模塊一  等腰三角形1．等腰三角形等腰三角形解    釋定義有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的邊的叫做腰，另外一條邊叫做底邊．性質(zhì)（1）兩腰相等、兩底角相等．（2）“三線合一”，即頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合．（3）是軸對(duì)稱圖形，底邊的垂直平分線是它的對(duì)稱軸．判定（1）有兩條邊相等的三角形是等腰三角形．（2）有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形．2．等邊三角形和等腰直角三角形等邊三角形等腰直角三角形1．定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也叫正三角形．2．性質(zhì)：三邊都相等，三角都是．3．判定：（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形．（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．（3）有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形．1．定義：有兩條邊相等，并且中間的夾角是的三角形叫做等腰直角三角形．2．性質(zhì)：兩個(gè)底角為．3．判定：有一個(gè)角是的等腰三角形是等腰直角三角形．模塊二  垂直平分線垂直平分線解釋示例定義經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也稱之為中垂線．如圖，若，，則直線DE就是線段AB的垂直平分線．性質(zhì)線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．如圖，已知直線是線段的垂直平分線，則．判定到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上．如圖，若，則點(diǎn)在線段的垂直平分線上．
 （1）（2015—2016年七育周練）等腰三角形的一邊長(zhǎng)為10，另一邊長(zhǎng)為4，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是__________． （2）等腰三角形的一邊長(zhǎng)為6cm，且周長(zhǎng)為16cm，則這個(gè)三角形的底邊為_________． （3）等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為，則該三角形底角的度數(shù)為__________． （4）等腰三角形一個(gè)角為，則這個(gè)三角形腰上的高與底邊所夾角的度數(shù)為_____． （5）等腰三角形一腰上的中線將三角形的的周長(zhǎng)分為兩部分，分別是12與15，則腰長(zhǎng)為__________． 【解析】（1）24；（2）4cm或6cm；（3）或；（4）或；（5）①；，腰長(zhǎng)為10；②；，腰長(zhǎng)為8．【教師備課提示】這道題主要考查等腰三角形的定義，腰或底角不確定．（1）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則這個(gè)等腰三角形的頂角為______． （2）已知BD是等腰一腰上的高，且，則的底角為_______． 【解析】（1）或（提示：等腰三角形可能是銳角三角形或鈍角三角形）；（2）或或；若為鈍角三角形時(shí)，為頂角時(shí)，三內(nèi)角大小為，，；若為鈍角三角形時(shí)，為底角時(shí)，三內(nèi)角大小為，，；若為銳角三角形時(shí)，為頂角，三內(nèi)角大小為，，．【教師備課提示】這道題主要考查分類討論，銳角等腰和鈍角等腰．
 （1）如圖3-1，在第1個(gè)中，，，在上取一點(diǎn)C，延長(zhǎng)到，使得在第2個(gè)中，；在上取一點(diǎn)D，延長(zhǎng)到，使得在第3個(gè)中，；……，按此做法進(jìn)行下去，第n個(gè)三角形中以為頂點(diǎn)的內(nèi)角的度數(shù)為_____________． （2）如圖3-2的鋼架中，焊上13根鋼條來加固鋼架．若，則C的度數(shù)是___________．           圖3-1                                          圖3-2 【解析】（1）；（2）．【教師備課提示】這道題主要考查等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合外角倒角找規(guī)律．（1）如圖4-1，中，，點(diǎn)D、E、F分別在BC、AB、AC上，且，，G是EF的中點(diǎn)，求證：. （2）（14—15年嘉祥期末）如圖4-2，在中，，，點(diǎn)M、N分別在邊AB、AC上，，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，連接AD． ①求證：；②求證：，且．                      圖4-1                                圖4-2 【解析】（1）連接ED、DF，，，在和中，，是EF的中點(diǎn)，∴．（2）①，， 點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，，，②由①知在和中，，，，．【教師備課提示】這兩道小題主要考查等腰三角形三線合一的性質(zhì)結(jié)合全等．（1）如圖，中，AD是BC邊上的中線，又是BC邊上的高，求證：是等腰三角形．（2）如圖，中，AD是的角平分線，AD是BC邊上的高，求證：是等腰三角形．（3）如圖，中，AD是的角平分線，AD是BC邊上的中線，求證：是等腰三角形．                          【解析】（1）AD為BC中垂線，所以，所以是等腰三角形（2）和中，∴，∴，∴是等腰三角形（3）過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，作于點(diǎn)E，∵AD是的角平分線，，，∴，∵AD為中線，∴，∵，，∴，∴是等腰三角形．【教師備課提示】這道題主要考查三線合一的性質(zhì)倒過來推等腰三角形．（1）如圖6-1，P為等腰三角形ABC的底邊AB上的任意一點(diǎn)，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，于點(diǎn)D，求證：． （2）如圖6-2，如果P為等腰三角形ABC的底邊BA延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)，其余條件保持不變，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)說明理由；不成立，請(qǐng)求出PE，PF和AD三邊滿足的關(guān)系． （3）如果P為等腰三角形ABC的底邊AB延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出PE，PF和AD三邊滿足的關(guān)系． （4）如圖6-3，如果是等邊三角形，點(diǎn)P為三角形ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，于點(diǎn)G，于點(diǎn)D．PE、PF、PG、AD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．             圖6-1                     圖6-2                      圖6-3 【解析】（1）連接CP．∵，即，而，∴；（2）連接CP，由，得：又∵，∴；（3）；（4）連接CP、AP、BP，∴，∴，而，∴．             【教師備課提示】這道題主要考查等腰三角形的一個(gè)常見題型，面積法．（1）如圖7-1，，，DE垂直平分AB交AC于E，垂足為D，周長(zhǎng)為28cm，，則的周長(zhǎng)為__________，__________． （2）如圖7-2，的兩邊AB和AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)D、E，若，則的度數(shù)為___________．               圖7-1                                  圖7-2 【解析】（1）18cm，；（2）．【教師備課提示】這道題主要考查垂直平分線的性質(zhì)．（1）如圖8-1，已知：在中，，邊AB的垂直平分線交BC于D，于F，交BC邊上的高于G．求證：． （2）如圖8-2，中，，，的平分線與AB的垂直平分線交于點(diǎn)O，將沿EFCE在BC上，F在AC上折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)O恰好重合，則為____________．         【解析】（1）連接AD，∵D為AB的垂直平分線上一點(diǎn)，∴，，∴，∴，，∴，∴，，，又∵，∴，在和中，∴．（2）如圖，連接OB、OC，∵，AO為的平分線，∴，又∵，∴,∵DO是AB的垂直平分線，∴，∴，∴，∵DO是AB的垂直平分線，AO為的平分線，∴點(diǎn)O是的外心，∴，∴，∵將沿EF（E在BC上，F在AC上）折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)O恰好重合，∴，∴，在中，．證明：三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)． 【解析】如圖，在中，設(shè)AB、AC的垂直平分線相交于點(diǎn)O，連接OA、OB、OC，由垂直平分線的性質(zhì)可知：，，∴，∴點(diǎn)O在BC的垂直平分線上，∴三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)．
  （1）已知一個(gè)等腰三角形的兩條邊分別為3cm和4cm，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為______． （2）等腰三角形的一個(gè)外角為，則頂角為__________． （3）等腰三角形一腰上的中線將它們的周長(zhǎng)分為6和12兩部分，則腰長(zhǎng)為________． （4）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則這個(gè)等腰三角形的底角為______． 【解析】（1）10cm或11cm；（2）或；（3）8；（4）或．（1）（武侯區(qū)期末）如圖，在下列三角形中，若，則能被一條直線分成兩個(gè)小等腰三角形的有（    ）A．1個(gè)               B．2個(gè)               C．3個(gè)               D．4個(gè) （2）如圖，是一個(gè)鋼架，且，為了使鋼架更加牢固，需要在內(nèi)部添加一些鋼管EF、FG、GH、HI，且有，則__________． （3）如圖，AD是等邊三角形ABC的中線，，則（　?。┒龋?/span>A．30   B．20   C．25   D．15 【解析】（1）C；（2）；（3）D．
 如圖，在中，，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且，．（1）求證：是等腰三角形；（2）當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)． 【解析】（1），，在和中：，，是等腰三角形．（2），，，由（1）知，，．（1）如圖4-1：已知等邊中，D是AC的中點(diǎn)，E是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且，，垂足為M，求證：M是BE的中點(diǎn)． （2）如圖4-2，等邊三角形ABC中，E，D分別在AC，BC上，且，求AD與BE所夾銳角的度數(shù)．      圖4-1                                   圖4-2 【解析】（1）連接BD，∵為等邊三角形，D為AC中點(diǎn)，∴，∵，∴，又∵等邊中，∴,∴，∴，又∵，∴M為BE中點(diǎn)．（2）．
 （1）（15年育才期末）如圖5-1，在中，AB邊上的中垂線DE分別交AB、BC于點(diǎn)E、D，連接AD，若的周長(zhǎng)為7，，則BC的長(zhǎng)為（　　）．A．4cm　　　　　　　　B．5cm　　　　　　　C．3cm　　　　　D．以上答案都不對(duì) （2）（15年嘉祥半期）如圖5-2，，AD垂直平分線段BC于點(diǎn)D，的平分線BE交AD于點(diǎn)E，連接EC，則的度數(shù)是______________．       圖5-1                                 圖5-2 【解析】（1）B；（2）．如圖，在中，D為BC中點(diǎn)，交的平分線于點(diǎn)E，于F，的延長(zhǎng)線于G．求證：．        【解析】連接BE、CE．垂直平分BC，，平分，，，，又，，．

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13.3.1 等腰三角形

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