模塊一  輔助線添加初步1．添加輔助線的目的：凸顯和集散2．添加輔助線的基本作圖方法：（1）連接兩點：連接**；（2）作延長線：延長**交**的延長線于*；（3）作平行線：過點*，作**的平行線，與**交于點*；（4）作垂線：過點*，作**的垂線，垂足為*；模塊二  倍長中線1．作法：延長**到*，使**＝**，連接**；如圖，在三角形ABC中，AM為中線，則延長AM到點T，使，連接BT(CT)．2．目的：產(chǎn)生一對SAS的全等三角形，得到對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．3．兩個重要總結(jié)：（1）倍長中線不重要，重要的是倍長過中點的線．如圖，在三角形ABC中，M點為BC的中點，N點為AC上任意一點，則延長NM到點T，使TM=NM，連接BT．（2）倍長中線后，連接哪個點不重要，重要的是構(gòu)造二次全等．我們在小學(xué)已經(jīng)學(xué)過，有兩條邊相等的三角形的是等腰三角形，等腰三角形中有條重要的性質(zhì)：等邊對等角，等角對等邊．（1）已知：如圖1，在△ABC中，AB=AC，求證：∠B=∠C．（2）已知：如圖2，在△ABC中，∠B=∠C，求證：AB=AC．                      圖1                                          圖2 【解析】（1）作AD垂直BC于點D，則(HL)，∴∠B=∠C．（2）作AD垂直BC于點D，則(AAS)，∴AB=AC．【教師備課提示】通過這道題可以講解輔助線的作用．
 （1）如圖1-1，已知，，，求證：． （2）如圖1-2，，，，點F是CD的中點．求證：．          　　　　　     圖1-1                                   圖1-2 【解析】（1）連接CD，和中，，（2）連接AC、AD，，，，，， 點F是CD的中點，，，，，，．【教師備課提示】這道題主要講解基本輔助線——連接兩點．在凸五邊形中，，，，M為CD中點．求證：．       【解析】延長AB，AE，交直線CD于F，G．∵，∴．∵，∴．∴在與中∴，∴．，∴，∵，∴，∴在與中∴，∴，∴．【教師備課提示】這道題主要講解基本輔助線——作延長線．如圖，平面上有一邊長為2的正方形ABCD，O為對角線的交點，正方形OEFG的頂點與O重合，OE、OG分別與正方形ABCD的邊交于M、N兩點．（1）如圖3-1，當(dāng)時，四邊形OMBN的面積為_______________；（2）如圖3-2，當(dāng)正方形OEFG繞點O旋轉(zhuǎn)時，四邊形OMBN的面積會發(fā)生變化嗎？試證明你的結(jié)論．圖3-1                                    圖3-2 【解析】（1）；（2）不會．解法一：過O點作于P，于Q，∵ABCD是正方形，O是對角線交點，∴，∵于P，于Q，∴，∴，∵OEFG是正方形，∴，∴，∴，∴．
解法二：連接OA、OB，∵ABCD是正方形，O是對角線交點，∴，，∵，∴，又，∴，∴．【教師備課提示】這道題主要講解基本輔助線——作垂線，當(dāng)然連接兩點也可以．如圖，中，，E在AB上，F在AC延長線上，且．求證：D是EF的中點． 【解析】解法一：過E點作EM//AC交BC于M．，，，，，，，，，在和中，，，，D是EF的中點．解法二：過F點作FN//AB交BC的延長線于N．，，，，，，在和中，，，，是EF的中點．解法三：分別過E、F作BC的垂線，垂足分別為G、H．，，，，，在和中，，，．在和中，，，，是EF的中點．【教師備課提示】這道題主要講解基本輔助線——作平行線．已知：中，，AM是中線．求證：．              【解析】如圖所示，延長AM到E，使，連接CE，利用SAS證得，∴，中，，∴，∴．【教師備課提示】這道題作為倍長中線的引入，梳理作法和過程．如圖，在中，AD平分，E、F分別在BD、AD上，，．求證：EF//AB．         【解析】延長AD到M，使，連接EM，在和中，∴，∴，，又，∴，∴，∴，∵AD平分，∴，∴，∴EF//AB．已知AD為的中線，在AB上有一點E，AC上有一點F，連接DE、DF，且，求證：．         【解析】延長FD到N，使，連接BN、EN．易證，∴，又∵，利用SAS證明，∴，在中，，∴．【教師備課提示】例6和7這兩道題主要講解倍長中線不重要，重要的是倍長過中點的線．在中，，CE是AB邊上的中線，延長AB到D，使．求證：．       【解析】延長CE到F，使，連接BF．∵CE是AB的中線，∴． 在和中，∴，∴，，∴在和中，∴，∴．在中，分別以AB、AC為邊長，向三角形的外側(cè)作正方形ABDE和正方形ACFG，M為BC中點，求證：（1）；（2）．          【解析】延長AM到N，使，連接NC，延長MA交EG于點P．在和中，∴，∴，，∴AB∥NC，∴，又∵，∴，在和中，∴，∴，，又∵，∴，∴．【教師備課提示】例8和例9這兩道題主要講解倍長中線后連接哪點不重要，重要的是構(gòu)造二次全等，例9可以看成婆羅摩笈多定理的應(yīng)用，請老師自行拓展．
  （1）如圖1-1，在四邊形ABCD中，，，求證：． （2）如圖1-2，，，求證：．     圖1-1                                 圖1-2 【解析】（1）連接BD，，，在和中，．（2）連接AB，在與中，．如圖2-1，已知中，，，把一塊含角的直角三角板DEF的直角頂點D放在AC的中點上（直角三角板的短直角邊為DE，長直角邊為DF），將直角三角板DEF繞D點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)．直線DE交直線AB于M，直線DF交直線BC于N．（1）在圖2-1中，①證明；②在這一旋轉(zhuǎn)過程中，直角三角板DEF與的重疊部分為四邊形DMBN，請說明四邊形DMBN的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明是如何變化的？若不發(fā)生變化，求出其面積；（2）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖2-2的位置，是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；（3）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖2-3的位置，是否仍然成立？請寫出結(jié)論，不用證明．圖2-1                    圖2-2                          圖2-3 【解析】（1）①在中，，．，．連接BD，．，．．．（另：也可證明）　　②四邊形DMBN的面積不發(fā)生變化；由①知：，∴．∴．（2）仍然成立，證明：連結(jié)DB．在中，∵，，∴，．∴．∴．∵，∴．∴．∴．（3）．（注意：作垂線也可以）
 在中，AD是BC邊上的中線．（1）求證：；（2）若，，求AD的取值范圍．       【解析】（1）延長AD到點E，使得，連接CE．∵AD是BC邊上的中線，∴，在和中，，∴，∴，在中，，即．（2）由（1）得，，即，得．如圖，已知在中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，延長BE交AC于F，，求證：．          【解析】延長AD到G，使，連接BG．∵，，，∴，∴．，又∵，∴，∴，∴，∴．如圖所示，，M是BE的中點，，．
求證：（1）；（2）．         【解析】如圖所示，延長AM到點F，使得，連接BF交AD，于點N，交CD于點O．設(shè)AM的延長線交DC于H，易得，則，，從而，．而，，故，從而，故，．而，故，亦即．

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初中數(shù)學(xué)人教版八年級上冊電子課本

12.2 三角形全等的判定

版本： 人教版

年級： 八年級上冊

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