一、實數(shù)大小的比較
正實數(shù)大于0，負實數(shù)小于0.
兩個正數(shù)，絕對值大的數(shù)較大；兩個負數(shù)，絕對值大的數(shù)較小.
從數(shù)軸上看，右邊的點所表示的數(shù)總比左邊的點所表示的數(shù)大.
二、實數(shù)的運算
有理數(shù)關(guān)于相反數(shù)和絕對值的意義同樣適合于實數(shù).
當數(shù)從有理數(shù)擴充到實數(shù)以后，實數(shù)之間不僅可以進行加、減、乘、除（除數(shù)不為0）、乘方運算，而且正數(shù)及0可以進行開平方運算，任意一個實數(shù)可以進行開立方運算.在進行實數(shù)的運算時，有理數(shù)的運算法則及運算性質(zhì)等同樣適用.
考點精講
題型一：實數(shù)的混合混算
一、填空題
1．（2021·浙江·杭州市青春中學(xué)七年級期中）計算：
（1）＝___.（2）4+＝___．（3）的立方根為 ___．
（4）如果的平方根是±3，則＝___．
2．（2021·浙江溫州·七年級期中）如圖邊長為2的正方形，則圖中的陰影部分面積是______．
3．（2022·浙江寧波·七年級期末）計算： ________．
4．（2021·浙江·臺州市書生中學(xué)七年級期中）若與互為相反數(shù)，則________．
二、解答題
5．（2021·浙江臺州·七年級期末）計算：|﹣|﹣．
6．（2021·浙江臺州·七年級期末）計算：．
7．（2022·浙江金華·七年級期末）計算：
(1) (2)
8．（2022·浙江臺州·七年級期中）計算：
(1)； (2)．
9．（2022·浙江臺州·七年級期中）計算
10．（2021·浙江臺州·七年級期末）計算：
11．（2021·浙江·七年級期中）計算：
（1） （2）
12．（2022·浙江臺州·七年級期中）計算：
(1)； (2)．
題型二：程序設(shè)計與實數(shù)運算
一、填空題
1．（2021·浙江溫州·七年級期末）按如圖所示的程序計算，若開始輸入的x為，則輸出的結(jié)果為________．
2．（2020·浙江溫州·七年級期中）如圖所示是計算機程序計算，若開始輸入x＝﹣3，則最后輸出的結(jié)果是____．
3．（2021·浙江溫州·七年級期中）如圖，是一個計算程序，若輸入a的值為，則輸出的結(jié)果應(yīng)為______________．
二、解答題
4．（2022·浙江臺州·七年級期中）如圖是一個無理數(shù)篩選器的工作流程圖．
(1)當x為9時，y值為 ；
(2)如果輸入0和1， （填“能”或“不能”）輸出y值；
(3)當輸出的y值是時，請寫出滿足題意的x值： ．（寫出兩個即可）
5．（2020·浙江·七年級期末）有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器．原理如圖．
（1）當輸入的為81時，輸出的是多少？
（2）是否存在輸入有效的值后，始終輸不出值？如果存在．請寫出所有滿足要求的的值；如果不存在，請說明理由；
（3）小明輸入數(shù)據(jù)，在轉(zhuǎn)換器運行程序時，屏幕顯示“該操作無法運行”，請你推算輸入的數(shù)據(jù)可能是什么情況？
（4）若輸出的是，試判斷輸入的值是否唯一？若不唯一，請寫出其中的兩個．
題型三：新定義下的實數(shù)運算
一、單選題
1．（2022·浙江臺州·七年級期中）設(shè)表示小于的最大整數(shù)，如，，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．的最小值是0
C．的最大值是1D．不存在實數(shù)，使
2．（2021·浙江·七年級期末）任何實數(shù)a，可用表示不超過a的最大整數(shù)，如，現(xiàn)對72進行如下操作，，這樣對72只需進行3次操作即可變?yōu)?，類似地，對81只需進行（ ）次操作后即可變?yōu)?．
A．2B．3C．4D．5
3．（2021·浙江臺州·七年級階段練習(xí)）定義新運算“⊕”：a⊕b=+（其中a、b都是有理數(shù)），例如：2⊕3=+=，那么3⊕（﹣4）的值是（ ）
A．﹣B．﹣C．D．
4．（2022·浙江·寧波市鄞州區(qū)咸祥鎮(zhèn)中心初級中學(xué)七年級階段練習(xí)）現(xiàn)規(guī)定一種運算：，其中，為有理數(shù)，則 等于( )
A．a(chǎn)2－bB．b2－bC．b2D．b2－a
5．（2021·浙江·高照實驗學(xué)校七年級階段練習(xí)）對于任意不相等的兩個實數(shù)a，b，定義運算：a※b＝a2﹣b2+1，例如3※2＝32﹣22+1＝6，那么（﹣5）※4的值為（ ）
A．﹣40B．﹣32C．18D．10
二、填空題
6．（2022·浙江杭州·七年級期中）用“”定義新運算：對于任意實數(shù)a，b，都有．例如：，那么20225＝________；當m為實數(shù)時，＝________．
7．（2021·浙江·七年級期末）用“△”“·”定義新運算：對于任意有理數(shù)a，b，都有和，例如，．則_____．
8．（2021·浙江·七年級期末）對于兩個不相等的實數(shù)a、b，定義一種新的運算如下，，如：，那么___________．
9．（2021·浙江·七年級期末）對實數(shù)、 ，定義運算☆如下：☆ ，
例如2☆3=.計算[2☆( )][( )☆()]= _____
10．（2022·浙江·七年級專題練習(xí)）觀察下列等式（式子中的“！”是一種數(shù)學(xué)運算符號）
1!=1，2!=2×1，3!=3×2×1，4!=4×3×2×1，…，
那么計算：=__．
11．（2022·浙江紹興·七年級期末）如，我們叫集合M．其中1，2，x叫做集合M的元素，集合中的元素具有確定性（如x必然存在），互異性（如，），無序性（即改變元素的順序，集合不變）．若集合，我們說．已知集合，集合，若，則的值是______．
12．（2021·浙江寧波·七年級期中）材料：一般地，n個相同因數(shù)a相乘：記為．如，此時3叫做以2為底的8的對數(shù)，記為（即）．那么_____，_____．
三、解答題
13．（2021·浙江·杭州市十三中教育集團（總校）七年級期中）定義新運算：對于任意實數(shù)a，b，都有，例如．
（1）求的值．
（2）求的平方根．
14．（2021·浙江·杭州市弘益中學(xué)七年級期中）任何實數(shù)a，可用[a]表示不超過a的最大整數(shù)，如[4]=4，[]=1．現(xiàn)對72進行如下操作：72第一次[]=8，第二次[]=2，第三次[]=1，這樣對72只需進行3次操作變?yōu)?．
（1）對10進行1次操作后變?yōu)開______，對200進行3次作后變?yōu)開______；
（2）對實數(shù)m恰進行2次操作后變成1，則m最小可以取到_______；
（3）若正整數(shù)m進行3次操作后變?yōu)?，求m的最大值．
15．（2021·浙江臺州·七年級期末）我們知道，負數(shù)沒有算術(shù)平方根，但對于三個互不相等的負整數(shù)，若兩兩乘積的算術(shù)方根都是整數(shù)，則稱這三個數(shù)為“完美組合數(shù)”．
例如：-9，-4，-1這三個數(shù)，，，，其結(jié)果6，3，2都是整數(shù)，所以-1，-4，-9這三個數(shù)稱為“完美組合數(shù)”．
(1)-18，-8，-2這三個數(shù)是“完美組合數(shù)”嗎？請說明理由．
(2)若三個數(shù)-3，m，-12是“完美組合數(shù)”，其中有兩個數(shù)乘積的算術(shù)平方根為12，求m的值．
16．（2021·浙江·七年級期中）數(shù)學(xué)中有很多的可逆的推理．如果，那么利用可逆推理，已知n可求b的運算，記為，如，
則，則．
①根據(jù)定義，填空：_________，__________．
②若有如下運算性質(zhì)：．
根據(jù)運算性質(zhì)填空，填空：若，則__________；___________；
③下表中與數(shù)x對應(yīng)的有且只有兩個是錯誤的，請直接找出錯誤并改正．
錯誤的式子是__________，_____________；分別改為__________，_____________．
題型四：實數(shù)運算的實際應(yīng)用
一、單選題
1．（2021·浙江·高照實驗學(xué)校七年級階段練習(xí)）有下列說法：①在1和2之間的無理數(shù)有且只有這兩個；②實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)；③兩個無理數(shù)的積一定是無理數(shù)；④是分數(shù)．其中正確的為（ ）
A．①②③④B．①②④C．②④D．②
二、填空題
2．（2020·浙江溫州·七年級期中）如圖，在紙面上有一數(shù)軸，點A表示的數(shù)為﹣1，點B表示的數(shù)為3，點C表示的數(shù)為．若子軒同學(xué)先將紙面以點B為中心折疊，然后再次折疊紙面使點A和點B重合，則此時數(shù)軸上與點C重合的點所表示的數(shù)是_______．
3．（2020·浙江杭州·七年級期中）若，則______________．
4．（2020·浙江·翠苑中學(xué)七年級期中）設(shè)x，y是有理數(shù)，且x，y滿足等式，則的平方根是___________.
三、解答題
5．（2021·浙江·寧波市第七中學(xué)七年級期中）某高速公路規(guī)定汽車的行駛速度不得超過100千米/時，當發(fā)生交通事故時，交通警察通常根據(jù)剎車后車輪滑過的距離估計車輛的行駛速度，所用的經(jīng)驗公式是v＝16，其中v表示車速（單位：千米/時，d表示剎車后車輪滑過的距離（單位：米），f表示摩擦系數(shù)．在一次交通事故中，經(jīng)測量d＝32米，f＝2，請你判斷一下，肇事汽車當時是否超速了．
6．（2021·浙江紹興·七年級期末）已知小正方形的邊長為1，在4×4的正方形網(wǎng)中．
（1）求_______________．
（2）在5×5的正方形網(wǎng)中作一個邊長為的正方形．
7．（2020·浙江·七年級期末）數(shù)軸是一個非常重要的數(shù)學(xué)工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點建立起對應(yīng)關(guān)系，揭示了數(shù)與點之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ)．小白在草稿紙上畫了一條數(shù)軸進行操作探究：
操作一：
（1）折疊紙面，若使表示的點1與﹣1表示的點重合，則﹣2表示的點與 表示的點重合；
操作二：
（2）折疊紙面，若使1表示的點與﹣3表示的點重合，回答以下問題：
①表示的點與數(shù) 表示的點重合；
②若數(shù)軸上A、B兩點之間距離為8（A在B的左側(cè)），且A、B兩點經(jīng)折疊后重合，則A、B兩點表示的數(shù)分別是__________________；
操作三：
（3）在數(shù)軸上剪下9個單位長度（從﹣1到8）的一條線段，并把這條線段沿某點折疊，然后在重疊部分某處剪一刀得到三條線段（如圖）. 若這三條線段的長度之比為1：1：2，則折痕處對應(yīng)的點所表示的數(shù)可能是_________________________.
題型五：與實數(shù)運算相關(guān)的規(guī)律題
一、單選題
1．（2019·浙江湖州·七年級期中）如圖將1、、、按下列方式排列．若規(guī)定表示第排從左向右第個數(shù)，則與表示的兩數(shù)之積是（ ）．
A．1B．C．D．
2．（2019·浙江·紹興市袍江中學(xué)七年級期中）如圖，是按一定規(guī)律排成的三角形數(shù)陣，按圖中數(shù)陣的排列規(guī)律，第9行從左至右第5個數(shù)是( )
A．2B．C．5D．
二、填空題
3．（2020·浙江·七年級單元測試）將實數(shù)按如圖所示的方式排列，若用表示第m排從左向右數(shù)第n個數(shù)，則與表示的兩數(shù)之積是________
1（第1排）
（第2排）
1 （第3排）
1 （第4排）
1 （第5排）
4．（2020·浙江寧波·七年級期末）若|a﹣1|+（ab﹣2）2＝0，則…＝_____．
5．（2018·全國·七年級課時練習(xí)）借助計算器計算下列各題：
(1)＝_____；
(2)＝_____；
(3) ＝______；
(4) ＝______；
(5)根據(jù)上面計算的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)＝______________．(用含n的式子表示)
6．（2017·浙江杭州·七年級期中）計算=______，=_____，再計算，…，猜想的結(jié)果為______________.
三、解答題
7．（2018·浙江杭州·七年級開學(xué)考試）已知：，求的值．
一．選擇題（共5小題）
1．（2021秋?鄞州區(qū)校級期中）化簡﹣|﹣1|的值是（ ）
A．2B．1C．2D．﹣1
2．（2021秋?江干區(qū)校級期中）下列說法正確的個數(shù)是（ ）
①最小的負整數(shù)是﹣1；
②所有無理數(shù)都能用數(shù)軸上的點表示；
③當a≤0時，|a|＝﹣a成立；
④兩個無理數(shù)的和可能為有理數(shù)．
A．1個B．2個C．3個D．4個
3．（2020秋?奉化區(qū)校級期末）下列運算正確的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2021秋?西湖區(qū)校級期中）按如圖所示的運算程序，能使輸出的結(jié)果為3的是（ ）
A．a(chǎn)＝0，b＝3B．a(chǎn)＝1，b＝2C．a(chǎn)＝4，b＝1D．a(chǎn)＝9，b＝0
5．（2020秋?奉化區(qū)校級期末）實數(shù)a、b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡的結(jié)果為（ ）
A．﹣3bB．﹣2a﹣bC．a(chǎn)﹣2bD．﹣b
二．填空題（共8小題）
6．（2022秋?鄞州區(qū)校級月考）可以作為“兩個無理數(shù)的和仍為無理數(shù)”的反例的是 ．
7．（2021秋?柯橋區(qū)期末）根據(jù)圖示的對話，則代數(shù)式3a+3b﹣2c+2m的值是 ．
8．（2021秋?東陽市期末）若a與b互為相反數(shù)，m與n互為倒數(shù)，k的算術(shù)平方根為，則2022a+2021b+mnb+k2的值為 ．
9．（2021秋?越城區(qū)期末）計算：+＝ ．
10．（2020秋?錢塘區(qū)期末）＝ ．
11．（2020秋?奉化區(qū)校級期末）化簡（﹣）2+|1﹣|+的結(jié)果為 ．
12．（2020秋?奉化區(qū)校級期末）對于任意不相等的兩個數(shù)a，b，定義一種運算*如下：a*b＝，如3*2＝＝，那么12*（3*1）＝ ．
13．（2021秋?西湖區(qū)校級期中）定義新運算“☆”：a☆b＝，則12☆（3☆4）＝ ．
三．解答題（共7小題）
14．（2022?仙居縣校級開學(xué)）計算：．
15．（2021秋?金華期末）計算：
（1）+4÷（﹣2）； （2）﹣12022+32×．
16．（2021秋?西湖區(qū)校級期中）定義新運算：對于任意實數(shù)a，b，都有a※b＝a+b2，例如7※4＝7+42＝23．
（1）求5※4的值．
（2）求7※（1※）的平方根．
17．（2021秋?西湖區(qū)校級期中）（1）若a是最大的負整數(shù)，b是絕對值最小的數(shù)，c是倒數(shù)等于它本身的正數(shù)，d是9的負平方根．
則a＝ ；b＝ ；c＝ ；d＝ ．
（2）若a與b互為相反數(shù)，c與d互為倒數(shù)，求3（a+b）﹣（﹣cd）3﹣2的值．
18．（2021秋?永嘉縣校級月考）計算：+（）2﹣．
19．（2021秋?溫州期中）下列8個實數(shù)：﹣2，0，，，，（﹣2）3，（﹣3）2，π．
（1）屬于無理數(shù)的有： ；屬于負整數(shù)的有： ．
（2）求題中所列8個實數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù)的乘積．
20．（2021秋?永嘉縣校級月考）（1）計算并化簡（結(jié)果保留根號）
①|(zhì)1﹣|＝ ②|﹣|＝ ③|﹣|＝ ④|＝
（2）計算（結(jié)果保留根號）：|
x
1.5
3
5
6
8
9
12
27

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初中數(shù)學(xué)浙教版（2024）七年級上冊電子課本 舊教材

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