分別交BC、BD于點F、G，連接AC交BD于O，連接OF，判斷AB與OF的位置關系和大小關系，并證明你的結論．
解：AB∥OF，AB＝2OF.證明如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，∴∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF.∵CE＝DC，∴AB＝CE,∴△ABF≌△ECF(ASA)，∴BF＝CF.∵OA＝OC，∴OF是△ABC的中位線，∴AB∥OF，AB＝2OF.
7.如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，BD=12，AC=16，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，求EF的長．
解：取BC邊的中點G，連接EG、FG．∵E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，∴EG是△ABC的中位線，F(xiàn)G是△BCD的中位線，
又BD=12，AC=16，AC⊥BD，∴EG=8，F(xiàn)G=6，EG⊥FG，∴

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18.1.2 平行四邊形的判定

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