模塊一  角平分線的性質(zhì)和判定角平分線解釋示例性質(zhì)角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．如圖，若射線OC是的角平分線，則．判定角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上．如圖，若，則OC是的角平分線．模塊二  角平分線模型模型I：角平分線加平行線必出等腰三角形．      模型II：角平分線加射影模型必出等腰三角形．→ 模型III：角平分線的中心思想是對稱，關(guān)于角平分線對稱，因此常見做輔助線的方法有以下三種．  
 （1）如圖，在中，，AD是角平分線，，，，則__________．  （2）（14—15年嘉祥期末）在中，，，，，若點P是的三條角平分線的交點，則點P到邊BC的距離是_____________． 【解析】（1）8cm；（2）1（提示：過點P作三邊的垂線，利用面積進(jìn)行求解）．【教師備課提示】這道題主要講解角平分線的性質(zhì)．（1）證明：三角形三個角的角平分線交于一點． （2）（14年—15年金牛區(qū)期末）如圖，的外角一平分線CP和內(nèi)角平分線BP相交于點P，若，則____________．  【解析】（1）如圖，在中，設(shè)、的平分線的交點為I，過I點作于D，于E，于F，連接IC．∵AI、BI都是角平分線，∴，，∴，∴CI是的平分線，∴三角形三個角的平分線交于一點．（2）50°（提示：過點P向三邊作垂線，證明AP是的外交角平分線）【教師備課提示】這道題主要講解角平分線的判定，結(jié)合角平分線的性質(zhì)．
 （1）如圖3-1，在中，BD、CD分別平分和，．如果，則的周長為__________． （2）（14—15年武侯區(qū)期末）如圖3-2，的平分線與的外角平分線相交于點D，過點D作EF//BC，交AB于E，交AC于F，若，，則________． （3）（15—16年武侯期末）如圖3-3，的內(nèi)角和外角的平分線相交于點E，BE交AC于點F，過點E作EG//BD交AB于點G，交AC于點H，連接AE，有以下結(jié)論：①；②；③；④ ，其中正確的結(jié)論有_____________（只填序號）       圖3-1                    圖3-2                      圖3-3 【解析】（1）6；（2）3cm；（3）①③④．【教師備課提示】這道題主要講解角平分線加平行線必出等腰三角形的模型．（1）（14—15年青羊區(qū)期末）如圖4-1，在中，，于點D，的平分線BE交AD于F，交AC于E，若，，則_____________． （2）如圖4-2，已知：在中，，于D，的角平分線交AD與F，交AB于E，交AB于G．，，則__________，__________．     圖4-1                                圖4-2 【解析】（1）5；（2）4cm；4cm．過E作EH垂直BC交BC于H點，易證；由角度分析易知，即，則有；又可證，則，則，．【教師備課提示】這道題主要講解角平分線加射影模型必出等腰三角形的模型．如圖，在中，，，．求證：．       【解析】過D作于，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【教師備課提示】這道題主要講解角平分線第一種輔助線．如圖所示，在中，，，BE平分，．
求證：．       【解析】延長CE、BA相交于F，在和中，∴∴∵，∴同理，∴ 在和中，∴∴，∴．【教師備課提示】這道題主要講解角平分線的第二種輔助線．（14—15年嘉祥月考）如圖，在中，，AD、CE分別平分、，AD、CE交于O．（1）求的度數(shù)；（2）求證：．        【解析】（1）；（2）在AC上截取AT，使，連接OT，在和中，∴，∴，∴在和中，∴，∴，∴．【教師備課提示】這道題主要講解角平分線的第三種輔助線，同時可以得出．
 已知等腰，，的平分線交AC于D．求證：．【解析】解法一：如圖，在BC上截取，連接DE，過D作DF//BC，交AB于F，則，．又∵，∴，故．顯然FBCD是等腰梯形．∴，．∵，，∴，∴，∴，．又∵，∴．解法二：如圖，延長BD到E，使，在BC上截取．∵，BD為公共邊，∴，，．∵，∴．∴，故，．∵，∴．∴，．∵，∴．∵，∴，故．∴，故．∵，∴．解法三：如圖，延長BD到E，使．延長BA到F，使．連接CE、EF、DF．∵，BD公共，∴ ．∴，．又∵，，∴．∵，．∴，∴．而．∴．又FD公共，∴．∴．∴．【教師備課提示】這道題結(jié)合截長補短，較難，實際上可以看成是上道題．
 （14—15年育才期末、嘉祥半期）如圖，中，，，，垂足為D，AE平分，交BC于點E．在外有一點F，使，．（1）求證：；（2）在AB上取一點M，使，連接MC，交AD于點N，連接ME．求證：①；②． 【解析】（1）由題意得，，∴，在和中，，∴，∴．（2）①作于點T，則，∴，，∴，，，∴②由①得，，，∴AD//ME，∴，∴，∴CM平分，即，在和中，∴∴．【教師備課提示】這道題主要是綜合考查角平分線的模型．
  （1）如圖1-1，的周長是，OB，OC分別平分和，于D，且，求的面積． （2）如圖1-2，的、的外角平分線交于點D．求證：AD是的平分線．      圖1-1                                  圖1-2 【解析】（1）∵O點為的兩內(nèi)角平分線的交點，∴O點到三邊距離相等．∴．（2）分別過D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分別為E、F、G，∵BD平分，，，∴．
同理，
∴，
∴點D在平分線上，
∴AD是的平分線．
 （1）（14—15年青羊區(qū)期末）如圖2-1，在中，和的平分線交于點E，過點E作交AB于M，交AC于N，若，則線段MN的長為_____． （2）如圖2-2，BD平分，CD平分外角．DE//BC交AB于E，交AC于F．線段EF與BE、CF有什么關(guān)系?                                           圖2-1                                   圖2-2 【解析】（1）9；（2）如圖所示中仍有兩個等腰三角形、，從而，，又，故．如圖，在四邊形ABCD中，，的角平分線AE交DC于E，BE是的角平分線．求證：（1）；（2）．      【解析】（1）∵，∴∴，∴．（2）在AB上截取AF，使，連接EF，在和中，∴∴，∵，∴∵，∴ 在和中，∴，∴，∴，∴．如圖所示，在中，，，．求證：．      【解析】延長BE交AC于M．∵，，∴，，，∴，，又∵，，∴，∴，∴，∴．如圖，中，，，BD平分交AC于D點．求證：．【解析】方法一：在BC上截取E點使，連結(jié)DE．∵BD平分，∴．在與中∵，，，∴，∴，∵，∴，∴．又∵，∴，∴，∴，∵，∴．方法二：如圖，延長CA到F，使，連結(jié)BF．∵，且，∴．∵，∴．∴．∴．∵，∴．又∵,∴．∴．∴．如圖，中，，，垂足為D．AF平分，交CD于點E，交CB于點F．（1）求證：．（2）將圖6-1中的沿AB向右平移到的位置，使點落在BC邊上，其它條件不變，如圖6-2所示．試猜想：與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請證明你的結(jié)論．               圖6-1                                     圖6-2 【解析】（1）相等（2）如圖，過點E作于G．又∵AF平分，，∴．由平移的性質(zhì)可知：，∴．∵．∴，∵于D．∴∴,在與中，∵，，，∴，∴，由（1）可知． 

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初中數(shù)學(xué)人教版八年級上冊電子課本

12.3 角的平分線的性質(zhì)

版本： 人教版

年級： 八年級上冊

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