北師大版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第四章《圖形的相似》單元測試卷考試范圍：第四章；考試時(shí)間：100分鐘；總分：120分學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________第I卷（選擇題） 一、選擇題（本大題共12小題，共36.0分）下列四組長度的線段中，是成比例線段的是(    )A. ，，， B. ，，，
C. ，，， D. ，，，若，則的值為(    )A.  B.  C.  D. 如圖，，直線、與這三條平行線分別交于點(diǎn)、、和點(diǎn)、、已知，，，則的長為(    )A.
B.
C.
D. 如圖，在中，，，，，則的長為(    )
A.  B.  C.  D. 下列各組圖形中一定是相似形的是(    )A. 兩個(gè)直角三角形 B. 兩個(gè)等邊三角形 C. 兩個(gè)菱形 D. 兩個(gè)矩形下列圖形不是形狀相同的圖形是(    )A. 同一張底片沖洗出來的兩張大小不同的照片
B. 用放大鏡將一個(gè)細(xì)小物體圖案放大過程中原有圖案和放大圖案
C. 某人的側(cè)身照片和正面像
D. 一棵樹與它倒影在水中的像如圖，已知，那么添加一個(gè)條件后，仍不能判定與相似的是(    )
 A.  B.  C.  D. 如圖是巴西電力公司的標(biāo)志及結(jié)構(gòu)圖，作者用一大一小兩顆星巧妙地重疊組合，自然地把高壓輸電塔與五角星這一光明的象征聯(lián)系在一起，那么結(jié)構(gòu)圖中的兩個(gè)陰影三角形的面積之比為(    )
A.  B.  C.  D. 如圖，在中，，若，，則的長為(    )A.
B.
C.
D. 一個(gè)直角三角形木架的兩條直角邊的邊長分別是，現(xiàn)要做一個(gè)與其相似的三角形木架，如果以長的木條為其中一邊，那么另兩邊中長度最大的一邊最多可達(dá)到(    )A.  B.  C.  D. 如圖，在某一時(shí)刻測得米長的竹竿豎直放置時(shí)影長米，在同一時(shí)刻旗桿的影長不全落在水平地面上，有一部分落在樓房的墻上，他測得落在地面上影長為米，留在墻上的影長米，則旗桿的高度(    )
 A. 米 B. 米 C. 米 D. 米如圖，已知∽，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，則的長為(    )A.
B.
C.
D. 第II卷（非選擇題） 二、填空題（本大題共4小題，共12.0分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是，，以點(diǎn)為位似中心，相似比為，把縮小，得到，則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為______．如圖，，，，的面積是，那的面積是______．
 如圖，在邊長為個(gè)單位的方格紙中，它們的頂點(diǎn)在小正方形頂點(diǎn)位置，點(diǎn)，，，，也是小正方形的頂點(diǎn)，從點(diǎn)，，，，中選取三個(gè)點(diǎn)所構(gòu)成的三角形與相似，那么這個(gè)三角形是          ．
如圖，已知中，，為的中點(diǎn)，于，交于，連接，若，則的值為______．
  三、解答題（本大題共8小題，共72.0分）已知線段，，．
求線段與線段的比．
如果線段、、、成比例，求線段的長．
是和的比例中項(xiàng)嗎？為什么？已知：如圖所示，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)．當(dāng)、兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，則同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．
如果、分別從，同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，的長度等于？
如果、分別從，同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，與相似？
如圖，在四邊形中，點(diǎn)是對(duì)角線上一點(diǎn)，且．
若，求的度數(shù)；
判斷與是否相似，并說明理由．
如圖所示，和是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，的延長線交于點(diǎn)．
把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖，，的關(guān)系是______選填“相等”或“不相等”；簡要說明理由；
若，，把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，在圖中作出旋轉(zhuǎn)后的圖形，______，簡要說明計(jì)算過程；
在的條件下寫出旋轉(zhuǎn)過程中線段的最小值為______，最大值為______．
如圖，在中，，，是邊上的中線，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)不與點(diǎn)、重合，連接，作與的延長線交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接．
求證：∽；
求的度數(shù)．
如圖，已知三角形，是的平分線，平移三角形，使點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是．
在圖中畫出平移后的三角形；
若，與相交于點(diǎn)，則______，______
如圖，已知∽，，，求的度數(shù)．
如圖所示，在邊長為個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)，，在格點(diǎn)網(wǎng)格線的交點(diǎn)上．
將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，畫出；
以點(diǎn)為位似中心放大，得到，使與的位似比為：，請(qǐng)你在網(wǎng)格內(nèi)畫出．

答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
此題考查了比例線段，根據(jù)成比例線段的概念，如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．注意在相乘的時(shí)候，最小的和最大的相乘，另外兩個(gè)相乘，看它們的積是否相等．同時(shí)注意單位要統(tǒng)一對(duì)選項(xiàng)一一分析，排除錯(cuò)誤答案即可．
【解答】
解：、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、，故選項(xiàng)正確；
D、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：．  2.【答案】 【解析】解：，
，
．
故選：．
利用分式的基本性質(zhì)得到，然后利用等比性質(zhì)求解．
本題考查了比例的性質(zhì)：靈活應(yīng)用比例性質(zhì)內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積、合比性質(zhì)、分比性質(zhì)、合分比性質(zhì)、等比性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．
 3.【答案】 【解析】【分析】
本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．
根據(jù)平行線分線段成比例定理即可解決問題．
【解答】
解：，
，即，
，
，
故選：．  4.【答案】 【解析】解：，
，
，，，
，
，
故選：．
根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，再代入求出答案即可．
本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】【解析】
本題主要考查了相似圖形及其概念．如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，則這兩個(gè)多邊形是相似多邊形．
【答案】
解：等邊三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，
兩個(gè)等邊三角形一定是相似形，
又直角三角形，菱形的對(duì)應(yīng)角不一定相等，矩形的邊不一定對(duì)應(yīng)成比例，
兩個(gè)直角三角形、兩個(gè)菱形、兩個(gè)矩形都不一定是相似形，
故選：．
 6.【答案】 【解析】解：、同一張底片沖洗出來的兩張大小不同的照片，是形狀相同的圖形，不合題意；
B、用放大鏡將一個(gè)細(xì)小物體圖案放大過程中原有圖案和放大圖案，是形狀相同的圖形，不合題意；
C、某人的側(cè)身照片和正面像，不是形狀相同的圖形，符合題意；
D、一棵樹與它倒影在水中的像，是形狀相同的圖形，不合題意；
故選：．
利用相似圖形的定義分別分析得出符合題意的圖形即可．
此題主要考查了相似圖形的定義，正確把握定義是解題關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】【分析】
此題考查了相似三角形的判定：如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；如果兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．根據(jù)已知及相似三角形的判定方法對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而得到最后答案．
【解答】
解：，
，
，，都可判定∽，
選項(xiàng)C中不是夾這兩個(gè)角的邊，所以不相似，
故選C．  8.【答案】 【解析】解：由題意，知：和都是頂角為的等腰三角形
∽
在中，
，
：
，
：
．
故選：．
圖中陰影部分的兩個(gè)三角形是正五角星的兩個(gè)角，即都是頂角為的等腰三角形，因此兩個(gè)三角形相似，根據(jù)頂角為的等腰三角形的底邊與腰的比為黃金分割比，即；而大三角形的底邊又是小三角形的腰，所以小三角形底邊與大三角形的底邊之比為：，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，可得出：．
此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和頂角為的等腰三角形中底邊與腰的比為黃金分割比這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)．
 9.【答案】 【解析】解：
∽


即

故選：．
由題可知∽，則可根據(jù)相似比求解．
本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊的比相等．
 10.【答案】 【解析】解：一個(gè)直角三角形木架的兩條直角邊的邊長分別是，，
三角形的斜邊長為：，
現(xiàn)要做一個(gè)與其相似的三角形木架，以長的木條為其中一邊，
當(dāng)另兩邊中長度最大的一邊最長，則兩三角形的相似比為：：：，
故設(shè)要做的三角形最長邊長為：．
故選：．
直接利用勾股定理得出斜邊長，再利用相似三角形的性質(zhì)得出相似比，進(jìn)而得出答案．
此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，正確得出相似比是解題關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】解：作于點(diǎn)，如圖，則四邊形為矩形，，，
根據(jù)題意得，即，解得，
所以．
答：旗桿的高度為．
故選：．
作于點(diǎn)，如圖，則四邊形為矩形，，，利用“在同一時(shí)刻物高與影長的比相等得到”，求出從而可得到的長．
本題考查了相似三角形的應(yīng)用：通常利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等和“在同一時(shí)刻物高與影長的比相等”的原理解決．
 12.【答案】 【解析】解：，是的中點(diǎn)，
，
∽，
，
即：，
解得：，
故選：．
根據(jù)相似三角形列出比例式，代入有關(guān)數(shù)據(jù)求解即可．
考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形列出比例式，難度較?。?/span>
 13.【答案】或 【解析】【分析】
本題考查的是位似變換的性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于或．
根據(jù)位似變換的性質(zhì)計(jì)算即可．
【解答】
解：以點(diǎn)為位似中心，相似比為，把縮小，點(diǎn)的坐標(biāo)是，
則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或，即或，
故答案為：或．  14.【答案】 【解析】解：的面積為，且，
的高為，
，且．
四邊形是梯形，
四邊形的面積為：
的面積為：．
故答案為：．
求出的高，即是梯形的高，再利用梯形的面積公式，最后作差即可得到答案．
本題考查了梯形的面積，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用三角形和梯形面積公式解決問題．
 15.【答案】 【解析】【分析】本題考查了勾股定理，相似三角形的判定利用勾股定理求得，，，可得到，即可得到．
【解答】解：連結(jié)、，如圖所示：由勾股定理得，，，
，，，，，
，
．  16.【答案】 【解析】解：過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，
，，
為等腰直角三角形，
設(shè)，
，，為邊上的中點(diǎn)，
為的中位線，
，，
，
在中，為邊上的中線，
，
，
，
∽，
，
故答案為：．
根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)和判定解答即可．
本題主要考查了直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，根據(jù)已知條件作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．
 17.【答案】解：；，
：：：；

線段、、、是成比例線段，
，
，
，
；

是，理由：
，，
，
是和的比例中項(xiàng)． 【解析】根據(jù)；，即可求得：的值；
根據(jù)線段、、、是成比例線段，可得，再根據(jù)，即可得出線段的長；
根據(jù)，，可得，進(jìn)而得出是和的比例中項(xiàng)．
本題主要考查了成比例線段，判段四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可；求線段之比時(shí)，要先統(tǒng)一線段的長度單位．
 18.【答案】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，則，，．
依題意得：，
即，
整理得：，
解得：不合題意，舍去，．
答：秒后，的長度等于．
當(dāng)∽時(shí)，，
即，
解得：；
當(dāng)∽時(shí)，，
即，
解得：．
答：秒或秒后，與相似． 【解析】設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，則，，．
利用勾股定理，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；
分∽及∽兩種情況考慮，利用相似三角形的判定定理，可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．
本題考查了相似三角形的判定、勾股定理以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：利用勾股定理，找出關(guān)于的一元二次方程；分∽及∽兩種情況，求出值．
 19.【答案】解：．
∽，
，
；
∽，理由如下：
，
，
又，
∽． 【解析】通過證明∽，可得，即可求解；
由兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，可證明∽．
本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
 20.【答案】相等；
；
； 【解析】解：，的關(guān)系是相等．
理由：和是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，
，，，
≌，
；
故答案為：相等．
作出旋轉(zhuǎn)后的圖形，如圖所示：

，
，
，，
∽，
，
；
故答案為：；
如圖所示，以為圓心，長為半徑畫圓，當(dāng)在下方與相切時(shí)，的值最小；當(dāng)在在右上方與相切時(shí)，的值最大．
如圖所示，分兩種情況討論：

在中，，因此銳角的大小直接決定了的大?。?/span>
當(dāng)小三角形旋轉(zhuǎn)到圖中的位置時(shí)，
在中，，
在中，，
四邊形是正方形，
，
，
在中，，
即旋轉(zhuǎn)過程中線段的最小值為；
當(dāng)小三角形旋轉(zhuǎn)到圖中時(shí)，可得為最大值，
此時(shí)，，
即旋轉(zhuǎn)過程中線段的最大值為．
故答案為：，．
【分析】
依據(jù)和是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，即可，，，進(jìn)而得到≌，可得出；
依據(jù)，，可得∽，即可得到，進(jìn)而得到；
以為圓心，長為半徑畫圓，當(dāng)在下方與相切時(shí)，的值最??；當(dāng)在在右上方與相切時(shí)，的值最大．在中，，因此銳角的大小直接決定了的大?。謨煞N情況進(jìn)行討論，即可得到旋轉(zhuǎn)過程中線段的最小值以及最大值．
本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓的有關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)分類討論的思想思考問題，學(xué)會(huì)利用圖形的特殊位置解決最值問題．  21.【答案】證明：，，
，
又，
∽；
解：由得∽，
，
，
又，
∽，
． 【解析】得出，，則結(jié)論得證；
證明∽，得出．
本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理、綜合運(yùn)用知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
 22.【答案】   【解析】解：如圖，即為所求；

是的平分線，
，
由平移的性質(zhì)知，，，
，
，
故答案為：，．
根據(jù)平移的性質(zhì)可畫出；
利用平移的性質(zhì)得，，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得答案．
本題主要考查了平移的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，利用平移的性質(zhì)準(zhǔn)確畫出圖形是解題的關(guān)鍵．
 23.【答案】解：，，
，
∽，
，，
，，
，
∽，
，
． 【解析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，，求出，，推出∽，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出即可．
本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出∽．
 24.【答案】解：如圖，為所作；
如圖，為所作．
 【解析】利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)、即可；
延長到使，延長到使，從而得到．
本題考查了作圖位似變換：掌握畫位似圖形的一般步驟確定位似中心；分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)；根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；順次連接上述各點(diǎn)，得到放大或縮小的圖形也考查了旋轉(zhuǎn)變換．
 

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