【教學(xué)方案】
28.2.2應(yīng)用舉例
第1課時
第二十八章 銳角三角函數(shù)
28.2.2應(yīng)用舉例
第1課時
一、 教學(xué)目標
1.能夠把解直角三角形相關(guān)知識應(yīng)用到實際問題中；
2.能從實際問題中構(gòu)造直角三角形，把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，并能靈活選擇三角函數(shù)解決問題；
3.經(jīng)歷從實際問題到數(shù)學(xué)問題的思考，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想和分析問題、解決問題的能力；
4.體會數(shù)學(xué)在解決實際問題中的應(yīng)用，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)在測量方面和建筑方面應(yīng)用，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的廣泛作用.
二、 教學(xué)重難點
重點：能夠把解直角三角形相關(guān)知識應(yīng)用到實際問題中.
難點：靈活選擇三角函數(shù)解決問題.
三、教學(xué)用具
多媒體等.

四、教學(xué)過程設(shè)計
教學(xué)
環(huán)節(jié)
教師活動
學(xué)生活動
設(shè)計意圖
環(huán)節(jié)一
創(chuàng)設(shè)情景
【回顧】
教師活動：教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧前面所學(xué)知識，為下面做基礎(chǔ).
如圖，在Rt△ABC中，共有六個元素（三條邊，三個角）， 其中∠C=90°.
(1) 三邊之間的關(guān)系:a2+b2=__c2___；
(2) 銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=__90°___；
(3) 邊角之間的關(guān)系：sinA=_____，csA=_____，tanA=_____.
思考并配合老師回答問題
通過前面所學(xué)知識的復(fù)習(xí)，為后面解題做基礎(chǔ).
環(huán)節(jié)二探究新知
【探究】
2012年6月18日，“神舟”九號載人航天飛船與“天宮”一號目標飛行器成功實現(xiàn)交會對接. “神舟”九號與“天宮”一號的組合體在離地球表面343km的圓形軌道上運行. 如圖，當組合體運行到地球表面P點的正上方時，從中能直接看到的地球表面最遠的點在什么位置？最遠點與P點的距離是多少（地球半徑約為6 400km，π取3.142 ，結(jié)果取整數(shù)）？
問題1：這個實際問題可以抽象成數(shù)學(xué)圖形嗎 ？
可以抽象為以地球中心為圓心、地球半徑為半徑
的⊙O的有關(guān)問題.
問題2：當組合體運行到地球表面P點的正上方時，從中能直接看到的地球表面最遠的點在什么位置 ？
最遠點是視線與地球相切時的切點，
即點Q.
問題3：在圖中，最遠點與P點的距離可以用什么表示？
的長.
學(xué)生跟隨教師寫過程
經(jīng)歷從實際問題到數(shù)學(xué)問題的思考，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想和分析問題、解決問題的能力.
環(huán)節(jié)三應(yīng)用新知
【典型例題】
例1：
2012年6月18日，“神舟”九號載人航天飛船與“天宮”一號目標飛行器成功實現(xiàn)交會對接. “神舟”九號與“天宮”一號的組合體在離地球表面343km的圓形軌道上運行. 如圖，當組合體運行到地球表面P點的正上方時，從中能直接看到的地球表面最遠的點在什么位置？最遠點與P點的距離是多少（地球半徑約為6 400km，π取3.142 ，結(jié)果取整數(shù)）？
解：設(shè)∠FOQ =α，F(xiàn)Q是⊙O切線，△FOQ是直角三角形．
∴ 的長為
當組合體在P點正上方時，從中觀測地球表面時的最遠點距離P點約2051km.
【歸納】
一般情況下，直角三角形是求解或運用三角函數(shù)值的前提條件，故當題目中提供的并非直角三角形時，需添加輔助線構(gòu)造直角三角形，然后運用三角函數(shù)解決問題．
解直角三角形的應(yīng)用：
(1)將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題(畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題)；
(2)根據(jù)條件的特點，適當選用銳角三角函數(shù)等知識去解直角三角形；
(3)得到數(shù)學(xué)問題答案；
(4)得到實際問題答案.
例2：
熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟樓頂部的仰角為30°，看這棟樓底部的俯角為60°，熱氣球與樓的水平距離為120m，這棟樓有多高（結(jié)果取整數(shù)）？
【回顧】
在測量中，我們把在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫做仰角，視線在水平線下方的叫做俯角.
分析：
在圖中，α=30°，β=60°.
在Rt△ABD中，α =30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知識求出BD；類似地可以求出CD，進而求出BC．
解：如圖，α = 30° ， β= 60°，AD＝120．


答：這棟樓高約為277m.
【歸納】
解決與仰角、俯角有關(guān)的實際問題的方法：
根據(jù)仰角、俯角的定義畫出水平線、視線，找準仰角、俯角，結(jié)合題意，從實際問題情境中抽象出含仰角或俯角的直角三角形，然后利用解直角三角形使問題獲解.
集體回答
通過例題，規(guī)范學(xué)生對解題步驟的書寫，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的嚴謹性.
環(huán)節(jié)四
鞏固新知
【隨堂練習(xí)】
教師活動：通過Pk作答的形式，讓學(xué)生獨立思考，再由老師帶領(lǐng)整理思路過程.
練習(xí)1
如圖，某地修建高速公路，要從A地向B地修一條隧道（點A、B在同一水平面上）．為了測量A、B兩地之間的距離，一架直升飛機從A地出發(fā)，垂直上升800米到達C處，在C處觀察B地的俯角為α，則A、B兩地之間的距離為( )
A. 800sinα米 B. 800tanα米
C．米 D．米
答案：D
練習(xí)2
如圖，要測量B點到河岸AD的距離，在A點測得∠BAD=30°，在C點測得∠BCD=60°，又測得AC=100米，則B點到河岸AD的距離為( )
A. 100米 B. 米
C. 米 D.50米
答案：B
Pk作答
進一步鞏固本節(jié)課的內(nèi)容. 了解學(xué)習(xí)效果，讓學(xué)生經(jīng)歷運用知識解決問題的過程，給學(xué)生獲得成功體驗的空間.
環(huán)節(jié)五
課堂小結(jié)
以思維導(dǎo)圖的形式呈現(xiàn)本節(jié)課所講解的內(nèi)容.
回顧本節(jié)課所講的內(nèi)容
通過小結(jié)讓學(xué)生進一步熟悉鞏固本節(jié)課所學(xué)的知識.
環(huán)節(jié)六
布置作業(yè)
鞏固例題練習(xí)
教科書第76頁練習(xí)1、2.
課后完成練習(xí)
通過課后作業(yè)，教師能及時了解學(xué)生對本節(jié)課知識的掌握情況，以便對教學(xué)進度和方法進行適當?shù)恼{(diào)整.

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28.2 解直角三角形及其應(yīng)用

版本： 人教版（2024）

年級： 九年級下冊

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