18.1 平行四邊形第4課時目錄課前導入新課精講學以致用課堂小結(jié)課前導入情景導入溫故知新平行四邊形的判定邊角對角線兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形對角線互相平分的四邊形是平行四邊形新課精講探索新知1知識點三角形中位線的性質(zhì)探究思考請同學們按要求畫圖：畫任意△ABC 中，畫AB、AC邊中點D、E，連接DE．定義：像DE 這樣，連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線．探索新知觀察猜想在△ABC 中，中位線DE和邊BC 什么關系?DE 和邊BC 關系數(shù)量關系：位置關系：DEDE//BCDE＝ BC探索新知如圖，D，E 分別是△ABC 的AB，AC 的中點.求證：DE//BC， DE= BC.分析：本題既要證明兩條線段所在的直線平行，又要證明其中一條線段的長等于另一條線段長的一半.將DE 延長一倍后，可以將證明DE = BC 轉(zhuǎn)化為證明延長后的線段與BC 相等.又由于E 是AC 的中點，根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形構(gòu)造一個平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)進行證明.探索新知如圖，延長DE 到點F，使EF=DE，連接FC，DC，AF.∵AE=EC，DE=EF，∴四邊形ADCF 是平行四邊形， CF DA.∴CF BD.∴四邊形DBCF 是平行四邊形，DF BC. 又 DE = DF，∴ DE//BC，且DE = BC.證明：探索新知通過上述證明，我們得到三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半. 中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的 第三邊，并且等于第三邊的一半； 數(shù)學表達式：如圖，∵AD＝BD，AE＝EC， ∴DE∥BC，且DE＝ BC.探索新知例1 如圖所示，D 是△ABC 內(nèi)一點，BD⊥CD，AD=6， BD=4，CD=3，E、F、G、H 分別是AB、AC、CD、 BD 的中點，則四邊形EFGH 的周長是 ．利用勾股定理列式求出BC 的長，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出EH=FG = AD，EF=GH = BC，然后代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解．11分析：探索新知∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，∴BC∵E、F、G、H 分別是AB、AC、CD、BD 的中點，∴EH=FG = AD，EF=GH= BC，∴四邊形EFGH 的周長=EH+GH+FG+EF=AD+BC，又∵AD =6，∴四邊形EFGH 的周長=6+5=11．解：探索新知 本題考查了三角形的中位線定理，勾股定理的應用，熟記三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半是解題的關鍵．探索新知例2 如圖，已知E 為平行四邊形ABCD 中DC 邊延長線 上一點，且CE＝DC，連接AE，分別交BC，BD 于點F，G，連接AC 交BD 于點 O，連接OF. 求證：AB＝2OF.點O 是平行四邊形兩條對角線的交點，所以點O 是線段AC 的中點，要證明AB＝2OF，我們只需證明點F 是線段BC的中點，即證明OF 是△ABC 的中位線．導引：探索新知∵四邊形ABCD 為平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD.∵E 為平行四邊形ABCD 中DC 邊延長線上一點， 且CE＝DC，∴AB∥CE，AB＝CE，∴四邊形ABEC 是平行四邊形，∴點F 是BC 的中點．又∵點O 是AC 的中點，∴OF 是△ABC 的中位線，∴AB＝2OF.證明：探索新知證明線段倍分關系的方法： 由于三角形的中位線等于三角形第三邊的一半，因此當需要證明某一線段是另一線段的一半或兩倍，且題中出現(xiàn)中點時，常考慮三角形中位線定理．典題精講1如圖，在△ABC 中，D，E，F(xiàn) 分別是AB，BC，CA 的中點. 以這些點為頂點，在圖中，你能畫出多少個平行四邊形？為什么？可畫出3個平行四邊形，根據(jù)三角形的中位線定理可得平行四邊形有：?BDFE，?DFCE，?ADEF.解：典題精講2如圖，直線l1∥l2，在l1，l2上分別截取AD，BC，使AD = BC，連接AB， CD. AB 和CD 有什么關系？為什么？AB＝CD 且AB∥CD.因為l1∥l2 ，所以AD∥BC，又因為AD＝BC，所以四邊形ABCD 是平行四邊形．所以AB＝CD，且AB∥CD.解：典題精講3如圖，A，B 兩點被池塘隔開，在AB 外選一點C，連接AC 和BC. 怎樣測出 A，B 兩點間的距離？根據(jù)是什么？如圖所示，分別取AC，BC 的中點E，F(xiàn)，連接EF，則EF 就是△ABC 的中位線．量出EF 的長，根據(jù)AB＝2EF，即可求出A，B 兩點間的距離．解：典題精講4如圖，要測定被池塘隔開的A，B 兩點的距離，可以在AB 外選一點C，連接AC，BC，并分別找出它們的中點D，E，連接ED. 現(xiàn)測得AC＝30 m，BC＝40 m，DE＝24 m，則AB＝(　　)A．50 m B．48 m C．45 m D．35 mB探索新知2知識點三角形中位線在四邊形中的應用欲證MN BC，只需證明MN是△EBC 的中位線即可．而要證得M，N 分別為BE，CE 的中點，則可利用E，F(xiàn) 分別為AD，BC的中點證四邊形ABFE 和四邊形EFCD 為平行四邊形得到．例3 如圖，在?ABCD 中，E，F(xiàn) 分別是AD，BC 的中點， 連接AF，DF 分別交BE，CE 于點M，N，連接MN. 求證：MN BC.導引：探索新知如圖，連接EF.∵四邊形ABCD 是平行四邊形，∴AD BC.∵E，F(xiàn) 分別是AD，BC 的中點，∴AE＝ AD，BF＝ BC，∴AE BF.∴四邊形ABFE 是平行四邊形，∴MB＝ME.同理，四邊形EFCD 是平行四邊形，∴NC＝NE.∴MN 是△EBC 的中位線．∴MN BC.證明：探索新知(1)證明兩直線平行的常用方法： ①利用同平行(垂直)于第三條直線；②利用同位角、 內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補；③利用平行四邊形 的性質(zhì)；④利用三角形的中位線定理．(2)證明一條線段是另一條線段的2倍的常用方法： ①利用含30°角的直角三角形；②利用平行四邊 形的對角線；③利用三角形的中位線定理．典題精講1如圖，已知E，F(xiàn)，G，H 分別為四邊形ABCD 各邊的中點，若AC＝10 cm，BD＝12 cm，則四邊形EFGH 的周長為(　　)A．10 cm B．11 cm C．12 cm D．22 cmD典題精講2如圖，已知長方形ABCD 中，R，P 分別是DC，BC上的點，E，F(xiàn) 分別是AP，RP 的中點，當P 在BC 上從B 向C 移動而R 不動時，下列結(jié)論成立的是(　　)A．線段EF 的長逐漸增大B．線段EF 的長逐漸減小C．線段EF 的長不改變D．線段EF 的長先增大后減小C易錯提醒如圖，?ABCD 的對角線AC，BD 相交于點O，點E，F(xiàn) 分別是線段AO，BO 的中點，若AC＋BD＝24 cm，△OAB 的周長是18 cm，則EF＝________cm.3易錯點：忽視整體思想的應用而求不出中位線的長.易錯提醒∵AC＋BD＝24 cm，∴OA＋OB＝12 cm，又∵△OAB 的周長是18 cm，∴OA＋OB＋AB＝18 cm，∴AB＝6 cm.又 ∵點E，F(xiàn) 分別是線段AO，BO 的中點，∴EF＝ AB＝3 cm.此題易錯之處在于忽視運用整體思想求OA，OB 的長度和，從而導致求不出中位線長．學以致用小試牛刀1如圖，在△ABC 中，AB＝3，BC＝4，AC＝2，D，E，F(xiàn) 分別為AB，BC，AC 的中點，連接DF，F(xiàn)E，則四邊形DBEF 的周長是(　　)A．5 B．7 C．9 D．11B小試牛刀2如圖，△ABC 的面積是12，點D，E，F(xiàn)，G 分別是BC，AD，BE，CE 的中點，則△AFG 的面積是(　　)A．4.5 B．5 C．5.5 D．6A小試牛刀3如圖，在△ABC 中，AB＝AC，E，F(xiàn) 分別是BC，AC 的中點，以AC 為斜邊作Rt△ADC，若∠CAD＝∠CAB＝45°，則下列結(jié)論不正確的是(　　)A．∠ECD＝112.5° B．DE 平分∠FDCC．∠DEC＝30° D．AB＝ CDC小試牛刀4如圖，在?ABCD 中，對角線AC，BD 相交于點O，點E 是AB 的中點，OE＝5 cm，則AD 的長為______cm.10小試牛刀5如圖，四邊形ABCD 中，∠A＝90°，AB＝3 ，AD＝3，點M，N 分別為線段BC，AB上的動點(含端點，但點M 不與點B 重合)，點E，F(xiàn) 分別為DM，MN 的中點，則EF 長度的最大值為________．3小試牛刀6 如圖，在四邊形ABCD 中，AB＝DC，P 是對角線AC 的中點，M 是AD 的中點，N 是BC 的中點． (1)若AB＝6，求PM 的長； (2)若∠PMN＝20°，求∠MPN 的度數(shù)．小試牛刀(1)∵AB＝DC，AB＝6，∴DC＝6. ∵點P 是AC 的中點，點M 是AD 的中點， ∴PM 是△ADC 的中位線． ∴PM＝ DC＝ ×6＝3.(2)∵點P 是AC 的中點，點N 是BC 的中點， ∴PN 是△ABC 的中位線． ∴PN＝ AB. ∵AB＝DC，∴PM＝PN. ∴∠PNM＝∠PMN＝20°. ∴∠MPN＝180°－∠PMN－∠PNM＝140°.解：小試牛刀7 如圖，E 為?ABCD 中DC 邊的延長線上一點，且CE＝ DC，連接AE，分別交BC，BD 于點F，G，連接AC 交BD 于O，連接OF，判斷AB 與OF 的位置關系和數(shù) 量關系，并證明你的結(jié)論．小試牛刀AB∥OF，OF＝ AB，理由：如圖，連接BE，∵四邊形ABCD 是平行四邊形，∴OA＝OC，AB＝DC，AB∥DE，又∵CE＝DC，∴AB＝CE.∴四邊形ABEC 是平行四邊形．∴BF＝CF.∴OF 是△ABC 的中位線．∴AB∥OF，OF＝ AB.解：小試牛刀8 如圖，四邊形ABCD 中，AB＝CD，G，H 分別是 BC，AD 的中點，BA，CD 的延長線分別交GH 的 延長線于點E，F(xiàn). 求證：∠AEH＝∠F.小試牛刀如圖，連接AC，取AC 的中點M，連接HM，GM.∵H 是AD 的中點，M 是AC 的中點，∴HM 是△ADC 的中位線．∴HM∥CD，HM＝ CD.∴∠MHG＝∠F.同理，GM∥AB，GM＝ AB.∴∠MGH＝∠AEH.又∵AB＝CD，∴GM＝HM.∴∠MGH＝∠MHG. ∴∠AEH＝∠F.證明：小試牛刀9 已知：如圖，在?ABCD 中，E 是CD 的中點，F(xiàn) 是 AE 的中點，F(xiàn)C 與BE 交于G. 求證：GF＝GC.小試牛刀如圖，取BE 的中點H，連接FH，CH.∵F 是AE 的中點，H 是BE 的中點，∴FH 是△ABE 的中位線．∴FH∥AB 且FH＝ AB.在?ABCD 中，AB∥DC，AB＝DC.又∵點E 是DC 的中點，∴EC＝ DC＝ AB，∴FH＝EC.又∵AB∥DC，F(xiàn)H∥AB，∴FH∥EC，∴四邊形EFHC 是平行四邊形．∴GF＝GC.證明：課堂小結(jié)課堂小結(jié)三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半．幾何語言(如圖)：∵DE 是△ABC 的中位線，∴DE∥BC．DE = BC．同學們，下節(jié)課見！

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