1、實(shí)數(shù)的概念和實(shí)數(shù)的分類；
2、實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的關(guān)系。
3、掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算律。
4、了解近似數(shù)及估算。
【教學(xué)重難點(diǎn)】
1、實(shí)數(shù)的分類；
2、實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的關(guān)系。
3、掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算律。
【知識(shí)亮解】
知識(shí)點(diǎn)一：實(shí)數(shù)（1）有理數(shù)的定義：任何有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù)。
（2）無(wú)理數(shù)的定義：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫無(wú)理數(shù)。
（3）實(shí)數(shù)的定義：有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。
1. 實(shí)數(shù)的分類
（4）實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的關(guān)系：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)就是一一對(duì)應(yīng)的，即每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示；反過(guò)來(lái)，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都是表示一個(gè)實(shí)數(shù)。對(duì)于數(shù)軸上的任意兩個(gè)點(diǎn)，右邊的點(diǎn)所表示的實(shí)數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)大。
2. 無(wú)理數(shù)的概念
無(wú)限不循環(huán)小數(shù)稱為無(wú)理數(shù)。
人們已經(jīng)證明是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，它的值為1.414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7…
，，，，，等都是無(wú)理數(shù)。
亮題一：實(shí)數(shù)的分類
【例1】★在3.14、、、、、2π、0.2020020002這六個(gè)數(shù)中，無(wú)理數(shù)有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【例2】★把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合內(nèi)：
…
有理數(shù)集合
…
無(wú)理數(shù)集合
，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相鄰兩個(gè)3之間7的個(gè)數(shù)逐次增加1）
亮題二：實(shí)數(shù)與數(shù)軸
【例3】★如圖，正方形OABC的邊OC落在數(shù)軸上，點(diǎn)C表示的數(shù)為1，點(diǎn)P表示的數(shù)為﹣1，以P點(diǎn)為圓心，PB長(zhǎng)為半徑作圓弧與數(shù)軸交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D表示的數(shù)為（ ）
A．B．C．D．﹣1
【例4】★★如圖1，紙上有五個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的圖形紙，我們可以把它剪開拼成一個(gè)正方形．
（1）拼成的正方形的邊長(zhǎng)為 ．
（2）如圖2，以數(shù)軸的單位長(zhǎng)度的線段為邊作一個(gè)直角三角形，以數(shù)軸上表示的﹣1點(diǎn)為圓心，直角三角形的最大邊為半徑畫弧，交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)A，那么點(diǎn)A表示的數(shù)是 ．
（3）如圖3，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，若能把陰影部分剪拼成一個(gè)新的正方形，求新的正方形的面積和邊長(zhǎng)．
【例5】★★在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，我們發(fā)現(xiàn)了一些有趣的現(xiàn)象，可以用圖形來(lái)解決一些數(shù)的問(wèn)題現(xiàn)象一：如圖（1）所示，5×5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．
（1）請(qǐng)求出圖中陰影部分正方形的面積和邊長(zhǎng)，并用直尺和圓規(guī)把邊長(zhǎng)表示的數(shù)在數(shù)軸上表示出來(lái)．
現(xiàn)象二：為求…的值，設(shè)計(jì)了如圖（2）所示的幾何圖形．
（2）請(qǐng)你利用這個(gè)幾何圖形求…的值為 ．（結(jié)果保留n）
請(qǐng)你利用圖（2）再設(shè)計(jì)一個(gè)能求…的值的幾何圖形．
知識(shí)點(diǎn)二：實(shí)數(shù)的大小比較
1、實(shí)數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和絕對(duì)值
（1）相反數(shù)
實(shí)數(shù)與它的相反數(shù)是一對(duì)數(shù)（只有符號(hào)不同絕對(duì)值相同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零），從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
（2）絕對(duì)值
一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，|a|≥0。正數(shù)的絕對(duì)值等于它本身；負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)；零的絕對(duì)值既可以看成是它本身，也可看成它的相反數(shù)。正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小。
（3）倒數(shù)
如果ab=1，則a與b互為倒數(shù)，反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1。零沒(méi)有倒數(shù)。
2、數(shù)軸和實(shí)數(shù)大小比較
規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸（畫數(shù)軸時(shí)，要注意上述規(guī)定的三要素缺一不可）。
比較大小時(shí)要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，理解實(shí)數(shù)與數(shù)軸的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，并能靈活運(yùn)用。
（1）數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。
（2）求差比較：設(shè)a、b是實(shí)數(shù)，

（3）求商比較法：設(shè)a、b是兩正實(shí)數(shù)
（4）絕對(duì)值比較法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù)，則。
（5）平方法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù)，則。
亮題三：實(shí)數(shù)比較大小
【方法點(diǎn)撥】實(shí)數(shù)大小比較常見(jiàn)方法有：倒數(shù)法、作差法、作商法、放縮法、兩邊平方法等等.
題模一：作差法
【例6】★比較與的大?。?br>題模二：作商法
【例7】★比較與的大?。?br>題模三：倒數(shù)法
【例8】★比較與的大?。?br>題模四：平方法
【例9】★比較與的大?。?br>題模五：特殊值法
【例10】★若0＜x＜1，則x，x2，x3的大小關(guān)系是____
A．x＜x2＜x3 B．x＜x3＜x2 C．x3＜x2＜x D．x2＜x3＜x
知識(shí)點(diǎn)三：實(shí)數(shù)的運(yùn)算
1、加法交換律
2、加法結(jié)合律
3、乘法交換律
4、乘法結(jié)合律
5、乘法對(duì)加法的分配律
6、實(shí)數(shù)混合運(yùn)算時(shí)，對(duì)于運(yùn)算順序有什么規(guī)定？
實(shí)數(shù)混合運(yùn)算時(shí)，將運(yùn)算分為三級(jí)，加減為一級(jí)運(yùn)算，乘除為二級(jí)運(yùn)算，乘方為三級(jí)運(yùn)算。同級(jí)運(yùn)算時(shí)，從左到右依次進(jìn)行；不是同級(jí)的混合運(yùn)算，先算乘方，再算乘除，而后才算加減；運(yùn)算中如有括號(hào)時(shí)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)的順序進(jìn)行。
7、有理數(shù)除法運(yùn)算法則就什么？
有理數(shù)除法運(yùn)算法則可用兩種方式來(lái)表述：第一，除以一個(gè)不等于零的數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)；第二，兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。零除以任何一個(gè)不為零的數(shù)，商都是零。
8、什么叫有理數(shù)的乘方？?jī)纾康讛?shù)？指數(shù)？
相同因數(shù)相乘的積的運(yùn)算叫乘方，乘方結(jié)果叫冪，相同因數(shù)的個(gè)數(shù)叫指數(shù)，這個(gè)因數(shù)叫底數(shù)。記作: an
9、有理數(shù)乘方運(yùn)算的法則是什么？
負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)。正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)。零的任何正整數(shù)冪都是零。
10、加括號(hào)和去括號(hào)時(shí)各項(xiàng)的符號(hào)的變化規(guī)律是什么？
去（加）括號(hào)時(shí)如果括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去（加）括號(hào)后式子各項(xiàng)的符號(hào)與原括號(hào)內(nèi)的式子相應(yīng)各項(xiàng)的符號(hào)相同；括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)去（加）括號(hào)后式子各項(xiàng)的符號(hào)與原括號(hào)內(nèi)式子相應(yīng)各項(xiàng)的符號(hào)相反。
亮題四：實(shí)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)
【例11】★計(jì)算：．
【例12】★a，b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，x的絕對(duì)值為，求代數(shù)式﹣x2+cdx﹣的值．
【例13】★已知a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，m的算術(shù)平方根等于它本身，p是平方根等于本身的實(shí)數(shù)，求p2019+m2的值．
【例14】★實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)A、B的位置如圖，化簡(jiǎn)：|a+b|﹣﹣．
知識(shí)點(diǎn)四：近似數(shù)
1. 取一個(gè)數(shù)的近似數(shù)有多種方法,四舍五入 是最常用的一種方法
例如:圓周率π=3.1415926﹍
若精確到個(gè)位 (或精確到1),則π ≈3
若精確到十分位 (或精確到0.1),則π ≈3.1
若精確到百分位 (或精確到0.1),則π ≈3.14
若精確到千分位 (或精確到0.1),則π ≈3.142
π若精確到十分位 ,則π ≈3.1
也可以說(shuō)成: π保留2個(gè)有效數(shù)字:3、1
2.有效數(shù)字定義:
對(duì)一個(gè)近似數(shù)，從左面第一個(gè)不是零的數(shù)字起，到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都稱為這個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)字。
例 如 ：3.14有3個(gè)有效數(shù)字,分別是3、1、4；0.010320有 5 個(gè)有效數(shù)字,分別是1、0、3、2、0.
亮題五：近似數(shù)及估算
【例15】★用四舍五入法，按括號(hào)中的要求把下列各數(shù)取近似數(shù).
(1)0.0198 (精確到0.001)； (2)0.34082(精確到千分位)；
(3)64.49 (精確到個(gè)位)； （4）（精確到0.01）；
【例16】★測(cè)得某同學(xué)的身高約是1.66米，那么意味著他身高的精確值x所在范圍是___________________．
【例17】★已知2a－1的算術(shù)平方根是3，3a＋b－1的算術(shù)平方根是4，c是 的整數(shù)部分，求a＋2b－c的平方根.
【例18】★★★閱讀材料：
學(xué)習(xí)了無(wú)理數(shù)后，某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次探究活動(dòng)：估算的近似值.
小明的方法：
∵，設(shè)（）.∴.
∴.∴.解得 .∴.
問(wèn)題：（1）請(qǐng)你依照小明的方法，估算的近似值；
（2）請(qǐng)結(jié)合上述具體實(shí)例，概括出估算的公式：已知非負(fù)整數(shù)、、，若，且，則__________(用含、的代數(shù)式表示)；
（3）請(qǐng)用（2）中的結(jié)論估算的近似值.
【亮點(diǎn)訓(xùn)練】
1．如圖，若數(shù)軸上的點(diǎn)A，B，C，D表示數(shù)，1，2，3，則表示數(shù)的點(diǎn)應(yīng)在（ ）
A．A，O之間B．B，C之間C．C，D之間D．O，B之間
2．如圖是小剛同學(xué)完成的作業(yè)，每題20分，他的得分是（ ）
A．20分B．40分C．60分D．80分
3．滿足的整數(shù)x的個(gè)數(shù)是（ ）
A．4個(gè)B．5個(gè)C．6個(gè)D．7個(gè)
4．已知a，b分別是6+的整數(shù)部分和小數(shù)部分，則a+3b＝（ ）
A．12B．13C．D．3
5．已知，，，，，，，…，請(qǐng)你推測(cè)的個(gè)位數(shù)字是（ ）
A．B．C．D．
6．如圖，，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)，在邊上，，若，則（ ）
A．3.5B．3C．2.5D．2
7．比較大?。孩賍_____；②______．
8．若a和b為兩個(gè)連續(xù)整數(shù)，且a＜﹣＜b，則a﹣b值是 _____．
9．已知的小數(shù)部分為m，的小數(shù)部分為n，則=___________.
10．如果x為的小數(shù)部分，那么代數(shù)式的值為______．
11．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算“?”：，例如：．若，且，則的值是______．
12．對(duì)于正整數(shù)k定義一種運(yùn)算：f（k）=例：f（2）=-，表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例：［3.7］=3，［-1.5］=-2. ①f（2）=0；②f（k）=0或1；③f（k＋1）≥f（k）；④f（k＋4）=f（k），則正確的結(jié)論有____________（請(qǐng)?zhí)顚懶蛱?hào)）.
13．（1）計(jì)算：
（2）已知的算術(shù)平方根是，的平方根是，是的整數(shù)部分，求的平方根．
14．已知的算術(shù)平方根是3，的立方根是2，是的整數(shù)部分，求的平方根．
15．【概念學(xué)習(xí)】規(guī)定：求若干個(gè)相同的有理數(shù)（均不等0）的除法運(yùn)算叫做除方，如，等，類比有理數(shù)的乘方，我們把記作讀作“2的圈3次方”，記作讀作“的圈4次方”，一般地，把記作，讀作“的圈次方”．
【初步探究】
(1)直接寫出計(jì)算結(jié)果：__________，__________．
(2)關(guān)于除方，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．任何非零數(shù)的圈2次方都等于1
B．對(duì)于任何正整數(shù)，
C．
D．負(fù)數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù)
【深入思考】我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，有理數(shù)的除方運(yùn)算如何轉(zhuǎn)化為乘方運(yùn)算呢？．
(3)試一試：仿照上面的算式，將下列運(yùn)算結(jié)果直接寫成冪的形式__________
(4)想一想：將一個(gè)非零有理數(shù)的圈次方寫成冪的形式=__________
(5)算一算：；
【培優(yōu)檢測(cè)】
1．估計(jì)的值應(yīng)在（ ）
A．3和4之間B．4和5之間C．5和6之間D．6和7之間
2．有下列說(shuō)法：①實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)；②不含根號(hào)的數(shù)一定是有理數(shù)；③負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根；④是17的平方根．其中正確的有（ ）
A．3個(gè)B．2個(gè)C．1個(gè)D．0個(gè)
3．有一列數(shù)按如下規(guī)律排列：，，，，，…則第10個(gè)數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
4．求的值，可令，則，因此2S﹣S＝22017﹣1，S＝22017﹣1.參照以上推理，計(jì)算的值為（ ）
A．42020﹣1B．42020﹣4C．D．
5．若干個(gè)數(shù)，第一個(gè)數(shù)記為，規(guī)定運(yùn)算：，，，，…，按上述方法計(jì)算：當(dāng)時(shí)，的值等于（ ）
A．B．C．D．3
6．計(jì)算________．
7．設(shè)的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，求8ab-8的立方根為________．
8．對(duì)，定義一種新運(yùn)算“”，規(guī)定：（其中 ， 均為非零常數(shù)），若 ，．則 的值是____．
9．取整函數(shù)就是f(x)=[x]，也被稱為高斯函數(shù)，記號(hào)[x]表示不大于x的最大整數(shù)，例如：[2.3]=2，[﹣4.7]=﹣5，若S=1＋，則[S]=______．
10．定義新運(yùn)算“△”：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b都有．
（1）若的值不大于3，則x的取值范圍是________；
（2）若的值大于3且小于9，則m的整數(shù)值是_______．
11．計(jì)算：
(1)；
(2)．
12．對(duì)于任意有理數(shù)a，b，定義一種新的運(yùn)算“*”：a*b=2ab－3，如2*3=2×2×3－3=9．
(1)求（－2）*3的值
(2)求（－3）*（2*4）的值
13．如圖所示的是一個(gè)無(wú)理數(shù)篩選器的工作流程圖，根據(jù)下面敘述回答相關(guān)問(wèn)題．
(1)當(dāng)x為8時(shí)，y的值為______．
(2)當(dāng)輸出的y值是時(shí)，輸入的x值唯一嗎？若不唯一，請(qǐng)寫出其中兩個(gè)輸入的x值．
(3)是否存在輸入某個(gè)x值后，卻始終輸不出y值？如果存在，寫出所有滿足要求的x值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
14．閱讀材料：小明對(duì)不等式的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行了自主學(xué)習(xí)，他發(fā)現(xiàn)，對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a和b比較大小，有如下規(guī)律：若，則；若，則；若，則，上面的規(guī)律，反過(guò)來(lái)也成立．課上，通過(guò)老師和其他同學(xué)的交流，驗(yàn)證了上面的規(guī)律是正確的．參考小明發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解決問(wèn)題：
(1)比較大?。? ___________＋； （填“＜”，“=”或“>"）
(2)已知，且，若，， 試比較A和B的大小.
15．我們已經(jīng)學(xué)過(guò)完全平方公式，知道所有的非負(fù)數(shù)都可以看作是一個(gè)數(shù)的平方，如，我們可以利用這種思想方法和完全平方公式計(jì)算下面的題.
例如：求3－2的算術(shù)平方根.
解：
∴3－2的算術(shù)平方根是－1
回答下面的問(wèn)題：
(1).
(2)
(3)
判斷.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）
①的平方根是5；（√） ②算術(shù)平方根等于它本身的有0，1，；（×）
③64的立方根是；（×） ④估計(jì)的值在2到3之間.（√）

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初中數(shù)學(xué)蘇科版（2024）八年級(jí)上冊(cè)電子課本 舊教材

4.3 實(shí)數(shù)

版本： 蘇科版（2024）

年級(jí)： 八年級(jí)上冊(cè)

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