數(shù)學九年級下冊28.2 解直角三角形及其應(yīng)用優(yōu)秀課件ppt

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1. 熟練掌握解直角三角形的方法；2. 能靈活運用解直角三角形相關(guān)知識解決與直角三角形有關(guān)的圖形計算問題，在解題過程中進一步體會數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、方程的數(shù)學思想，并從這些問題中歸納出常見的基本模型及解題思路。
解直角三角形的依據(jù)：(1) 三邊之間的關(guān)系： ；(2) 銳角之間的關(guān)系： ；(3) 邊角之間的關(guān)系：sinA= ，csA= ，tanA= .
a2 + b2 = c2
∠A+ ∠B = 90°
例3 2012年6月18日，“神舟”九號載人航天飛船與“天宮”一號目標飛行器成功實現(xiàn)交會對接.“神舟”九號與“天宮”一號的組合體在離地球表面 343 km 的圓形軌道上運行，如圖 ，當組合體運行到地球表面P點的正上方時，從中能直接看到的地球表面最遠的點在什么位置？最遠點與P點的距離是多少(地球半徑約為6 400 km，π取 3.142，結(jié)果取整數(shù))？
一.圓和解直角三角形的綜合運用
分析：從組合體中能直接看到的地球表面最遠點，是視線與地球相切時的切點。
由此可知，當組合體在P點正上方時，從中觀測地球表面時的最遠點距離P點約2 051km.
(2) 如圖，過C作CF⊥OB，CM垂直于地面，則CM=DF，在Rt△COF中，∠COF=55°，OC=OB=3m，∴ OF=OC·cs55° ≈ 3×0.57= 1.71(m)，∴ CM=DF=OB+0.6－OF=3+0.6－1.71 ≈ 1.9(m).∵1.9 ＜2，∴此人安全.
2.如圖是一個勻速旋轉(zhuǎn)的摩天輪示意圖，O為圓心，AB為水平地面，假設(shè)摩天輪的直徑為80m，最低點C離地面6m，旋轉(zhuǎn)一周所用的時間為6min，小明從點C乘坐摩天輪(身高忽略不計)，請問：經(jīng)過2min后，小明離地面的高度是多少米?
解：如圖，從點C乘坐摩天輪，經(jīng)過2min后到達點E，則∠COE=120°，延長CO與與圓交于點F，作EG⊥OF于點G，則∠GOE=60°.在Rt△EOG中，OG=40cs60°=20，∴小明2min后離開地面高度DG=DC+CO+OG=66(m).
在視線與水平線所成的角中：視線在水平線上方時，視線與水平線所成的角叫仰角；視線在水平線下方時，視線與水平線所成的角叫俯角.
【練習】如圖，∠BCA=∠DEB=90°，F(xiàn)B∥ AC∥ DE.
從A看B： .
從B看A： .
從B看D： .
從D看B： .
例4 熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟樓頂部的仰角為 30°，看這棟樓底部的俯角為 60°，熱氣球與樓的水平距離為 120 m，這棟樓有多高(結(jié)果取整數(shù))？分析：根據(jù)仰角和俯角的定義，在圖中，α= ，β= .
你能將本題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題并求解嗎？
在Rt△ABD 中， α =30°，AD=120，所以可以利用解直角三角形的知識求出BD；類似地可以求出 CD，進而求出 BC.
1.如圖，為了測量樓的高度，自樓的頂部A看地面上的一點B，俯角為 30°，已知地面上的這點與樓的水平距離 BC 為 30m，那么樓的高度AC為 m(結(jié)果保留根號).
1.如圖，建筑物 BC 上有一旗桿AB，從與 BC 相距 40 m的D處觀測旗桿頂部A的仰角為 50°，觀測旗桿底部 B的仰角為 45°，求旗桿的高度(結(jié)果保留小數(shù)點后一位).
2.如圖，沿 AC 方向開山修路，為了加快施工進度，要在小山的另一邊同時施工，從 AC 上的一點B取∠ABD=140°，BD=520m，∠D=50°.那么另一邊開挖點E離D 多遠正好使A，C，E三點在一直線上(結(jié)果保留小數(shù)點后一位)?
方位角：以正南或正北方向為準，正南或正北方向線與目標方向線構(gòu)成的小于90°的角，叫做方位角.
你知道圖中點A、點B在方位角的位置嗎？點A在點O的北偏東30°方向.點B在點O的南偏西30°方向.
例5 如圖 ，一艘海輪位于燈塔P的北偏東 65°方向，距離燈塔 80 n mile 的 A 處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東 34°方向上的 B 處.這時，B 處距離燈塔P 有多遠(結(jié)果取整數(shù))？
【解析】分析：根據(jù)題意求出 BC 的長和∠ABC=45°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可.由題意得，BC=25×1=25 海里，∠DBC=30°，∠DBA=75°，則∠ABC=45°，∠BCE=30°，∴∠ACB=90°，∴CA=CB=25 海里.故選：C.
【解析】分析：如圖，直角△ACD 和直角△ ABD 有公共邊 AD，在兩個直角三角形中，利用三角函數(shù)即可用 AD表示出 CD 與 BD，根據(jù) CB=BD-CD 即可列方程，從而求得 AD 的長，與 170 海里比較，確定輪船繼續(xù)向前行駛，有無觸礁危險。
我們經(jīng)常說某某山的坡度很陡，那么坡度究竟是指什么呢？
你能根據(jù)圖示給出坡度的定義嗎?
坡度：坡度是地表單元陡緩的程度，通常把坡面的垂直高度h和水平距離l的比叫做坡度(或叫做坡比)用字母i表示.
1. 坡度不是角的度數(shù)，它是坡角的正切值； 2. 坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.
例6 如圖，一山坡的坡度為 i=1:2，小剛從山腳 A出發(fā)，沿山坡向上走了 240 m 到達點 C.這座山坡的坡角約是多少度？小剛上升了約多少米？(角度精確到 0.01，長度精確到0.1 m)
1.如圖是一座人行天橋的示意圖，已知天橋的高度 CD=6米，坡面 BC 的傾斜角∠CBD=45°，距B點8米處有一建筑物NM，為了方便行人推自行車過天橋，市政府決定降低坡面 BC 的坡度，把傾斜角由45°減至 30°，即使得新坡面 AC 的傾斜角為∠CAD=30°.(1)求新坡面 AC 的長度；(2)試求新坡面底部點A到建筑物MN 的距離.
解：分別作 AM⊥BC 于點 M，DN⊥BC 于點 N，根據(jù)題意，可知AM=DN=18米，AD∥MN，∴∠AMN=∠MND=∠MAD=90°，∴四邊形AMND是矩形，∴MN=AD=6米，
1.如圖，海中有一個小島A，它周圍8海里內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在B點測得小島A 在北偏東 60°方向上，航行12海里到達D點，這時測得小島 A 在北偏東 30°方向上，如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，有沒有觸礁的危險？
如圖所示，過D作DM//BN，過A作AC⊥BD于點C，則AC的長是A到BD的最短距離.由圖可知BN//DM//AC，∠ABN=60°，∠ADM=30°，AD=12，∴∠CAD=∠ADM=30°，∠CAB= ∠ ABN =60°， ∴ ∠BAD =60°-30°= 30°， ∠ABD =90°-60°= 30°， ∴ ∠ABD=∠BAD， ∴ BD=AD =12(海里)，
2.如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD，AF=DE=6 m.斜面坡度i=1:1.5是指坡面的鉛直高度 AF 與水平寬度 BF 的比，斜面坡度i=1∶3 是指 DE 與 CE的比，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求：(1)坡角α和β的度數(shù)； (2)斜坡AB的長(結(jié)果保留小數(shù)點后一位).
1.如圖1，某超市從一樓到二樓有一自動扶梯，圖2是側(cè)面示意圖.已知自動扶梯 AB 的坡度為 1: 2.4，AB的長度是 13米，MN是二樓樓頂，MN∥PQ，C是MN 上處在自動扶梯頂端B點正上方的一點，BC ⊥ MN，在自動扶梯底端A處測得 C點的仰角為 42°，則二樓的層高 BC 約為(精確到 0.1米，sin42°≈0.67，tan42°≈0.90)( )A.10.8米 B.8.9米 C.8.0米 D.5.8米【解析】分析：延長 CB 交PQ于點 D，根據(jù)坡度的定義即可求得 BD 的長，然后在直角△CDA 中利用三角函數(shù)即可求得 CD 的長，則即可得到BC.
【解析】如圖，以點 A為圓心，取 AB=AD=200 米為半徑，過點A作AC⊥MN， ∵ ∠QON=30°，OA=240米， ∴ AC=120米，當火車到 B點時開始對A處產(chǎn)生噪音影響，到點 D時結(jié)束影響，此時 AB=200 米， ∵ AB=200米，AC=120米， ∴由勾股定理得：BC=160米， ∴ BD=2BC=320米， ∵ 72千米/小時=20 米/秒，∴影響時間應(yīng)是 320 ÷ 20=16(秒)，故選 B.
解：在Rt△BCD中，BD＝9米，∠BCD＝45°，∴BD＝CD＝9米．在Rt△ACD中，CD＝9米，∠ACD＝37°，∴AD＝CD·tan37°≈9×0.75＝6.75(米)，AB＝AD＋BD＝15.75(米)，整個過程中旗子上升高度是15.75－2.25＝13.5(米)，∴國旗上升的速度為13.5÷45=0.3(m/s).
3.如圖，小東在教學樓距地面9米高的窗口C處，測得正前方旗桿頂部A點的仰角為37°，旗桿底部B點俯角為45°，升旗時，國旗上端懸掛在距地面2.25米處，若國旗隨國歌聲冉冉升起，并在國歌播放45秒結(jié)束時到達旗桿頂端，則國旗應(yīng)以多少米/秒的速度勻速上升？(參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75)
4.某水庫大壩的橫截面是如圖所示的四邊形ABCD，其中AB∥CD，大壩頂上有一瞭望臺PC，PC正前方有兩艘漁船M，N.觀察員在瞭望臺頂端 P處觀測到漁船M的俯角α為 31°，漁船 N的俯角β為 45°，已知MN所在直線與 PC所在直線垂直，垂足為E，且PE長為 30米.(1)求兩漁船M，N之間的距離(結(jié)果精確到1米)；(2)已知壩高 24 米，壩長 100 米，背水坡 AD 的坡度i= 1:0.25，為提高大壩防洪能力，請施工隊將大壩的背水坡通過填筑土石方進行加固，壩底 BA加寬后變?yōu)?BH，加固后背水坡 DH的坡度i=1:1.75，完成這項工程需填筑土石方多少立方米？(參考數(shù)據(jù):tan31°≈ 0.60，sin31°≈ 0.52)
5. 如圖，線段 EF與MN表示某一段河的兩岸，EF平行MN.綜合實踐課上，同學們需要在河岸MN上測量這段河的寬度(EF與MN之間的距離)，已知河對岸EF 上有建筑物C、D，且 CD=30米，同學們首先在河岸 MN上選取點 A處，用測角儀測得C建筑物位于A北偏東 45°方向，再沿河岸走 10 米到達 B處，測得 D建筑物位于B北偏東55°方向，請你根據(jù)所測數(shù)據(jù)求出該段河的寬度.(用非特殊角的三角函數(shù)或根式表示即可)
【分析】首先構(gòu)造直角三角形，作CP⊥MN、DQ⊥MN，垂足為P、Q，則四邊形 CPQD為矩形，CD=PQ=30，設(shè)河寬CP為x，利用∠CAP=45°，得出AP=x，則BP=x-10，根據(jù)∠BDQ的正弦列出方程，求出x即可表示出河寬. 解：如圖，過 C、D分別作CP ⊥ MN、DQ ⊥ MN，垂足為 P、Q.設(shè)河寬為x米，由題可知，∠CAN=45°，∠BDQ=55°， ∴ △ACP為等腰直角三角形， ∴ AP=CP=x，BP=x-10， ∵ MN∥EF， CP⊥MN、DQ ⊥ MN， ∴ ∠CPQ=∠PQD=∠PCD=∠CDQ=90°， ∴四邊形 CPQD 為矩形，
1.(2024·吉林·中考真題)圖①中的吉林省廣播電視塔，又稱“吉塔”.某直升飛機于空中A處探測到吉塔，此時飛行高度AB=873m，如圖②，從直升飛機上看塔尖C的俯角∠EAC=37°，看塔底D的俯角∠EAD=45°，求吉塔的高度CD(結(jié)果精確到0.1m).(參考數(shù)據(jù):sin37°=0.60，cs37°=0.80，tan 37°=0.75)
圓和解直角三角形的綜合運用
俯角、仰角的解直角三角形問題
在視線與水平線所成的角中：1.視線在水平線上方時，視線與水平線所成的角叫仰角；2.視線在水平線下方時，視線與水平線所成的角叫俯角.
一般情況下，直角三角形是求解或運用三角函數(shù)值的前提條件，故當題目中提供的并非直角三角形時，需添加輔助線構(gòu)造直角三角形，然后運用三角函數(shù)解決問題
方位角類型的解直角三角形問題
坡度類型的解直角三角形問題