【培優(yōu)分級練】北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊第26課《圖形的相似單元綜合檢測》培優(yōu)三階練（含解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

第26課圖形的相似單元綜合檢測一、單選題 1．已知＝5，則的值是（???????） A． B．﹣ C． D．【答案】A 【分析】由=5，可得b=5a，然后代入，即可求出其值．【解析】解：，，且，則，故選：A．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確運用基本性質(zhì)．本題中要先確定a與b的關(guān)系，再確定a-b與a+b的關(guān)系． 2．已知點C是線段AB的黃金分割點，且，若AB＝2，則BC＝（???????） A． B． C．－1 D．【答案】A 【分析】由黃金分割的定義求出AC的長，即可求解．【解析】解：∵點C是線段AB的黃金分割點，且AC＞BC，AB=2， ∴， ∴BC=AB-AC=3-，故選：A．【點睛】此題考查了黃金分割點的概念，熟記黃金比的值是解題的關(guān)鍵． 3．如圖，AD∥BE∥CF，AB＝3，BC＝2，DE＝3.6，則EF的值為（　?。? A．1.8 B．2.4 C．4.8 D．5.4 【答案】B 【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得出答案．【解析】∵， ∴． ∵，，， ∴， ∴．故選：【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，掌握定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵． 4．已知一個三角形的三邊長分別為2，3，4，與其相似的另一個三角形的周長為36，則它的最長邊的長為（???????） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得最長邊的長為三角形的周長×，依此列式計算即可求解．【解析】解：∵一個三角形的三邊長分別為2，3，4，與其相似的另一個三角形的周長為36， ∴它的最長邊的長為36×=16．故選：C．【點睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)：對應(yīng)角相等；對應(yīng)邊的比相等． 5．如圖，身高為1．5米的某學(xué)生想測量一棵大樹的高度，她沿著樹影BA由B向A走去當(dāng)走到C點時，她的影子頂端正好與樹的影子頂端重合，測得BC=3米，CA=1米，則樹的高度為（） A．4．5米 B．6米 C．3米 D．4米【答案】B 【解析】如圖： ∵CD∥BE， ∴△ACD∽△ABE， ∴AC：AB=CD：BE， ∴1：4=1.5：BE， ∴BE=6m． ∴樹的高度為6m．故選B. 6．如圖所示，給出下列條件：①；②；③；④，其中單獨能夠判定的個數(shù)為（???????） A． B． C． D．【答案】B 【分析】由已知△ABC與△ABD中∠A為公共角，所以只要再找一組角相等，或一組對應(yīng)邊成比例即可解答. 【解析】解：：①∵，∠A為公共角，∴； ②∵，∠A為公共角，∴； ③雖然，但∠A不是已知的比例線段的夾角，所以兩個三角形不相似； ④∵，∴，又∵∠A為公共角，∴．綜上，單獨能夠判定的個數(shù)有3個，故選B. 【點睛】本題考查了相似三角形的判定，屬于基礎(chǔ)題目，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵. 7．如圖，和是位似圖形，點是位似中心，點，，分別是，，的中點．若的面積為，周長為，則下列說法正確的是（???????） A．的面積為 B．的面積為 C．的周長為 D．的周長為【答案】C 【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，線段中點的意義求解即可. 【解析】∵和是位似圖形，點是位似中心，點，，分別是，，的中點， ∴和是位似比為1:2， ∵位似圖形的周長之比等于位似比， ∴的周長為， ∵位似圖形的面積之比等于位似比的平方， ∴的周長為，故選C. 【點睛】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，熟記位似圖形的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵. 8．如圖，在中，，中線，相交于點．，交于點．，則的長為（???????） A．5 B．6 C．10 D．12 【答案】D 【分析】首先根據(jù)GE∥CD得到△AGF∽△ADC、△FEG∽△FBD，求出AD=6，然后利用直角三角形斜邊的中線性質(zhì)得出結(jié)果．【解析】解：∵GE∥CD， ∴△AGE∽△ADC，△FEG∽△FBD， ∴ ， ∴, 又∵BD=CD， ∴， ∴DF=2GF=2， ∴DG=DF+GF=3 ∴AD=2DG=6，在直角△ABC中，∠BAC=90°， ∴BC=2AD=12，故選D．【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)與判定以及直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)平行得到相似三角形是解決問題的關(guān)鍵． 9．如圖在△ABC中，AD是BC邊上的高線，BD＝1，DC＝3，過點A作AE∥BC，連接BE交AD，AC于點F，點G，若BE平分AC，則＝（???????） A． B． C． D．【答案】D 【分析】根據(jù)兩直線平行得內(nèi)錯角相等，由相似三角形判定可得，再由相似三角形的的性質(zhì)得，再根據(jù)全等三角形的判定得，即，設(shè)，即，可得，根據(jù)線段邊的關(guān)系得，，，即可得出最后的結(jié)果．【解析】如圖： ∵，為邊上的高線， ∴且，，，在和中，，，， ∴， ∴，又∵， ∴， ∵平分， ∴，在和中，， ∴， ∴， ∴，設(shè)， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，故選：D．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形和全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 10．如圖，將正方形紙片沿折疊，使點的對稱點落在邊上，點的對稱點為點，交于點，連接交于點，連接下列四個結(jié)論中：①∽；②；③平分；④，其中正確的結(jié)論是（???????） A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】①利用有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似進(jìn)行判定即可；②過點C作CM⊥EG于M，通過證明△BEC≌△MEC，進(jìn)而說明△CMG≌△CDG，可得S△CEG=S△BEC+S△CDG＞S△BEC+S四邊形CDQH，可得②不正確；③由折疊可得：∠GEC=∠DCE，由AB∥CD可得∠BEC=∠DCE，結(jié)論③成立；④連接DH，MH，HE，由△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG可知：∠BCE=∠MCE，∠MCG=∠DCG，所以∠ECG=∠ECM+∠GCM=∠BCD=45°，由于EC⊥HP，則∠CHP=45°，由折疊可得：∠EHP=∠CHP=45°，則EH⊥CG；利用勾股定理可得EG2-EH2=GH2；由CM⊥EG，EH⊥CG，得到∠EMC=∠EHC=90°，所以E，M，H，C四點共圓，所以∠HMC=∠HEC=45°，通過△CMH≌△CDH，可得∠CDH=∠CMH=45°，這樣，∠GDH=45°，因為∠GHQ=∠CHP=45°，易證△GHQ∽△GDH，則得GH2=GQ?GD，從而說明④成立．【解析】四邊形是正方形，．由折疊可知：，．，，，．，．， ∽．故正確；過點作于，由折疊可得：，，，，在和中，， ≌．，．， ≌，，，不正確；由折疊可得：，，，，即平分．正確；連接，，，如圖， ≌，≌，，，，，．．由折疊可得：，．．由折疊可知：．．，，，，，，四點共圓，．在和中，， ≌．，，，，．， ∽，，，．正確；綜上可得，正確的結(jié)論有：．故選：C．【點睛】本題主要考查了相似形的綜合題，正方形的性質(zhì)，翻折問題，勾股定理，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形的相似的判定與性質(zhì)，翻折問題是全等變換，由翻折得到對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．二、填空題 11．在比例尺為的某市旅游地圖上，某條道路的長為，則這條道路的實際長度為______．【答案】【分析】根據(jù)比例尺圖上距離：實際距離，依題意列比例式直接求解即可．【解析】解：設(shè)這條道路的實際長度為，則：，解得．故答案是：．【點睛】本題考查比例尺知識，能夠根據(jù)比例尺正確進(jìn)行計算，注意單位的轉(zhuǎn)換． 12．已知線段，點是線段的黃金分割點，且，則____．【答案】【分析】黃金分割點是指把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比，其比值是一個無理數(shù)，用分?jǐn)?shù)表示為，據(jù)此解題．【解析】∵點是線段的黃金分割點，且，，．故答案為：．【點睛】本題考查黃金分割點，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵． 13．已知，如圖，在中，，且．若，則__________，__________．【答案】???? 2???? 3 【分析】根據(jù)平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例，由得到，由得到，即．【解析】解：證明：，，而，F(xiàn)G=1， ∴，即，，，即，故答案為：2，3．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例． 14．如圖，在與中，，，，交于點D，給出下列結(jié)論．①；②；③；④．其中正確的結(jié)論是__________（填寫正確結(jié)論的序號）．【答案】①③④ 【分析】根據(jù)SAS推出△AEF≌△ABC，推出AF＝AC，根據(jù)等邊對等角推出即可①正確；不正確，采用反證法，假設(shè)，可以證明△ACF≌△AFD，即可證明∠DAF=∠CAF，由題意無法得出此結(jié)論，判斷②錯誤；根據(jù)∠E＝∠B，∠EDA＝∠BDF，推出△ADE∽△FDB即可判斷③正確；根據(jù)△AEF≌△ABC，得出∠EAF＝∠BAC，求出∠EAD＝∠CAF，根據(jù)相似三角形性質(zhì)得出∠BFD＝∠EAD＝∠CAF，即可判斷④正確【解析】解：在△AEF和△ABC中 ∵， ∴△AEF≌△ABC（SAS）， ∴AF＝AC， ∴∠AFC＝∠C， ∴①正確；不正確，理由是：假設(shè)， ∵△AEF≌△ABC ∴∠AFD=∠C，AF=AC， ∴△ACF≌△AFD， ∴∠DAF=∠FAC，原題中無AF為∠BAC平分線這一條件， ∴②錯誤； ∵∠E＝∠B，∠EDA＝∠BDF， ∴△ADE∽△FDB， ∴③正確； ∵△AEF≌△ABC， ∴∠EAF＝∠BAC， ∴∠EAF﹣∠DAF＝∠BAC﹣∠DAF， ∴∠EAD＝∠CAF， ∵△ADE∽△FBD， ∴∠BFD＝∠EAD＝∠CAF， ∴④正確；故答案為：①③④ 【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點的綜合運用，主要考查學(xué)生的推理能力和辨析能力，根據(jù)條件判定△AEF≌△ABC是解題關(guān)鍵． 15．如圖所示，詩的意思是：有正方形的城池一座，四面城墻的正中有門，從南門口（點D）直行8里有一塔（點A），自西門（點E）直行2里至點B，切城角（點C）也可以看見塔，問這座方城每面城墻的長是_________里．【答案】8 【分析】設(shè)這座方城每面城墻的長為里，根據(jù)題意得到，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解析】解：設(shè)這座方城每面城墻的長為里，由題意得，，，，里，里，，，，，，答：這座方城每面城墻的長為8里，故答案為：8．【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，正方形的性質(zhì)，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵． 16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與是位似圖形，坐標(biāo)原點O為位似中心．A與，B與是對應(yīng)頂點．已知，則的長為________．【答案】【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)得出相似比進(jìn)而得出對應(yīng)線段的長．【解析】解：∵△ABC與△A1B1C1是位似圖形，坐標(biāo)原點O為位似中心，A（-6，2），A1（3，-1）， ∴△ABC與△A1B1C1的相似比為：， ∵BC=5， ∴B1C1的長為：5×=，故答案為：．【點睛】此題主要考查了位似變換，正確得出相似比是解題關(guān)鍵． 17．如圖，在等腰中，，點在的延長線上，，點在邊上，，則的值是_____．【答案】【分析】過點P作交DC延長線于點E，根據(jù)等腰三角形判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)可證，再證，可得，再利用平行線分線段成比例得，結(jié)合線段的等量關(guān)系及比例的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解析】如圖：過點P作交DC延長線于點E，在和中故答案為：．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，以及全等三角形的判定，解題關(guān)鍵是正確作出輔助線，列出比例式． 18．如圖，線段，射線于點，射線于點，點為的中點，為射線上一動點，將沿翻折得到，、的延長線分別交射線、于點、，連接．請?zhí)骄肯铝袉栴}：（1）的值為______；（2）當(dāng)∽時，______．【答案】???? 36???? 【分析】（1）由折疊的性質(zhì)得出，，，證明△，得出，，證明，得出比例線段，則可得出答案；（2）由相似三角形的性質(zhì)求出，由直角三角形的性質(zhì)可得出答案．【解析】解：（1）點為的中點，，，，，，將沿翻折得到△，，，，，在和△中，， △，，，，，，，，，；故答案為：36；（2）當(dāng)△△時，，由（1）知，，，，，為的垂直平分線，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題 19．已知線段a、b、c滿足且． (1)求線段a、b、c的長； (2)若線段x是線段a、b的比例中項（），求線段x的長．【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）設(shè)，則，，，再代入解方程求出的值，由此即可得；（2）根據(jù)比例中項的定義可得一個關(guān)于的方程，解方程即可得．（1）解：設(shè)，則，，，，，解得，則，，．（2）解：線段是線段、的比例中項，且，，，解得或（舍去），經(jīng)檢驗，是所列分式方程的解，即線段的長為．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)、比例中項、解分式方程的應(yīng)用，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題關(guān)鍵． 20．如圖，l1∥l2∥l3，AD＝2，DE＝4． (1)AB＝3，求BC； (2)EF＝7.5，BE的長．【答案】(1)6 (2)5 【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計算求解即可．（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計算求解即可． (1) 解：∵l1∥l2∥l3， ∴， ∵AD＝2，DE＝4，AB＝3， ∴，解得BC＝6， ∴BC的長為6； (2) 解：∵l1∥l2∥l3， ∴， ∵AD＝2，DE＝4，EF＝7.5， ∴，解得BE＝5， ∴BE的長為5．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握平行線分線段成比例定理． 21．如圖，在中，點D在BC邊上，點E在AC邊上，且，．求證：【答案】見解析【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由AB=AD推出根，由題意可知，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的判定定理進(jìn)行證明即可．【解析】∵AB＝AD ∴∠B＝∠ADB ∵∠DEC＝∠B ∴∠ADB＝∠DEC ∴∠AED＝∠ADC 又∵∠DAE＝∠CAD ∴ 【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形找到使的條件：∠AED＝∠ADC，∠DAE＝∠CAD． 22．李師傅用鏡子測量一棵古樹的高，但樹旁有一條小河，不便測量鏡子與樹之間的距離，于是他兩次利用鏡子，第一次把鏡子放在點（如圖所示），人在點正好在鏡中看到樹尖；第二次他把鏡子放在處，人在處正好看到樹尖．已知李師傅眼睛距地面的高度為，量得為，為，為，求樹高．【答案】這棵古樹的高為10m 【分析】根據(jù)反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠AC′B＝∠E′C′F′，所以可得△BAC∽△FEC、△AC′B∽△E′C′F′，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答．【解析】解：根據(jù)反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠AC′B＝∠E′C′F′， ∴△BAC∽△FEC、△AC′B∽△E′C′F′，設(shè)AB＝x，BC＝y(tǒng) ∴ 解得． ∴這棵古樹的高為10m．【點睛】本題考查相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用，解題時關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題． 23．在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點坐標(biāo)分別為A（0，2）、B（1，3）、C（2，1）． (1)以點O為位似中心，在給定的網(wǎng)格中畫出△A'B'C'，使△A'B'C'與△ABC位似，且相似比為2； (2)求出△A'B'C'的面積．【答案】(1)圖見解析 (2)6 【分析】（1）把A、B、C的橫縱坐標(biāo)都乘以﹣2得到A'、B'、C'的坐標(biāo)，然后描點即可；（2）用一個矩形的面積分別減去三個直角三角形的面積去計算△A'B'C'的面積． (1) 解：如圖，△A'B'C'為所作； (2) △A'B'C'的面積＝4×4﹣×2×4﹣×2×2﹣×2×4＝6．【點睛】本題考查了作圖﹣位似變換：熟練掌握以原點為位似中心的對應(yīng)點的坐標(biāo)的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵． 24．如圖，等邊三角形△ACB的邊長為3，點P為BC上的一點，點D為AC上的一點，連接AP、PD，∠APD=60°． (1)求證：△ABP∽△PCD； (2)若PC=2，求CD的長．【答案】(1)見解析 (2)CD的長為【分析】（1）由等邊三角形和∠APD=60°得，∠B=∠C=∠APD=60°，∠APB+∠CPD=120°，在△APB中，∠APB+∠BAP=120°，由此可得∠BAP=∠CPD．因此△ABP∽△PCD；（2）由（1）的結(jié)論△ABP∽△PCD 可得，從而可以求出線段CD的長．（1）證明：∵等邊三角形ABC，∴∠B=∠C=60°，∵∠APD=60°，∴∠APB+∠CPD=120°，在△APB中，∠APB+∠BAP=120°，∴∠BAP=∠CPD，∴△ABP∽△PCD；（2）解：等邊三角形邊長為3，PC=2，由（1）得△ABP∽△PCD，，∴，∴CD=．答：CD的長為．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出△ABP∽△PCD． 25．如圖，在矩形中，E是邊的中點，于點F． (1)求證：． (2)已知，求的長．【答案】(1)見解析 (2) 【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，根據(jù)等角的余角相等可得，即可證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得證；（2）勾股定理求得，由（1）的比例式即可求解．（1）證明：∵四邊形為矩形，， ∴， ∴， ∴， ∴．（2） ∵E為的中點， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵． 26．如圖，在正方形中，，為邊上的兩個三等分點，點關(guān)于的對稱點為，的延長線交于點． (1)求證：； (2)求證：．【答案】(1)見解析 (2)見解析【分析】（1）設(shè)與的交點為，根據(jù)題意可得，，即可求證；（2）先證明，可得，，從而得到，再過點作，連接，可得，再由，可得，從而得到，再根據(jù)四邊形的性質(zhì)可得，從而得到，可證得△△，從而得到，再根據(jù)，可得，即可求證．（1）證明：設(shè)與的交點為，，為邊上的兩個三等分點，，，點關(guān)于的對稱點為，，；（2）解：，，，，在和中，，，，，， ∵，，如圖，過點作，連接，，，，，，，，， ∴，，又，，，，，點關(guān)于的對稱點為，，，，，，，，，，又， △△，，，，，，，，．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，求出是解題的關(guān)鍵． 27．如圖1，在中，于點D，在DA上取點E，使，連接BE、CE． (1)直接寫出CE與AB的位置關(guān)系； (2)如圖2，將繞點D旋轉(zhuǎn)，得到（點，分別與點B，E對應(yīng)），連接，在旋轉(zhuǎn)的過程中與的位置關(guān)系與（1）中的CE與AB的位置關(guān)系是否一致?請說明理由； (3)如圖3，當(dāng)繞點D順時針旋轉(zhuǎn)30°時，射線與AD、分別交于點G、F，若，求的長．【答案】(1)CE⊥AB，理由見解析 (2)一致，理由見解析 (3) 【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠DAB=45°，∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°，可得結(jié)論；（2）通過證明，可得，由余角的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）由等腰直角的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可得，即可求解．（1）如圖，延長CE交AB于H， ∵∠ABC=45°，AD⊥BC， ∴∠ADC=∠ADB=90°，∠ABC=∠DAB=45°， ∵DE=CD， ∴∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°， ∴∠BHC=∠BAD+∠AEH=90°， ∴CE⊥AB；（2）在旋轉(zhuǎn)的過程中與的位置關(guān)系與（1）中的CE與AB的位置關(guān)系是一致的，理由如下：如圖2，延長交于H，由旋轉(zhuǎn)可得：CD=，=AD， ∵∠ADC=∠ADB=90°， ∴， ∵， ∴, ， ∵+∠DGC=90°，∠DGC=∠AGH， ∴∠DA+∠AGH=90°， ∴∠AHC=90°，；（3）如圖3，過點D作DH于點H， ∵△BED繞點D順時針旋轉(zhuǎn)30°， ∴，，， ∴AD=2DH，AH=DH=，，由（2）可知：，， ∵AD⊥BC，CD=， ∴DG=1，CG=2DG=2， ∴CG=FG=2，， ∴AG=2GF=4， ∴AD=AG+DG=4+1=5， ∴．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．