考法一 線面角
【例1】（2023·湖南岳陽(yáng)）如圖，在正方體中，直線與平面所成的角為（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2024·陜西）在正三棱柱中，，是的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024北京 ）如圖，在正三棱柱中，，則與平面所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
3．（2024云南昆明）如圖所示，在長(zhǎng)方體中，，，是棱的中點(diǎn)．
(1)求異面直線和所成的角的正切值；
(2)求與平面所成的角大?。?br>考法二 二面角
【例2-1】（2024上海）在正方體中，截面與底面所成銳二面角的正切值為（ ）
A．B．C．D．
【例2-2】（2024廣東廣州）如圖1，在矩形ABCD中，，．將△BCD沿BD翻折至，且，如圖2．

(1)求證：平面平面；
(2)求平面與平面ABD夾角的余弦值．
【一隅三反】
1．（2024安徽合肥）如圖，三棱錐中，且為正三角形，分別是的中點(diǎn)，若截面?zhèn)让?，則此棱錐側(cè)面與底面夾角的余弦值為 .
2．（2024天津和平）如圖，正方體，棱長(zhǎng)為是的中點(diǎn)，則二面角的正弦值為（ ）

A．B．C．D．
3．（2023·四川）如圖所示，是正三角形，平面，，，，且F為的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面所成二面角的正弦值.
考法三 點(diǎn)線距
【例3】（2024湖北）已知垂直于所在的平面，，則點(diǎn)到的距離為 ．
【一隅三反】
1．（2023重慶·期中）如圖在棱長(zhǎng)為2的正方體，中E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，點(diǎn)P到直線的距離的最小值為（ ）

A．B．C．D．
2．（2023上?！て谀橹苯翘菪?，，，，平面，，
(1)求證：；
(2)求點(diǎn)到直線的距離.
考法四 線線距
【例4】（2024江蘇）如圖，在正方體中，棱長(zhǎng)為1，寫出下列異面直線的公垂線并求異面直線的距離．
(1)和；
(2)和；
(3)和．
【一隅三反】
1．（2024上海普陀）在四面體中，若，則異面直線與的距離為 ．
2．（2024河北）如圖，已知四棱錐中，為矩形，平面，，異面直線與之間的距離為 .
3．（2024江蘇）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，直線AC與直線的距離是 ．
考法五 點(diǎn)面距
【例5】（2023新疆喀什·期末）如圖，在四棱錐中，平面，，.
(1)求證：平面；
(2)若，求點(diǎn)C到平面的距離.
【一隅三反】
1．（2023北京）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為分別是的中點(diǎn)，將沿折起，使得為正三角形．
(1)求證：平面；
(2)求點(diǎn)到平面的距離．
2．（2024湖南）如圖，在四棱錐中，平面，，，，為線段的中點(diǎn)，PB與底面ABCD所成角正切值為．

(1)求證：；
(2)求點(diǎn)D到面的距離．
3（2024四川雅安）如圖，在四棱柱中，底面和側(cè)面均是邊長(zhǎng)為2的正方形．
(1)證明：．
(2)若，求點(diǎn)到平面的距離．
考法六 面面距
【例6】（2023·河南）如圖所示，正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，高為.

(1)證明：平面平面；
(2)求平面與平面間的距離.
【一隅三反】
1．（2023福建）在長(zhǎng)方體中，有一過且與平面平行的平面，棱，，則平面與平面的距離是 ．
2．（2024北京）直四棱柱中，底面為正方形，邊長(zhǎng)為，側(cè)棱，分別為的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；
(2)求平面與平面的距離．
3（2024江西）如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是AA1與CC1的中點(diǎn).
(1)證明：平面EB1D1平面FBD；
(2)求平面EB1D1與平面FBD之間的距離.
單選題
1．（2024山東）已知正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2和4，若側(cè)棱與底面ABCD所成的角為，則該正四棱臺(tái)的體積為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023山東）在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱中，，異面直線與所成角的余弦值為，則直線與直線的距離為（ ）
A．2B．1C．D．
3．（2024湖北）在直三棱柱中，所有棱長(zhǎng)均為1，則點(diǎn)到平面的距離為（ ）
A．B．C．D．
4．（2024河北 ）已知正方體的棱長(zhǎng)為為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到平面距離的最小值為（ ）
A．1B．C．D．2
5．（2024湖北宜昌 ）在棱長(zhǎng)為的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)， 則點(diǎn)到平面的距離為（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024廣東汕頭 ）如圖，在三棱錐中，平面，則下列選項(xiàng)中，不正確的是（ ）
A．平面平面
B．二面角的余弦值為
C．與平面所成角為
D．三棱錐外接球的表面積為
7．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在長(zhǎng)方體中，已知與所成的角為，與平面所成的角為，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．與平面所成的角為
C．平面D．與平面所成的角為
8．（2024陜西咸陽(yáng)）如圖，邊長(zhǎng)為2的兩個(gè)等邊三角形，若點(diǎn)到平面的距離為，則二面角的大小為（ ）

A．B．C．D．
多選題
9．（2024山東）在正方體中，下列結(jié)論正確的是（ ）．
A．B．平面
C．直線與所成的角為D．二面角的大小為
10．（2024黑龍江）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，則下列四個(gè)命題正確的是（ ）

A．兩條異面直線和所成的角為
B．直線與平面垂直
C．點(diǎn)到面的距離為
D．三棱柱外接球表面積為
11．（2023福建漳州 ）如圖，三棱錐中，，平面，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．直線與平面所成的角為
B．二面角的正切值為
C．點(diǎn)到平面的距離為
D．
12．（2024山東 ）在如圖所示的三棱錐中，，面，，下列結(jié)論正確的為（ ）
A．直線與平面所成的角為
B．二面角的正切值為
C．到面的距離為
D．異面直線
填空題
13．（2024上海）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，則異面直線與之間的距離是 .
14．（2023上?！て谀┤鐖D所示，正四面體的棱長(zhǎng)為1，則點(diǎn)到平面的距離為 .
15．（2024河北）在正方體中，與平面所成角的大小為 .
16．（2023北京）在正三棱柱中，，則直線到平面的距離為
解答題
17．（2024·四川）如圖，在四棱錐中，，，平面平面．
(1)證明：平面；
(2)已知，且，求點(diǎn)D到平面的距離．
18（2024陜西）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，是與的交點(diǎn)，，平面是的中點(diǎn)．
(1)證明：平面；
(2)求直線與平面所成角的正切值．
19．（2023甘肅）如圖，在三棱臺(tái)中，平面，，，.
(1)求證：平面平面；
(2)求與平面所成角正弦值.
20．（2024江蘇蘇州·階段練習(xí)）在三棱臺(tái)中，，，且平面平面．
(1)求證：平面平面；
(2)求二面角的正弦值．
21（2024河北）在平行六面體中，已知，．
(1)證明：平面；
(2)當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求二面角的余弦值．
22．（2024湖南）如圖，平行六面體的底面是菱形，且．試用盡可能多的方法解決以下兩問：

(1)若，記面為，面為，求二面角的平面角的余弦值；
(2)當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，能使平面？

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8.6 空間直線、平面的垂直

版本： 人教A版 (2019)

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