02 知識速記
一、反比例函數(shù)的概念
一般地，形如 (為常數(shù)，)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，其中是自變量，是函數(shù)，自變量的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù).
要點(diǎn)：在中，自變量的取值范圍是， ()可以寫成()的形式，也可以寫成的形式.
二、反比例函數(shù)解析式的確定
反比例函數(shù)解析式的確定方法是待定系數(shù)法.由于反比例函數(shù)中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需要知道一對的對應(yīng)值或圖象上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出的值，從而確定其解析式.
三、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)
1.反比例函數(shù)的圖象
反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限或第二、四象限．它們關(guān)于原點(diǎn)對稱，反比例函數(shù)的圖象與軸、軸都沒有交點(diǎn)，即雙曲線的兩個(gè)分支無限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交．
要點(diǎn)：
觀察反比例函數(shù)的圖象可得：和的值都不能為0，并且圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱軸，對稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)．
①的圖象是軸對稱圖形，對稱軸為兩條直線；
②的圖象是中心對稱圖形，對稱中心為原點(diǎn)（0，0）；
③(k≠0)在同一坐標(biāo)系中的圖象關(guān)于軸對稱，也關(guān)于軸對稱.
注：正比例函數(shù)與反比例函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，兩圖象沒有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，兩圖象必有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱.

2.反比例函數(shù)的性質(zhì)
（1）圖象位置與反比例函數(shù)性質(zhì)
當(dāng)時(shí)，同號，圖象在第一、三象限，且在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減小；當(dāng)時(shí)，異號，圖象在第二、四象限，且在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大.
（2）若點(diǎn)()在反比例函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)（）也在此圖象上，故反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.
（3）正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)比較
（4）反比例函數(shù)y＝中的意義
①過雙曲線(≠0) 上任意一點(diǎn)作軸、軸的垂線，所得矩形的面積為.
②過雙曲線(≠0) 上任意一點(diǎn)作一坐標(biāo)軸的垂線，連接該點(diǎn)和原點(diǎn)，所得三角形的面積為.
四、應(yīng)用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題須注意以下幾點(diǎn)
1．反比例函數(shù)在現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在，在應(yīng)用反比例函數(shù)知識解決實(shí)際問題時(shí)，要注意將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.
2．列出函數(shù)關(guān)系式后，要注意自變量的取值范圍.
03 題型歸納
題型一 反比例函數(shù)的概念及應(yīng)用
例題
1．下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義：一般地，形如或（是常數(shù)，）的函數(shù)叫做是的反比例函數(shù)，逐項(xiàng)判斷即可得．
【解析】解：A、是正比例函數(shù)，則此項(xiàng)不符題意；
B、叫做是的反比例函數(shù)，則此項(xiàng)不符題意；
C、，當(dāng)時(shí)，是的反比例函數(shù)，則此項(xiàng)不符合題意；
D、是反比例函數(shù)，則此項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)，熟記定義是解題關(guān)鍵．
鞏固訓(xùn)練
2．下列問題中的兩個(gè)變量是成反比例的是（ ）
A．被除數(shù)（不為零）一定，除數(shù)與商B．貨物的單價(jià)一定，貨物的總價(jià)與貨物的數(shù)量
C．等腰三角形的周長一定，它的腰長與底邊的長D．汽車所行的速度一定，它所行駛的路程與時(shí)間
【答案】A
【分析】形如（為常數(shù)，）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)．看兩個(gè)變量是否具有反比例關(guān)系，主要看它們的乘積是否為非零的常數(shù)．依據(jù)判斷方法逐項(xiàng)分析即可．
【解析】解：A．被除數(shù)（不為零）一定，除數(shù)與商是反比例函數(shù)的關(guān)系，故此選項(xiàng)符合題意；
B．貨物的單價(jià)一定，貨物的總價(jià)與貨物的數(shù)量是正比例函數(shù)的關(guān)系，故此選項(xiàng)不符合題意；
C．等腰三角形的周長一定，它的腰長與底邊的長是一次函數(shù)的關(guān)系，故此選項(xiàng)不符合題意；
D．汽車所行的速度一定，它所行駛的路程與時(shí)間是正比例函數(shù)的關(guān)系，故此選項(xiàng)不符合題意．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)，正確區(qū)分正比例函數(shù)與反比例函數(shù)是解題關(guān)鍵．判斷一個(gè)函數(shù)是否是反比例函數(shù)，首先看看兩個(gè)變量是否具有反比例關(guān)系．
3．下列函數(shù)表達(dá)式中，表示是的反比例函數(shù)的有（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】C
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義逐項(xiàng)判斷即可．
【解析】解：（1）不符合反比例函數(shù)的形式，是正比例函數(shù)；
（2）可變形為，符合反比例函數(shù)的形式，是反比例函數(shù)；
（3）因?yàn)?，所以，，可變形為，符合反比例函?shù)的形式，是反比例函數(shù)；
（4）可變形為，符合反比例函數(shù)的形式，是反比例函數(shù)；
（5）不符合反比例函數(shù)的形式，不是反比例函數(shù)；
（6）不符合反比例函數(shù)的形式，不是反比例函數(shù)．
綜上所述，是反比例函數(shù)的為（2）（3）（4）共3個(gè)．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)的定義（形如的函數(shù)叫做反比例函數(shù)），牢記反比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
4．下列各點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】將每個(gè)選項(xiàng)中點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中，看函數(shù)值是否一致，如果一致，說明點(diǎn)在函數(shù)圖象上，反之則不在．
【解析】A．當(dāng)時(shí)，，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
B．當(dāng)時(shí)，，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
C．當(dāng)時(shí)，，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
C．當(dāng)時(shí)，，故該選項(xiàng)正確，符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)是否在反比例函數(shù)圖象上，掌握反比例函數(shù)變量的求法是解題的關(guān)鍵．
5．已知關(guān)于x的反比例函數(shù)，則m的值為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義得到，，即可求得m的值．
【解析】解：∵是反比例函數(shù)，
∴，，
∴且，
∴，
故答案為：
【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)，形如的函數(shù)是反比例函數(shù)，熟練掌握反比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
6．如果是反比例函數(shù)，那么的值是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義得到，求解即可得到答案．
【解析】解：是反比例函數(shù)，
，
解得：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的定義，熟練掌握反比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
題型二 反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)
例題
7．關(guān)于反比例函數(shù)，下列說法不正確的是（ ）
A．函數(shù)圖像分別位于第一、三象限B．函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)
C．函數(shù)圖像過，則D．函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱
【答案】C
【分析】根據(jù)可得函數(shù)圖像分別位于第一、三象限，由此可判斷A、C；根據(jù)當(dāng)時(shí)，即可判斷B；根據(jù)反比例函數(shù)圖像的特點(diǎn)即可判斷D．
【解析】解：∵在反比例函數(shù)中，，
∴函數(shù)圖像分別位于第一、三象限，故A說法正確，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)，故B說法正確，不符合題意；
∵函數(shù)圖像過，，
∴，故C說法錯(cuò)誤，符合題意；
反比例函數(shù)的函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，故D說法正確，不符合題意；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系等等，熟知反比例函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
鞏固訓(xùn)練
8．如圖是三個(gè)反比例函數(shù)，，在軸上方的圖象，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，由圖象分布的位置可得，，，再由時(shí)，由圖象可得，即得，進(jìn)而可得，即可求解，掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【解析】解：∵反比例函數(shù)的圖象分布在第一象限，反比例函數(shù)和的圖象分布在第二象限，
∴，，，
當(dāng)時(shí)，由圖象可得，
∴，
∴，
故選：．
9．關(guān)于反比例函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)B．函數(shù)圖像位于第一、三象限
C．函數(shù)值隨著的增大而增大D．當(dāng)時(shí)，
【答案】D
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象及其性質(zhì)即可求解．
【解析】、點(diǎn)不在它的圖象上，不符合題意；
、它的圖象在第二、四象限，不符合題意；
C、在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大，不符合題意；
D、當(dāng)時(shí)，，正確，符合題意；
故選：．
【點(diǎn)睛】此題考查了反比函數(shù)的性質(zhì)，正確掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．若點(diǎn)，，是反比例函數(shù)圖像上的三個(gè)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)的符號可得反比例函數(shù)所在象限為二、四，其中在第四象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)總小于在第二象限的縱坐標(biāo)，結(jié)合反比例函數(shù)的增減性，進(jìn)而判斷在同一象限內(nèi)的點(diǎn)和點(diǎn)的縱坐標(biāo)的大小即可．
【解析】解：反比例函數(shù)的系數(shù)為，
圖像的兩個(gè)分支在二、四象限，該函數(shù)隨的增大而增大，
第四象限的點(diǎn)縱坐標(biāo)總小于第二象限的縱坐標(biāo)，
點(diǎn)在第二象限，，在第四象限，
最大，
該函數(shù)隨的增大而增大，，
，
，
故選：．
【點(diǎn)睛】考查反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)的特征，用到的知識點(diǎn)為，反比例函數(shù)的比例系數(shù)小于，圖像的個(gè)分支在二、四象限；第四象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)總小于在第二象限的縱坐標(biāo)；在同一象限內(nèi)，隨的增大而增大．
題型三 根據(jù)圖像或性質(zhì)求參數(shù)范圍
例題
11．反比例函數(shù)的圖象上有一點(diǎn)，當(dāng)，則的取值范圍是 ．
【答案】或
【分析】依據(jù)題意，由點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而可以得解．
【解析】解：由題意，由，
當(dāng)時(shí)，
．
當(dāng)時(shí)，或．
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題時(shí)要熟練掌握并理解．
鞏固訓(xùn)練
12．若反比例函數(shù)的圖象不經(jīng)過第一象限，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)圖象在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置：不經(jīng)過第一象限，則，解之即可求得的取值范圍，從而求解．
【解析】解：反比例函數(shù)的圖象不經(jīng)過第一象限，
則經(jīng)過二四象限，
∴．
解得：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
13．在平面直角坐標(biāo)系中，對于每一象限內(nèi)的反比例函數(shù)圖像，的值都隨值的增大而增大，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得出關(guān)于的不等式，求出的取值范圍即可．
【解析】解：對于每一象限內(nèi)的反比例函數(shù)圖像，的值都隨值的增大而增大，
，
解得：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟知反比例函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．
14．若反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，則的值（ ）
A．B．或C．或D．
【答案】A
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解一元二次方程，先根據(jù)反比例函數(shù)的定義列出方程求出的可能取值，再根據(jù)圖象經(jīng)過的象限決定常數(shù)的取值范圍，進(jìn)而得出的值，解題的關(guān)鍵是正確理解當(dāng)時(shí)，圖象分別位于第一、三象限；當(dāng)時(shí)，圖象分別位于第二、四象限；當(dāng)時(shí)，在同一個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減小；當(dāng)時(shí)，在同一個(gè)象限，隨的增大而增大．
【解析】依題意有，解得或，
∵函數(shù)圖象位于第二、四象限，
∴，即，
∴的值是，
故選：．
題型四 參數(shù)范圍、圖像與性質(zhì)的相互判斷
例題
15．在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)和的圖像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)，分析反比例函數(shù)所在象限和一次函數(shù)經(jīng)過的象限，即可獲得答案．
【解析】解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像位于第一、三象限，經(jīng)過第一、二、四象限；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像經(jīng)過第二、四象限，經(jīng)過第一、二、三象限．
綜上所述，選項(xiàng)A、B、C不符合題意，選項(xiàng)D符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖像的識別，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想分析問題是解題關(guān)鍵．
鞏固訓(xùn)練
16．一次函數(shù)y=kx-1與反比例函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象，分兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，分析出一次函數(shù)和反比例函數(shù)所過象限；再分析出時(shí)，一次函數(shù)和反比例函數(shù)所過象限，符合題意者即為正確答案
【解析】解：①當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)的圖象過一、三、四象限；反比例函數(shù)在一、三象限；
②當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)的圖象過一、二、四象限；反比例函數(shù)在二、四象限，
觀察圖形可知，只有C符合，
故選：C
17．已知反比例函數(shù) ，則下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)圖像分布在第二、四象限B．隨的增大而減小
C．如果兩點(diǎn)，都在圖像上，則D．圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對稱
【答案】D
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)即可逐一分析找出正確選項(xiàng)．
【解析】解：A．，
反比例函數(shù)圖像分布在第一、三象限，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B．在每一象限內(nèi)，隨的增大而減小，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C．，，
，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
D．反比例函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，故該選項(xiàng)正確，符合題意．
故選：D．
18．在函數(shù)(m為常數(shù))的圖象上有三個(gè)點(diǎn)，，，則函數(shù)值的大小關(guān)系是( )．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)中判斷出函數(shù)圖象所在的象限，再根據(jù)各點(diǎn)橫坐標(biāo)的特點(diǎn)即可得出結(jié)論．
【解析】解：∵在函數(shù)（為常數(shù)）中，
∴函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于二、四象限，且在每一象限內(nèi)隨的增大而增大，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
題型五 反比例函數(shù)與方程、不等式
例題
19．如圖，一次函數(shù)（、為常數(shù)，且）的圖象與反比例函數(shù)（為常數(shù)，且）的圖象交于、兩點(diǎn)．則關(guān)于的方程的解為 ．
【答案】和
【分析】本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；
根據(jù)反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)求解即可；
【解析】解：觀察函數(shù)圖象可知：點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
∴關(guān)于的方程的解為和．
故答案為：和．
鞏固訓(xùn)練
20．如圖，已知一次函數(shù)y=mx+n與反比例函數(shù)．的圖象交于兩點(diǎn)．觀察圖象可知，不等式 的解集是 ．
【答案】或
【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)解不等式，理解圖示，掌握一次函數(shù)，反例函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【解析】解：根據(jù)圖示可得，當(dāng)或時(shí)，，
故答案為：或 ．
21．已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象沒有交點(diǎn)，則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，將交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化成方程根的個(gè)數(shù)問題是解題的關(guān)鍵．將一次函數(shù)解析式代入反比例函數(shù)解析式，化簡可得一元二次方程，根據(jù)兩函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)，可知一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，進(jìn)而確定，代入解出不等式即可．
【解析】解：將代入中，
得，
整理得，
∵一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象沒有公共點(diǎn)，
∴一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，
∴，
解得：．
故答案為：．
題型六 k的幾何意義
例題
22．如圖，過雙曲線上任意一點(diǎn)分別作軸，軸的垂線，，交軸、軸于點(diǎn)、，所得矩形的面積為8，則的值是（ ）

A．4B．C．8D．
【答案】D
【分析】設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，則，根據(jù)矩形的面積為8，得出，即可得出k的值．
【解析】解：設(shè)雙曲線表達(dá)式為，
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，
∵軸，軸，
∴，
∵矩形的面積為8，
∴，則，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)k的幾何意義，解題的關(guān)鍵是掌握過反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線，組成的矩形面積為．
鞏固訓(xùn)練
23．如圖，反比例函數(shù)的圖像上有一點(diǎn)P，軸于點(diǎn)A，點(diǎn)B在y軸上，則的面積為（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】B
【分析】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，掌握過雙曲線上的任意一點(diǎn)分別向兩條坐標(biāo)軸作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積就等于，并根據(jù)面積關(guān)系得出方程是解題的關(guān)鍵．
設(shè)Px,y，則，再由三角形的面積公式即可得出結(jié)論．
【解析】解：設(shè)Px,y，
∵點(diǎn)P在反比例函數(shù)的圖象上，
∴．
∵軸，
∴．
故選：B．
24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的邊在y軸上，點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，點(diǎn)B為的中點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過B，C兩點(diǎn)．若的面積是6，則k的值為 ．

【答案】4
【分析】過B，C兩點(diǎn)分別作y軸的垂線，垂足分別為D，E，設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為，則，由點(diǎn)B為的中點(diǎn)，推出C點(diǎn)坐標(biāo)為，求得直線的解析式，得到A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)的面積是6，列式計(jì)算即可求解．
【解析】解：過B，C兩點(diǎn)分別作y軸的垂線，垂足分別為D，E，

∴，
∴，
∴，
設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為，則，
∵點(diǎn)B為的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)直線的解析式為，
∴，解得，
∴直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為，
根據(jù)題意得，
解得，
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、求一次函數(shù)解析式、坐標(biāo)與圖形，解題關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)．
25．函數(shù)與的圖象如圖所示，點(diǎn)C是y軸上的任意一點(diǎn)．直線平行于y軸，分別與兩個(gè)函數(shù)圖象交于點(diǎn)A、B，連接．當(dāng)從左向右平移時(shí)，的面積是 ．

【答案】
【分析】設(shè)線段，則可表示出，再根據(jù)三角形的面積公式得出的面積，代入數(shù)值計(jì)算即可．
【解析】解：設(shè)直線與x軸的交點(diǎn)為P，
設(shè)，則， ，
∵，
∴
＝
＝
故答案為：．

【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)的k的幾何意義，三角形的面積公式，解答本題的關(guān)鍵是表示出線段的長度，難度一般．
26．如圖，點(diǎn)是反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)，點(diǎn)分別在x軸，y軸正半軸上．若四邊形為菱形，軸，，則k的值（ ）

A．3B．6C．12D．24
【答案】B
【分析】連接，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，由菱形的性質(zhì)及面積可得出，證得四邊形為矩形，得出，則可得出答案．
【解析】解：連接，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
四邊形是菱形，
，，
，
，
，
軸，軸，
，
四邊形為矩形，
，
，
，
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖象點(diǎn)的特點(diǎn)，菱形的性質(zhì)和面積．熟練掌握反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．
題型七 反比例函數(shù)的代數(shù)應(yīng)用
例題
27．已知點(diǎn)與點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，( )
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】D
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征研究反比例函數(shù)的性質(zhì)即可判斷．
【解析】解：A、若，則反比例函數(shù)的圖象在一、三象限，在每個(gè)象限y隨x的增大而減小，
∵，
∴，
∴點(diǎn)與點(diǎn)在第一象限，
∴，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
B、若，則反比例函數(shù)的圖象在一、三象限，在每個(gè)象限y隨x的增大而減小，
∵，
∴，
∴點(diǎn)與點(diǎn)在第三象限，
∴，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
C、若，則反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，在每個(gè)象限y隨x的增大而增大，
∵，
∴，
∴點(diǎn)在第二象限，
∴，不合題意，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
D、若，則反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，在每個(gè)象限y隨x的增大而增大，
∵，
∴，
∴點(diǎn)在第二象限，點(diǎn)在第四象限，
∴，
∴，故選項(xiàng)D正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟知反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
鞏固訓(xùn)練
28．已知點(diǎn)，，在反比例函數(shù)的圖象上，，則下列結(jié)論一定成立的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】C
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)圖象在第一、三象限內(nèi)，且在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減小，對選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析，即可得到答案．
【解析】解：反比例函數(shù)，
函數(shù)圖象在第一、三象限內(nèi)，且在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減小，
A、若，則或，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
原結(jié)論不一定成立，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、若，則
，原結(jié)論不成立，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、若，則或，
，原結(jié)論一定成立，符合題意，選項(xiàng)正確；
D、若，則或或，
當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
原結(jié)論不一定成立，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握當(dāng)比例系數(shù)時(shí)，函數(shù)圖象在第一、三象限內(nèi)，且在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減??；當(dāng)比例系數(shù)時(shí)，函數(shù)圖象在第二、四象限內(nèi)，且在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大．
題型八 反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
例題
29．驗(yàn)光師檢測發(fā)現(xiàn)近視眼鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（米）成反比例，y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖所示．經(jīng)過一段時(shí)間的矯正治療后，小雪的鏡片焦距由0.25米調(diào)整到0.5米，則近視眼鏡的度數(shù)減少了（ ）度．
A．150B．200C．250D．300
【答案】B
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，讀懂題意，掌握課本知識是解決問題的關(guān)鍵．由已知設(shè)，則由圖象知點(diǎn)滿足解析式，代入求，則解析式為：，令，時(shí)，分別求的值后作差即可．
【解析】解：設(shè)，
在圖象上，
，
函數(shù)解析式為：，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
度數(shù)減少了（度），
故選：B
鞏固訓(xùn)練
30．機(jī)器狗是一種模擬真實(shí)犬只形態(tài)和部分行為的機(jī)器裝置，其最快移動速度是載重后總質(zhì)量的反比例函數(shù)．已知一款機(jī)器狗載重后總質(zhì)量時(shí)，它的最快移動速度；當(dāng)其載重后總質(zhì)量時(shí)，它的最快移動速度 ．
【答案】4
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式，再將代入計(jì)算即可，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
【解析】設(shè)反比例函數(shù)解析式為，
機(jī)器狗載重后總質(zhì)量時(shí)，它的最快移動速度，
，
反比例函數(shù)解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)其載重后總質(zhì)量時(shí)，它的最快移動速度．
故答案為：4．
31．為檢測某品牌一次性注射器的質(zhì)量，將注射器里充滿一定量的氣體，當(dāng)溫度不變時(shí)，注射器里的氣體的壓強(qiáng)（）是氣體體積（）的反比例函數(shù)，其圖像如圖所示．則下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）

A．這一函數(shù)的表達(dá)式為
B．當(dāng)氣體體積為40時(shí)，氣體的壓強(qiáng)值為150
C．當(dāng)溫度不變時(shí)，注射器里氣體的壓強(qiáng)隨著氣體體積增大而減小
D．若注射器內(nèi)氣體的壓強(qiáng)不能超過400，則其體積不能超過15
【答案】D
【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．利用待定系數(shù)法解得函數(shù)解析式，即可判斷選項(xiàng)A；將代入函數(shù)解析式并求解，即可判斷選項(xiàng)B；由函數(shù)圖像的增減性，即可判斷選項(xiàng)C；求得當(dāng)時(shí)氣體體積的值，結(jié)合函數(shù)圖像即可判斷選項(xiàng)D．
【解析】解：A．設(shè)，由題意知，
所以，即，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；
B．當(dāng)時(shí)，，
所以，氣球內(nèi)氣體的氣壓是，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；
C．由函數(shù)圖像可知，氣體的壓強(qiáng)隨著氣體體積增大而減小，可知該選項(xiàng)正確，不符合題意；
D．當(dāng)時(shí)，，
所以，為了安全起見，氣體的體積應(yīng)不小于，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；
故選：D．
題型九 最值問題、其他問題
例題
32．已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，函數(shù)的最小值為，則的值為 ．
【答案】2
【分析】此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，正確得出與的關(guān)系是解題關(guān)鍵．直接利用反比例函數(shù)的性質(zhì)分別得出與的關(guān)系，進(jìn)而得出答案．
【解析】解：函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，
時(shí)，，
，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，
當(dāng)時(shí)，，
，
故，
解得：．
故答案為：2．
鞏固訓(xùn)練
33．反比例函數(shù)，當(dāng)（b，a為常數(shù)，且）時(shí)，的最小值為m，的最大值為n，則的值為（ ）
A．B．C．或D．
【答案】B
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握當(dāng)時(shí)，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，反之，y隨x的增大而增大．
根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行分類討論：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即可解答．
【解析】解：當(dāng)時(shí)，則，
∴在每一象限內(nèi)，隨x的增大而減小，在每一象限內(nèi)，隨x的增大而增大，
∵，，
∴時(shí)，的最小值為，當(dāng)時(shí)，的最大值為，
∴，
當(dāng)時(shí)，則，
∴在每一象限內(nèi)，隨x的增大而增大，在每一象限內(nèi)，隨x的增大而減小，
∵，，
∴時(shí)，的最小值為，當(dāng)時(shí)，的最大值為，
∴，
綜上：的值為，
故選：B．
34．在同一坐標(biāo)系中，若正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)，則與的關(guān)系，下面四種表述：①；②；③；④或．正確的有( )
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
【答案】B
【分析】根據(jù)題意得出和異號，再分別判斷各項(xiàng)即可．
【解析】解：∵同一坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)，
若，則正比例函數(shù)經(jīng)過一、三象限，則反比例函數(shù)經(jīng)過二、四象限，則，
若，則正比例函數(shù)經(jīng)過二、四象限，從而反比例函數(shù)經(jīng)過一、三象限，則，
綜上：和異號，
①∵和的絕對值的大小未知，故不一定成立，故①錯(cuò)誤；
②∵和異號，則，故②正確；
③，故③正確；
④或，故④正確；
故正確的有3個(gè)，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象，絕對值的意義，解題的關(guān)鍵是得到和異號．
題型十 解答綜合題
例題
35．已知與成反比例，且當(dāng)時(shí)，，求：
(1)與之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)當(dāng)時(shí)，的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查求反比例函數(shù)的解析式，求自變量的值：
（1）根據(jù)題意，設(shè)，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（2）將代入（1）中解析式，進(jìn)行求解即可．
【解析】（1）解：設(shè)，
∵時(shí)，，
∴，
∴，
∴；
（2）當(dāng)時(shí)，則：，
解得：．
鞏固訓(xùn)練
36．如圖，函數(shù)與的圖象交于點(diǎn)，直線與函數(shù)的圖象分別交于B，C兩點(diǎn)．

(1)求a和b的值；
(2)求的長度；
(3)根據(jù)圖象寫出時(shí)x的取值范圍（不需說明理由）．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本題考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是：
（1）把代入，可求出b，把代入，可求出a；
（2）分別求出B、C的縱坐標(biāo)，即可求解；
（3）根據(jù)A的坐標(biāo)和圖象得出即可．
【解析】（1）解：依題意，將代入，得．
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
將代入，得，即．
（2）解：由（1）得．
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4．
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1．
．
（3）解：當(dāng)時(shí)的取值范圍是．
37．某氣球內(nèi)充滿一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時(shí)，氣球內(nèi)氣體的壓強(qiáng)與氣體的體積成反比例．當(dāng)氣體的體積時(shí)，氣球內(nèi)氣體的壓強(qiáng)．
(1)當(dāng)氣體的體積為時(shí)，它的壓強(qiáng)是多少？
(2)當(dāng)氣球內(nèi)氣體的壓強(qiáng)大于時(shí)，氣球就會爆炸．問：氣球內(nèi)氣體的體積應(yīng)不小于多少氣球才不會爆炸？
【答案】(1)當(dāng)氣體的體積為時(shí)，它的壓強(qiáng)是
(2)當(dāng)氣球內(nèi)氣體的體積應(yīng)不小于時(shí)，氣球才不會爆炸
【分析】（1）先求出氣球內(nèi)氣體的壓強(qiáng)與氣體的體積的反比例函數(shù)關(guān)系式，然后代入進(jìn)行求解即可；
（2）先求出當(dāng)時(shí)，的值，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【解析】（1）解：設(shè)，
由題意得：，
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴當(dāng)氣體的體積為時(shí)，它的壓強(qiáng)是；
（2）解：當(dāng)時(shí)，，
∵，
∴V隨p的增大而增大，
∴要使氣球不會爆炸，則，
∴當(dāng)氣球內(nèi)氣體的體積應(yīng)不小于時(shí)，氣球才不會爆炸．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意得到是解題的關(guān)鍵．
38．如圖，已知，是反比例函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)．
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
(2)求的面積；
(3)根據(jù)圖象直接寫出不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)6
(3)或
【分析】（1）先把代入求得，再把A點(diǎn)坐標(biāo)代入求得，從而求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得一次函數(shù)解析式，即可求出結(jié)果；
（2）先求出一次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用，進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）根據(jù)可知，即一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象上方，再根據(jù)圖象即可求得結(jié)果．
【解析】（1）解：∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，
，即，
∴反比例函數(shù)解析式為：，
∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，
，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
、在一次函數(shù)的圖象上，可得：
，解得，
∴一次函數(shù)解析式為：．
（2）解：如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)，
，
．
（3）解：，
，
∴由圖象可知，x的取值范圍是：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式及觀察函數(shù)圖象的能力，求點(diǎn)A、C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
39．已知一次函數(shù)與反比例函數(shù) 的圖象交于兩點(diǎn)．
(1)①求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
②求的面積．
(2)在x軸的負(fù)半軸上，是否存在點(diǎn)P，使得為等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)①， ；②
(2)或或
【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合問題，掌握待定系數(shù)法是解題關(guān)鍵．
（1）①將代入 可求得反比例函數(shù)的表達(dá)式為： ；進(jìn)一步可得；將、代入即可求解；②設(shè)一次函數(shù)與軸交于點(diǎn)，可求得，根據(jù)即可求解；
（2）設(shè)點(diǎn)，分類討論，，，三種情況即可求解；
【解析】（1）解：①將代入 得： ，
解得：；
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為： ；
∴，即：；
將、代入得：，
解得：，
∴一次函數(shù)的表達(dá)式為：
②設(shè)一次函數(shù)與軸交于點(diǎn)，如圖所示：
由得；
∴
∴
（2）解：設(shè)點(diǎn)，
，則，
解得：；
，則，
解得：或（舍）；
，則，
解得：；
綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或
40．已知：如圖，直線與函數(shù)的圖像交于A，B兩點(diǎn)，且與x，y軸分別交于C，D兩點(diǎn)．
(1)若直線與直線平行，且面積為2，求m的值；
(2)若的面積是的面積的倍，過A作軸于E，過B作軸于F，與交于H點(diǎn)．
①求的值；
②求k與m之間的函數(shù)關(guān)系式．
(3)若點(diǎn)P坐標(biāo)為2,0，在（2）的條件下，是否存在k，m，使得為直角三角形，且，若存在，求出k，m的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)①；②m與k的關(guān)系式為（）
(3)存在，，或，
【分析】（1）利用兩直線平行得到，從而得到點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)的面積求出a的值，從而得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法即可求出m的值；
（2）①設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2（其中，），由得到，根據(jù)三角形的面積公式可推出，而，即可求解；
②由得到，進(jìn)而有，聯(lián)立與得，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，代入后得到，從而；
（3）過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)N，，可證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，即，變形得到，利用得到，進(jìn)而，由（2）有，，代入后得到，求解即可得到m，k的值，從而可解答．
【解析】（1）解：∵直線與直線平行，
∴，
對于直線，令，則，
∴，
∴，
設(shè)，
∵，即，
∴，
∴，
∵點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，
∴；
（2）解：
①設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2（其中，）
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
②對于直線，令，則，
∴，
∴，
由①有，
∴，即，
聯(lián)立與得，
∴，，
∴，即，
∴m與k的關(guān)系式為（）．
（3）解：存在k，m，使得為直角三角形，且．
過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)N，
若，則
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
即，
由（2）有，，
∴，解得，，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
∴存在k，m，使得為直角三角形，且．
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題，涉及待定系數(shù)法，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，相似三角形的判定及性質(zhì)，三角形的面積等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；會求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，靈活運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系；會利用相似比計(jì)算線段的長．

正比例函數(shù)
反比例函數(shù)
解析式
圖 像
直線
有兩個(gè)分支組成的曲線（雙曲線）
位 置
，一、三象限；
，二、四象限
，一、三象限
，二、四象限
增減性
，隨的增大而增大
，隨的增大而減小
，在每個(gè)象限，隨的增大而減小
，在每個(gè)象限，隨的增大而增大

相關(guān)試卷

初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）九年級上冊1 反比例函數(shù)課后練習(xí)題：

這是一份初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）九年級上冊1 反比例函數(shù)課后練習(xí)題，共12頁。試卷主要包含了反比例函數(shù)的概念，反比例函數(shù)解析式的確定，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)等內(nèi)容，歡迎下載使用。

北師大版八年級上冊6 實(shí)數(shù)課時(shí)訓(xùn)練：

這是一份北師大版八年級上冊6 實(shí)數(shù)課時(shí)訓(xùn)練，文件包含第二章實(shí)數(shù)知識歸納與題型突破二十一類題型清單原卷版pdf、第二章實(shí)數(shù)知識歸納與題型突破二十一類題型清單解析版pdf等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共58頁， 歡迎下載使用。

人教版七年級上冊1.2.1 有理數(shù)課時(shí)訓(xùn)練：

這是一份人教版七年級上冊1.2.1 有理數(shù)課時(shí)訓(xùn)練，文件包含第一章有理數(shù)知識歸納與題型突破19類題型清單原卷版pdf、第一章有理數(shù)知識歸納與題型突破19類題型清單解析版pdf等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共35頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

數(shù)學(xué)七年級上冊1.2.1 有理數(shù)課堂檢測

數(shù)學(xué)七年級上冊1.2.1 有理數(shù)課堂檢測
2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊單元速記·巧練（北師大版）第6章 反比例函數(shù)（知識歸納+題型突破）（原卷版）

2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊單元速記·巧練（北師大版）第6章 反比例函數(shù)（知識歸納+題型突破）（原卷版）
2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊單元速記·巧練（北師大版）第6章 反比例函數(shù)（知識歸納+題型突破）（解析版）

2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊單元速記·巧練（北師大版）第6章 反比例函數(shù)（知識歸納+題型突破）（解析版）
2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊單元速記·巧練（北師大版）第5章 投影與視圖（知識歸納+題型突破）（解析版）

2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊單元速記·巧練（北師大版）第5章 投影與視圖（知識歸納+題型突破）（解析版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）九年級上冊電子課本

1 反比例函數(shù)

版本： 北師大版（2024）

年級： 九年級上冊

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部