【教學(xué)目標(biāo)】
1、實(shí)數(shù)的概念和實(shí)數(shù)的分類；
2、實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的關(guān)系。
3、掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算律。
4、了解近似數(shù)及估算。
【教學(xué)重難點(diǎn)】
1、實(shí)數(shù)的分類；
2、實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的關(guān)系。
3、掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算律。
【知識(shí)亮解】
知識(shí)點(diǎn)一：實(shí)數(shù)（1）有理數(shù)的定義：任何有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù)。
（2）無(wú)理數(shù)的定義：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫無(wú)理數(shù)。
（3）實(shí)數(shù)的定義：有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。
1. 實(shí)數(shù)的分類
（4）實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的關(guān)系：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)就是一一對(duì)應(yīng)的，即每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示；反過(guò)來(lái)，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都是表示一個(gè)實(shí)數(shù)。對(duì)于數(shù)軸上的任意兩個(gè)點(diǎn)，右邊的點(diǎn)所表示的實(shí)數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)大。
2. 無(wú)理數(shù)的概念
無(wú)限不循環(huán)小數(shù)稱為無(wú)理數(shù)。
人們已經(jīng)證明是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，它的值為1.414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7…
，，，，，等都是無(wú)理數(shù)。
亮題一：實(shí)數(shù)的分類
【例1】★在3.14、、、、、2π、0.2020020002這六個(gè)數(shù)中，無(wú)理數(shù)有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【解析】、、2π是無(wú)理數(shù)，無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)是3，故選：C．
【例2】★把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合內(nèi)：
…
有理數(shù)集合
…
無(wú)理數(shù)集合
，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相鄰兩個(gè)3之間7的個(gè)數(shù)逐次增加1）
【解析】有理數(shù)有：， ，，，0，
無(wú)理數(shù)有：，，， ，，， 0.3737737773……
【總結(jié)升華】有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無(wú)限不循環(huán)小數(shù)又叫無(wú)理數(shù).
常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)有三種形式：①含類.②看似循環(huán)而實(shí)質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：0.3737737773……③帶有根號(hào)的數(shù)，但根號(hào)下的數(shù)字開方開不盡，如，， ，，.
亮題二：實(shí)數(shù)與數(shù)軸
【例3】★如圖，正方形OABC的邊OC落在數(shù)軸上，點(diǎn)C表示的數(shù)為1，點(diǎn)P表示的數(shù)為﹣1，以P點(diǎn)為圓心，PB長(zhǎng)為半徑作圓弧與數(shù)軸交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D表示的數(shù)為（ ）
A．B．C．D．﹣1
【分析】直接利用勾股定理得出PC的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案．
【答案】由題意可得：PC＝2，BC＝1，則在Rt△PCB中，PC2+BC2＝PB2，故PB＝，則PD＝，
故點(diǎn)D表示的數(shù)為：﹣1．故選：D．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理，正確得出PC的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．
【例4】★★如圖1，紙上有五個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的圖形紙，我們可以把它剪開拼成一個(gè)正方形．
（1）拼成的正方形的邊長(zhǎng)為 ．
（2）如圖2，以數(shù)軸的單位長(zhǎng)度的線段為邊作一個(gè)直角三角形，以數(shù)軸上表示的﹣1點(diǎn)為圓心，直角三角形的最大邊為半徑畫弧，交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)A，那么點(diǎn)A表示的數(shù)是 ．
（3）如圖3，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，若能把陰影部分剪拼成一個(gè)新的正方形，求新的正方形的面積和邊長(zhǎng)．
【分析】（1）設(shè)拼成的正方形的邊長(zhǎng)為a，根據(jù)總面積列方程可解答；
（2）根據(jù)勾股定理計(jì)算，并根據(jù)圓中半徑相等，結(jié)合數(shù)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)可解答；
（3）根據(jù)圖形求出陰影部分的面積，即為新正方形的面積，開方即可求出邊長(zhǎng)．
【解析】（1）設(shè)拼成的正方形的邊長(zhǎng)為a，則a2＝5，a＝，即拼成的正方形的邊長(zhǎng)為，故答案為：；
（2）由勾股定理得：＝，∴點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣1，故答案為：﹣1；
（3）根據(jù)圖形得：S陰影＝2×2×2×+2×2×＝4+2＝6，即新的正方形的面積為6，新正方形的邊長(zhǎng)為．
【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)、數(shù)軸、幾何圖形及算術(shù)平方根，熟練掌握算術(shù)平方根的定義是解本題的關(guān)鍵．
【例5】★★在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，我們發(fā)現(xiàn)了一些有趣的現(xiàn)象，可以用圖形來(lái)解決一些數(shù)的問(wèn)題現(xiàn)象一：如圖（1）所示，5×5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．
（1）請(qǐng)求出圖中陰影部分正方形的面積和邊長(zhǎng)，并用直尺和圓規(guī)把邊長(zhǎng)表示的數(shù)在數(shù)軸上表示出來(lái)．
現(xiàn)象二：為求…的值，設(shè)計(jì)了如圖（2）所示的幾何圖形．
（2）請(qǐng)你利用這個(gè)幾何圖形求…的值為 ．（結(jié)果保留n）
請(qǐng)你利用圖（2）再設(shè)計(jì)一個(gè)能求…的值的幾何圖形．
【分析】（1）根據(jù)陰影部分的面積等于正方形的面積減去四周四個(gè)小直角三角形的面積列式計(jì)算即可得解；再利用算術(shù)平方根的定義求出邊長(zhǎng)；利用勾股定理作出邊長(zhǎng)表示的無(wú)理數(shù)即可．
（2）設(shè)正方形的面積為1，每次劃分都是將原圖形化成兩個(gè)面積相等的圖象，當(dāng)化到第n個(gè)時(shí)，所剩的最小圖形的面積是，所以…表示的面積等于1﹣．在劃分圖形時(shí)每次劃分都是上一級(jí)圖形面積的一半．
【解析】（1）陰影部分面積＝5×5﹣4××1×4＝25﹣8＝17，陰影部分正方形的邊長(zhǎng)＝；
如圖所示：
（2）…＝1﹣，如圖所示．： 故答案為：1﹣．
【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變化類問(wèn)題，解答關(guān)鍵是利用圖形的面積表示所求表達(dá)式的值，在圖形劃分時(shí)每一次劃分都是上一級(jí)圖形面積的一半．
知識(shí)點(diǎn)二：實(shí)數(shù)的大小比較
1、實(shí)數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和絕對(duì)值
（1）相反數(shù)
實(shí)數(shù)與它的相反數(shù)是一對(duì)數(shù)（只有符號(hào)不同絕對(duì)值相同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零），從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
（2）絕對(duì)值
一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，|a|≥0。正數(shù)的絕對(duì)值等于它本身；負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)；零的絕對(duì)值既可以看成是它本身，也可看成它的相反數(shù)。正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小。
（3）倒數(shù)
如果ab=1，則a與b互為倒數(shù)，反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1。零沒(méi)有倒數(shù)。
2、數(shù)軸和實(shí)數(shù)大小比較
規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸（畫數(shù)軸時(shí)，要注意上述規(guī)定的三要素缺一不可）。
比較大小時(shí)要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，理解實(shí)數(shù)與數(shù)軸的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，并能靈活運(yùn)用。
（1）數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。
（2）求差比較：設(shè)a、b是實(shí)數(shù)，

（3）求商比較法：設(shè)a、b是兩正實(shí)數(shù)
（4）絕對(duì)值比較法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù)，則。
（5）平方法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù)，則。
亮題三：實(shí)數(shù)比較大小
【方法點(diǎn)撥】實(shí)數(shù)大小比較常見(jiàn)方法有：倒數(shù)法、作差法、作商法、放縮法、兩邊平方法等等.
題模一：作差法
【例6】★比較與的大小．
【答案】
【解析】．
題模二：作商法
【例7】★比較與的大?。?br>【答案】
【解析】
題模三：倒數(shù)法
【例8】★比較與的大?。?br>【答案】
【解析】分別取倒數(shù)可得，故．
題模四：平方法
【例9】★比較與的大?。?br>【答案】
【解析】，，，∴．
題模五：特殊值法
【例10】★若0＜x＜1，則x，x2，x3的大小關(guān)系是____
A．x＜x2＜x3 B．x＜x3＜x2 C．x3＜x2＜x D．x2＜x3＜x
【答案】C
【解析】首先根據(jù)條件給出符合條件的具體數(shù)值，然后根據(jù)負(fù)數(shù)小于一切正數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，兩個(gè)負(fù)數(shù)絕對(duì)值大的反而小即可解答．
∵0＜x＜1，∴假設(shè)x=，則x=，x2=，x3=，∵＜＜，∴x3＜x2＜x．故選C．
知識(shí)點(diǎn)三：實(shí)數(shù)的運(yùn)算
1、加法交換律
2、加法結(jié)合律
3、乘法交換律
4、乘法結(jié)合律
5、乘法對(duì)加法的分配律
6、實(shí)數(shù)混合運(yùn)算時(shí)，對(duì)于運(yùn)算順序有什么規(guī)定？
實(shí)數(shù)混合運(yùn)算時(shí)，將運(yùn)算分為三級(jí)，加減為一級(jí)運(yùn)算，乘除為二級(jí)運(yùn)算，乘方為三級(jí)運(yùn)算。同級(jí)運(yùn)算時(shí)，從左到右依次進(jìn)行；不是同級(jí)的混合運(yùn)算，先算乘方，再算乘除，而后才算加減；運(yùn)算中如有括號(hào)時(shí)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)的順序進(jìn)行。
7、有理數(shù)除法運(yùn)算法則就什么？
有理數(shù)除法運(yùn)算法則可用兩種方式來(lái)表述：第一，除以一個(gè)不等于零的數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)；第二，兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。零除以任何一個(gè)不為零的數(shù)，商都是零。
8、什么叫有理數(shù)的乘方？?jī)?？底?shù)？指數(shù)？
相同因數(shù)相乘的積的運(yùn)算叫乘方，乘方結(jié)果叫冪，相同因數(shù)的個(gè)數(shù)叫指數(shù)，這個(gè)因數(shù)叫底數(shù)。記作: an
9、有理數(shù)乘方運(yùn)算的法則是什么？
負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)。正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)。零的任何正整數(shù)冪都是零。
10、加括號(hào)和去括號(hào)時(shí)各項(xiàng)的符號(hào)的變化規(guī)律是什么？
去（加）括號(hào)時(shí)如果括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去（加）括號(hào)后式子各項(xiàng)的符號(hào)與原括號(hào)內(nèi)的式子相應(yīng)各項(xiàng)的符號(hào)相同；括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)去（加）括號(hào)后式子各項(xiàng)的符號(hào)與原括號(hào)內(nèi)式子相應(yīng)各項(xiàng)的符號(hào)相反。
亮題四：實(shí)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)
【例11】★計(jì)算：．
【分析】直接利用絕對(duì)值的性質(zhì)以及二次根式的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)得出答案．
【解析】原式＝﹣1+4×﹣3+π﹣3
＝﹣1+2﹣3+π﹣3
＝π﹣5．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵．
【例12】★a，b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，x的絕對(duì)值為，求代數(shù)式﹣x2+cdx﹣的值．
【分析】直接利用相反數(shù)以及互為倒數(shù)、絕對(duì)值的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)得出答案．
【解析】∵a，b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，x的絕對(duì)值為，∴a+b＝0，cd＝1，x＝±，
∴﹣x2+cdx﹣
＝0﹣5±﹣1
＝﹣6±．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．
【例13】★已知a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，m的算術(shù)平方根等于它本身，p是平方根等于本身的實(shí)數(shù)，求p2019+m2的值．
【分析】直接利用相反數(shù)以及倒數(shù)、算術(shù)平方根、平方根的定義分別代入化簡(jiǎn)得出答案．
【解析】∵a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，m的算術(shù)平方根等于它本身，p是平方根等于本身的實(shí)數(shù)，
∴a+b＝0，cd＝1，m＝0或1，p＝0，
當(dāng)m＝1時(shí)，∴p2019+m2＝0+1+0+1＝2；
當(dāng)m＝0時(shí)，∴p2019+m2＝0+1+0+0＝1．故答案為：1或2．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算以及平方根，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵．
【例14】★實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)A、B的位置如圖，化簡(jiǎn)：|a+b|﹣﹣．
【分析】根據(jù)數(shù)軸判斷出a、b的正負(fù)情況以及絕對(duì)值的大小，利用算術(shù)平方根和絕對(duì)值的性質(zhì)解答即可．
【解析】由圖可知，b＜0＜a，且|a|＜|b|，所以，a+b＜0，
所以，|a+b|﹣﹣
＝﹣a﹣b﹣a﹣（a﹣b）
＝﹣a﹣b﹣a﹣a+b
＝﹣3a．
【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，準(zhǔn)確識(shí)圖判斷出a、b的正負(fù)情況是解題的關(guān)鍵．
知識(shí)點(diǎn)四：近似數(shù)
1. 取一個(gè)數(shù)的近似數(shù)有多種方法,四舍五入 是最常用的一種方法
例如:圓周率π=3.1415926﹍
若精確到個(gè)位 (或精確到1),則π ≈3
若精確到十分位 (或精確到0.1),則π ≈3.1
若精確到百分位 (或精確到0.1),則π ≈3.14
若精確到千分位 (或精確到0.1),則π ≈3.142
π若精確到十分位 ,則π ≈3.1
也可以說(shuō)成: π保留2個(gè)有效數(shù)字:3、1
2.有效數(shù)字定義:
對(duì)一個(gè)近似數(shù)，從左面第一個(gè)不是零的數(shù)字起，到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都稱為這個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)字。
例 如 ：3.14有3個(gè)有效數(shù)字,分別是3、1、4；0.010320有 5 個(gè)有效數(shù)字,分別是1、0、3、2、0.
亮題五：近似數(shù)及估算
【例15】★用四舍五入法，按括號(hào)中的要求把下列各數(shù)取近似數(shù).
(1)0.0198 (精確到0.001)； (2)0.34082(精確到千分位)；
(3)64.49 (精確到個(gè)位)； （4）（精確到0.01）；
【解析】精確到哪一位，應(yīng)觀察它的下一位是進(jìn)還是舍.
（1）0.0198≈0.020； （2）0.34082≈0.341； （3）64.49≈64； （4）≈1.67
【總結(jié)升華】近似數(shù)末位的0不能隨便去掉，去掉了就會(huì)改變它的精確度.
【例16】★測(cè)得某同學(xué)的身高約是1.66米，那么意味著他身高的精確值x所在范圍是___________________．
【答案】
【解析】1.66是由四舍五入得到的數(shù)，若通過(guò)“入”得到1.66，則最小數(shù)應(yīng)是1.655，若通過(guò)“舍”得到1.66，則最大數(shù)不存在，但能判斷小于1.665，所以.
【總結(jié)升華】本類型題目的答案一般形式為：，“精確度”是用來(lái)說(shuō)明結(jié)果與實(shí)際數(shù)誤差大小的，如精確到表示結(jié)果與實(shí)際數(shù)字相差不大于.
【例17】★已知2a－1的算術(shù)平方根是3，3a＋b－1的算術(shù)平方根是4，c是 的整數(shù)部分，求a＋2b－c的平方根.
【分析】先依據(jù)算術(shù)平方根的定義列出關(guān)于a、b的方程組求得a、b的值，然后估算出 的大小，可求得c的值，接下來(lái)，求得a+2b-c的值，最后求它的平方根即可。
【解析】∵2a-1的算術(shù)平方根是3，3a+b-1的算術(shù)平方根是4，∴ ，∴a=5，b=2.
∵9＜13＜16，∴3＜ ＜4，∴c=3，∴a+2b-c=6，∴a+2b-c的平方根是± .
【例18】★★★閱讀材料：
學(xué)習(xí)了無(wú)理數(shù)后，某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次探究活動(dòng)：估算的近似值.
小明的方法：
∵，設(shè)（）.∴.
∴.∴.解得 .∴.
問(wèn)題：（1）請(qǐng)你依照小明的方法，估算的近似值；
（2）請(qǐng)結(jié)合上述具體實(shí)例，概括出估算的公式：已知非負(fù)整數(shù)、、，若，且，則__________(用含、的代數(shù)式表示)；
（3）請(qǐng)用（2）中的結(jié)論估算的近似值.
【解析】（1）∵，設(shè)（）.，∴.
∴.∴.，解得 .，∴.
（2）∵，設(shè)（），∴，
∴，∴。
對(duì)比，，∴
（3），∴，∴6.083.
【總結(jié)升華】此題比較新穎，關(guān)鍵是通過(guò)閱讀材料快速掌握估值的方法.（2）問(wèn)中要對(duì)比式子，找準(zhǔn)和，表示出.
【亮點(diǎn)訓(xùn)練】
1．如圖，若數(shù)軸上的點(diǎn)A，B，C，D表示數(shù)，1，2，3，則表示數(shù)的點(diǎn)應(yīng)在（ ）
A．A，O之間B．B，C之間C．C，D之間D．O，B之間
【答案】D
【分析】先估算出的值，再確定出其位置即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴表示數(shù)的點(diǎn)應(yīng)在O，B之間．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是實(shí)數(shù)與數(shù)軸．熟知實(shí)數(shù)與數(shù)軸上各點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，能夠正確估算出的值是解答此題的關(guān)鍵．
2．如圖是小剛同學(xué)完成的作業(yè)，每題20分，他的得分是（ ）
A．20分B．40分C．60分D．80分
【答案】B
【分析】由平方根的含義可判斷①，由算術(shù)平方根的含義可判斷②，由立方根的含義可判斷③，由無(wú)理數(shù)的估算可得可判斷④，從而可得答案.
【詳解】解：則的平方根是；故①不符合題意；
沒(méi)有算術(shù)平方根，故②符合題意；
64的立方根是故③不符合題意；
∵
∴
∴故④符合題意；
∴小剛的得分為40分.
故選B.
【點(diǎn)睛】本題考查的是平方根，算術(shù)平方根，立方根的含義，無(wú)理數(shù)的估算，掌握“與實(shí)數(shù)相關(guān)的概念及運(yùn)算”是解本題的關(guān)鍵.
3．滿足的整數(shù)x的個(gè)數(shù)是（ ）
A．4個(gè)B．5個(gè)C．6個(gè)D．7個(gè)
【答案】C
【分析】先估算、的范圍，進(jìn)而得出整數(shù)x的值，即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
則滿足的整數(shù)x為-2，-1，0，1，2，3，共6個(gè)，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查無(wú)理數(shù)的估算，利用“夾逼法”正確估算出、的范圍是解答的關(guān)鍵．
4．已知a，b分別是6+的整數(shù)部分和小數(shù)部分，則a+3b＝（ ）
A．12B．13C．D．3
【答案】D
【分析】先估算無(wú)理數(shù)的大小，從而表示出6+的整數(shù)部分和和小數(shù)部分；再把a(bǔ)、b的值代入代數(shù)式a-b中計(jì)算，即可得到答案．
【詳解】解：∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∴9＜6+＜10，
∴6+的整數(shù)部分a=9，小數(shù)部分b=6+-9=-3，
∴a+3b=9+3×（-3）=3．
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題考查了用有理數(shù)估計(jì)無(wú)理數(shù)，“夾逼法”是估算的一般方法，也是常用方法，是解決此題的關(guān)鍵．
5．已知，，，，，，，…，請(qǐng)你推測(cè)的個(gè)位數(shù)字是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由題意得的個(gè)位數(shù)字按3，9，7，1四個(gè)數(shù)一循環(huán)的規(guī)律出現(xiàn)，可通過(guò)計(jì)算2018÷4的余數(shù)求解．
【詳解】解：∵，，，，，，，…，
∴的個(gè)位數(shù)字按3，9，7，1四個(gè)數(shù)一循環(huán)的規(guī)律出現(xiàn)，
∵2018÷4＝504…2，
∴的個(gè)位數(shù)字是9，
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了解決實(shí)數(shù)尾數(shù)特征規(guī)律問(wèn)題的能力，關(guān)鍵是能通過(guò)計(jì)算、歸納出該問(wèn)題循環(huán)出現(xiàn)的規(guī)律．
6．如圖，，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)，在邊上，，若，則（ ）
A．3.5B．3C．2.5D．2
【答案】C
【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，先根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得，利用勾股定理可得，然后根據(jù)線段和差即可得．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
，
，
，
，
，
，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的三線合一、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
7．比較大小：①______；②______．
【答案】 ＞ ＜
【分析】①利用平方根和立方根性質(zhì)解答即可；②利用平方根性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：①∵，，
∵，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案為：①＞；②＜．
【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的大小比較、算術(shù)平方根和立方根，熟練掌握實(shí)數(shù)的大小比較的方法是解答的關(guān)鍵．
8．若a和b為兩個(gè)連續(xù)整數(shù)，且a＜﹣＜b，則a﹣b值是 _____．
【答案】
【分析】估算無(wú)理數(shù)-的大小，確定a、b的值，再代入計(jì)算即可．
【詳解】∵6＜＜7，
∴﹣7＜﹣＜﹣6，
又∵a和b為兩個(gè)連續(xù)整數(shù)，
∴a=﹣7，b=﹣6，
∴a﹣b=﹣7+6=﹣1，
故答案為：﹣1
【點(diǎn)睛】本題考查估算無(wú)理數(shù)的大小，掌握算術(shù)平方根的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
9．已知的小數(shù)部分為m，的小數(shù)部分為n，則=___________.
【答案】1
【分析】根據(jù)題意易得，然后問(wèn)題可求解．
【詳解】解：∵，
∴的小數(shù)部分為，的小數(shù)部分為，
∴；
故答案為1．
【點(diǎn)睛】本題主要考查無(wú)理數(shù)的估算，熟練掌握求一個(gè)無(wú)理數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分是解題的關(guān)鍵．
10．如果x為的小數(shù)部分，那么代數(shù)式的值為______．
【答案】2022
【分析】先求出x的值，再將變形為，最后代入代數(shù)式計(jì)算即可．
【詳解】∵，
∴，
∵x為的小數(shù)部分，
∴，
故答案為： 2022．
【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算和代數(shù)式求值，將代數(shù)式進(jìn)行變形可簡(jiǎn)化計(jì)算．
11．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算“?”：，例如：．若，且，則的值是______．
【答案】5
【分析】已知利用題目中的新定義列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，再求解即可．
【詳解】解：∵，且，
∴
由②-①得2x+y=5，
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解法及新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，本題的關(guān)鍵是能看明白題目意思，根據(jù)新定義的運(yùn)算規(guī)則求解．
12．對(duì)于正整數(shù)k定義一種運(yùn)算：f（k）=例：f（2）=-，表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例：［3.7］=3，［-1.5］=-2. ①f（2）=0；②f（k）=0或1；③f（k＋1）≥f（k）；④f（k＋4）=f（k），則正確的結(jié)論有____________（請(qǐng)?zhí)顚懶蛱?hào)）.
【答案】①②④
【分析】根據(jù)題意可以判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而可以解答本題．
【詳解】解：①，正確，故①符合題意；
②當(dāng)k=3+4n（n為自然數(shù)）時(shí)，f（k）=1，當(dāng)k為其它的正整數(shù)時(shí)，f（k）=0，所以②的結(jié)論正確，故②符合題意；
③當(dāng)k=3時(shí)，，而f（3）=1，③錯(cuò)誤，故③不符合題意；
④
，④正確，故④符合題意；
綜上，正確的有①②④．
故答案為：①②④．
【點(diǎn)睛】本題考查新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的結(jié)論是否成立．
13．（1）計(jì)算：
（2）已知的算術(shù)平方根是，的平方根是，是的整數(shù)部分，求的平方根．
【答案】（1）；（2）0
【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根，立方根進(jìn)行計(jì)算即可求解；
（2）根據(jù)算術(shù)平方根為1，求得，平方根的定義求得，根據(jù)估算，可得，然后代數(shù)式求值，求得平方根即可求解．
【詳解】（1）原式

（2）解：∵的算術(shù)平方根是，
∴，；
∵的平方根是，
∴ ， ；
∵，是的整數(shù)部分，
∴ ；

的平方根是 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了平方根，算術(shù)平方根，無(wú)理數(shù)的估算，立方根的應(yīng)用，掌握平方根，算術(shù)平方根，立方根的定義是解題的關(guān)鍵．
14．已知的算術(shù)平方根是3，的立方根是2，是的整數(shù)部分，求的平方根．
【答案】
【分析】根據(jù)的算術(shù)平方根是3，可得，再由的立方根是2，可得，再估算出，可得，再代入，即可求解．
【詳解】解：的算術(shù)平方根是3，
，
，
的立方根是2，
，
把代入得，
是的整數(shù)部分，，
，
，
的平方根是．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了算術(shù)平方根和立方根的性質(zhì)，無(wú)理數(shù)的估算，熟練掌握算術(shù)平方根和立方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15．【概念學(xué)習(xí)】規(guī)定：求若干個(gè)相同的有理數(shù)（均不等0）的除法運(yùn)算叫做除方，如，等，類比有理數(shù)的乘方，我們把記作讀作“2的圈3次方”，記作讀作“的圈4次方”，一般地，把記作，讀作“的圈次方”．
【初步探究】
(1)直接寫出計(jì)算結(jié)果：__________，__________．
(2)關(guān)于除方，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．任何非零數(shù)的圈2次方都等于1
B．對(duì)于任何正整數(shù)，
C．
D．負(fù)數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù)
【深入思考】我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，有理數(shù)的除方運(yùn)算如何轉(zhuǎn)化為乘方運(yùn)算呢？．
(3)試一試：仿照上面的算式，將下列運(yùn)算結(jié)果直接寫成冪的形式__________
(4)想一想：將一個(gè)非零有理數(shù)的圈次方寫成冪的形式=__________
(5)算一算：；
【答案】(1) ，
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）根據(jù)除方的計(jì)算方法即可求解；
（2）根據(jù)除方的計(jì)算方法即可求解（分析過(guò)程見(jiàn)詳解）；
（3）除以一個(gè)不等于的數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，由此即可求解；
（4）按照乘方、除方的運(yùn)算方法展開，根據(jù)有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算即可求解；
（5）先將乘方、除方按照運(yùn)算規(guī)則展開，再算乘除，最后算加減，計(jì)算的過(guò)程中注意符號(hào)（正負(fù)）的變化．
（1）
解：，；
故答案是： ，；
（2）
解：A．任何非零數(shù)的圈2次方都等于1，選項(xiàng)A正確；
B．因?yàn)槎嗌賯€(gè)1相除都是1，所以對(duì)于任何正整數(shù)，；所以選項(xiàng)B正確；
C．，，則；所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
D．負(fù)數(shù)的圈奇數(shù)次方，相當(dāng)于奇數(shù)個(gè)負(fù)數(shù)相除，則結(jié)果是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的圈偶數(shù)次方，相當(dāng)于偶數(shù)個(gè)負(fù)數(shù)相除，則結(jié)果是正數(shù)．所以選項(xiàng)D正確；本題選擇說(shuō)法錯(cuò)誤的．
故選：C；
（3）
解：，
故答案為：；
（4）
解：由題意得：，
故答案為：；
（5）
解：．
故答案是： ．
【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的新定義運(yùn)算方法，在有理數(shù)的除法的基礎(chǔ)上定義多個(gè)相同的非零數(shù)的除法的表達(dá)方法，并根據(jù)有理數(shù)除法法則計(jì)算，掌握有理數(shù)的乘除法法則是解題的關(guān)鍵．
【培優(yōu)檢測(cè)】
1．估計(jì)的值應(yīng)在（ ）
A．3和4之間B．4和5之間C．5和6之間D．6和7之間
【答案】A
【分析】首先估算出的取值范圍，進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：∵1＜＜2，
∴3＜＜4．
故選A．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，正確得出的取值范圍是解題關(guān)鍵．
2．有下列說(shuō)法：①實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)；②不含根號(hào)的數(shù)一定是有理數(shù)；③負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根；④是17的平方根．其中正確的有（ ）
A．3個(gè)B．2個(gè)C．1個(gè)D．0個(gè)
【答案】A
【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的定義和有理數(shù)、無(wú)理數(shù)的概念、平方根的概念作出判斷即可．
【詳解】解：實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，①正確；
不含根號(hào)的數(shù)不一定是有理數(shù)，例如，②錯(cuò)誤；
任何一個(gè)實(shí)數(shù)的平方一定是非負(fù)數(shù)，所以負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，③正確；
17的平方根是，所以是17的平方根，④正確，
故①③④正確，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的定義和運(yùn)算，實(shí)數(shù)分為有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，正確掌握相關(guān)基本概念并作出判斷是解答本題的關(guān)鍵．
3．有一列數(shù)按如下規(guī)律排列：，，，，，…則第10個(gè)數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】將這列數(shù)據(jù)改寫成：，，，，，…，按照三步確定結(jié)果：一確定符號(hào)，二確定分子，三確定分母即可．
【詳解】解：，，，，，…可寫出：
，，，，，…，
∴第10個(gè)數(shù)為，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字類變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是把已知的一列數(shù)變形，找到變化規(guī)律．
4．求的值，可令，則，因此2S﹣S＝22017﹣1，S＝22017﹣1.參照以上推理，計(jì)算的值為（ ）
A．42020﹣1B．42020﹣4C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)，然后可以得到4S，再作差變形，即可得到所求式子的值
【詳解】解：設(shè)，
則4，
∴ 4S﹣S＝42020﹣4，
∴ 3S＝42020﹣4，
∴ S＝，
即的值為.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是找出其中的規(guī)律，利用錯(cuò)位相減法求解．
5．若干個(gè)數(shù)，第一個(gè)數(shù)記為，規(guī)定運(yùn)算：，，，，…，按上述方法計(jì)算：當(dāng)時(shí)，的值等于（ ）
A．B．C．D．3
【答案】D
【分析】把代入計(jì)算，得出規(guī)律：的值每三個(gè)一循環(huán)，而2022÷3=674，則，即可得出答案．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，則
，
，
，
，
…
由此可知，的值每三個(gè)一循環(huán)，
∵2022÷3=674，
∴，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)式運(yùn)算規(guī)律型，通過(guò)計(jì)算觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
6．計(jì)算________．
【答案】##
【分析】先根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)、算術(shù)平方根和立方根的定義進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：
．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握絕對(duì)值的性質(zhì)、算術(shù)平方根和立方根的定義．算術(shù)平方根：一般地，如果一個(gè)正數(shù)的平方等于，即，那么這個(gè)正數(shù)就叫做的算術(shù)平方根；立方根：如果一個(gè)數(shù)的立方等于，那么這個(gè)數(shù)就叫做的立方根．
7．設(shè)的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，求8ab-8的立方根為________．
【答案】-2
【分析】通過(guò)估算無(wú)理，求出a=1，b=-1，再代入8ab-8求得值為-8，然后求-8的立方根即可．
【詳解】解：∵的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，
又∵1

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