考法一 異面直線所成角
【例1】（2024山東煙臺）如圖，已知正四棱錐的所有棱長均為為棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】連接，取的中點，
連接,
由題意知，,
則異面直線與所成角為（或其補角），
在中，,則,
則異面直線與所成角的余弦值為，故選：C.
【一隅三反】
1．（2024·陜西）如圖，在直三棱柱中，為等腰直角三角形，且，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【解析】將直三棱柱補形為如圖所示的正四棱柱：
連接、，則，則異面直線與所成角的平面角為(或其補角)，又，，由余弦定理可得：.
故選：A
2．（2023北京昌平·期末）如圖，在正方體中，直線與直線所成角的大小為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
連接，，在正方體中，易得，
故直線與直線所成角的大小與直線與直線所成角大小相等，
又，故為等邊三角形，故，
即直線與直線所成角的大小為.
故選：C.
3．（2024北京）如圖，是圓錐的頂點，是底面直徑，點在底面圓上．若為正三角形，且，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由已知，
所以，設(shè)，則，
可得，
分別取的中點，連接，則，
所以或其補角為異面直線與所成角，
過點作于，連接，
則為中點，與底面垂直，且，
在中，，，
所以，
所以，
所以在中，
所以異面直線與所成角的余弦值為.
故選：A .
考法二 線線垂直
【例2-1】（2023北京）空間四邊形，，，分別是，，的中點，，，.求證：.
【答案】證明見解析
【解析】∵點G，E分別是CD，BC的中點，∴GEBD，同理GFAC.∴∠FGE或∠FGE的補角是異面直線AC與BD所成的角．
在△EFG中，∵FG＝2，GE＝，EF＝3，滿足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°.即異面直線AC與BD所成的角是90°.∴AC⊥BD.
【例2-2】（2023云南）如圖，是等腰直角三角形，都垂直于平面，且為線段的中點．證明：.
【答案】證明見解析
【解析】取BC中點為G，連接DG，AG．
因分別為中點，則．
則四邊形是平行四邊形，故．
因為，則，所以.
【一隅三反】
1．（2023福建福州）如圖，在正三棱柱中，E為棱AC的中點，.求證：.
【答案】證明見解析
【解析】如圖，取的中點F，連接EF，BF，
∵E為AC的中點，F(xiàn)為的中點，
∴，∴BE和EF所成角為，
即為異面直線BE與所成角，且.
在正三棱柱中，，.
在等邊三角形ABC中，，
在Rt△BCF中，.
在△BEF中，，
∴，∴.
2．（2024天津）如圖，已知長方體ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F(xiàn)分別是BD1和AD的中點，求證：CD1⊥EF.
【答案】證明見解析
【解析】如圖，取CD1的中點G，
連接EG，DG.
∵E是BD1的中點，
∴EG∥BC，EG＝BC.∵F是AD的中點，且AD∥BC，AD＝BC，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴EG∥DF，EG＝DF，∴四邊形EFDG是平行四邊形，
∴EF∥DG，
∴∠DGD1(或其補角)是異面直線CD1與EF所成的角.
又∵A1A＝AB，∴四邊形ABB1A1、四邊形CDD1C1都是正方形，又G為CD1的中點，∴DG⊥CD1，
∴∠D1GD＝90°，∴異面直線CD1與EF所成的角為90°.
所以CD1⊥EF.
3（22·23高一·全國·課堂例題）已知是棱長為a的正方體（如圖）．

(1)正方體的哪些棱所在的直線與直線是異面直線？
(2)求證直線與BC垂直．
(3)求直線與AC的夾角．
【答案】(1)，，，DA，DC，；
(2)證明見解析；
(3).
【解析】（1）正方體共有12條棱，與相交的棱有6條，與平行的棱不存在，
因此余下的6條棱所在直線分別與直線是異面直線，它們是，，，DA，DC，．
（2）在正方體中，由，得與AD的夾角就是與BC的夾角，
因為，則與BC的夾角為，
所以．
（3）連接，因為，
于是四邊形是平行四邊形，即，
從而與AC的夾角就是與的夾角，連接，
而，與都是正方體的面對角線，則有，即是正三角形，
所以與的夾角為，即與AC的夾角為．
考法三 線面垂直的判定
【例3-1】（2024廣東湛江）如圖，四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，，，為等邊三角形，，證明：BD平面

【答案】證明見解析
【解析】取中點，連，因為，，，，
所以四邊形為正方形，為等腰直角三角形，則
得，，故，

因為，，平面，
所以平面
2（2024海南）如圖，在三棱錐中，平面，，，，為棱的中點，證明：平面
【答案】證明見解析
【解析】證明：在中，，，，則，
所以，，
又因為平面，平面，所以，，
因為，、平面，因此，平面.
【一隅三反】
1．（2023高一課時練習(xí)）如圖，在正方體中，為的中點，.求證：
（1）平面；
（2）平面.
【答案】（1）證明見解析 ；（2） 證明見解析.
【解析】（1）因為四邊形為正方形，則，
平面，平面，，
，所以，平面；
（2）連接，
因為且，所以四邊形為平行四邊形，
所以且，
又因為為的中點，為的中點，則且，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
而面，面，所以面.
2．（2024天津）如圖，六棱錐的底面是邊長為1的正六邊形，平面，.
(1)求證：直線平面；
(2)求證：直線平面；
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【解析】（1）證明：∵正六邊形，∴，，
∴，∴，
∵平面，平面，
∴直線平面.
（2）在中，，易得，
在中，，，
∴,∴，
因為平面， 平面，故，
∵,平面，故直線平面.
3（2024內(nèi)蒙古）如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，.
(1)證明：平面.
(2)若，求三棱錐的體積.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】（1）記.
因為四邊形是菱形，所以.
因為平面平面，且，
所以平面.
因為平面，所以.
因為平面平面，且，
所以平面.
（2）因為，所以點到平面的距離是3.
因為四邊形是邊長為4的菱形，且，
所以，
則四棱錐的體積，
三棱錐的體積，
三棱錐的體積，
故三棱錐的體積
.
考法四 面面垂直判定
【例4】（2024河南）在四棱錐中，底面是正方形，平面．

(1)求證：平面⊥平面；
(2)求證：平面⊥平面．
【答案】(1)證明過程見解析
(2)證明過程見解析
【解析】（1）因為平面，平面，所以，
又因為底面是正方形，所以，
又因為平面，所以平面，
又平面，所以平面⊥平面.
（2）因為平面，平面，所以，
又因為底面是正方形，所以，
又因為平面，所以平面，
又平面，所以平面⊥平面.
【一隅三反】
1（2024廣西柳州）如圖，四邊形是正方形，平面，，分別為的中點，且．求證：平面平面．

【答案】證明見解析
【解析】∵平面，，
∴平面．
又平面，∴．
∵四邊形為正方形，∴．
又，平面，∴平面．
在中，分別為的中點，
∴，∴平面．又平面，
∴平面平面．
2．（2023內(nèi)蒙古）如圖，在四棱錐中，已知底面為矩形，平面為棱的中點，連接.求證：
(1)平面；
(2)平面平面.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【解析】（1）連接，交于點，連接，
因為底面為矩形，所以為的中點，
又為的中點，所以，
因為平面，平面，
故平面；
（2）平面，平面，∴，
∵底面為矩形，.
又，平面，平面.
又平面，平面平面.
3（2024江蘇南京）正三棱柱的底面邊長與側(cè)棱長都是2，分別是的中點．
(1)求三棱柱的全面積；
(2)求證：∥平面；
(3)求證：平面⊥平面．
【答案】(1)；
(2)證明見解析；
(3)證明見解析.
【解析】（1）因為三棱柱是正三棱柱，且棱長均為2，所以底面是正三角形，側(cè)面均為正方形，
故三棱柱的全面積為；
（2）在正三棱柱中，因為分別是的中點，
可知，又∥，
所以四邊形是平行四邊形，故∥，
又平面，平面，
所以∥平面．
（3）連，設(shè)與相交于，則由側(cè)面為正方形，可知與互相平分．
在中，，在中，，故，
連，則．
又，，連，則，
又與相交于，，平面，所以平面．
因為平面，所以平面平面．
考法五 線面垂直的性質(zhì)定理
【例5-1】（2023上海）如圖，平面平面，，，垂足分別為，，直線平面，.求證：.
【答案】證明見解析
【解析】如圖：
∵，，∴.同理.
∵，，平面，∴平面.
又∵，，∴.
∵，，，平面，∴平面.∴.
【例5-2】（2023安徽）圓柱如圖所示，為下底面圓的直徑，為上底面圓的直徑，底面，證明：面
【答案】證明見解析
【解析】證明：連接，，，可得平面，
∵平面，∴，
∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴且，
∴四邊形為平行四邊形，∴，
∵平面，平面，∴平面
【例5-3】（2023廣東肇慶）如圖，在正三棱柱中，D是棱的中點.
(1)證明：；
(2)證明：平面.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【解析】（1）由題意知，平面，為正三角形.
由平面，得，
因為D為AC的中點，所以，
又平面，
所以平面，而平面，
所以；
（2）如圖，取的中點F，連接，
則且，且，
所以四邊形、為平行四邊形，得，，
又平面，平面，平面，平面，
所以平面，平面，又平面，
所以平面平面，又平面，
所以平面.
【一隅三反】
1．（2023北京）如圖，已知正方體的棱長為2． ，分別為與上的點，且，．
求證：；
【答案】證明見解析
【解析】證明：如圖，連接，．
∵平面，平面，
∴．
∵四邊形是正方形，
∴，
又∵，平面，
∴平面．
又∵平面，
∴．同理可得，
又∵，平面，
∴平面．
∵，，
∴四邊形為平行四邊形，
∴．
∵，
∴．
又∵，，平面，
∴平面．
∴．
2．（22·23高一下·新疆省直轄縣級單位·階段練習(xí)）如圖，已知平面ACD，平面ACD，為等邊三角形，，F(xiàn)為CD的中點，求證：∥平面BCE.
【答案】證明見詳解
【解析】因為平面ACD，平面ACD，則∥，
取的中點，連接，
因為分別為的中點，則∥，且，
由題意可得：∥，且，
則∥，且，則為平行四邊形，
可得∥，
且平面BCE，平面BCE，
所以∥平面BCE.

3．（2024湖北）如圖，在直三棱柱中，，，點是的中點．
(1)求證：平面；
(2)求證：．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【解析】（1）證明：連接，交于點，連接，
為平行四邊形對角線的交點，為的中點．
在中，分別為的中點，，
平面平面平面.
（2）證明：是直三棱柱，平面，
平面．
是的中點，．
平面平面，
平面．
在中，，
在中，，
，
．
平面平面，
平面．
考法六 面面垂直的性質(zhì)定理
【例6-1】（2024·河南信陽）設(shè)兩條直線，，兩個平面，，則下列條件能推出的是（ ）
A．，，且B．，，且
C．，，且D．，，且，
【答案】A
【解析】對于A，由，，得，而，所以；
對于B，若，，且，此時，可能相交，如下圖所示：
當(dāng)，，，都與平行時，，相交，B錯誤；
對于C，若，，且，此時，可能相交，如下圖所示：
當(dāng)，都與平行時，，相交，C錯誤；
對于D，若，，且，，此時，可能相交，如下圖所示：
當(dāng)，都與平行時，，相交，D錯誤.
故選：A
【例6-2】（2023北京）如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，E是上一點，且，若平面平面．
(1)求證：平面；
(2)棱上是否存在點F，使得∥平面？請說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在；理由見解析
【解析】（1）∵四邊形是平行四邊形，且，
∴四邊形是菱形，且，
∵平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，
．
與相交，平面，
平面．
（2）當(dāng)F為的中點時，平面．理由如下：
取F為的中點，G為的中點，連接，
則，且．
∵底面為菱形，且E為的中點，
，且．
，且．
∴四邊形是平行四邊形，．
平面平面平面．
【一隅三反】
1．（2023山東濟寧 ）已知不重合的平面、、和直線，則“”的充分不必要條件是（ ）
A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行B．內(nèi)的任何直線都與平行
C．且D．且
【答案】D
【解析】對于A選項，若內(nèi)有無數(shù)條直線與平行且這無數(shù)條直線是平行直線，則、平行或相交，
即“內(nèi)有無數(shù)條直線與平行”“”，A不滿足；
對于B選項，由面面平行的定義可知，“內(nèi)的任何直線都與平行”“”，B不滿足；
對于C選項，若且，則、平行或相交，
則“且”“”，C不滿足；
對于D選項，由線面垂直的性質(zhì)可知，若且，則，
反之，若，則“且”不一定成立，
故“且”是“”的充分不必要條件，D滿足.
故選：D.
2．（2023·河南·模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱中，，平面平面為的中點.

(1)求證：平面；
(2)求證：.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【解析】（1）連接交于點，則為的中點，連接，
因為為的中點，所以，
又平面，且平面，
所以平面.
（2）連接，因為，所以四邊形為菱形，
所以，
又平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
又平面，所以，
因為平面，
所以平面，
又平面，所以.

3．（2023高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，側(cè)面底面，側(cè)面是菱形，，，．若為的中點，求證：．
【答案】證明見解析
【解析】∵側(cè)面是菱形，∴，
∵為的中點，∴，
∵側(cè)面底面，側(cè)面底面，，底面，
∴側(cè)面，
∵側(cè)面，∴，
∵，平面，∴平面，
∵平面，∴．
4．（2023河南）如圖，已知長方形中，，，為的中點，將沿折起，使得平面平面．求證：．
【答案】證明見解析
【解析】在長方形中，，，
為的中點，則，
即有，于是，
因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因為平面，
所以．
單選題
1．（2024·湖北 ）正方體中，為的中點，則直線與所成角的正切值為（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【解析】
連接，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，
所以或其補角為直線 DP與所成的角，
因為平面，?平面，所以又，
，?平面，所以平面
又平面，所以
設(shè)正方體的棱長為2，則
在中， 所以故直線與所成的角的正切值為.
故選: C.
2．（2023北京海淀 ）已知三棱柱中，側(cè)面底面，則“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】①已知側(cè)面底面，且側(cè)面底面，
又平面，
若，則由面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，
平面，則，
所以則“”是“”的必要條件；
②若三棱柱是直三棱柱，底面是正三角形，
則底面，平面，則滿足條件側(cè)面底面.
又平面，則，但與不垂直.
所以“”不是“”的充分條件.
綜上所述，“”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
3．（2023·廣東 ）如圖，在四面體中，，平面平面為線段的中點，則下列判斷錯誤的是（ ）

A．B．平面
C．D．平面
【答案】C
【解析】因為平面平面，平面平面，
所以平面，即B項正確；
因為平面，所以，即A正確；
因為為線段的中點，
所以，同理可得平面，即D正確；
因為平面，平面，所以，
平面，若，則平面，
顯然不重合，故C錯誤.
故選：C
4．（22·23高一下·全國·課時練習(xí)）對于直線m、n和平面、，的一個條件是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】C
【解析】A選項中，根據(jù)，，，有可能出現(xiàn)的情況，所以A錯誤；
B選項中，，，，不一定得到，如下圖，所以B錯誤；

C選項中，過作面與面交于，如下圖，

∵，，，∴，
∵，，∴，∴，
又，從而得到，所以C正確；
D選項中，根據(jù)，，所以，
而，所以得到，所以D錯誤.
故選：C.
5．（2023北京房山 ）如圖，四棱錐中，底面是矩形，，平面，下列敘述中錯誤的是（ ）
A．∥平面B．
C．D．平面平面
【答案】C
【解析】對于選項A：在矩形中，∥，平面，平面，
∥平面，故選項A正確；
對于選項B：平面，平面，，
在矩形中，，，平面，
所以平面，而平面，，故選項B正確；
對于選項C：因為平面，而平面，所以，
所以，而，
，
在一般矩形中，與不垂直，所以，即，與不垂直，故選項C不正確；
對于選項D：平面，平面，所以平面平面，故選項D正確．
綜述：只有選項C不正確．
故選：C.
6．（2024江西上饒 ）設(shè)m，n是不同的直線，是不同的平面，則下列命題正確的是（ ）
A．，則B．，則
C．，則D．，則
【答案】D
【解析】對于A，在長方體中，平面為平面，分別為直線，
顯然滿足，而，此時不成立，A錯誤；
對于B，在長方體中，平面，平面分別為平面，為直線，
顯然滿足，而，此時不成立，B錯誤；
對于C，在長方體中，平面，平面分別為平面，為直線，
顯然滿足，而，此時不成立，C錯誤；
對于D，因為，由線面垂直的性質(zhì)知，，D正確.
故選：D
7．（22·23高一下·江蘇鎮(zhèn)江·期末）對于直線和不重合的平面，，下列命題中正確的是（ ）
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，，則
【答案】B
【解析】對于A，若，，則可能相交，如圖，故A錯誤；
對于B，若，，由線面垂直的性質(zhì)可知，故B正確；
對于C，若，，則可能平行，如圖，故C錯誤；
對于D，若，，，則可能，如圖，故D錯誤.
故選：B.
8．（2024陜西 ）已知在邊長為6的菱形中，，點，分別是線段，上的點，且．將四邊形沿翻折，當(dāng)折起后得到的幾何體的體積最大時，下列說法其中正確的是（ ）

A．
B．
C．平面平面
D．平面平面
【答案】C
【解析】在幾何體中，平面，平面，
平面，平面，則平面，平面，
而平面，因此平面平面，
顯然，即四邊形都是平行四邊形，
且≌，因此幾何體是三棱柱，
在菱形中，作于，交于，則，，

在幾何體中，平面，
則平面，顯然，
幾何體的體積，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
因此幾何體的體積最大時，，而平面，
于是平面，又平面，從而平面平面，C正確；

由平面，則，又，則，而是中點，
即不垂直于，而，因此不垂直于，不垂直于，A錯誤；
顯然，則與成角，因此不垂直，B正確；
假定平面平面，由平面平面，得平面平面，
在平面內(nèi)過作于，而平面平面，
則平面，又平面，則，由平面，平面，
得，而平面，于是平面，
又平面，因此與矛盾，即假定是錯的，D錯誤.
故選：C
多選題
9．（2024貴州貴陽 ）已知,表示平面，m，n表示直線，則（ ）
A．若，n，則m
B．若，，則
C．若，，則
D．若，，則
【答案】CD
【解析】A選項，若，n，則可能平行，相交或異面，故A錯誤；
B選項，若，，則,可能相交或平行，故B錯誤；
C選項，若，，由線面垂直性質(zhì)可知，故C正確；
D選項，若，，則,互相平行，故D正確.
故選：CD
10．（2024云南玉溪 ）在正方體中，E，F(xiàn)分別是線段BC，的中點，則（ ）
A．
B．
C．異面直線，EF所成角的正切值為
D．異面直線，EF所成角的正切值為
【答案】ABC
【解析】如圖所示，F(xiàn)是線段的中點，連接交于F，F(xiàn)是線段的中點，故，故A正確；
又，故，故B正確；
由正方體的性質(zhì)知，則異面直線，EF所成角即為直線，EF所成角，
故是異面直線EF與所成角，故，故C正確：
由正方體的性質(zhì)知，則異面直線，EF所成角即為直線BC，EF所成角，
故是異面直線EF與所成角，故，故D錯誤，
故選：ABC．
11．（2024黑龍江）（多選）如圖，在三棱錐P-ABC中，平面的中點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．平面 B． C．平面 D．平面
【答案】ABC
【解析】平面，平面
，又，平面且
平面，故A正確
由平面，平面
得
又，是的中點，
又平面，
平面，平面
，故B,C正確
由平面，平面
得
因為與不平行
因此與不垂直
從而不與平面垂直，故D錯誤
故選：ABC.
12（2023河北 ）如圖，在三棱錐中，若，，是的中點，則下列說法中錯誤的是（ ）．
A．平面平面
B．平面平面
C．平面平面，且平面平面
D．平面平面，且平面平面
【答案】ABD
【解析】因為，且是的中點，所以，同理，，
由于，平面，平面，
所以平面，
因為平面，所以平面平面，
又平面，所以平面平面，
故正確；
由于平面平面，若平面平面，而平面平面，
則平面,但已知條件不能保證平面,所以平面與平面不一定垂直，故錯誤；同理平面與平面不一定垂直，故錯誤；
由于，所以當(dāng)時平面，當(dāng)長度趨于0時，二面角接近，故平面與平面不一定垂直，故錯誤；
故選：.
填空題
13．（2023廣東）如圖，在三棱錐中，，且，E，F(xiàn)分別是棱，的中點，則EF和AC所成的角等于
【答案】45°
【解析】如圖所示，取BC的中點G，連接FG，EG．
，F(xiàn)分別是CD，AB的中點，
，，且，．
為EF與AC所成的角．
又，．
又，，，
為等腰直角三角形，，即EF與AC所成的角為45°．
14．（2024·安徽）如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1的棱中，與棱AB垂直的棱有 條
【答案】8
【解析】在長方體ABCD－A1B1C1D1的棱中，與棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8條．
15．（2023廣東）下圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中，有以下判斷：①BF與DN平行；②CM與BN是異面直線；③DF與BN垂直；④AE與DN是異面直線．則判斷正確的個數(shù)是
【答案】2
【解析】把平面展開圖折起，得到如圖所示的正方體,
則BF與DN是異面直線，故①錯誤；
CM與BN平行，故②錯誤；
由題可知，所以DF與BN垂直，故③正確；
AE與DN是異面直線，故④正確；故正確個數(shù)為2．
（2023湖南永州）如圖，正三棱柱中，點E為正方形的中心，點F為棱的中點，則異面直線與所成角的正切值為
【答案】2
【解析】在正三棱柱中，取中點，連接，
由點E為正方形的中心，得，而，
于是，由為棱的中點，得，
則四邊形是平行四邊形，有，即或其補角就是異面直線與所成的角，
顯然正三棱柱所有棱長都相等，令棱長為2，
則，
等腰底邊上的高，，
所以異面直線與所成角的正切值為.
解答題
17．（2023廣東潮州）如圖（1），在梯形中，且，線段上有一點E，滿足，，現(xiàn)將，分別沿，折起，使，，得到如圖（2）所示的幾何體，求證：
【答案】證明見解析
【解析】證明：在中，，
所以，，
在中，，，，
由余弦定理得，
所以，所以，
同理可得，在中，，且，
在中，，所以，
因為，，平面，所以平面，
在中，，
在中，，則，
因為，平面，所以平面，
所以.
18．（2024河南南陽）如圖，已知是正三角形，、都垂直于平面，且，為的中點．
(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【解析】（1）證明：取的中點，連接、，
因為、都垂直于平面，則且，
因為、分別為、的中點，則且，且，
所以，四邊形為平行四邊形，則，
平面，平面，平面.
（2）證明：為等邊三角形，且為的中點，所以，，
平面，平面，，
，、平面，平面，
，平面，平面，所以，平面平面.
19．（2023上海）如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，已知平面，且，為中點．
(1)證明：平面；
(2)證明：平面平面．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【解析】（1）連接交于點，連接，
四邊形為正方形，為中點，又為中點，，
平面，平面，平面.
（2）平面，平面，；
四邊形為正方形，；
，平面，平面，
平面，平面平面.
20．（2024上海）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，E為AD的中點．
(1)求證：；
(2)在線段PC上是否存在點M，使得平面PEB？請說明理由
【答案】(1)證明見解析
(2)存在為中點時，平面，理由見解析
【解析】（1）因為為中點，所以，
又因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，
因此．
（2）存在為中點時，平面，理由如下：
取中點為，連接，
因為為中點，，且．
在矩形中，為中點，所以，且．
所以，且，所以四邊形為平行四邊形，
因此，又因為面面，
所以面．
21．（2024內(nèi)蒙古）如圖，在四面體中，
(1)證明：
(2)若，求四面體的體積
【答案】(1)證明見解析
(2)．
【解析】（1）
如圖，取的中點為E，連結(jié)，，
∵，∴，
在和中，，，，
∴，∴，
∵的中點為E，∴，
∵，平面，平面，
∴平面，
∵平面，∴．
（2）在中，，，設(shè)，
由余弦定理，解得．
因為，，所以，
∴在中，因，
則，，，
又由余弦定理得，∴，
∴，
由（1）知平面，
∴．
22．（2024安徽合肥）如圖，表面積為的長方體中，，點M是線段上靠近A的三等分點.
(1)求證：平面；
(2)求點到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】（1）由題意得，，解得，
，.
在長方體中，，，
，即.
在長方體中，平面，平面，
，同理，
又，平面.
（2）設(shè)點到平面的距離為h，
由（1）知，平面，，又，
，，.
，，解得，
點到平面的距離為.

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊電子課本

8.6 空間直線、平面的垂直

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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