考法一 平面的基本性質(zhì)及推理
【例1-1】（2023廣東）關(guān)于平面的說(shuō)法，正確的有（ ）
①平面是絕對(duì)平的且是無(wú)限延展的；
②平面的形狀是平行四邊形；
③三角形可以表示平面；
④某一個(gè)平面的面積為1 m2；
⑤8個(gè)平面重疊起來(lái)，要比5個(gè)平面重疊起來(lái)厚．
A．1個(gè)B．2個(gè)
C．3個(gè)D．4個(gè)
【例1-2】（2023·北京海淀）給出下面四個(gè)命題：
①三個(gè)不同的點(diǎn)確定一個(gè)平面；
②一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面；
③空間兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面；
④兩條平行直線確定一個(gè)平面．
其中正確的命題是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【一隅三反】
1．（2023下·山東煙臺(tái)）下列幾何元素可以確定唯一平面的是（ ）
A．三個(gè)點(diǎn)B．圓心和圓上兩點(diǎn)
C．梯形的兩條邊D．一個(gè)點(diǎn)和一條直線
2．（2023安徽）下列條件一定能確定一個(gè)平面的是（ ）
A．空間三個(gè)點(diǎn)B．空間一條直線和一個(gè)點(diǎn)
C．兩條相互垂直的直線D．兩條相互平行的直線
3．（2023云南）下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）
①三角形是平面圖形； ②四邊形是平面圖形；
③四邊相等的四邊形是平面圖形；④圓是平面圖形．
A．1B．2
C．3D．4
考法二 點(diǎn)共面
【例2-1】（2024·上海 ）在正方體中，、、、分別是該點(diǎn)所在棱的中點(diǎn)，則下列圖形中、、、四點(diǎn)共面的是（ ）
A．B．
C．D．
【例2-2】（2023·全國(guó) 專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，分別是，的中點(diǎn)，證明：四點(diǎn)共面．
【一隅三反】
1．（2023北京）如圖所示．是正方體，O是的中點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn)M，給出下列結(jié)論：
①A、M、O三點(diǎn)共線； ②A、M、O、不共面：
③A、M、C、O共面； ④B、、O、M共面，
其中正確的序號(hào)為_(kāi)________．
2．（2023上·山西呂梁 ）如圖，把正方形紙片ACDB沿對(duì)角線BC折成直二面角，E，F(xiàn)，G，H分別為BD，BA，AC，CD的中點(diǎn)，O是原正方形ABCD的中心，.
(1)求證：.E，F(xiàn)，G，H共面.
(2)求EG的長(zhǎng).
3．（2023·河北）如圖，已知E，F(xiàn)，G，H分別為四面體ABCD的棱長(zhǎng)AB，BC，CD，AD的中點(diǎn)，求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．

考法三 點(diǎn)共線
【例3】（2023·河南信陽(yáng)）如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別是上的點(diǎn)，且.

(1)證明：四點(diǎn)共面；
(2)設(shè)，證明：A，O，D三點(diǎn)共線.
【一隅三反】
1．（2024·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，在平面外，三邊AB，AC，BC所在直線分別交平面于P，Q，R三點(diǎn)．求證：P，Q，R三點(diǎn)在同一直線上．
2．（2023·河南）已知三邊所在直線分別與平面α交于三點(diǎn)，求證：三點(diǎn)共線．

3．（2023上·北京）如圖，在空間四邊形中，、分別是、的中點(diǎn)，，分別在，上，且.

(1)求證：；
(2)設(shè)與交于點(diǎn)，求證：三點(diǎn)共線.
考法四 線共點(diǎn)
【例4】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，分別是和的中點(diǎn)．

證明：，，三線共點(diǎn)．
【一隅三反】
1．（2023下·安徽 ）空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別在AB，BC，CD，AD上，且滿足，.
(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；
(2)求證：EH，F(xiàn)G，BD三線共點(diǎn).
2（2023下·陜西·高一校聯(lián)考期中）已知分別是正方體中和的中點(diǎn).
(1)證明：四點(diǎn)共面.
(2)證明：三條直線交于一點(diǎn).
3．（2024·安徽 ）如圖，在三棱柱ABC-中，E為棱AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱BC的中點(diǎn).
(1)求證：E，F(xiàn)，C1，四點(diǎn)共面；
(2)求證：A1E，F(xiàn)，B交于一點(diǎn).
考法五 平面分空間的區(qū)域數(shù)量、點(diǎn)線分平面數(shù)量
【例5-1】（2023·上海浦東新）兩條相交直線確定 個(gè)平面.
【例5-2】（2023甘肅）一條直線和直線外的三點(diǎn)所確定的平面有（ ）
A．1個(gè)或3個(gè)B．1個(gè)或4個(gè)
C．1個(gè)，3個(gè)或4個(gè)D．1個(gè)，2個(gè)或4個(gè)
【例5-3】（2024黑龍江）一個(gè)平面將空間分成兩部分，兩個(gè)平面最多將空間分成四部分，三個(gè)平面最多將空間分成八部分……由此猜測(cè)，個(gè)平面最多將空間分成（ ）部分.
A．2nB．C．D．
【一隅三反】
1．（2023上·四川樂(lè)山）三個(gè)平面將空間分成7個(gè)部分的示意圖是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023湖北）三個(gè)互不重合的平面把空間分成六部分時(shí)，它們的交線有
A．1條B．2條
C．1條或3條D．1條或2條
3．（2023遼寧）已知空間四點(diǎn)中，無(wú)三點(diǎn)共線，則經(jīng)過(guò)其中三點(diǎn)的平面有（ ）
A．一個(gè)B．四個(gè)C．一個(gè)或四個(gè)D．無(wú)法確定平面的個(gè)數(shù)
4．（2013·江西吉安）三條互相平行的直線最多可確定 個(gè)平面．
考法六 空間中直線與直線的位置關(guān)系
【例6】（2024·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1，判斷下列直線的位置關(guān)系：

（1）直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是 ；
（2）直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是 ；
（3）直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是 ；
（4）直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是 ．
【一隅三反】
1．（2024上·北京海淀）如圖，已知E，F(xiàn)分別為三棱錐的棱的中點(diǎn)，則直線與的位置關(guān)系是 （填“平行”，“異面”，“相交”）．
2．（2023上·上海 ）如圖，正六棱柱的底面和頂面均為正六邊形，側(cè)棱均垂直于底面和頂面.其6個(gè)側(cè)面12條面對(duì)角線所在的直線中，與直線異面的共有 條.

3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，正方體中．求證：和為異面直線．

考法七 空間直線與平面的位置關(guān)系
【例7】（2023下·河北邢臺(tái)·高一統(tǒng)考期中）在空間中，，，為互不重合的三條直線，，為兩個(gè)不同的平面，則（ ）
A．對(duì)任意直線，，總存在直線，使得，
B．對(duì)任意直線，，總存在直線，使得，
C．對(duì)任意平面，，總存在直線，使得，
D．對(duì)任意平面，，總存在直線，使得，
【一隅三反】
1．（2024·全國(guó)· 專(zhuān)題練習(xí)） “直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)”是“直線與平面平行”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
2．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）已知直線a，b異面，下列判斷正確的是（ ）
A．過(guò)b的平面不可能與a平行B．過(guò)b的平面不可能與a垂直
C．過(guò)b的平面有且僅有一個(gè)與a平行D．過(guò)b的平面有且僅有一個(gè)與a垂直
3．（2024·廣東茂名 ）若直線a不平行于平面，則下列結(jié)論成立的是（ ）
A．平面內(nèi)的所有直線都與直線a異面B．平面內(nèi)不存在與直線a平行的直線
C．平面內(nèi)的直線都與直線a相交D．直線a與平面一定有公共點(diǎn)
考法八 空間中平面與平面的位置關(guān)系
【例8-1】（2023新疆）在正方體中，判斷下列直線、平面間的位置關(guān)系：
①與 ； ②與 ；
③與平面 ； ④與平面 ；
⑤平面與平面 ； ⑥平面與平面 .
【例8-2】（2023云南）如圖，在長(zhǎng)方體中，P為棱的中點(diǎn)．
(1)畫(huà)出平面PAC與平面ABCD的交線；
(2)畫(huà)出平面與平面ABCD的交線．
【一隅三反】
1．（2023北京）在四棱臺(tái)中，平面與平面的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．平行
C．不確定D．異面
2．（2023·江蘇）如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，求證：平面與平面相交．
3．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在正方體中M，N分別是和的中點(diǎn)，則下列直線、平面間的位置關(guān)系是什么？

(1)AM所在的直線與CN所在的直線的位置關(guān)系；
(2)CN所在的直線與平面ABCD的位置關(guān)系；
(3)AM所在的直線與平面的位置關(guān)系；
(4)平面ABCD與平面的位置關(guān)系.
單選題
1．（2024·云南 ）如圖所示的點(diǎn)，線，面的位置關(guān)系，用符號(hào)語(yǔ)言表示正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023上海 ）“直線l與平面沒(méi)有公共點(diǎn)”是“直線l與平面平行”的（ ）條件
A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．非充分非必
3．（2023下·安徽蕪湖·高一安徽省無(wú)為襄安中學(xué)?？计谥校┫铝忻}中，真命題為（ ）
A．若兩個(gè)平面，，，則∥；
B．若兩個(gè)平面，，，則與b平行或異面；
C．若兩個(gè)平面，，，則與b是異面直線；
D．若兩個(gè)平面，，則與一定相交．
4．（2023·廣東廣州 ）三個(gè)不互相重合的平面將空間分成個(gè)部分，則不可能是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·上海）如果直線a和b沒(méi)有公共點(diǎn)，那么a與b（ ）
A．共面B．平行
C．可能平行，也可能是異面直線D．是異面直線
6．（2024上海閔行 ）如圖所示，正方體中，是線段上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則下列哪條棱所在直線與直線始終異面（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·黑龍江雞西）正方體的棱長(zhǎng)為2, 為棱的中點(diǎn)，用過(guò)點(diǎn)的平面截該正方體，則所得截面的面積為（ ）

A．B．C．5D．
8．（2023·吉林·長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）在長(zhǎng)方體中，直線與平面的交點(diǎn)為為線段的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．三點(diǎn)共線B．四點(diǎn)異不共面
C．四點(diǎn)共面D．四點(diǎn)共面
多選題
9．（2023下·陜西寶雞·高一?？计谥校┫铝惺腔臼聦?shí)的是（ ）
A．過(guò)三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面
B．平行于同一條直線的兩條直線平行
C．如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)
D．如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線
10．（2023上·山西大同 ）已知正方體中，為的中點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．三點(diǎn)共線B．四點(diǎn)共面
C．四點(diǎn)共面D．四點(diǎn)共面
11．（2023下·河南·高一校聯(lián)考期中）已知正方體中，M為的中點(diǎn)，則下列直線中與直線是異面直線的有（ ）
A．B．C．D．
12．（2021下·湖南張家界·高一慈利縣第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在正方體中，、、、、、分別是棱、、、、、的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）

A．直線和平行，和相交
B．直線和平行，和相交
C．直線和相交，和異面
D．直線和異面，和異面
填空題
13（2024上·上海 ）三點(diǎn)不在同一直線上，則經(jīng)過(guò)這三個(gè)點(diǎn)的平面有 個(gè).
14．（2024山西呂梁 ）一個(gè)正三棱柱各面所在的平面將空間分成 部分．
15．（2024湖北）如圖所示．是正方體，O是的中點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn)M，給出下列結(jié)論：
①A、M、O三點(diǎn)共線； ②A、M、O、不共面：
③A、M、C、O共面； ④B、、O、M共面，
其中正確的序號(hào)為 ．
16．（2024上·廣東 ）如圖，在棱長(zhǎng)為6的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，過(guò)三點(diǎn)的平面與正方體各個(gè)面所得交線圍成的平面圖形的周長(zhǎng)為 .
解答題
17．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）判斷下列各命題的正誤，畫(huà)出正確命題的圖形，并用符號(hào)表示：
(1)兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，它們一定重合；
(2)空間中，相交于同一點(diǎn)的三直線在同一平面內(nèi)；
(3)兩條直線a，b分別和異面直線c，d都相交，則直線a，b可能是異面直線，也可能是相交直線；
(4)正方體中，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn)M，則A，M，O三點(diǎn)共線，并且A，O，C，M四點(diǎn)共面．
18．（2023下·四川綿陽(yáng)·高一綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為分別為的中點(diǎn).

(1)已知點(diǎn)滿足，求證四點(diǎn)共面；
(2)求三棱柱的表面積.
19（2023下·河南洛陽(yáng)·高一洛陽(yáng)市第八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如下圖，在正方體中，棱長(zhǎng)為分別是的中點(diǎn)．
(1)畫(huà)出過(guò)三點(diǎn)的平面與平面、平面的交線；
(2)設(shè)過(guò)三點(diǎn)的平面與交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．
20（2023下·遼寧·高一校聯(lián)考期末）如圖，直四棱柱的底面為正方形，為的中點(diǎn)．
(1)請(qǐng)?jiān)谥彼睦庵?，?huà)出經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的截面并寫(xiě)出作法（無(wú)需證明）．
(2)求截面的面積．
21．（2022·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖，在正方體中，對(duì)角線與平面交于點(diǎn)，、交于點(diǎn)， 為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．求證：
(1)三點(diǎn)共線；
(2)、、、四點(diǎn)共面；
(3)、、三線共點(diǎn)．
22．（2024上海虹口 ）如圖，在長(zhǎng)方體中，、分別是和的中點(diǎn)．
(1)證明：、、、四點(diǎn)共面；
(2)對(duì)角線與平面交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)共線；
(3)證明：、、三線共點(diǎn)．

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

8.4 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

版本： 人教A版 (2019)

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