【題型一 點線距】
1.(2023·陜西安康·高三期末）如圖，在正三棱柱中，若，則C到直線的距離為（ ）
A．B．C．D．
2.(2023·江蘇南通市高三模擬）如圖，已知三棱柱的棱長均為2，，．
(1)證明：平面平面ABC；
(2)設M為側棱上的點，若平面與平面ABC夾角的余弦值為，求點M到直線距離．
3. (2023·陜西高三模擬）如圖，已知正方體的棱長為1，則線段上的動點P到直線的距離的最小值為
4. 已知正方體ABCD -A1B1C1D1的棱長為2，點E是A1B1的中點，則點A到直線BE的距離是( )
A．B．
C．D．
【題型二 點面距】
1.(2023·全國高三模擬）已知正方體的棱長為2，，分別為上底面和側面的中心，則點到平面的距離為（ ）
A．B．C．D．
2.(2023·河北衡水中學高三模擬）將邊長為的正方形沿對角線折成直二面角，則點到平面的距離為___．
3. (2023·安徽·合肥市第六中學高一期中））將邊長為2的正方形沿對角線折起，使得平面⊥平面，則點到平面的距離等于（ ）
A．B．C．D．
4. (2023·全國高三模擬）在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為矩形，平面ABCD⊥平面PAB，點E，F(xiàn)分別在線段CB，AP上，且，．
(1)求證：平面PCD；
(2)若，，求點D到平面EFP的距離．
【題型三 線線距】
1.(2023·江西高三模擬）在長方體中，，，，則異面直線與之間的距離是（ ）
A．B．C．D．
2.(2023·重慶八中高三階段練習）如圖，多面體是由長方體一分為二得到的，，，，點D是中點，則異面直線與的距離是______．
3．(2023·全國·高三專題練習）長方體中，，，為的中點，則異面直線與之間的距離是（ ）
A．B．C．D．
4. (2023·全國·高三專題練習）如圖，正四棱錐的棱長均為2，點E為側棱PD的中點．若點M，N分別為直線AB，CE上的動點，則MN的最小值為______．
【題型四 線面距】
1.(2023·山東·模擬預測）如圖，在長方體中，，，.
(1)求直線與平面所成的角的大??；
(2)求直線到平面的距離.
2. (2023·廣東佛山市高三模擬）如圖，在正方體中，為的中點．
(1)證明：平面AD1E
(2)求直線到平面的距離；
3. (2023·云南昆明市高三模擬）如圖，已知正方體的棱長為2，E、F分別是、的中點．
(1)求證：平面；
(2)在線段BD上是否存在點H，使得EH⊥平面？若存在，求點H的位置；若不存在，說明理由；
(3)求EF到平面的距離．
【題型五 面面距】
1.(2023·山東·模擬預測）如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，BB1的中點，則A1B1到平面D1EF的距離是________．
2. (2023·廣東佛山市高三模擬）在棱長為的正方體中，則平面與平面之間的距離為
A．B．
C．D．
3. (2023·云南昆明市高三模擬）如圖，在直三棱柱中，，，，分別為，，的中點，點在棱上，且，，.
(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面；
(3)求平面與平面的距離.
7.8 空間幾何體中求距離
【題型解讀】
【題型一 點線距】
1.(2023·陜西安康·高三期末）如圖，在正三棱柱中，若，則C到直線的距離為（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由題意知，，
取AC的中點O，則，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
所以，
所以在上的投影的長度為，
故點C到直線的距離為：.
故選：D
2.(2023·江蘇南通市高三模擬）如圖，已知三棱柱的棱長均為2，，．
(1)證明：平面平面ABC；
(2)設M為側棱上的點，若平面與平面ABC夾角的余弦值為，求點M到直線距離．
答案：(1)見解析(2)
【解析】(1)取AC的中點O，連接，，，所以由題設可知，為邊長為2的等邊三角形，所以，
由，，所以所以平面ABC；
平面,所以平面平面ABC；
(2)以OA所在直線為x軸，以OB所在直線為y軸，以所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，
所以
設可得，
設平面的法向量為則
即取
所以因為為平面ABC的一個法向量，
設平面與平面ABC夾角為，
解得，所以
所以點M到直線距離
3. (2023·陜西高三模擬）如圖，已知正方體的棱長為1，則線段上的動點P到直線的距離的最小值為
答案：
【解析】如圖建立空間直角坐標系，則，
設，則，
∴動點P到直線的距離為
，當時取等號，
即線段上的動點P到直線的距離的最小值為.
4. 已知正方體ABCD -A1B1C1D1的棱長為2，點E是A1B1的中點，則點A到直線BE的距離是( )
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】建立如圖所示空間直角坐標系，則＝(0,2,0)，＝(0,1,2)．
∴csθ＝＝.∴sinθ＝.
故點A到直線BE的距離d＝||sinθ＝2×.故答案為B
【題型二 點面距】
1.(2023·全國高三模擬）已知正方體的棱長為2，，分別為上底面和側面的中心，則點到平面的距離為（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
如圖，以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，易知，
設平面的法向量，則，令，解得，
故點到平面的距離為.
故選：A.
2.(2023·河北衡水中學高三模擬）將邊長為的正方形沿對角線折成直二面角，則點到平面的距離為___．
答案：
【解析】記AC與BD的交點為O，圖1中，由正方形性質可知，
所以在圖2中，，所以，即
如圖建立空間直角坐標系，易知
則
則
設為平面ABC的法向量，
則，取，得
所以點到平面的距離
故答案為：
3. (2023·安徽·合肥市第六中學高一期中））將邊長為2的正方形沿對角線折起，使得平面⊥平面，則點到平面的距離等于（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】取中點為,四邊形是邊長為2的正方形，，
則，，
由題知，平面平面，且交線為，.且平面，
則平面，又平面，所以，
在中，，
是等邊三角形，則，
則在中，，
設點到平面的距離為，
則，即，即：，解得：，
即到平面的距離為．故選：D．
4. (2023·全國高三模擬）在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為矩形，平面ABCD⊥平面PAB，點E，F(xiàn)分別在線段CB，AP上，且，．
(1)求證：平面PCD；
(2)若，，求點D到平面EFP的距離．
答案：(1)證明見解析(2)
【解析】(1)證明：如圖，取的中點，連接，．
在中，點，分別為，的中點，
∴且．
在矩形中，點為的中點，
∴且，∴且．
∴.四邊形是平行四邊形，
∴．
又∵平面，平面，
∴平面．
(2)解：∵四邊形是矩形，
∴．
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，又平面，∴，
∵，，，平面.
∴平面，即就是點到平面的距離．
∵，平面，平面，所以平面，
∴點到平面的距離等于點到平面的距離．
又∵，
∴．
同理可證平面，即，
且，， 平面，
∴平面.
∴，即．
∴，
∴點到平面的距離為．
【題型三 線線距】
1.(2023·江西高三模擬）在長方體中，，，，則異面直線與之間的距離是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】如圖所示，以為原點，所在直線為軸如圖建立空間直角坐標系
則
設直線與的公垂線的方向向量為則
不妨令又
則異面直線與之間的距離故選：D
2.(2023·重慶八中高三階段練習）如圖，多面體是由長方體一分為二得到的，，，，點D是中點，則異面直線與的距離是______．
答案：
【解析】以為坐標原點，分別以，,為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則,,,,
∴,,
設是，的公垂線方向上的單位向量，
則，即①，
，即②，
易知③，
聯(lián)立解得，，或，，；
不妨取，
又∵,
則異面直線與的距離，
故答案為：.
3．(2023·全國·高三專題練習）長方體中，，，為的中點，則異面直線與之間的距離是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，
，，
設與的公垂線的一個方向向量為，
則，取，得，，即，
又，所以異面直線與之間的距離為．故選：D．
4. (2023·全國·高三專題練習）如圖，正四棱錐的棱長均為2，點E為側棱PD的中點．若點M，N分別為直線AB，CE上的動點，則MN的最小值為______．
答案：
【解析】
建立如圖所示的空間直角坐標系，則有：
，，，，，
可得：
設，且
則有：，
可得：
則有：
故
則當且僅當時，
故答案為：
【題型四 線面距】
1.(2023·山東·模擬預測）如圖，在長方體中，，，.
(1)求直線與平面所成的角的大??；
(2)求直線到平面的距離.
答案：(1)(2)
【解析】(1)在長方體中， 平面,
即 平面，則 即為直線與平面所成的角，
由于，，故，
即直線與平面所成的角為；
(2)在長方體中，
由于 ,故四邊形是平行四邊形，
故，而平面，平面，
故平面，則點B到平面的距離即為直線到平面的距離.；
而 ,
故 ,
設點B到平面的距離為h，
則,即 ,
則 ，
即直線到平面的距離為.
2. (2023·廣東佛山市高三模擬）如圖，在正方體中，為的中點．
(1)證明：平面AD1E
(2)求直線到平面的距離；
答案：(1)證明見解析(2)
【解析】（1），，四邊形為平行四邊形，，面，面，平面．
（2）如圖建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為，
則，，，，，平面，直線到平面的距離即為點到平面的距離，所以，，，設平面的一個法向量為，則，取，得，，直線到平面的距離為.
3. (2023·云南昆明市高三模擬）如圖，已知正方體的棱長為2，E、F分別是、的中點．
(1)求證：平面；
(2)在線段BD上是否存在點H，使得EH⊥平面？若存在，求點H的位置；若不存在，說明理由；
(3)求EF到平面的距離．
答案：(1)證明見解析(2)答案見解析(3)
【解析】(1)連接，由正方體的性質知：，所以四邊形是平行四邊形，所以
，又因為在三角形中，，平面，平面，平面.

(2)取的中點，則滿足平面，證明如下：
連接交于，連接，，，，，，
則，，，，
∴在中，由，得，
∴在中，由，得，
∴在中，由，得，
∴在中，，，
又∵，，平面，
∴平面
(3)平面，又因為平面，為交的交點，所以EF到平面的距離即為，由（2）知
【題型五 面面距】
1.(2023·山東·模擬預測）如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，BB1的中點，則A1B1到平面D1EF的距離是________．
答案：
【解析】因為，且面，所以，面，則A1B1到平面D1EF的距離為到面的距離，且明顯可見，面，對于三棱錐，有，設到面的距離為，
由題意得，，，，在中，得到，
，所以，
，化簡得
，
進而可得，
故答案為：
2. (2023·廣東佛山市高三模擬）在棱長為的正方體中，則平面與平面之間的距離為
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】建立如圖所示的直角坐標系，則，，，，
所以，，，
設平面的一個法向量，則，
即，解得，故，
顯然平面平面，
所以平面與平面之間的距離．
3. (2023·云南昆明市高三模擬）如圖，在直三棱柱中，，，，分別為，，的中點，點在棱上，且，，.
(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面；
(3)求平面與平面的距離.
答案：(1)見解析(2)見解析(3)
【解析】(1)證明：在直三棱柱中，
為的中點，，，
故，
因為，
所以，
又平面，平面，
所以，
又因，，
所以平面，
又平面，所以，
又，
所以平面；
(2)證明：取的中點，連接，
則為的中點，
因為，，分別為，，的中點，
所以，且，
所以四邊形是平行四邊形，
所以，所以，
又平面，平面，
所以平面，
因為，所以，
又平面，平面，
所以平面，
又因，平面，平面，
所以平面平面；
(3)
設，
因為平面，平面平面，所以平面，
所以即為平面與平面的距離，
因為平面，所以，
，
所以，
即平面與平面的距離為.

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